第五章 三角函数（单元自测，全国通用人教A版）数学初升高衔接

**基本信息** 初升高衔接三角函数单元卷，通过基础题与文化、生活情境综合题，覆盖三角函数定义、图像性质及应用，适配数学眼光、思维、语言核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|定义域、单调性、充分必要条件|基础巩固，如判断“α=π/3”与“sinα=√3/2”的条件关系| |多项选择题|3/18|终边问题、函数对称性|能力提升，如判断角终边在直线上时正切值的可能结果| |填空题|3/15|扇形计算、三角恒等变换|基础应用，如已知扇形周长和圆心角求半径| |解答题|5/77|函数解析式、实际建模（舞龙、剪纸、摩天轮）|创新应用，结合文化传承与生活情境，如摩天轮高度函数及最佳视觉效果持续时间计算，体现数学建模与应用意识|

第五章 三角函数（单元自测） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】已知，若，则可得或. 当时，；当时，. 因此由无法推出， 所以“”是“”的不充分条件； 已知，若，则，此时， 因此由可以推出， 所以“”是“”的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， 解得， 所以函数的定义域为． 3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出的图象可知其单调增区间为，    故选：C. 4．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以 5．已知为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 为第二象限角，， 可知，将等式两边同时除以： ， ，. 由同角三角函数基本关系可得， ，. 将代入得： ， C正确. 6．已知函数在区间上单调递减.若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】由题知， 因为，， 即，， 又因为在区间上是减函数， 则，， 两式相减得， 且，所以. 7．若直线是函数图像的对称轴，且在上无最值，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】， 由题意可知是方程的一个解， 即，∴， 当时，， 由题意可知，所以， ∴当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，舍去， 所以或 8．已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为．若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 因为在曲线与直线的交点中，相邻交点的距离为， 所以，所以， ，则或， 画出函数在之间的图象， 观察图象可得方程在内有且只有一个根， 又方程有三个不等的实根，所以方程有两解， 由在的图象可得，． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．若角的终边在直线上，则可能等于（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】在角的终边上取一点，所以； 或角的终边上取一点，所以， 综上可得等于. 故选：AC． 10．已知函数，则该函数的（   ） A．值域为 B．增区间是（） C．图象的对称中心为（） D．图象的对称轴方程为（） 【答案】ABD 【详解】对于选项，因为，所以 ， 则的值域为，故正确； 对于选项，令， 解得为函数的增区间，故正确； 对于选项，令，解得， 所以函数的对称中心为，故错误； 对于选项，令，解得即为函数的对称轴， 故正确. 故选： 11．如图是半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋转到点，设点坐标为，其纵坐标满足，），则下列说法正确的是（    ） A． B．当时，点到轴距离最大为 C．当时，函数单调递减 D．当时，点的坐标为 【答案】ABD 【详解】水车的半径， 函数的最小正周期，所以， 由，解得，且， 所以，故A正确； ， 当时，， 所以当，即时，取得最小值， 故此时点到轴的距离为6，故B正确； 当时，， 所以在上先增后减，故C错误； 当时，， 此时点坐标为，故D正确. 故选：ABD. 第二部分（选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某扇形的周长为30，圆心角为3弧度，则该扇形的半径为________． 【答案】6 【详解】令扇形的半径为，弧长为，则，可得， 所以扇形的半径为. 13．已知，则__________. 【答案】 【详解】由两边平方，得， 而， . 故答案为：. 14．已知函数.若，且，，则___________. 【答案】/ 【详解】由题意可知： ， 时，， 而，，， 可知是函数相邻最近的两个零点，且是函数的对称轴， 若，且，，则， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 且，， 所以， 所以，即， 所以，解得； （2）由（1）得 ， 又因为，所以，，所以， 所以， 由，解得， 所以． 16．（15分）设为实数，已知函数的最小值为． (1)求的值； (2)若，，，均为锐角，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1） ， 因为，所以的最小值为， 故函数的最小值为． 又因为的最小值为， 所以 解得． （2）因为， 所以，从而． 又因为α为锐角， 所以， 故， ． 又α，β均为锐角，所以， 从而． 17．（15分）在中国的传统节目里，舞龙是具有一个代表性的，舞龙表演时龙身上下起伏可以近似看作由函数的图象组成，其中，，．下面是该函数的部分图象． (1)求的解析式，并求其对称中心及单调增区间； (2)令，对，都存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1)，对称中心为，，单调增区间为 (2) 【分析】 【详解】（1）由图像可知，，解得， 又，所以，又，，所以， 所以， 将代入得，即， 所以，，解得，， 又，所以，故. 令，，解得，，所以对称中心为，. 令，，解得，， 单调增区间为． （2）， 又，则，所以. 又，则，所以. 由，得，即， 所以，即，解得. 故的取值范围为． 18．（17分）剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点．现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，C是扇形弧上的动点，D在线段上，A，B均在线段上．    (1)求圆心角的大小（用弧度表示）； (2)设，且，求的长； (3)求矩形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设扇形的圆心角， 由扇形的面积，解得，所以． （2）由（1）知，，则， 由，得， 因此， 所以． （3）设，在中，，， 在中，， 则， 因此矩形的面积 ， 由，得， 则当，即时，矩形的面积取得最大值． 19．（17分）北海园博园是国家级旅游景区，园区以“花海丝路·绿映珠城”为主题，融合北部湾滨海特色与园林园艺文化．园内标志性游乐设施一摩天轮，现结合该摩天轮建立数学模型，假设数据如下：摩天轮转盘直径为50米，配有36个轿厢，转盘中心距地面高度为35米，摩天轮沿逆时针匀速转动，旋转一周需10分钟，一名游客从最低点出发，开始转动t分钟后距离地面的高度为．已知（，，）. (1)求摩天轮在转动一周的过程中，高度关于时间t的函数解析式； (2)若游客在距离地面至少47.5米时获得最佳视觉效果，求摩天轮运行一周内，游客的最佳视觉效果的持续时间； (3)游客甲、乙两人先后坐进座舱，甲先坐进去，并且乙与甲中间恰好间隔5个座舱，从乙进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，求两人距离地面高度差的最大值及此时的时间． 【答案】(1) (2)分钟 (3)或，高度差最大值为25米 【分析】 【详解】（1）由题意：，解得，又，则， 又时在最低点，最低点高度为米，故， 代入得，又，故， 所以， 化简得：； （2）由题意，代入解析式得， 得，解得， 令，，则， 由，得， 代入，解得，则， 故游客的最佳视觉效果的持续时间为分钟； （3）摩天轮共36个轿厢，相邻轿厢夹角为，两人间隔5个座舱， 圆心角， 设游客乙乘坐时间t（）分钟后，乙的高度， 则甲的高度， 他们的高度差为 ， 因为，当或，取得最大值1， 即当或时，高度差最大值为25米. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 三角函数（单元自测） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在区间上单调递减.若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 7．若直线是函数图像的对称轴，且在上无最值，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 8．已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为．若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．若角的终边在直线上，则可能等于（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，则该函数的（   ） A．值域为 B．增区间是（） C．图象的对称中心为（） D．图象的对称轴方程为（） 11．如图是半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋转到点，设点坐标为，其纵坐标满足，），则下列说法正确的是（    ） A． B．当时，点到轴距离最大为 C．当时，函数单调递减 D．当时，点的坐标为 第二部分（选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某扇形的周长为30，圆心角为3弧度，则该扇形的半径为________． 13．已知，则__________. 14．已知函数.若，且，，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 16．（15分）设为实数，已知函数的最小值为． (1)求的值； (2)若，，，均为锐角，求． 17．（15分）在中国的传统节目里，舞龙是具有一个代表性的，舞龙表演时龙身上下起伏可以近似看作由函数的图象组成，其中，，．下面是该函数的部分图象． (1)求的解析式，并求其对称中心及单调增区间； (2)令，对，都存在，使得，求的取值范围． 18．（17分）剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点．现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，C是扇形弧上的动点，D在线段上，A，B均在线段上． (1)求圆心角的大小（用弧度表示）； (2)设，且，求的长； (3)求矩形面积的最大值． 19．（17分）北海园博园是国家级旅游景区，园区以“花海丝路·绿映珠城”为主题，融合北部湾滨海特色与园林园艺文化．园内标志性游乐设施一摩天轮，现结合该摩天轮建立数学模型，假设数据如下：摩天轮转盘直径为50米，配有36个轿厢，转盘中心距地面高度为35米，摩天轮沿逆时针匀速转动，旋转一周需10分钟，一名游客从最低点出发，开始转动t分钟后距离地面的高度为．已知（，，）. (1)求摩天轮在转动一周的过程中，高度关于时间t的函数解析式； (2)若游客在距离地面至少47.5米时获得最佳视觉效果，求摩天轮运行一周内，游客的最佳视觉效果的持续时间； (3)游客甲、乙两人先后坐进座舱，甲先坐进去，并且乙与甲中间恰好间隔5个座舱，从乙进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，求两人距离地面高度差的最大值及此时的时间． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $