宁夏回族自治区银川一中2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 银川一中高二期末数学试卷通过函数导数综合、统计概率应用等情境，考查数学眼光、思维与语言，注重逻辑推理与实际应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、三角函数、函数图像|基础概念辨析，如充要条件判断（逻辑推理）| |多选题|3/18|不等式性质、函数奇偶性|多选项辨析，考查思维严谨性| |填空题|3/15|三角函数定义、导数应用|核心公式与方法简洁考查| |解答题|5/77|导数综合、统计概率（残差分析）|实际应用（广告销售模型）与逻辑推理（导数证明不等式），贴合高考趋势|

高二期末数学考试答案 一、单选题 1.C 2. A 3. C 4. A 5. B 6. C 7. B 8. A 二．多选题 9.ABD 10. ACD 11.BC 3． 填空题 12. , 13.1 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 【解析】（1）由题意得的定义域为，...........................................1分 又，...........................................2分 因为．所以，解得．所以实数的值为1...................5分 （2）因为，，...................7分 则，......................................9分 令，得，......................11分 与在区间上的情况如下： 0    0 + 递减 极小值 递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为．.....................13分 16. （15分） 【详解】（1），....................1分 ，.....................2分 因为，即，解得......................4分 （2）5组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值，所以可能取值为， ，，，.....................7分 所以X的分布列为 0 1 2 期望......................11分 （3），.12分 ，.....................14分 所以经验回归方程的拟合效果是不良好......................15分 17. （15分） （1）因为，所以， 则，...................2分 因为是函数的极值点， 所以，解得，...................4分 当时，，， 当时，，则，，故， 所以函数在上单调递增； 当时，，则，，故， 所以函数在上单调递减； 综上，是函数的极值点，符合题意，故....................6分 （2）由（1）得，所以， 由（1）可知，是函数的最小值点， 所以对任意的，，...................8分 要证，即证，...................10分 即证，只需证，...............11分 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，...................13分 所以， 综上，在上恒成立....................15分 18. （17分） 【详解】（1）设“甲校友所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球相关知识的题目”，“所选的题目为足球相关知识的题目”， “所选的题目为排球相关知识的题目”，则，且两两互斥． 根据题意得，，，...................2分 ，则..................3分 ，所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为．...................4分 （2）的可能取值为，..................5分 ，...................6分 ，................7分 ，...................8分 ，...................9分 则的分布列为： -3 1 5 9 所以．..................10分 （3）当时，为甲校友答对题目的数量， 由题意可知，其中，...................12分 故当时，甲校友获得奖励的概率，...................13分 当时，甲校友获得奖励的情况可以分为如下情况： ①前8题答对题目的数量大于等于5， ②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题， ③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对， 故当时，甲校友获得奖励的概率，..................15分 所以，因为，所以，即，所以甲校友应选．...............17分 19. （17分） 【详解】（1）若，则， 所以，...................1分 令，可得或，令，可得或，令，可得， 故在单调递减，，单调递增....................2分 所以.在处取得最大值，在处取得最小值，又， 所以在上的最小值为，最大值为；..................4分 （2）（ⅰ）令， 则，..........5分 令，显然在上单调递增， 又，， 所以存在唯一的，满足，即，...................7分 且当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 是在上的极小值，也是最小值，...................8分 又因为，要使在上仅有一个实根，必需， 所以；...................10分 （ⅱ）由（ⅰ）知，， 将代入，得，...................12分 所以， 所以，..................13分 令， 则，..............15分 令，可得，令， 可得，故在单调递减，单调递增. 即在处取得最大值.故的最大值为....................17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川一中2025/2026学年度(下)高二期末考试 数 学 试 卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．“”是“是第一象限角”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，则的最小值为 A．6 B．5 C．4 D．2 4．函数的图象大致为 A． B．  C．   D．   5．若，，，则 A． B． C． D． 6．已知为第二象限角，且，则 A． B． C．2 D．1 7．已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有 成立，若，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 8．已知函数，若，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9．若，则下列命题中错误的是 A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 10．已知为锐角，且，则下列选项中正确的有 A． B． C． D． 11．已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是 A． B．若，则 C．若在区间上是增函数，则在区间上是增函数 D．若，则在区间上的零点之和为0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则 . 13．已知，则 . 14．已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 设函数，曲线在点处的切线斜率为1． (1)求实数的值； (2)设函数，求函数的单调区间． 16．（15分） 某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为. 2 5 6 8 9 16 20 21 m 28 10.96 19.24 22 27.52 30.28 （1）求m的值； （2）现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望； （3）已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好. 17．（15分） 设函数，已知是函数的极值点． （1）求的值； （2）设函数，证明：． 18．（17分） 某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． （1）若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； （3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 19．（17分） 已知函数． （1）若，求在上的最值． （2）若且，关于x的方程在上仅有一个实根． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的最大值． 高二期末数学试卷 第1页(共2页) 学科网（北京）股份有限公司 $