精品解析：安徽省六安第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

六安一中2026年春学期高二年级期末考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，若集合且，则满足条件的集合的个数是（ ） A. B. 8 C. 16 D. 3. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 若，都是正数，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 5. 青岛二中为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类､文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到.下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（ ） 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人 B. 在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人 C. 依据的独立性检验，即年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于0.001 D. 没有的把握认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联 6. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知的定义域为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若函数恰有6个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分． 9. 大量临床数据显示，某年龄段人群空腹血糖检测值（单位：）近似服从正态分布，，则（ ） 参考数据：若，则，0.9973． A. 该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2 B. 该年龄段人群空腹血糖检测值的方差为0.3 C. 该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为 D. 该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为 10. 在年杭高樱花文会答题抽奖活动中，有一道题四个选项，只有一个选项正确，甲同学回答失败，剩下的三个选项编号为，乙同学继续答题，乙同学选择号选项，主持人未加评判.主持人知道哪个选项正确，从号中删去一个错误选项后，给乙同学一次换号机会.记表示第号选项正确，表示主持人删去的选项是第号选项.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 换号后答对概率增大 D. 换号后答对概率不变 11. 已知函数，则（ ） A. ，是减函数 B. ，的对称中心为 C. 若有三个不同的零点，则 D. 过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，则______. 13. 有4个相同的球，分别标有数字1、2、3、4，从中有放回地随机取3次，每次取1个球．记为这4个球中至少被取出1次的球的个数，则的数学期望__________． 14. 已知均为正数，，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某私营企业积极发展新质生产力，积极生产新能源产品，并设定了年产值超过320万元的目标，该企业近5年的产值（单位：万元）与年份如下表所示． 2021 2022 2023 2024 2025 235 246 256 277 286 （1）求2021年至2025年该企业产值的平均值； （2）设，用模拟与的关系，求出经验回归方程，并推测该企业在哪一年可以实现目标． 附：经验回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式为：． 16. 已知命题“存在，使得”为假命题． （1）求实数的取值集合A． （2）设的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. 已知函数， （1）若的值域为，求满足条件的整数的值； （2）若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，，求的取值范围. 18. 已知函数. （1）若，求的极小值； （2）当时，求的单调递增区间； （3）若有极大值 （i）求的取值范围； （ii）求证：. 19. 为评估卫星导航系统在复杂电磁环境下的定位稳定性，科研团队进行了一项模拟测试．测试中一颗卫星向地面特定区域持续发送信号．已知该区域有个相互独立的瞬时强干扰源，每个干扰源在任意一个单位测试时段内被激活的概率均为．当个干扰源被激活时会导致卫星信号在该时段内发生次随机误差，反之亦然．设为该时段内被激活的干扰源数量． （1）若，且某个时段至少发生了2次信号误差，求该时段内恰好发生2次信号误差的概率； （2）若，连续进行多个时段的测试，直到出现下列两种情况之一停止测试：①某个时段内被激活的干扰源为3个；②连续3个时段内被激活的干扰源数量都是2个，求连续测试3个时段后停止测试的概率； （3）在测试中每次信号误差会产生一个误差值．记为单个干扰源激活时所产生的信号误差值，且的分布列为，定义该时段内信号误差值为所有单个干扰源激活时所产生的信号误差值的和．若，求的分布列与期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安一中2026年春学期高二年级期末考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小． 【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出， 图1和图3是负相关，相关系数小于0， 图2和图4是正相关，相关系数大于0， 图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于，接近于1， 由此可得． 2. 设集合，，若集合且，则满足条件的集合的个数是（ ） A. B. 8 C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的概念与子集个数的计算方法，计算满足条件的集合个数． 【详解】因为且，故集合中的元素必然包含3， 根据可知，集合中的元素可能包含， 故满足条件的集合等价于的子集，则集合的个数是个． 3. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据指数函数与对数函数的性质，分别判断，，的范围，即可得出结果. 【详解】根据对数函数的单调性可得：，， 根据指数函数的单调性可得：， 所以. 故选：D. 4. 若，都是正数，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过条件，将变形成和为定值的形式，利用基本不等式，即可求出最小值. 【详解】因为，又，都是正数，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 故选：C． 5. 青岛二中为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类､文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到.下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（ ） 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人 B. 在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人 C. 依据的独立性检验，即年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于0.001 D. 没有的把握认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，在调查的高一学生中，科技类占比为0.6，若按比例分层随机抽样抽取20人， 则参加科技类的学生应为人，故A错误； 对于B，在调查的高二学生中，选择文艺类的人数为人， 选择科技类的人数为人， 选择文艺类比选择科技类的学生多人，故B错误； 对于C，因为，依据的独立性检验， 即年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于0.001，故C正确； 对于D，当时，，依据的独立性检验， 即年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于0.01，故D错误. 6. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数，定义域为. 易知函数只含项， 因此关于直线对称.当增大时，增大，函数值增大， 所以在上单调递减，在上单调递增. 等价于离的距离小于离的距离大小问题， 即.两边平方得； 整理得，解得. 故的取值范围为. 7. 已知的定义域为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用赋值法，求得，得到的一个周期是，再根据函数的周期性和奇偶性，求得的值，进而得到答案. 【详解】由题意知，函数的定义域为，且， 令，得，所以； 令，得，所以，所以是偶函数， 令，得①，所以②， 由①②知，所以， 所以，所以的一个周期是， 由②得，所以，同理，所以， 又由周期性和偶函数可得： 所以， 所以. 故选：B. 8. 已知函数若函数恰有6个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查分段函数的图像与性质，需要将复合函数分层转化，将条件转化为有6个实数根，结合函数图像分析解的个数. 【详解】令，则恰有6个零点，等价于有三个不同的解， 且对应有6个实数根，由函数的图像，如图所示 则，，，， 当时，二次函数最大值在时取得，即， 则, 则二次函数与直线各有两个交点， 所以要满足有6个实数根， 则需即，解得. 故的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分． 9. 大量临床数据显示，某年龄段人群空腹血糖检测值（单位：）近似服从正态分布，，则（ ） 参考数据：若，则，0.9973． A. 该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2 B. 该年龄段人群空腹血糖检测值的方差为0.3 C. 该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为 D. 该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为 【答案】ACD 【解析】 【详解】若，则，，故， 该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2，方差为，故A正确，B错误； 由，故C正确； 因为，故D正确 10. 在年杭高樱花文会答题抽奖活动中，有一道题四个选项，只有一个选项正确，甲同学回答失败，剩下的三个选项编号为，乙同学继续答题，乙同学选择号选项，主持人未加评判.主持人知道哪个选项正确，从号中删去一个错误选项后，给乙同学一次换号机会.记表示第号选项正确，表示主持人删去的选项是第号选项.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 换号后答对概率增大 D. 换号后答对概率不变 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合条件概率和全概率公式及逐项判断即可. 【详解】对于A，乙选择号选项，答案是号选项，主持人选择号选项的概率为，即，故A错误； 对于B，，， 则， 因此，故B正确； 对于CD，若不换号，乙继续选择号选项，获得奖品的概率为，主持人选择了错误的选项， 若换号，选择剩下的那个选项，获得奖品的概率为，乙换号后中奖概率增大，故C正确，D错误. 11. 已知函数，则（ ） A. ，是减函数 B. ，的对称中心为 C. 若有三个不同的零点，则 D. 过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数及取值情况判断A；求出判断B；利用零点的意义求解判断C；设出切点并求出切线方程，构造函数并利用导数确定零点个数判断D. 【详解】函数，求导得， 对于A，函数的图象是开口向上的抛物线，则不存在实数，使得在上恒成立， 因此函数不是减函数，A错误； 对于B， ，因此函数图象的对称中心为，B正确； 对于C，由，得或，由有三个不同的零点， 不妨记，是关于的方程的两个不等实根， ，因此，即，C正确； 对于D，设切点坐标为，则，则切线方程为 ，由切线过点， 得，令函数，由过点且与曲线相切的直线恰有3条， 得直线与函数的图象有3个交点，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，在取得极大值， 由三次函数的图象得当且仅当时，直线与函数的图象有3个交点， 因此，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，则______. 【答案】2 【解析】 【详解】因为， 所以. 13. 有4个相同的球，分别标有数字1、2、3、4，从中有放回地随机取3次，每次取1个球．记为这4个球中至少被取出1次的球的个数，则的数学期望__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据随机变量取值计算对应的概率，代入期望公式计算． 【详解】为这4个球中至少被取出1次的球的个数，则， （表示有1个球被取出过，表示4个球中选出被取过的1个球，每次被取的概率为）； （表示有2个球被取出过，一个1次，一个2次，表示4个球中选出被取过的两个球，表示其中1个球取出1次，表示另一个球取出两次）； （表示有3个球被取过，每个都取了1次，3次有顺序，故用）； 故． 14. 已知均为正数，，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】对式子进行整理化简，通过放缩和重要不等式计算最大值． 【详解】由题意得 当且仅当时等号成立，即． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某私营企业积极发展新质生产力，积极生产新能源产品，并设定了年产值超过320万元的目标，该企业近5年的产值（单位：万元）与年份如下表所示． 2021 2022 2023 2024 2025 235 246 256 277 286 （1）求2021年至2025年该企业产值的平均值； （2）设，用模拟与的关系，求出经验回归方程，并推测该企业在哪一年可以实现目标． 附：经验回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式为：． 【答案】（1）260万元 （2），2028 【解析】 【分析】（1）根据平均数计算公式进行计算即可； （2）根据经验回归方程的斜率和截距公式写出经验回归方程，利用经验回归方程解不等式进行预测． 【小问1详解】 计算5年产值的总和,平均值为； 则2021年至2025年该企业产值的平均值为260万元． 【小问2详解】 由，可得对应的取值为，因此； 可得，， 因此经验回归方程为； 令，代入回归方程得，解得 取最小正整数，对应； 故回归方程为，推测该企业在2028年可以实现年产值超过320万元的目标． 16. 已知命题“存在，使得”为假命题． （1）求实数的取值集合A． （2）设的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据存在量词命题的否定，利用二次函数图象性质解决问题； （2）根据是的必要不充分条件可得集合包含关系，利用子集列出不等式，解决参数范围问题． 【小问1详解】 因为“存在，使得”为假命题， 故，使为真命题， 所以，解得， 得到； 【小问2详解】 由整理可得 设，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，所以，所以， 所以， 因为是的必要不充分条件， 故是的真子集，所以（等号不同时成立），解得． 故实数的取值范围为． 17. 已知函数， （1）若的值域为，求满足条件的整数的值； （2）若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据函数的值域为，可得函数的值域包含，再分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质即可得解； （2）根据函数的奇偶性求出函数的解析式，再根据，则只要即可，求出函数的最小值，再从分情况讨论，结合二次函数的性质求出的最小值即可． 【小问1详解】 因为函数的值域为，所以函数的值域包含， ， 当时，，其值域为，不满足条件， 当时，令，则函数的对称轴为， 当时，，即的值域为， 所以，解得， 当时，，则函数的值域为，即函数的值域为，不满足条件， 综上所述，，所以满足条件的整数的值为； 【小问2详解】 因为函数是定义域为的奇函数， 所以，即，解得或， 由函数不是常数函数，所以， 经检验，符合题意，即， 由，，， 得，，， 只要即可， 当时，， 所以函数，则， ， 令，因为，所以， 函数， 当时，，则时，恒成立，符合题意； 当时，函数的对称轴为， 当时，则时，恒成立，符合题意； 当，即时，则时，，所以，不等式组无解； 当，即时，则时，恒成立，符合题意； 当，即时，则时，，所以，解得， 综上所述，的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 18. 已知函数. （1）若，求的极小值； （2）当时，求的单调递增区间； （3）若有极大值 （i）求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】（1）； （2）和； （3）（i）答案见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）当时，求得，判断导函数的正负，进而求得其单调性，再求极小值即可； （2）时，可得，也即的两根的大小是确定的，进而确定在不同区间，导函数函数值的正负，从而求得函数的单调增区间； （3）（i）对参数进行分类讨论，在时，分别求得其单调性，进而判断是否满足题意，从而求得参数范围； （i）根据（i）中的求解的参数范围，在时，求得极大值，直接判断其与的大小即可； 当时，求得,再构造函数，判断其单调性，求得最小值，即可判断其与的大小关系，进而实现证明. 【小问1详解】 由题意知. 若，则，所以. 令，得. 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以的极小值等于. 【小问2详解】 因为，所以， 由，即，解得或， 所以在和单调递增； 由，即， 解得，所以在单调递减； 故的单调增区间为和. 【小问3详解】 （i）当时，由（2）知，在和单调递增，在单调递减， 此时有极大值为； 当时，恒成立，故在上单调递增，没有极大值； 当时，，令，解得或， 令，解得， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 此时，有极大值； 当时，由（1）知在单调递减，在单调递增，没有极大值； 综上所述，若有极大值，则； （ii）证明：当时，由上述分析可知，； 当时，； 令，所以， 在上，在上，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以故，综上所述，. 19. 为评估卫星导航系统在复杂电磁环境下的定位稳定性，科研团队进行了一项模拟测试．测试中一颗卫星向地面特定区域持续发送信号．已知该区域有个相互独立的瞬时强干扰源，每个干扰源在任意一个单位测试时段内被激活的概率均为．当个干扰源被激活时会导致卫星信号在该时段内发生次随机误差，反之亦然．设为该时段内被激活的干扰源数量． （1）若，且某个时段至少发生了2次信号误差，求该时段内恰好发生2次信号误差的概率； （2）若，连续进行多个时段的测试，直到出现下列两种情况之一停止测试：①某个时段内被激活的干扰源为3个；②连续3个时段内被激活的干扰源数量都是2个，求连续测试3个时段后停止测试的概率； （3）在测试中每次信号误差会产生一个误差值．记为单个干扰源激活时所产生的信号误差值，且的分布列为，定义该时段内信号误差值为所有单个干扰源激活时所产生的信号误差值的和．若，求的分布列与期望． 【答案】（1）； （2）； （3）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）先求出至少发生2次信号误差的概率和恰好发生2次信号误差的概率，再根据条件概率公式计算； （2）分别计算出某时段内被激活的干扰源为3个的概率、连续3个时段内被激活的干扰源数量都是2个的概率，然后根据独立事件概率的计算方法求出测试3个时段后停止测试的概率； （3）由的分布列可求得，进而可确定随机变量的取值及概率，列出分布列，即可求得期望. 【小问1详解】 记“该时段内恰好发生2次信号误差”为事件， “该时段至少发生了2次信号误差”为事件， 由题知，，， ， ， ， 故所求概率为． 【小问2详解】 每个时段内干扰源仅有2个被激活的概率为， 3个全被激活的概率为． 连续测试3个时段后停止测试有2种情况： ①前3个测试时段中每个时段被激活的干扰源数量都是2个，概率为， ②第3个时段测试被激活的干扰源数量为3个， 第1个测试时段与第2个测试时段中每个时段被激活的干扰源数量均不为3个， 概率为， 故所求概率为． 【小问3详解】 因为的分布列为， ，，，的所有可能取值为2，4，8. 所以，所以， 所以，，， 的所有可能取值为4，6，8，10，12，16． ， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 4 6 8 10 12 16 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $