精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市2025-2026学年高二下学期7月期末教学质量检测数学试题

石嘴山市2025-2026学年第二学期高二年级教学质量检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{是小于5的正整数}，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 0 B. C. D. 2 3. 已知等差数列中，，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 已知向量，，那么向量与（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 夹角是锐角 D. 夹角是钝角 5. 已知圆与直线相切，则实数（ ） A. B. 0 C. D. 0或 6. 已知函数，与其相应的函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 7. 将6名教师分配到2所中学任教，每所中学至少分到两人，其中甲乙两人不能在同一所学校，甲丁必须在同一所学校，则不同的分配方案共有（ ） A. 6种 B. 7种 C. 8种 D. 14种 8. 若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最大值为2 B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象关于点对称 D. 将函数的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 10. 已知数列的前项和为，且，，则（ ） A. 是递增数列 B. C. 数列是等差数列 D. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，则（ ） A. B. C. 双曲线的离心率是 D. 内切圆的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程为__________. 13. 已知随机变量，则__________. 14. 在三棱锥中，若，，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知椭圆的两个焦点坐标分别为，，并且经过点． （1）求的标准方程； （2）一组平行直线的斜率是1，当它们与椭圆有两个公共点时，证明：这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上． 18. 为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，某数学兴趣小组从所在学校随机抽取容量为200的样本，整理得到如右表所示的列联表. 数学成绩 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 60 40 100 不优秀 30 70 100 合计 90 110 200 （1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）按分层抽样的方法，从数学成绩优秀的样本中选出5人组成一个小组，再从选出的5人中随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的分布列和数学期望. （3）统计学中常用表示在事件发生条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件发生条件下事件发生有优势、现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据估计的值，并判断事件发生条件下事件发生是否有优势. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 19. 已知函数. （1）当时， （i）求函数的最小值； （ii）求证：对于任意的正整数，都有. （2）当时，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市2025-2026学年第二学期高二年级教学质量检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{是小于5的正整数}，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，，所以. 2. 已知，则（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由得， 所以. 3. 已知等差数列中，，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】法一：（等差中项法） 由等差中项可得，所以. 法二：（通项公式法） 由解得，所以. 4. 已知向量，，那么向量与（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 夹角是锐角 D. 夹角是钝角 【答案】C 【解析】 【详解】因为，且， 根据数量积定义， 所以. 又因为，所以. 5. 已知圆与直线相切，则实数（ ） A. B. 0 C. D. 0或 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，列方程求解实数. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径. 因为直线与圆C相切，所以圆心到直线l的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离为， 令，即，解得或. 6. 已知函数，与其相应的函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图象读出其周期性及特定点的函数值，利用变量代换将求的值转化为求图象上对应点的纵坐标求解. 【详解】设，由题中图象可知，函数的图象是以为周期的周期函数，即. 且，，. 对于选项 A，令 ，解得 ，则 . 由图象可知，所以，故选项A错误. 对于选项 B，令，解得，则. 由图象可知，所以，故选项B错误. 对于选项 C，令，解得，则. 因为，根据周期性可知.由图象可知，所以，故选项C正确. 对于选项 D，令，解得，则. 因为，根据周期性可知. 由图象可知，所以，故选项D错误. 7. 将6名教师分配到2所中学任教，每所中学至少分到两人，其中甲乙两人不能在同一所学校，甲丁必须在同一所学校，则不同的分配方案共有（ ） A. 6种 B. 7种 C. 8种 D. 14种 【答案】D 【解析】 【分析】先求出甲丁在同一所学校、甲乙两人不在同一所学校的分配方案，再减去其中不满足每所中学至少分到两人的情况即为最终结果. 【详解】因为甲丁必须在同一所学校，甲丁的任教学校有种选择，乙的学校随甲丁的选择唯一确定（与甲丁不同校）； 剩余3名教师每人可任选两所学校中的一所，共种选择，因此总分配数为种. 又因为每所中学至少分到两人，上述方案中不符合的情形： 乙单独在一所学校，剩余3名教师均与甲丁在另一所学校，此时有种选择. 所以符合要求的分配方案数为种. 8. 若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将零点问题转化为与的交点问题，通过求导分析的单调性、极值与极限，即可确定的取值范围. 【详解】令，问题转化为与有2个交点时的取值范围. ，由于对任意恒成立， 因此当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 故的最小值为. 时，衰减速度远快于多项式增长速度，. 时，，且. 因此时，无交点，无零点， 时，仅1个交点，有1个零点， 时，有两个交点，有2个零点. 时，仅1个交点，有1个零点. 因此的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最大值为2 B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象关于点对称 D. 将函数的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦函数的值域即可判断A选项；由正弦型函数最小正周期公式和对称中心判断B，C选项；根据图象平移变换（左加右减）判断D选项. 【详解】正弦函数的值域为,因此的最大值为1，A选项错误； 的最小正周期，B选项正确； 因为，所以不是的对称中心，C选项错误； 函数的图象向左平移个单位长度, 得到的图象，D选项正确. 10. 已知数列的前项和为，且，，则（ ） A. 是递增数列 B. C. 数列是等差数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据递推关系判断是公差为2的等差数列，再结合等差数列的通项公式、前项和公式逐一分析选项. 【详解】对于选项A，由得数列是首项为，公差的等差数列， 又因为，因此是递增数列，A选项正确； 对于选项B，等差数列通项公式为，B选项错误； 对于选项C，等差数列前项和公式，所以. 因为为常数，所以数列是公差为1的等差数列，C选项正确； 对于选项D，令，解得， 所以. 根据得，代入上式得，D选项正确. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，则（ ） A. B. C. 双曲线的离心率是 D. 内切圆的半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A，通过点到直线距离公式求解并通过双曲线性质求解，B，通过三角函数诱导公式和正弦定理求解和，C，通过余弦定理求出后利用离心率的定义求解离心率，D，通过三角形内切圆半径和三角形面积、周长间的数量关系求解. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 选项A，因为渐近线为，，所以， 又，所以，正确. 选项B，因为，所以， 所以，又，所以. ，，解得，正确. 选项C，因为，所以. 又，所以， 所以离心率为，错误. 选项D，由题意得， 得到周长. 因为内切圆半径，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【详解】对函数求导得，则， 所以函数在处的切线方程为，即. 13. 已知随机变量，则__________. 【答案】##0.875 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式求出，再根据即可求解. 【详解】因为随机变量， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 在三棱锥中，若，，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过确定三角形外接圆圆心位置并利用相似三角形确定球心位置，最后求解外接球表面积. 【详解】 取中点，因为，所以为等边三角形. 因为且，所以为直角三角形，由对称性可作于点. 因为，，故为二面角，. ，. 因为外接圆圆心位于，外接圆圆心位于， 且，所以球心满足平面且平面， 故，解得，所以球半径， 因此表面积. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即可. （2）由（1）的结论结合已知，利用正弦定理求解即得. 【小问1详解】 在中，由及余弦定理，得， 而，所以. 【小问2详解】 由，且，则， 由正弦定理得：，即， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为，分别是，的中点，所以， 又因面，面，所以面. （2） 【解析】 【分析】（1）运用线面平行的判定定理即得； （2）建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量的坐标与平面的法向量从而进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作垂直直线于点，由题目可得为的中点，面， 则以为轴的正方向，以为轴的正方向， 过点作平行于且以为轴的正方向， 则由题可得， 故， 设面的法向量为，则， 即，令， 则解得， 设直线与平面所成角为， 则. 17. 已知椭圆的两个焦点坐标分别为，，并且经过点． （1）求的标准方程； （2）一组平行直线的斜率是1，当它们与椭圆有两个公共点时，证明：这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上． 【答案】（1） （2）证明：设直线为，直线与椭圆交点为，中点坐标为； 联立方程可得； 因为直线与椭圆有两个公共点，故， 解得，即； 则，则； 可得中点坐标， 故，则，； 故中点在直线上． 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标可得c的值，代入点的坐标，利用椭圆a，b，c之间的关系求椭圆的标准方程； （2）设直线方程，联立方程利用韦达定理求出中点坐标，证明这些点在同一条直线上． 【小问1详解】 因为椭圆的两个焦点坐标分别为，，故； 设椭圆方程为，椭圆经过点， 则，且， 代入解得，； 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 略 18. 为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，某数学兴趣小组从所在学校随机抽取容量为200的样本，整理得到如右表所示的列联表. 数学成绩 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 60 40 100 不优秀 30 70 100 合计 90 110 200 （1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）按分层抽样的方法，从数学成绩优秀的样本中选出5人组成一个小组，再从选出的5人中随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的分布列和数学期望. （3）统计学中常用表示在事件发生条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件发生条件下事件发生有优势、现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据估计的值，并判断事件发生条件下事件发生是否有优势. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）能认为数学成绩与语文成绩有关联； （2）的分布列为： 1 2 3 数学期望； （3）的估计值为（或1.75），事件发生条件下事件发生有优势. 【解析】 【分析】（1）利用公式求的值，比较所给数据可得结论. （2）根据超几何分布求分布列和期望. （3）用频率估计概率，估算的值，再进行判断即可. 【小问1详解】 因为， 且， 所以根据的独立性检验，能认为数学成绩与语文成绩有关联. 【小问2详解】 从数学成绩优秀的100人选出的5人小组中，语文成绩优秀的有人，语文成绩不优秀的有人. 从这5个人中选3人，语文成绩优秀的人数所有可能的取值为1,2,3. 且，，. 所以的分布列为： 1 2 3 所以. 【小问3详解】 用样本频率估计概率，可得，. 所以. 因为， 所以事件发生条件下事件发生有优势. 19. 已知函数. （1）当时， （i）求函数的最小值； （ii）求证：对于任意的正整数，都有. （2）当时，，求的取值范围. 【答案】（1）（i）0； （ii）由（i）可知：，， 可得，，当且仅当时，等号成立， 令，，可得，即， 则， 即. （2） 【解析】 【分析】（1）（i）求导，利用导数分析的单调性和最值；（ii）由（i）可得，，令，，可得，利用累加法分析证明； （2）令，，求导，根据端点效应可得，，并代入检验即可. 【小问1详解】 （i）若，则，， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以的最小值为； （ii）略 【小问2详解】 令，， 则， 原题意等价于对任意恒成立，且， 则，解得， 若，则， 且，则，可得， 令，，则， 令，可知在内单调递增，则， 即，可知在内单调递增，则， 可得，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $