25.3实际问题与一元二次方程暑假预习同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程实际应用，通过基础巩固（单选、填空）-综合应用（解答题）分层设计，覆盖五大模型，实现从单一建模到综合应用的知识巩固路径，培养数学建模与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固（单选10题、填空5题）|传播、增长率、利润等单一模型|对应“审设列解验答”核心步骤，如单选1直接考查传播问题方程构建| |综合应用（解答题5题）|多模型结合与实际情境问题|强调根的合理性检验，如解答题16结合传播问题两轮及三轮感染分析，17融合增长率与利润最值求解|

25.3实际问题与一元二次方程 核心是用一元二次方程建模解决生活中的几类典型问题。 一、列一元二次方程解应用题的基本步骤 审→设→列→解→验→答 审：弄清题意，找出已知量和未知量及等量关系。 设：设未知数（直接设或间接设）。 列：根据等量关系列方程。 解：用配方法、公式法或因式分解法解方程。 验：检验根是否满足方程且符合实际意义（如人数、长度、增长率不能为负）。 答：写出完整答案。 2、 五大常考模型与等量关系 🦠1.传播（传染/分裂/分支）问题 流感传染：1人患病，每轮每人平均传染人，经过两轮传染后总患者数为 （若有 个初始传染源则为）。 第1轮后：；第2轮后： 植物分支：主干1个→支干个→每支干再长个小分支，总数：已知总数 📈 2.平均增长率（降低率）问题 设基期量为 a，平均增长率为 x，经过 n次变化后为 b： 增长： 降低： ⚠️ 注意区分"平均增长额"（算术平均）和"平均增长率"（几何平均，用上式）。 💰 3.利润（营销）问题 单件利润＝售价－进价 总利润＝单件利润 × 销售量 常见条件：“每降价1元，每天多卖 m件”→ 若降价元，销量为（原销量）件 📐 4.几何面积（围栏/道路）问题 矩形面积 S=长×宽；直角三角形面积 S=×直角边×直角边 平移法：多条平行道路可平移到边界，用"大矩形－道路重叠"或直接写剩余矩形的长宽列方程 🤝 5.单/双循环（握手/比赛）问题 单循环（握手）：人两两握手一次，总次数已知次数 双循环（主客场比赛）：总场次已知次数 3、 教材典型例题精解 例1【传播问题】流感传染 一人患流感，经过两轮传染后共有121人患病，每轮平均一人传染几人？ 解：设每轮每人平均传染人。 ，，解得 答：平均一人传染10人，三轮后患病人数为 人。 例2【增长率问题】 成本下降率两年前产1t甲食品成本10000元，现在6000元，求年平均下降率。 解：设年平均下降率为。 ，所以，则有(舍负) 所以x≈0.225=22.5% 答：甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%。 例3【利润问题】 衬衫降价衬衫每天卖20件，每件盈利40元；每降1元多卖2件，若要每天盈利1200元且尽快去库存，应降多少元？ 解：设每件降价元。 整理得 ，解得。 因要尽快减少库存（多卖），取。 答：应降价20元。 例4【面积问题】 矩形修路长40m、宽26m矩形，修两条平行AB的路和一条平行AD的路（等宽），余下6块草坪每块144m²，求路宽。 解：平移道路后草坪长为，宽为 。 解得（舍去）。 答：道路宽2米。 例5【循环问题】 握手聚会有人，每两人握一次手共握10次，求人数。 解： 解得 （舍）。 答：5人参加聚会。 四、易错提醒 检验根的合理性：增长率，人数、长度为正，舍去负根或无意义根。 增长次数 n：从2024年初到2026年初是2次变化，不是。 传播问题：注意问的是“累计总数”还是“第二轮新增人数”。 一、单选题 1．有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有121台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染x台电脑，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．年月日电影《疯狂动物城》在中国内地上映，第一天票房为亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为7米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块12平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 4．某服装店，当把进价为40元/件的衣服以100元/件的价格出售时，每天能卖出20件，经统计调查发现，若每降价1元，可多卖出6件，若降价x元，每天可盈利1800元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为，几秒后的面积是面积的一半（   ） A． B．9 C．或9 D．10 6．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1482张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 7．我国于12月中旬开始放开新冠疫情管控，经专家推算，每轮传播过程中，1个人可以传播给x个人，经过两轮传播后，共有81人被传染．则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．由于小鹏、埃安等新能源汽车的崛起，广州燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年月份售价为万元，月份售价为万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 9．林老师计划在毕业典礼上，他赠送给每位同学一张签名卡，每位同学间也互赠一张签名卡．林老师发现在不失误的情况下，为了使签名卡恰好用完，他需购买2704张签名卡，设班级有x名学生，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知一菜园为长10米，宽7米的矩形，为了方便浇水和施肥，修建了同样宽的四条互相垂直的“井”字形道路，余下的部分种青菜，已知种植青菜的面积为54平方米，设小路的宽为米，则根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了__人． 12．广东茂名是中国荔枝主产区，占全国产量的35%．根据果农记录，2023年荔枝树平均每株产量为16千克，2025年平均每株产量达到25千克，每年的增长率基本相同．若设年平均增长率为x，依题意列方程得______． 13．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的4倍，那么我们称这个矩形是给定矩形的“倍倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为和a时，其“倍倍矩形”的对角线的长度是________． 14．某商场将进货价为55元的某种服装以75元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价______元． 15．某次聚会上，每两人握一次手，所有人握手28次，则本次聚会共有______人参加． 三、解答题 16．某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 17．某公司专门生产高端智能测量装备，2023年研发投入资金1000万元，随着公司规模的扩大，研发投入逐年增长，到2025年研发投入资金1210万元． (1)求该公司研发投入资金的年平均增长率． (2)若该公司计划2026年生产A、B两款高端智能测量装备共3000台，其中A款装备每台定价5万元，B款每台定价3.5万元．市场调研表明，A款装备的数量不多于B款装备数量的2倍．当生产A款装备多少台时，公司的销售总收入最大？最大收入是多少万元？ 18．中国队包揽了2025年世界无人机足球锦标赛，两个组别的冠、亚军．如图，矩形是级别的比赛场地（半场）平面图，由操作区、起飞区、比赛区组成．矩形为起飞区，距场地左侧边界，距右侧边界，距上侧和下侧边界均为，且长比宽多． (1)设的长度为，则的长度为，______，______ （用含x的代数式表示） (2)若矩形的面积为，求的长度． 19．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)设销售单价为每千克x元（），月销售利润为y元，用含x的式子表示________（直接写出）． (2)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 20．列方程解应用题：学校举行乒乓球比赛，有若干个队报名，比赛采取单循环制（每两个队要比赛一场），一共比了66场，有多少个队参加了报名？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3实际问题与一元二次方程 核心是用一元二次方程建模解决生活中的几类典型问题。 一、列一元二次方程解应用题的基本步骤 审→设→列→解→验→答 审：弄清题意，找出已知量和未知量及等量关系。 设：设未知数（直接设或间接设）。 列：根据等量关系列方程。 解：用配方法、公式法或因式分解法解方程。 验：检验根是否满足方程且符合实际意义（如人数、长度、增长率不能为负）。 答：写出完整答案。 2、 五大常考模型与等量关系 🦠1.传播（传染/分裂/分支）问题 流感传染：1人患病，每轮每人平均传染人，经过两轮传染后总患者数为 （若有 个初始传染源则为）。 第1轮后：；第2轮后： 植物分支：主干1个→支干个→每支干再长个小分支，总数：已知总数 📈 2.平均增长率（降低率）问题 设基期量为 a，平均增长率为 x，经过 n次变化后为 b： 增长： 降低： ⚠️ 注意区分"平均增长额"（算术平均）和"平均增长率"（几何平均，用上式）。 💰 3.利润（营销）问题 单件利润＝售价－进价 总利润＝单件利润 × 销售量 常见条件：“每降价1元，每天多卖 m件”→ 若降价元，销量为（原销量）件 📐 4.几何面积（围栏/道路）问题 矩形面积 S=长×宽；直角三角形面积 S=×直角边×直角边 平移法：多条平行道路可平移到边界，用"大矩形－道路重叠"或直接写剩余矩形的长宽列方程 🤝 5.单/双循环（握手/比赛）问题 单循环（握手）：人两两握手一次，总次数已知次数 双循环（主客场比赛）：总场次已知次数 3、 教材典型例题精解 例1【传播问题】流感传染 一人患流感，经过两轮传染后共有121人患病，每轮平均一人传染几人？ 解：设每轮每人平均传染人。 ，，解得 答：平均一人传染10人，三轮后患病人数为 人。 例2【增长率问题】 成本下降率两年前产1t甲食品成本10000元，现在6000元，求年平均下降率。 解：设年平均下降率为。 ，所以，则有(舍负) 所以x≈0.225=22.5% 答：甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%。 例3【利润问题】 衬衫降价衬衫每天卖20件，每件盈利40元；每降1元多卖2件，若要每天盈利1200元且尽快去库存，应降多少元？ 解：设每件降价元。 整理得 ，解得。 因要尽快减少库存（多卖），取。 答：应降价20元。 例4【面积问题】 矩形修路长40m、宽26m矩形，修两条平行AB的路和一条平行AD的路（等宽），余下6块草坪每块144m²，求路宽。 解：平移道路后草坪长为，宽为 。 解得（舍去）。 答：道路宽2米。 例5【循环问题】 握手聚会有人，每两人握一次手共握10次，求人数。 解： 解得 （舍）。 答：5人参加聚会。 四、易错提醒 检验根的合理性：增长率，人数、长度为正，舍去负根或无意义根。 增长次数 n：从2024年初到2026年初是2次变化，不是。 传播问题：注意问的是“累计总数”还是“第二轮新增人数”。 一、单选题 1．有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有121台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染x台电脑，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，则第一轮共感染台，第二轮共感染台，根据题意列方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得：，故选：C． 2．年月日电影《疯狂动物城》在中国内地上映，第一天票房为亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每天票房的增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每天票房的增长率为， 根据题意得，，故选：． 3．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为7米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块12平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出矩形的另一条边长，根据矩形的面积公式列出方程即可. 【详解】解：设矩形的一边长为米，则另一条边长为米，由题意，得：. 4．某服装店，当把进价为40元/件的衣服以100元/件的价格出售时，每天能卖出20件，经统计调查发现，若每降价1元，可多卖出6件，若降价x元，每天可盈利1800元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，盈利由每件利润和销量决定，每件利润为售价减进价，销量随降价增加而线性增加． 【详解】解：进价40元/件，售价100元/件，降价x元后，售价为元， 每件利润为元， 原销量20件，每降价1元多卖6件，降价x元多卖件， 销量为件， 每天盈利1800元， 方程为，故选：C． 5．如图，在中，点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为，几秒后的面积是面积的一半（   ） A． B．9 C．或9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，得出，结合运动速度和运动方向得，根据三角形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设秒后的面积是面积的一半， 则， ∵点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为， ∴， 故， 即， ∴， 整理得 ∴ 解得或， 当时，则不符合题意； ∴秒后的面积是面积的一半，故选：A． 6．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1482张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键． 如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学， 每名同学要送出张； 又是互送照片， 总共送的张数应该是．故选：B． 7．我国于12月中旬开始放开新冠疫情管控，经专家推算，每轮传播过程中，1个人可以传播给x个人，经过两轮传播后，共有81人被传染．则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得每轮传播的人数，再根据题意，列方程即可． 【详解】解：第一轮传了个人，此时有个人被传染， 第二轮传染了，此时有个人被传染， 则，故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程． 8．由于小鹏、埃安等新能源汽车的崛起，广州燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年月份售价为万元，月份售价为万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据今年月份售价为万元，月均下降率是，可得：今年月份的售价为万元，又因为月份售价为万元，可列方程：. 【详解】解：今年月份售价为万元，月均下降率是， 今年月份的售价为万元， 今年月份的售价为万元， 又月份售价为万元， 可列方程：.故选：B． 9．林老师计划在毕业典礼上，他赠送给每位同学一张签名卡，每位同学间也互赠一张签名卡．林老师发现在不失误的情况下，为了使签名卡恰好用完，他需购买2704张签名卡，设班级有x名学生，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是熟练掌握利用等量关系建立一元二次方程，林老师赠送每位同学一张签名卡，共x张；每位同学间互赠签名卡，即每个同学赠送其他个同学各一张卡，共张。总签名卡数为2704，再列出方程即可． 【详解】解：∵ 林老师赠送签名卡数量为x， 同学间互赠签名卡数量共张，总签名卡数为2704， ∴．故选：A． 10．如图，已知一菜园为长10米，宽7米的矩形，为了方便浇水和施肥，修建了同样宽的四条互相垂直的“井”字形道路，余下的部分种青菜，已知种植青菜的面积为54平方米，设小路的宽为米，则根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程，根据关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键．运用平移的思想，设小路的宽为米，结合“种植青菜的面积为54平方米”作为相等关系列出方程即可． 【详解】解：设小路的宽为米， 根据题意，可得．故选：A． 二、填空题 11．一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了__人． 【答案】11 【分析】设每轮传染中平均一个人传染x人，根据题意可得第一轮被传染了之后有x人，即有患了流感，则第二轮能传染人，故可列方程，解方程即可解答． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x人， 根据题意可得方程，解得，（舍去）， 故每轮传染中平均一个人传染11人，故答案为：11． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，注意第一轮患者人数是被传染的人加上原有患者是解题的关键． 12．广东茂名是中国荔枝主产区，占全国产量的35%．根据果农记录，2023年荔枝树平均每株产量为16千克，2025年平均每株产量达到25千克，每年的增长率基本相同．若设年平均增长率为x，依题意列方程得______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均增长率问题，熟练掌握是解题的关键，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数． 根据增长率为x，2023年荔枝树平均每株产量，写出2024年荔枝树平均每株产量表达式，2025年荔枝树平均每株产量表达式，由2025年平均每株产量达到25千克，列出方程即可． 【详解】解：2023年荔枝树平均每株产量为16千克，每年的增长率基本相同． 设年平均增长率为x， 则2024年平均每株产量． 2025年平均每株产量． ∵2025年平均每株产量达到25千克，∴列方程． 故答案为：． 13．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的4倍，那么我们称这个矩形是给定矩形的“倍倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为和a时，其“倍倍矩形”的对角线的长度是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，找准等量关系，列出一元二次方程和求出“加倍矩形”的长和宽是解题关键．设“倍倍矩形”的长为，则宽为，根据矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得到“倍倍矩形”的长和宽，再利用勾股定理即可求出其对角线长． 【详解】解：设“倍倍矩形”的长为，则宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，宽为，符合题意； 当时，宽为，不符合题意； 所以“倍倍矩形”的长为，则宽为． ， 所以“倍倍矩形”的对角线长为．故答案为：． 14．某商场将进货价为55元的某种服装以75元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价______元． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每件降价元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量，进而列出方程，求出结果要结合尽快减少库存，即可得解． 【详解】解：设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 根据题意得：，解得：，． 要尽快减少库存，． 故每件应降价10元．故答案为：10． 15．某次聚会上，每两人握一次手，所有人握手28次，则本次聚会共有______人参加． 【答案】8 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据握手总次数的等量关系列出一元二次方程． 设本次聚会共有x人参加，利用握手总次数公式列出方程，求解并舍去不符合题意的解． 【详解】解：设本次聚会共有x人参加， 根据题意得：，整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 本次聚会共有8人参加．故答案为： 三、解答题 16．某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 【答案】(1) (2)会超过 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握病毒传播问题的数量关系是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑感染台电脑，第一轮感染后有台被感染，第二轮感染是在第一轮的基础上，每台又感染台，所以两轮后被感染的电脑数为，据此列方程求解． （2）根据（1）的结果，计算三轮感染后的电脑数，再与700比较． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． ，，，（舍）， 答：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． （2）解：， ∴经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台， 答：经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台． 17．某公司专门生产高端智能测量装备，2023年研发投入资金1000万元，随着公司规模的扩大，研发投入逐年增长，到2025年研发投入资金1210万元． (1)求该公司研发投入资金的年平均增长率． (2)若该公司计划2026年生产A、B两款高端智能测量装备共3000台，其中A款装备每台定价5万元，B款每台定价3.5万元．市场调研表明，A款装备的数量不多于B款装备数量的2倍．当生产A款装备多少台时，公司的销售总收入最大？最大收入是多少万元？ 【答案】(1)该公司研发投入资金的年平均增长率为 (2)当生产A款装备2000台时，公司的销售总收入最大，最大收入是13500万元 【分析】（1）设该公司研发投入资金的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解； （2）设生产A款装备a台，则生产B款装备台，根据题意列出一元一次不等式求出，设销售总收入为W万元，表示出，然后利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设该公司研发投入资金的年平均增长率为x， 依题意得，，解得（负值已舍去）， 答：该公司研发投入资金的年平均增长率为； （2）解：设生产A款装备a台，则生产B款装备台， 根据题意，得， 解得． 设销售总收入为W万元，则， ，随a的增大而增大． ，当时W值最大，（万元）． 答：当生产A款装备2000台时，公司的销售总收入最大，最大收入是13500万元． 18．中国队包揽了2025年世界无人机足球锦标赛，两个组别的冠、亚军．如图，矩形是级别的比赛场地（半场）平面图，由操作区、起飞区、比赛区组成．矩形为起飞区，距场地左侧边界，距右侧边界，距上侧和下侧边界均为，且长比宽多． (1)设的长度为，则的长度为，______，______ （用含x的代数式表示） (2)若矩形的面积为，求的长度． 【答案】(1)，； (2)的长度为． 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确列出方程是解答本题的关键． （1）根据图形列式即可；（2）根据矩形的面积为列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵的长度为，起飞区距上侧和下侧边界均为， ∴． ∵的长度为，起飞区距场地左侧边界，距右侧边界， ∴．故答案为：，； （2）解：∵矩形的面积为， ∴，∴， 解得，（舍去），∴的长度为． 19．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)设销售单价为每千克x元（），月销售利润为y元，用含x的式子表示________（直接写出）． (2)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应为元. 【分析】 （1）根据单价变化得到销售量的变化，据此列出函数表达式； （2）将总利润8000代入函数表达式，解一元二次方程后，再根据“尽快减少库存”的要求对解进行取舍，得到符合要求的销售单价． 【详解】（1）解：由题意得，每千克利润为元， 销售单价相比50元上涨了元， 因此月销售量减少千克， 月销售量为千克， 因此总利润； （2）解： 将代入 得 整理得 解得， 当时，月销售量为（千克） 当时，月销售量为（千克） ∵要尽快减少库存，需要更大的月销售量 又∵∴ 答：销售单价应为元． 20．列方程解应用题：学校举行乒乓球比赛，有若干个队报名，比赛采取单循环制（每两个队要比赛一场），一共比了66场，有多少个队参加了报名？ 【答案】有12个队参加了报名 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设有个队参加了报名，由单循环制的特点可得，再解方程并检验即可． 【详解】解：设有个队参加了报名，则 ， ∴， ∴， 解得，（经检验不符合题意）， 所以有12个队参加了报名． 1 学科网（北京）股份有限公司 $