第13章《三角形》单元测试卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 《三角形》单元测试卷，覆盖角度计算、三边关系等核心知识点，通过基础巩固、能力提升、创新应用梯度设计，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|角度计算、三边关系、等腰三角形|结合图形辨析，如第2题角的大小比较，夯实基础| |填空题|6/24|实际应用（手推车）、轴对称、垂直平分线|联系生活情境，如第11题手推车角度计算，体现应用意识| |解答题|9/86|作图（高、中线）、证明、综合计算|分层设计，如第25题三问递进，培养推理能力与创新意识|

《三角形》 单元测试卷 满分：150分；时长：120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） 1．如图，，交于点E，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．下图中能体现∠1一定大于∠2的是（　　） A． B． C． D． 3．若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的值可能是（　　） A． B． C． D． 4．下列线段长能构成三角形的是（  ） A．2，5，6 B．3，8，4 C．5，6，11 D．3，2，1 5．如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么，间的距离不可能是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．如图，，，分别是△ABC的高，角平分线，中线，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知点，，点在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数为（   ） A．2个 B．4个 C．7个 D．确定不下来 8．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，把一张三角形纸片的三个顶角向内折叠（3个顶点不重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（    ） A．或 B． C． D．或 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分。） 11．如图，是一款手推车的平面示意图，其中，，，则______度． 12．如图，在中，平分，平分外角，若，则的度数为__________°．    13．如图，中，点D在边上，点E在边上，连结，四边形是以所在直线为对称轴的轴对称图形，，，则的度数为______． 14．如图，的垂直平分线交于点，连接、，点、分别在线段、上，连接，，若，则的长为______． 15．为锐角，AB=16，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为8，BC=x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是____． 16．如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本题6分）如图，P是△ABC 内一点，请用量角器量出∠ABP，∠ACP，∠A和∠BPC的大小，再计算一下，写出∠ABP+∠ACP+∠A这三个角的和与∠BPC有什么关系？你能用学到的知识来解释其中的道理吗？你能判断∠BPC和∠A的大小吗？ 18．（本题6分）已知a、b、c是三角形的三边长，化简：． 19．（本题8分）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A、点B和点C在小正方形的顶点上． (1)作出中边上的高； (2)作出中边上的中线； (3)在（2）的条件下，的面积为___________． 20．（本题8分）下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关问题． (1)画出△ABC的中线AD和高CE； (2)①画出将△ABC先向右平移5个单位，再向上平移3个单位后的； ②连接、，则这两条线段的关系是______． 21．（本题8分）在中，，，平分交于点D． (1)求的度数； (2)如图①，若于点F，交于点E．求的度数； (3)如图②，若平分交于点E，交于点F，求的度数． 22．（本题10分）如图，在中，是上一点，是上一点，，相交于点，，求的度数． 23．（本题12分）（1）完成下面的证明． 已知：如图1，直线被直线所截，． 求证：． 证明：， ________（________）． ， ________（________）． ． （2）如图2，在中，是边上的高，平分，若，，求的度数． 24．（本题14分） 如图，在中，，，平分，过点作，垂足为点，交于点，求的度数． 25．（本题14分）已知，E是平面内一点，连接、． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，当点E在上方时，猜想与、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分，连接，若，且，，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《三角形》 单元测试卷 满分：150分；时长：120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） 1．如图，，交于点E，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，即可解答． 【详解】解：∵， ，， ∴， ∴． 故选C． 2．下图中能体现∠1一定大于∠2的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对顶角的性质可判断A，由平行线的性质可判断B，由三角形的外角的性质可判断C，由直角三角形中同角的余角相等可判断D，从而可得答案. 【详解】解：A、∠1和∠2是对顶角，∠1＝∠2．故此选项不符合题意； B、如图， 若两线平行，则∠3＝∠2，则 若两线不平行，则大小关系不确定，所以∠1不一定大于∠2．故此选项不符合题意； C、∠1是三角形的外角，所以∠1＞∠2，故此选项符合题意； D、根据同角的余角相等，可得∠1＝∠2，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是对顶角的性质，平行线的性质，直角三角形中两锐角互余，三角形的外角的性质，同角的余角相等，掌握几何基本图形，基本图形的性质是解本题的关键. 3．若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边m的取值范围求解． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：，即， 故选B 【点睛】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题． 4．下列线段长能构成三角形的是（  ） A．2，5，6 B．3，8，4 C．5，6，11 D．3，2，1 【答案】A 【分析】该题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边． 【详解】解：A：，满足三边关系，能构成三角形； B：，不满足三边关系，不能构成三角形； C：，不满足三边关系，不能构成三角形； D：，不满足三边关系，不能构成三角形． ∴只有选项A能构成三角形． 故选：A． 5．如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么，间的距离不可能是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：依题意，，即 ∴，间的距离不可能是米 故选：B． 6．如图，，，分别是△ABC的高，角平分线，中线，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，掌握定义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线，高的定义进而判断即可． 【详解】解：，，分别是△ABC的高，角平分线，中线， ∴，，，， ∴， 由与不一定相等， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 7．在平面直角坐标系中，已知点，，点在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数为（   ） A．2个 B．4个 C．7个 D．确定不下来 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分别以为腰的三角形，以为腰的三角形和以为腰的三角形分别进行分析即可，正确理解等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可知：以为腰的三角形有个，轴正半轴上的点不能成立，因为此时三点共线，不能构成三角形； 以为腰的三角形有个； 以为腰的三角形有个． 则点的个数是． 故选：C． 8．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义得出，，，，根据三角形的内角和定理得出，，根据三角形外角性质得出，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴，即，故②正确； ③∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定难度． 9．如图，把一张三角形纸片的三个顶角向内折叠（3个顶点不重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角性质，折叠性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据折叠得，运用三角形的外角性质得，故，，又因为，故． 【详解】解：连接，如图所示： ∵折叠 ∴ 依题意，， ∵， ∴， 同理得， 同理得， ∵， ∴． 10．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】分别从是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图(1)，当是锐角三角形时， ，， ， ， ； 如图(2)，当是钝角三角形时， ，， ， ， ，； 综上所述，它的顶角度数为：或， 故选：A． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分。） 11．如图，是一款手推车的平面示意图，其中，，，则______度． 【答案】65 【分析】延长交于点M，由求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】延长交于点M， ∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为：65． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 12．如图，在中，平分，平分外角，若，则的度数为__________°．    【答案】70 【分析】根据角平分线的定义和三角形的外角性质可推出，进而求解． 【详解】解：∵平分，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：70． 【点睛】本题考查了角平分线的定义和三角形的外角性质，属于常考题型，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键． 13．如图，中，点D在边上，点E在边上，连结，四边形是以所在直线为对称轴的轴对称图形，，，则的度数为______． 【答案】/40度 【分析】本题考查了轴对称的性质．直接利用轴对称图形的性质得出，，进而结合已知得出答案． 【详解】解：∵四边形是以为对称轴的轴对称图形， ∴，， ∵，， ∴， ， 则的度数为：． 故答案为：． 14．如图，的垂直平分线交于点，连接、，点、分别在线段、上，连接，，若，则的长为______． 【答案】18 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据等角对等边求出，进而求出，然后根据线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， ∵垂直平分， ∴， 故答案为：18． 15．为锐角，AB=16，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为8，BC=x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是____． 【答案】x=8或x≥16 【分析】当x=8或x≥16时，三角形是唯一确定的． 【详解】解：∵点B到射线AM的距离为8，AB=16， ∴当BC⊥AM时，有BC=8， 此时△ABC是直角三角形， 当BC≥AB时， ∴△ABC是钝角三角形，且只有∠ABC是钝角， 当8＜BC＜16时，△ABC可能是钝角三角形也可能是锐角三角形， 综上：△ABC的形状、大小是唯一确定的， 则有∠ACB=90°或BC≥AB， 则x的取值范围是x=8或x≥16， 故答案为：x=8或x≥16． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 16．如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，为边上的高，， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本题6分）如图，P是△ABC 内一点，请用量角器量出∠ABP，∠ACP，∠A和∠BPC的大小，再计算一下，写出∠ABP+∠ACP+∠A这三个角的和与∠BPC有什么关系？你能用学到的知识来解释其中的道理吗？你能判断∠BPC和∠A的大小吗？ 【答案】∠ABP+∠ACP+∠A=∠BPC，理由见解析；∠BPC＞∠A． 【分析】根据三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角证明；根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和证明即可． 【详解】解：∠ABP+∠ACP+∠A=∠BPC，∠BPC＞∠A． 证明：如下图，延长BP到D， 则∠PDC=∠A+∠ABP，∠PDC>∠A． 同理，∠BPC=∠PDC+∠ACP，∠BPC>∠PDC． 所以∠BPC=∠ABP+∠ACP+∠A ，∠BPC＞∠A ． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． 18．（本题6分）已知a、b、c是三角形的三边长，化简：． 【答案】 【分析】根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质化简． 【详解】解： ∵a、b、c 是三角形的三边长， ∴，，， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及根据绝对值性质进行化简，解题的关键是掌握三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边． 19．（本题8分）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A、点B和点C在小正方形的顶点上． (1)作出中边上的高； (2)作出中边上的中线； (3)在（2）的条件下，的面积为___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)9 【分析】（1）延长，过A作与H，即可得到答案； （2）结合题意，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案； （3）根据三角形面积公式的求法，求出的面积，根据为的中线得出，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的中边上的高； （2）解：如图，即为所求作的中边上的中线； （3）解：， ∵为的中线， ∴． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 20．（本题8分）下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关问题． (1)画出△ABC的中线AD和高CE； (2)①画出将△ABC先向右平移5个单位，再向上平移3个单位后的； ②连接、，则这两条线段的关系是______． 【答案】(1)画图见解析 (2)①画图见解析，②平行且相等 【分析】（1）根据网格即可画出△ABC的中线AD和高CE； （2）①根据平移的性质即可画出将△ABC先向右平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A′B′C′； ②连接AA′、BB′，结合①即可得这两条线段的关系． 【详解】（1）解：如图，中线AD即为所求；高CE即为所求； （2）①如图，△A′B′C′即为所求； ②线段AA′、BB′的关系为：平行且相等． 故答案为：平行且相等． 【点睛】本题考查了作图−平移变换、三角形的中线和高，解决本题的关键是掌握平移的性质． 21．（本题8分）在中，，，平分交于点D． (1)求的度数； (2)如图①，若于点F，交于点E．求的度数； (3)如图②，若平分交于点E，交于点F，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质， （1）根据三角形内角和定理得，根据即可得； （2）根据得，根据，平分得，根据三角形内角和得，根据得，即可得； （3）根据，，CE平分得，根据三角形内角和定理即可得； 理解题意，掌握三角形内角和定理，角平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵，平分 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，，CE平分， ∴， ∴． 22．（本题10分）如图，在中，是上一点，是上一点，，相交于点，，求的度数． 【答案】 【分析】知识点：三角形外角的性质．方法：两次利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”的性质，逐步推导角度．关键：找到包含目标角的外角关系，分步转化已知角．易错点：混淆三角形内角与外角的关系，或找错外角对应的内角． 首先在中，是外角，利用外角性质得，计算出的度数；然后在中，是外角，再次利用外角性质得，代入数值计算出． 【详解】解：， ， 又， ． 23．（本题12分）（1）完成下面的证明． 已知：如图1，直线被直线所截，． 求证：． 证明：， ________（________）． ， ________（________）． ． （2）如图2，在中，是边上的高，平分，若，，求的度数． 【答案】（1）；同位角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理的应用，角平分线的定义； （1）根据平行线的性质与判定定理，补充证明过程； （2）根据三角形的高的定义，三角形的内角和定理可得，进而根据角平分线的定义，得出，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：， （同旁内角互补，两直线平行）． ， （同位角相等，两直线平行）． ． （2）在中，为高，， 在中， 平分 24．（本题14分） 如图，在中，，，平分，过点作，垂足为点，交于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、角平分线的定义、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．首先根据三角形内角和定理解得的值，结合平分可知，再根据可得，然后结合三角形外角的性质，由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 25．（本题14分）已知，E是平面内一点，连接、． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，当点E在上方时，猜想与、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分，连接，若，且，，求的度数． 【答案】(1)； (2) 解：，理由如下： 如图2，过点作，则， ，， ，， ； (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，则，根据两直线平行，同旁内角互补，求得，，即可得到的度数； （2）过点作，则，根据两直线平行，同旁内角互补，得出，，再根据求解即可； （3）令与的交点为，根据平行线的性质和三角形外角的定义，得到，结合角平分线的定义，得到，由（2）可知，，进而得出，即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图1，过点作，则， ，， ，， ，， ； （2）略 （3）解：如图3，令与的交点为， ， ， ， ， 平分， ， 由（2）可知，， ， ， ，， ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $