宁夏回族自治区银川一中2025-2026学年第二学期高二年级期末考试复习卷（四）数学试卷

**基本信息** 高二年级期末数学复习卷以真实情境为载体，涵盖函数、概率、统计等核心知识，通过AI机器人射门、民宿调价等问题设计，梯度化考察数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，适配期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、函数性质、排列组合|基础概念与符号运算结合，如第7题通信概率考察条件概率应用| |多选题|3/18|统计推断、三角形性质、导数应用|选项分层设计，如第9题辨析相关系数与残差图，强化数据分析| |填空题|3/15|二项式定理、函数单调性、三角恒等变换|聚焦关键能力，如第13题通过导数研究单调性，考察逻辑推理| |解答题|5/77|线性回归、利润优化、导数综合、概率期望|现实情境驱动，如15题机器人销量回归分析、19题AI射门游戏期望计算，突出数学建模与数据分析素养|

2025-2026学年第二学期高二年级期末考试复习卷（四） 数 学 试 卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知函数满足，则（    ） A．1 B．2 C．9 D．3 3．已知随机变量，满足，，若，则满足条件的数对可以是（     ） A． B． C． D． 4．已知命题；命题在区间内恰有一个零点，则p是q的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加高三毕业文艺汇演，若甲不站在两端，且甲和乙不相邻，则不同的排列方式共有（     ） A．24种 B．36种 C．48种 D．96种 6．已知函数．若在上有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的.已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列结论正确的是（    ） A．两个变量线性相关程度越强，则相关系数的绝对值就越接近1 B．残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 C．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，作零假设：喜欢参加体育活动与性别无关 D．在列联表中，若每个数据，，，均变成原来的2倍，则不变（，其中） 10．在中，，，的面积为，则（    ） A．外接圆的面积为 B． C．是等边三角形 D．的周长是 11．已知的导函数为，且，，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为________．（结果用数字作答） 13．函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____. 14．已知，，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题13分) 某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码x 1 2 3 4 5 月销量y（单位：千台） 8 10 13 20 24 (1)求出y与x的相关系数r（保留三位小数），并根据r判断该款迎宾机器人月销量y与月份代码x是否有较强的相关关系；（当时，相关性较强，当时，相关性一般） (2)求出y关于x的经验回归方程，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量； 参考公式：相关系数，． 参考数据：，， ， 16．(本小题15分) 为拉动假期经济，某集团在“五一”劳动节期间对旗下高档海景民宿进行调价，已知该民宿的每日入住量（单位：间）与价格（单位：千元/间）满足，其中，该民宿的综合成本为千元/间． (1)将该民宿每日所获利润表示为价格的函数； (2)当每日所获利润最大和最小时，价格分别是多少？ （参考数据：，，） 17．(本小题15分) 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及函数单调递增区间； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围； (3)将函数的图象向右平移，再向上平移（），得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围． 18．(本小题17分) 已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性； (3)若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围． 19．(本小题17分) 某款AI(人工智能)机器人进行射门游戏，射中得1分，未射中得分，当累计得分X达到2分或分时游戏结束，否则游戏将一直进行下去，当时获胜，当时落败．已知该款AI机器人射门的命中率为a()，每次射门相互独立． (1)求机器人恰好射门4次后获胜的概率； (2)表示“机器人射门n次，游戏仍未结束”． ①若，求和 ； ②若，求游戏结束时X的数学期望 试卷第4页，共4页 高二期末复习数学试卷 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年第二学期高二年级期末考试复习卷（四） 数学试卷答案及评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A B B B D B D AC ABD ACD 1．C 解：因为，得，又， 所以；因为得，所以， 则.故选项C正确. 2．A 解：根据导数的定义得到. 3．B 解：由题意可知，随机变量，则其均值，标准差；随机变量，则其均值，标准差， 对随机变量进行标准化变换，可得，，其中为标准正态分布，因此，， 根据标准正态分布的对称性，有，故， 由题设，且均服从标准正态分布，可得，整理得，代入选项验证： A，，不符合，故A错误；B，，符合，故B正确； C，，不符合，故C错误；D，，不符合，故D错误. 4．B 解：令，得，即． 要求在内恰有一个零点，故且，解得． 命题是范围的真子集，故是的充分不必要条件． 5．B 解：甲不站在两端，则甲有种站法，甲和乙不相邻，则乙有种站法， 则不同的排列方式有种. 6．D 解：，即，整理得. 不等式在上有解，等价于，其中. . 当时，，单调递减.当时，，单调递增. 因此在处取得最小值，最小值为. 由，所以的取值范围是. 7．B 解：由题意得，，，，， ，． 8．D 解：由得是周期为的周期函数， 因为函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以在区间上单调递增， 对于：，由周期性得，其中， 对于：由周期性得，由奇偶性得，故，， 对于：，， 因为，，所以，又在区间上单调递增，所以，即. 9．AC 解：A，两个变量线性相关程度越强，则相关系数的绝对值就越接近成立，所以A正确； B，残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，所以B错误；C，独立性检验的零假设通常设定为“两个变量无关”，该假设成立，所以C正确； D，代入得，所以发生了改变，所以D错误. 10．ABD 解：由三角形面积公式：，代入得：，解得， 由余弦定理，代入得：， 结合得，因此，得， A：由正弦定理（为外接圆半径）， 代入得：，得，外接圆面积，A正确， B：由正弦定理，， 得，代入， ，B正确， C：若为等边三角形，则边长为3，面积为，矛盾，C错误， D：周长为，D正确. 11．ACD 解：A，由，可得， 即(为常数)，设，则， 由于，所以，则， 解得：，所以，所以， 则，所以，故A正确； B，，即，故B错误； C，令，所以，即在上单调递增，故C正确； D，令，所以， 令，解得：，所以在上单调递增， 令，解得：，所以在上单调递减， 则，即，所以成立，故D正确. 12． 解：设二项展开式通项为，则， 所以的系数为. 13． 解：因为在单调递增，所以在恒成立， 所以在恒成立，令，则， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，即实数的取值范围是. 14． 解：由，可得. 又， 从而， 则. 15． 解：（1），，， 2分 则 4分 故y与x有较强的相关关系； 5分 （2）， 7分 又，， 8分 所以， 10分 故经验回归方程为， 11分 2026年7月对应的x值为10，当时，， 13分 故可估计2026年7月该款迎宾机器人的月销量为万台 13分 16． 解：（1）由题意：. 3分 （2）因为， 4分 设， 5分 则， 6分 因为，所以，所以函数在上单调递增. 7分 又， 8分 ，又， 9分 当时，，所以，所以在上单调递减； 10分 当时，，所以，所以在上单调递增. 11分 又，， 13分 . 14分 所以当销售单价（千元）时，利润最大；当销售单价（千元）时，利润最小． 15分 17． 解：（1）由图象可得，，所以， 1分 所以，又， 2分 所以，又，所以，故. 3分 令，解得，所以函数的单调递增区间为. 5分 （2）由题意得，则， 因为为锐角三角形，所以，则，则，得， 6分 则， 7分 由，得，则， 8分 则，故的取值范围为. 9分 （3）由题意可得， 10分 因为对于任意的，都有成立， 11分 即当时，恒成立， 12分 由可得，此时， 13分 由可得，此时， 14分 所以，解得，故实数m的取值范围为. 15分 18． 解：（1）当时，，所以，， 所以， 1分 所以所求切线方程为，即． 2分 （2）函数定义域为，， 令，所以或， 3分 当，即时，若，， 若，， 4分 所以在单调递减，在单调递增， 5分 若当，即时，恒成立，所以在单调递增， 当，即，若，， 6分 若，， 所以在单调递减，在单调递增， 7分 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增． 8分 （3）当时，，令，得，不符合题意， 当时，，若，，所以函数在单调递增， 9分 若函数在区间上有且只有一个零点， 则，成立. 10分 若时，，， 11分 由（2）可知， 若，则函数在单调递增，又，，不符合题意， 若，则函数在上单调递增，又，，不符合题意， 12分 若，则， 当，即时，，所以在单调递增，且，无零点； 13分 当，即时，此时在上单调递减、在上单调递增， 14分 而最小值 15分 ，无零点； 16分 当，即时，，所以在上单调递减，且，无零点， 综上所述，，所以的取值范围为． 17分 19． 解：（1）若机器人恰好射门4次获胜，则前两次仅射中一次，后两次都射中， 1分 故． 2分 （2）①由题意得，， 3分 所以. 4分 若第次游戏未结束，则累计得分必为0（偶数次射门的累计得分只能是偶数，且不能为）， 可得，，， 5分 所以． 7分 ②由题意知，，， 9分 所以，解得（舍去）． 11分 由题意知，的所有可能取值为2，，所以当游戏结束时，， 12分 又考虑前两次射门，若两次都射中或都未射中，则游戏结束， 13分 若1次命中，1次未命中，相当于重新开始， 14分 所以，解得， 16分 所以．所以． 17分 答案第2页，共12页 高二期末复习数学试卷答案 第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $