精品解析：安徽合肥市第八中学2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试卷

合肥八中2025-2026学年第二学期高二年级期末检测 数学试题卷 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟. 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，则. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 3. 在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（　　） A. 56 B. C. 70 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二项式的展开式即可求解. 【详解】第4项的二项式系数为． 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用幂函数与对数函数的单调性比较函数值的大小. 【详解】因为幂函数在上单调递增，所以，即 又因为，所以. 5. 农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学模型，可用（，k为正常数）描述，其中C为喷施农药t天后，果蔬表面的农药残留量（单位：mg/kg），某品种有机磷农药的降解速率常数，现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为8mg/kg，国家食品安全标准规定该农药的残留限值为1mg/kg，则该蔬菜的最短安全采收间隔期为（ ） A. 3天 B. 6天 C. 9天 D. 12天 【答案】C 【解析】 【分析】根据国家食品安全标准规定得出不等式，再由函数单调性解不等式即可求得结果. 【详解】设该蔬菜的最短安全采收间隔期为天, 依题意可得,其中，， 所以可得，即，解得； 因此该蔬菜的最短安全采收间隔期为9天. 6. 为庆祝端午节，某班级组织了一台晚会，有3个唱歌节目、2个小品节目和1个戏曲节目，要求3个唱歌节目互不相邻，则这台晚会节目的不同安排方法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】先排列2个小品和1个戏曲节目，排列数为：， 3个非唱歌节目排好后，形成4个空位，将3个唱歌节目插入4个空位中， 排列数为：， 故总安排方法数为：． 7. 若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 6078 D. -6078 【答案】D 【解析】 【分析】先求导，再令即可求解. 【详解】由， 两边同时求导得， 令，则. 8. 已知函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的图像与性质，结合基本不等式，即可求得最值. 【详解】由题知，的定义域为， 分别令，如图，两函数均在内单调递增， 因为当时，，当时，， 当时，，所以要使恒成立， 则与的符号相同， 所以，即， 所以(当且仅当时，等号成立)， 所以的最小值为. 故选：D 二、选择题：本题3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 随机变量X 服从二项分布，，则 B. 相关系数r的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C. 在线性回归分析中，若值越小则模型的拟合效果越好 D. 随机变量X服从正态分布 ，且，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，，A正确； 对于B，相关系数r的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱，B正确； 对于C，在线性回归分析中，若值越大则模型的拟合效果越好，C错误； 对于D，正态曲线关于直线对称，所以， 又，所以，D正确. 10. 已知，则下列说法正确的有（ ）． A. 函数有唯一零点 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数有极大值 D. 若关于x的方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【详解】，定义域为，则 A选项，令，得，则当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，当，；当，， 所以函数只有1个零点，且此时，所以A选项正确； B选项，由A选项解析可知，函数的单调递减区间为，所以B选项错误； C选项，由A选项解析可知，函数有极大值，所以C选项正确； D选项，由A选项解析可知，关于x的方程不可能有三个根，所以D选项错误. 11. 已知一个袋子中放有个不同的红球和个不同的黄球，现从中逐个摸取个小球．方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为．下列说法中，正确的有（ ） A. B. C. ，其中 D. 【答案】AD 【解析】 【详解】方案一中，有放回地摸球，每次取到红球的概率为， 摸次球，则取得红球个数， ∴，； 方案二中，不放回地摸球，取得红球个数服从超几何分布， 则，， 所以，，故A，D正确； 当时， ， ，即，故C错误； ， ∵ ，； ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故，故B错误. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量服从标准正态分布，若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用正态曲线关于轴对称，可得，即得解 【详解】由题意知正态曲线关于轴对称，，，． 故答案为：1 13. 从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，在至少有一个为奇数的条件下，这两个数为一奇一偶的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用条件概率公式计算即可. 【详解】设选取两个不同的数，其中至少有一个为奇数为事件，这两个数为一奇一偶为事件， 则，， 则在至少有一个为奇数的条件下，这两个数为一奇一偶的概率为：. 14. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，作出函数的大致图象，令可得，或，由条件结合图象可得的取值范围. 【详解】当时，，所以， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 且，，， 当时，，当时，， 当时，与一次函数相比，函数增长速度更快， 从而， 当时，，所以， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 且，， 当时，，当时，， 当时，与对数函数相比，一次函数增长速度更快， 从而， 当，且时，， 根据以上信息，可作出函数的大致图象如下： 函数的零点个数与方程的解的个数一致， 方程，可化为， 所以或， 由图象可得没有解， 所以方程的解的个数与方程解的个数相等， 而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等， 由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）判断在上的单调性，并用定义证明： （2）若对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增. 证明：设，则， ∵，， ∴，故 ∴，∴， ∴在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）由函数单调性定义证明即可得出结论； （2）分离参数可得在上恒成立，再由单调性求得最值可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 原不等式等价于， 令，， 由（1）知在上单调递增； 函数在上单调递增； 所以在上单调递增， ∴， 实数k的取值范围为. 16. 某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，将海水稀释后对其进行灌溉．某实验基地为了研究海水浓度对亩产量的影响，通过在试验田的种植实验，测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表． 海水浓度 3 4 5 6 7 亩产量 0.57 0.53 0.44 0.36 0.30 残差 0.02 0 绘制散点图发现，可以用一元线性回归模型拟合与的相关关系，用最小二乘法计算得关于的经验回归方程为． （1）求，，的值； （2）请计算该回归模型的决定系数（精确到0.01），并评价其拟合效果．（若，就认为拟合效果好；若，就认为拟合效果一般；若，就认为拟合效果差） 附：决定系数，其中． 【答案】（1），， （2）0.99，该模型拟合效果良好 【解析】 【分析】（1）先求出，再代入求得，得回归方程，利用回归方程求得； （2）根据公式计算出后比较可得. 【小问1详解】 ， ， 将 代入可得，即． 所以经验回归方程为 因，则 又因，则 【小问2详解】 所以决定系数，故该模型拟合效果良好. 17. 已知函数（），. （1）求的单调区间； （2）若恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）在单调递增，在单调递减 （2） 【解析】 【分析】（1）先确定的定义域为，对求导，根据导数的符号判断单调区间； （2）将不等式变形为在时恒成立，构造新函数，问题转化为求的最小值，对求导，分析导数的零点，判断的单调性，进而求得的最小值. 【小问1详解】 的定义域为，， 令得， 令得， 令得， ∴在单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 若恒成立，即恒式立， 即， 即恒成立， 构造函数，，则， 令得，令得， ∴在单调递增，在单调递减， ∴ 可知恒成立，当且仅当时等号成立， 令，，则恒成立， ∴在单调递增， ∵，， ∴使得成立， ∴， ∴， 所以. 18. 有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含有该酶的概率均为，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组，每组人．在每一组中，取每人的血液混合成一个样本进行检测． 若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测． 若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样，利用现有采集过的血样）． （1）若，，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率； （2）用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值； （3）设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若，每组人数，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求的取值范围．（参考数据：） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设小组中有酶的人数为X，依题意，可知，分别求出与，利用条件概率公式即可求出恰有2人有酶的概率； （2）设每组检测次数，则易得，求出其分布列和数学期望，进而可求得总检测次数的期望； （3）利用（2）中若分组检测，由检测次数的期望求得总成本期望，若逐一检测，则总成本为，依题意，代值计算即得的取值范围. 【小问1详解】 设小组中有酶的人数为X，则． 已知混合样本阳性，即，则恰有2人有酶的概率为 ． 【小问2详解】 设每组检测次数，则的分布列为 1 p 期望为 则总检测次数的期望； 【小问3详解】 若分组检测，检测次数的期望为． 总成本期望为， 若逐一检测，则总成本为．由节省50%以上得． 代入，，，得， 整理得，因此，，故的取值范围是． 19. 圆给人以“半径越小越弯曲”“同一个圆在各处的弯曲程度都相同”的直观印象，我们通常用“曲率”来刻画曲线在某处的弯曲程度．设函数的定义域为，其导数为的导数为，将称为曲线在处的曲率，曲率越大弯曲程度越大． （1）求在处的曲率； （2）用半圆的曲率，说明圆“半径越小越弯曲”的原理； （3）设，若存在，使在处的曲率为0，求证：． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求得和，结合曲率的定义，即可求解； （2）根据题意，求得和，结合曲率的计算公式，求得，即可得到结论； （3）求得和，根据，得到，，令，得到和，转化为证明（注意），构造函数，利用导数求得函数的单调性，结合，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数，可得，则， 所以． 【小问2详解】 解：由半圆，可得，则， 所以曲率， 即曲率是半径的倒数，由反比例函数的性质知，圆的半径越小曲率越大． 【小问3详解】 解：由函数， 可得，则， 由已知得，所以， 所以，， 两式相除，令， 则，，， 所以，同理可得：， 由， 所以即证，只需证（注意）， 设， 可得， 所以在递增，所以，所以成立， 所以成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥八中2025-2026学年第二学期高二年级期末检测 数学试题卷 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟. 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（　　） A. 56 B. C. 70 D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学模型，可用（，k为正常数）描述，其中C为喷施农药t天后，果蔬表面的农药残留量（单位：mg/kg），某品种有机磷农药的降解速率常数，现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为8mg/kg，国家食品安全标准规定该农药的残留限值为1mg/kg，则该蔬菜的最短安全采收间隔期为（ ） A. 3天 B. 6天 C. 9天 D. 12天 6. 为庆祝端午节，某班级组织了一台晚会，有3个唱歌节目、2个小品节目和1个戏曲节目，要求3个唱歌节目互不相邻，则这台晚会节目的不同安排方法种数为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 6078 D. -6078 8. 已知函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 随机变量X 服从二项分布，，则 B. 相关系数r的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C. 在线性回归分析中，若值越小则模型的拟合效果越好 D. 随机变量X服从正态分布 ，且，则 10. 已知，则下列说法正确的有（ ）． A. 函数有唯一零点 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数有极大值 D. 若关于x的方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是 11. 已知一个袋子中放有个不同的红球和个不同的黄球，现从中逐个摸取个小球．方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为．下列说法中，正确的有（ ） A. B. C. ，其中 D. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量服从标准正态分布，若，则______． 13. 从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，在至少有一个为奇数的条件下，这两个数为一奇一偶的概率为______． 14. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）判断在上的单调性，并用定义证明： （2）若对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 16. 某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，将海水稀释后对其进行灌溉．某实验基地为了研究海水浓度对亩产量的影响，通过在试验田的种植实验，测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表． 海水浓度 3 4 5 6 7 亩产量 0.57 0.53 0.44 0.36 0.30 残差 0.02 0 绘制散点图发现，可以用一元线性回归模型拟合与的相关关系，用最小二乘法计算得关于的经验回归方程为． （1）求，，的值； （2）请计算该回归模型的决定系数（精确到0.01），并评价其拟合效果．（若，就认为拟合效果好；若，就认为拟合效果一般；若，就认为拟合效果差） 附：决定系数，其中． 17. 已知函数（），. （1）求的单调区间； （2）若恒成立，求实数a的取值范围. 18. 有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含有该酶的概率均为，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组，每组人．在每一组中，取每人的血液混合成一个样本进行检测． 若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测． 若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样，利用现有采集过的血样）． （1）若，，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率； （2）用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值； （3）设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若，每组人数，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求的取值范围．（参考数据：） 19. 圆给人以“半径越小越弯曲”“同一个圆在各处的弯曲程度都相同”的直观印象，我们通常用“曲率”来刻画曲线在某处的弯曲程度．设函数的定义域为，其导数为的导数为，将称为曲线在处的曲率，曲率越大弯曲程度越大． （1）求在处的曲率； （2）用半圆的曲率，说明圆“半径越小越弯曲”的原理； （3）设，若存在，使在处的曲率为0，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $