第五章 三角函数单元测试卷----2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学三角函数单元复习卷，全面覆盖三角函数定义、图像变换、性质应用等核心知识，通过基础辨析、综合计算及实际情境题（如港口水深问题）构建能力梯度，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/60|三角函数定义、周期、单调性|基础概念辨析，如终边点求三角函数值| |填空题|4/20|诱导公式、最值、图像参数|小综合应用，如已知周期求参数| |解答题|4/70|图像分析、实际应用（港口水深）、零点问题|注重数学建模与逻辑推理，如港口水深函数建模（数学语言表达现实世界）、零点个数推理（数学思维）|

第五章 三角函数单元测试卷+答案解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知角α的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的周期是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的部分图象如图所示，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 8. 下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则的对称轴方程为（ ） A. B. C. D. 11. 若函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知，则______。 14. 函数在上的最小值为______。 15. 若函数的图象过点，且最小正周期为，则，若，则。 16. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是______。 三、解答题（共4小题，共70分） 17. （15分）化简求值：。 18. （20分）已知函数的部分图象如图所示，图象过点，且相邻两条对称轴之间的距离为。 （1）求的值； （2）求函数的单调递增区间； （3）求函数在上的最大值和最小值。 19. （15分）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数。 （1）根据图象求函数的解析式； （2）若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与海底的距离），则该船何时能进入港口？ 20. （20分）已知函数。 （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）若在上至少有30个零点，求的最小值。 答案解析 一、选择题 1. 答案：C 解析：首先明确正弦函数的定义： 设角终边上一点，点到原点的距离为，则。 对于角终边过点：这里，。 先求点到原点的距离，根据，可得。再求的值： 由，把，代入可得。 所以的值为，答案选C。 2. 答案：A · 解析：对于函数，其周期。在函数中，，所以。 3. 答案：C · 解析：因为，且，，所以，又，所以的值为或。 4. 答案：A · 解析：根据正弦函数的性质，的单调递增区间是。 5. 答案：C · 解析：将函数的图象向右平移个单位长度，根据“左加右减”原则，得到的图象。再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，即变为原来的，得到。 6. 答案：B · 解析：因为，，根据，可得。那么。 7. 答案：D · 解析：由图象可知（为函数的振幅，即图象最高点到轴的距离）。因为周期满足，所以，又，则。当时，，即，，可得，又，所以。 8. 答案：A · 解析：根据诱导公式，，A 正确；，B 错误；，C 错误；，D 错误。 9. 答案：B · 解析：因为，而，所以，那么，即函数的值域是。 10. 答案：A · 解析：对于函数，其对称轴方程为。对于函数，令，解得，即的对称轴方程为。 11. 答案：C · 解析：函数的单调递减区间满足。解得；解得。令，则。要使函数在上单调递减，则，解得；解得，所以的取值范围是。 12. 答案：B · 解析：根据二倍角公式，，则。对于函数，周期，这里，所以。 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 答案： · 解析：根据诱导公式，再根据二倍角公式，已知，则，所以。 14. 答案： · 解析：因为，则。当时，取得最小值，所以的最小值为。 15. 答案：； · 解析：因为函数最小正周期，所以。又函数图象过点，，则，即，因为，所以。 16. 答案： · 解析：函数的单调递减区间满足。解得；解得。令，则。要使函数在上单调递减，则，解得；解得。又因为，，即，得。综合可得的取值范围是。 三、解答题（共 4 小题，共 70 分） 17. 化简求值： 1. 利用诱导公式化简分子分母： · 对于分子： · 根据诱导公式，，，则分子变为。 · 对于分母： · 由诱导公式，，，分母变为。 2. 计算化简后的式子： · 原式。 18. 已知函数的部分图象如图所示，图象过点，且相邻两条对称轴之间的距离为。 1. 求的值： · 求的值： · 观察图象可知，函数的最大值与最小值之差的一半为。由于图象过点，假设图象上最高点纵坐标为，最低点纵坐标为，因为，且为相邻最值的距离，根据正弦函数性质，可知就是函数的振幅。 · 通常可通过已知点和图象整体特征，设在内先增后减（这是正弦函数常见形态），那么就是最高点到轴距离，从图象可看出。 · 求的值： · 因为相邻两条对称轴之间的距离为，而正弦函数相邻对称轴间距离是周期的一半，即，所以周期。 · 根据周期公式（），可得。 · 求的值： · 已知函数过点，将，代入函数得，即。 · 又因为，所以。 2. 求函数的单调递增区间： · 对于函数，其单调递增区间是。 · 对于，令。 · 先解不等式： · 移项可得，两边同时除以，解得。 · 再解不等式： · 移项得，两边同时除以，解得。 · 所以的单调递增区间是。 3. 求函数在上的最大值和最小值： · 已知，，则。 · 当，即时，取得最大值，此时。 · 当，即时，取得最小值，此时。 19. 如图，某港口一天时到时的水深变化曲线近似满足函数。 1. 根据图象求函数的解析式： · 求和的值： · 由图象可知，最大值，最小值。 · 根据，可得。 · 根据，可得。 · 求的值： · 从时到时刚好是半个周期，所以周期。 · 由周期公式，可得。 · 求的值： · 已知函数，当时，，代入可得。 · 化简得，即，。 · 根据诱导公式，则，又，所以。 · 函数解析式为。 2. 若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为米，安全条例规定至少要有米的安全间隙（船底与海底的距离），则该船何时能进入港口？ · 船能进入港口需满足，即。 · 移项得，两边同时除以，不等号变向，得。 · 设，则。 · 由余弦函数图象，时，，。 · 把代回，得。 · 两边同时乘以，解得。 · 因为，当时，通过计算器求得，。 · 所以，即该船在时分至时分能进入港口。 20. 已知函数。 1. 求的最小正周期： · 利用二倍角公式，对进行化简： · 。 · 进一步整理得。 · 再根据辅助角公式（其中），这里，，，，又，所以。 · 则。 · 由周期公式（），可得。 2. 求在区间上的最大值和最小值： · 已知，，则。 · 当，即时，取得最大值，此时。 · 当，即时，取得最小值，此时。 3. 若在上至少有个零点，求的最小值： · 令，则。 · 所以或，。 · 解得或，。 · 即的零点相离间隔依次为和。 · 把相邻两个零点看作一组，每组间隔为。 · 若有个零点，那么有组零点。 · 此时的最小值为。 学科网（北京）股份有限公司 $