第02讲 三角恒等变换（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以题型分层训练构建三角恒等变换完整体系，从基础公式应用到跨模块综合，注重运算能力与推理意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |给角求值|单选/填空|直接应用诱导公式、和差倍角公式|从特殊角到非特殊角的公式转化| |给值求值|综合题型|角的范围分析与公式灵活变形|已知三角函数值推导目标式的逻辑推理| |给值求角|多题型覆盖|结合函数单调性确定角的唯一性|三角函数值与角的对应关系构建| |化简与证明|创新题型|恒等式证明与参数范围问题|从代数变形到逻辑论证的思维递进| |辅助角公式|综合应用|函数性质与图像变换结合|三角函数式的统一化与模型化表达| |解三角形综合|跨模块题|正余弦定理与恒等变换融合|几何问题代数化的应用意识培养|

第02讲 三角恒等变换 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 给角求值 2 题型02 给值求值 8 题型03 给值求角 13 题型04 三角函数化简与证明 19 题型05 辅助角公式综合 25 题型06 恒等变换与解三角形综合 32 重难·创新演练 42 真题·实战演练 53 模拟·基础演练 考查重点：恒等变换与解三角形综合 题型01 给角求值 一、单选题 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意得到进而得到，，从而有. 【详解】∵， ∴， 则， ， ∴ ， 故选A. 2．（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用诱导公式以及倍角公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 3．如果将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【解析】先根据左右平移不改变最值求得，再根据平移规律列等量关系，最后根据两角差正切公式解得结果. 【详解】因为左右平移不改变最值，所以 因为，向右平移个单位得到， 而， 所以，即 从而 故选：A 4．（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可． 【分析】. 故选：D. 二、多选题 5．下列代数式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A选项；利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判断B选项；利用二倍角的正弦公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，； 对于D选项， . 故选：BCD. 三、填空题 6．（2026·四川绵阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则的最大值为______. 【答案】1 【详解】因为与角的终边关于轴对称，所以， 又因为，所以， 令，则. 所以， 所以当时，单调递减， 所以当时，取得最大值1. 7.计算：______. 【答案】/ 【详解】由题意可得： ． 故答案为：． 8. ______． 【答案】 【分析】由两角和与差的正弦和余弦公式即可化简求值. 【详解】 . 故. 故答案为：. 9. _________． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合诱导公式、和角公式及二倍角公式计算可得结果. 【详解】 . 故答案为：. 10.【变载体】（2026·江西上饶·二模）（1）证明：，； （2）实数，若不等式在恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）设，，则； 令，，则， 得在区间上单调递减， 故，所以在区间上单调递减，因此 ． 所以当时，. （2）； （3）由（2）可知，当 时，， ，由（1）可知， ， ， ，得证． 【分析】（1）构造函数并将不等式证明转化为函数值大小比较；利用导数判断单调性，结合端点值推出函数在区间内的符号，从而证明不等式成立； （2）将含参恒成立问题转化为函数图像的高低关系或差函数的符号判断；通过对函数求导分析单调性，寻找临界点处的切线斜率作为参数边界，并分类讨论参数范围以验证恒成立条件； （3）利用前两问已证的不等式作为放缩工具进行代数变形；通过逐项放缩将求和式转化为易于计算的裂项形式，最终完成数列求和，不等式得到证明； 【详解】（1）略 （2）方法一：（数形结合）由题：，令 不等式恒成立，说明函数，的图象在直线的下方． 函数的周期为， 当时，； 当时，，． 故函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减． 可作出函数的图象如图所示． 注意到，在处的切线斜率为，直线的斜率为． 于是，对任意，当且仅当时，成立． 故的取值范围为． 方法二：设函数，，求导得 当时，，函数在上单调递增， ，因此； 当时，令，求导得，， 则，使得， 当时，，函数在上递增， 当时，，即，因此， 此时，不符合题意； 当时，，不符合题意，所以的取值范围． （3）略 题型02 给值求值 一、单选题 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方法，结合同角三角函数关系式中的平方和关系、二倍角的正弦公式进行求解即可. 【详解】 . 2．（2026·湖南湘西·三模）已知，则（   ） A．-4 B． C． D． 【答案】C 【分析】通过两角和与差的正余弦公式得出和的关系，再利用二倍角的正切公式即可得结果. 【详解】由，得， 即，所以， 所以，所以． 3．（2026·陕西咸阳·二模）已知，若，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过同角三角函数的平方关系联立求解、的值，再代入三倍角公式计算. 【详解】对已知等式两边平方，得： 解得. 由，可知，，且，故， 计算得： 即. 联立方程组，解得，. 代入三倍角公式计算： . 4．（2026·河南·三模）已知，且在第二象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在第二象限，所以， ，根据三角恒等式可得， 则， ，化简可得， 因为在第二象限，即， 所以，即在第一或第三象限，故， 因此解得. 5．设，，，，若满足条件的与存在且唯一，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】先由，可得，再根据，结合两角差的正弦公式求出，进而可求出，再根据唯一性可求出，再求出，结合两角差的正切公式求出，即可得解. 【详解】由，得，即， 所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 因为满足条件的与存在且唯一，所以唯一， 所以， 所以，经检验符合题意， 所以， 因为，所以，所以， 则，解得， 所以. 故选：B. 二、多选题 6．（2026·福建福州·三模）已知，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BD 【分析】对于AB：利用诱导公式运算求解；对于C：利用倍角公式运算求解；对于D：利用两角和差公式可得，，即可得结果. 【详解】对于选项A：当时，则，所以，故A错误； 对于选项B：当时，则，故B正确； 对于选项C：当时，则， 可得，即，故C错误； 对于选项D：因为，， 则，， 可得，，所以，故D正确. 三、填空题 7．（2026·陕西西安·模拟预测）若 ，，则 ____. 【答案】/ 【详解】，. . 8．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知，，则________． 【答案】/ 【分析】根据二倍角的余弦公式及同角三角函数的基本关系求解. 【详解】因为，， 所以，， 所以. 9．（2026·江苏南京·模拟预测）已知，，则＝_________. 【答案】/0.25 【分析】利用和角公式与同角三角函数关系求出，再整体代入的展开式计算即得. 【详解】，即，即， 因， 联立①与②，解得， ． 四、解答题 10.（2026·广东广州·三模）已知函数，满足对于任意实数，都有恒成立，且函数相邻两个零点的距离是. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若，且满足，求. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据正弦型函数的性质得且，结合已知求出函数解析式，进而求其递增区间； （2）根据已知有且，利用平方关系求余弦值，再由和差角余弦公式求值即可. 【详解】（1）函数相邻两个零点的距离是，故，解得， 对于任意实数，都有恒成立，故 即，故， 因为，故，所以， 若，，则，， 故的单调递增区间为； （2）若，则，故， 因为，                 故 故 题型03 给值求角 一、单选题 1．设且则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题设切化弦、结合两角和正弦公式和诱导公式得到即可分析计算求解. 【详解】由题， 所以， 因为，， 所以，，， 所以或， 解得或（舍去）. 故选：A 2．（2025·广东珠海·模拟预测）设，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得，结合角的范围及诱导公式得到或，即可得. 【详解】由题设， 所以， 因为，，则，又， 所以或，即或（舍）， 故． 故选：D 3. （2015·四川成都·一模）若，且，，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由题设条件分别求出和的值，再利用拆角变换与和角公式计算即得. 【详解】因则.又，则， 可得. 又则 由，可得 由 . 因则 . 故选：A. 4．已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以，，所以． 由，得， 即， 所以，所以． 又，所以． 故选：D 5．已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用余弦函数与正弦函数的性质缩小与的取值范围，结合三角函数的基本关系式与倍角公式求得的正余弦值，从而利用正弦函数的和差公式即可得解. 【详解】因为所以则 所以 则， 因为，所以， 又则， 所以 故 因为所以 则. 故选：A. 6．已知函数的零点从小到大分别为.若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据已知条件及函数的零点的定义，利用三角方程的解法即可求解. 【详解】令，即，解得或, 因为函数的零点从小到大分别为， 所以， 由，得， 又因为， 所以，解得. 故选：B. 二、填空题 7．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，，，则______． 【答案】/ 【分析】根据题设进行拆角，利用和角公式联立求出与的值，进而再次利用拆角求出的值，结合角的范围确定答案. 【详解】因为， 展开得① 又由，可得② 由①②解得，， 又由， 由，可得， 又因，则， ，可得， 故 8．（2026·河北沧州·二模）已知，，若，，则______. 【答案】 【分析】借助同角三角函数基本关系计算可得，再结合角的范围，利用两角和的正切公式计算即可得. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，又，所以， 又因为，所以，所以， 又， 所以. 9.若，且，则的值为______． 【答案】或. 【分析】由二倍角公式及两角差的正弦公式得到，再分与两种情况讨论，分别求出即可. 【详解】由， 得， 即， 当时，，即，由，得； 当时，，所以， 即，由，得， 所以，所以． 故的值为或． 故答案为：或. 三、解答题 10．【变载体】（2026·浙江金华·二模）已知函数，． (1)求； (2)中，若构成等差数列，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入，根据正弦函数的图象确定的值； （2）先求出角，代入已知条件，由角的关系得出，利用二倍角公式求解. 【详解】（1）， 或， 又， （2）因为在中，构成等差数列， 则，结合，可得， ， ，， ， ． 题型04 三角函数化简与证明 一、单选题 1．若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以． 令， 记，，则， 设，因为，所以，， 当时，，此时，将其代回验算，，当时，，与上面一致． 因为恒成立，故实数的取值范围为． 2．【变载体】（2026·安徽芜湖·模拟预测）设数列满足，则的值为（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】由正余弦两角和公式可得，然后由最小正周期可得答案. 【详解】 注意到， 又函数的最小正周期为6，则， 从而. 3．（2025·四川成都·模拟预测）已知，是第三象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据两角差的正弦公式得，再根据同角三角函数关系式以及两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】， ，又是第三象限角，． 从而. 故选：B 4．（2026·山东济南·三模）已知，，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据两角和差的正弦公式计算化简，再结合同角三角函数关系计算求解. 【详解】已知，， 则，， 所以， 则. 5．已知圆的内接四边形中，，，，则（    ） A．-3 B． C． D．3 【答案】A 【分析】由于圆内接四边形对角互补，故，求出，，利用两角和的正切公式即可求解． 【详解】圆的内接四边形中，，则， 在中，， 在中，， 所以． 故选：A 二、多选题 6．已知实数x，θ满足则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A选项，由基本不等式推出和时，条件成立，故，A错误；BCD选项，在A选项基础上结合三角恒等变换进行判断. 【详解】A选项，若，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 又，，故只有时，等号成立，此时， 若，可得，当且仅当时，等号成立， 又，，故只有时，等号成立，此时， 综上，，A错误； B选项，当时，，满足要求； 当时，，满足要求，B正确； C选项，，两边平方得， 即，C正确； D选项，当时，， ， 满足要求； 当时，， 此时， 故成立，综上，D正确. 故选：BCD 7.下面结论正确的有（　　） A．若角为锐角，则角为钝角 B． C．在中，“”是“为钝角三角形”的充要条件 D． 【答案】BD 【分析】根据钝角的定义、两角和差的正弦公式、诱导公式，结合充要条件的定义逐一判断即可. 【详解】A：是锐角，显然它的2倍仍是锐角，故本选项结论不正确； B： ，所以本选项结论正确； C：当时，显然为钝角三角形”， 此时 ，显然不成立，因此本选项说法不正确， D： ， 因此本选项结论正确， 故选：BD 三、填空题 8．【新思维】（2026·江西·模拟预测）设正数满足，若关于的方程的所有正实数解从小到大依次为，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据题意，求得，得到，结合辅助角公式，分别求得 和，得到，结合，即可求解. 【详解】由方程的所有正实数解从小到大依次为， 又由 ， 所以，即 当时， 可得且，， 可得，解得， 取为最小正角，则，则， 同理可得，当时，可得， 将两组数据从小到大排列可得： 则 因为，可得，所以的取值范围为. 9．（2025·浙江金华·二模）已知，则________. 【答案】/ 【分析】由正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 即，所以. 故答案为： 10．【新题型】已知函数在内恰有两个不同的零点，则__________，__________. 【答案】 / 【分析】由题意，根据两角和的正弦公式可得，令得或，设，结合二倍角的正弦公式化简计算即可. 【详解】由题意可得. 令，得， 则或， 解得或. 由，得或，所以. 不妨取， 则. 题型05 辅助角公式综合 一、单选题 1．（2026·安徽·三模）已知是函数的对称轴，则的值可以是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由题意可知函数在处取最值，代入求解即可. 【详解】因为， 又因为是函数的对称轴， 所以函数在处取最值， 所以， 解得， 所以当时，， 当时，， 故只有A选项满足. 2．（2026·北京·三模）已知函数．若在区间上既不是增函数也不是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用辅助角公式化简三角函数，再结合内层函数的取值范围与正弦函数的单调性，判断给定区间内是否存在极值点，进而求解的取值范围. 【详解】， 当时，令，因，故随单调递增，。 正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 若在上既不是增函数也不是减函数，则的取值区间需包含的极值点，即，解得，故的取值范围为. 3．（2026·江西南昌·模拟预测）已知两个电流（单位：安）瞬时值与线圈旋转的时间(单位：秒)的函数解析式分别是，记它们合成后的电流，则函数的周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用辅助角公式化简，再利用正弦型函数周期公式计算即可. 【详解】， ， ， 其中，则的周期. 二、多选题 4．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为 C．函数在区间上有3个零点 D．函数在区间上单调递增 【答案】ABD 【详解】由题意得， ，是函数的图象的一条对称轴，故A正确， 将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为， 要使为奇函数，则，解得， 又，则的最小值为，故B正确， 令，则，解得， 当时，或， 函数在区间上有2个零点，故C错误， 当时，令， 在上单调递增，函数在区间上单调递增，故D正确. 5.（2026·山东·模拟预测）已知函数，满足，，且的最小值为，下列说法正确的是（     ） A．的最小正周期为 B．在区间单调递减 C．在区间有两个极值点 D．使得为偶函数的最小正实数为 【答案】AC 【分析】根据题意，利用三角恒等变换的公式，化简得到，结合选项，利用正弦型函数的图象与性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由 ， 对于A，因为，，且的最小值为， 即函数的最小正周期满足，所以，所以A正确； 对于B，由上分析可得，解得，则， 当时，， 当时，即时，函数单调递增； 当时，即时，函数单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减，所以B错误； 对于C，令，可得， 因，由，解得，又， 故当时，；当时，， 即函数在区间有两个极值点和，所以C正确； 对于D，由函数， 因为函数为偶函数，可得，解得， 当时，，所以最小正实数为，所以D不正确. 6．（2026·陕西安康·模拟预测）定义关于的函数，，其中，则（    ） A． B． C．对于任意， D．对于任意， 【答案】AC 【分析】利用诱导公式对进行化简可判断A；利用辅助角公式对进行化简，再结合三角函数的值域可判断B；分别表示出，再根据的取值范围比较大小关系，可判断C；分别表示出，再根据的取值范围比较大小关系，可判断D. 【详解】对于A，当时，，， 所以，故A正确； 对于B，当时，，， 所以 则 ，不恒成立.故B错误； 对于C，， ， ，，且 在上单调递减， 则，所以.故C正确； 对于D，令，则，， 当时，与题干矛盾，故D错误. 7．（2026·福建泉州·三模）已知函数，则（） A．图象关于轴对称 B．的最小正周期为 C．的值域为 D．在单调递增 【答案】ACD 【分析】先利用判定函数为偶函数，再赋值验算排除周期为，借助三角恒等变形确定函数值域，最后换元结合余弦函数性质判断指定区间单调性，依次得出各选项正误. 【详解】选项A.因为的定义域为，且. 所以是偶函数，图象关于轴对称，A正确. 选项B.当时，; 当时，. 取， 故的最小正周期不是，B错误. 选项C.当时，; 当时，. 由三角函数性质知，，，所以的值域为，C正确. 选项D.当时，，. 令，则，. 当时，单调递增且非负，故在上单调递增，D正确. 三、填空题 8．【变载体】（2026·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，，点在线段上运动（包括端点），点满足，若点满足，则直线的斜率的取值范围为___________. 【答案】 【分析】设上的点，再应用三角换元及辅助角公式结合二次函数恒成立计算求解范围. 【详解】设上的点，，点的轨迹是圆心在原点，半径为的圆，其方程为， 设，且， 所以，整理得，所以， 所以，所以能成立， 所以或，所以； 9．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数的最大值为2，且其图象的一条对称轴为，则__________. 【答案】 【分析】先利用辅助角公式结合三角函数最大值的性质得到的可能取值，再利用对称轴处函数取最值的性质，代入计算验证得到符合条件的值. 【详解】对于 ，其中，其最大值为， 又最大值为2，所以，解得. 又， 因为是的一条对称轴，所以， 若，则，舍去； 若 ，则 ，符合； 所以. 10．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用倍角公式和辅助角公式化简得出，令，将问题转化为方程在区间上有且仅有两个根，结合正弦函数的性质得出即可. 【详解】 设，因为，所以． 函数在区间上有且仅有两个零点， 即方程在区间上有且仅有两个根． 因为方程的正根从小到大排列分别是 所以，解得， 题型06 恒等变换与解三角形综合 一、单选题 1．函数在区间内所有零点的和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用和角的余弦公式及二倍角公式化简函数，由零点意义求得或，再借助正余弦函数图象性质求解即得. 【详解】依题意， ， 由，得或或（不符合题意，舍去）， 函数是偶函数，在上的所有零点关于数0对称，它们的和为0， 正弦函数的周期为，方程在的两根和为， 在上的两根和为，因此在上 的两根和构成首项为，末项为的等差数列，共有项，所有根的和为. 故选：B 2.在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理和三角恒等变换得到或，得到三角形形状 【详解】，由正弦定理得， 故， 又， ， 所以， 所以， 即，所以或， 由得或（舍去）， 由得， 故这个三角形一定是等腰或直角三角形 二、多选题 3．（2026·浙江·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的有（   ） A．若为锐角三角形，则 B．若为钝角三角形，则 C．存在，满足且 D．若，则，，成等差数列 【答案】ABD 【分析】A选项，锐角三角形中，利用可直接推得； B选项，钝角三角形中钝角余弦值为负，结合恒等式，可知整体大于小于2； C选项，由得则，平方后，再由得矛盾； D选项，用和差化积与可推导出，由正弦定理得，即成等差数列. 【详解】A选项：因为为锐角三角形，所以，即. 由于，均为锐角，正弦函数在上单调递增，所以. 同理可得，. 将两不等式相加，得到，故A选项正确. B选项：运用降幂公式和和差化积公式化简： 因为为钝角三角形，所以三个角中必定有且只有一个钝角，另外两个为锐角.因此 从而推导出，即，故选项正确. C选项：假设存在，则，熟知，则，，则，矛盾，C错误； D选项：由，得，故. 代入已知条件： 又，代入得： 因，故，则：， 两边同乘，得， 由正弦定理可得，D正确. 4．（2026·海南·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则一定是直角三角形 D．若，则是等腰三角形或直角三角形 【答案】AD 【详解】对于选项A，由化简得， 所以，所以，即A正确； 对于选项B，若，由正弦定理可得，即，得，所以B错误； 对于选项C，由得，因为，所以， 当时，可得，即，此时为直角三角形， 当，且时，，例如，满足条件，不是直角三角形，所以C错误； 对于选项D，可知，所以，由可知， 当时，即时，是等腰三角形， 当时，可得，此时，所以为直角三角形，所以D正确. 5．（2026·江苏无锡·模拟预测）在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若是锐角三角形，则 C．存在钝角三角形，满足 D．若，则成等差数列 【答案】ABCD 【分析】根据正弦定理结合大边对大角可判断A；根据诱导公式，正弦函数的单调性结合锐角三角形的条件可判断B；利用三角恒等变换公式可得可判断C；利用和差化积公式结合正弦定理，等差数列的性质可判断D. 【详解】根据正弦定理：，得， 因此， 三角形中大边对大角，故，A正确； 若为锐角三角形，则，且， 因此，即，又， 在单调递增，故，B正确； ， 若是钝角三角形，仅一个角为钝角，其余两个为锐角，故， 因此，存在这样的钝角三角形，C正确； ， ： 因为，两边约去得： ， . 由正弦定理得，故成等差数列，D正确. 6．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，AC的中点为M，，且，延长AC到点D，使点C为线段AD的中点，下列说法正确的是（   ） A． B．△ABD的面积的最大值为 C．若△ABC为锐角三角形，BM的取值范围为 D．BD的最小值为 【答案】ACD 【分析】已知等式由正弦定理和三角恒等变换化简，求角判断选项A；由余弦定理和基本不等式得，再由求最小值判断选项B；由，利用向量的数量积和三角恒等变换化简得，△ABC为锐角三角形，有，结合正弦函数的性质求取值范围判断选项C；设，由余弦定理，利用辅助角公式和正弦函数的性质求最小值判断选项D. 【详解】对于A，已知，由正弦定理得， 即，得， 则有，得， 又由于，所以，故， 而，所以，选项A正确； 对于B，在中，由余弦定理，得， 所以，所以，当且仅当时取等号， 由于， 所以的面积的最大值为，故选项B错误； 对于C，在中，由正弦定理得， ，， 由AC的中点为M，有， ， △ABC为锐角三角形，则，得， 当，有，所以， 有，故，选项C正确； 对于D，设，所以，在中由余弦定理， ， ，， 故当，即时， 取最小值，所以的最小值为，故D选项正确. 故选：ACD 三、填空题 7．【新题型】在中，，点D，E分别在线段上，，°，则_________，的面积等于_________． 【答案】 ； . 【分析】在中，利用正弦定理求得和，再利用三角形面积公式直接求出的面积. 【详解】在中，，点D，E分别在线段上，， 所以，. 因为，所以，所以，. 在中，,，,. 由正弦定理得：,即. 因为， 所以. . 所以的面积为. 故答案为：；. 8．【新题型】在中，已知，则________，________． 【答案】 【分析】先由正弦定理及三角公式求出；利用余弦定理求出. 【详解】由正弦定理可知，， 整理化简可得：. 因为所以为钝角，为锐角. 因为，解得：. 由余弦定理得：，解得：或. 因为为钝角，所以 ，所以.故（舍去）. 故答案为： 四、解答题 9．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若是边上一点，，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合分式有意义得到，根据二倍角公式、辅助角公式得到，进而求出角及. （2）方法一：根据余弦定理列方程组求解即可.方法二：根据向量的运算及余弦定理列方程组求解即可. 【详解】（1）由题意知，，即，即. 因为，所以， 即， 所以， 又，， 所以或，所以（舍）或， 因为，所以，则. （2） 方法一：设，则，， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 由，可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 联立解得，， 所以的周长为. 方法二：设，则，，即， 故，故， 所以，可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 联立解得，，所以的周长为. 10．在中，，，分别为内角，，的对边，已知． （1）求角； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）方法一：由可得，从而可求出角，方法二：把化简可得，从而可求出角， （2）方法一：由余弦定理可求得，从而可求出的面积，方法二：由正弦定理可求得，则可得，从而可求出，进而可求出三角形面积 【详解】（1）方法一：，， 由，得，因此． 方法二：， 由于，所以． （2）方法一：由余弦定理得， 而，，，得，即， 因为，所以，故的面积． 方法二：由正弦定理得，从而， 又由，知，所以为锐角，， 故， 所以． 重难·创新演练 设题创新:综合考察 一、单选题 1．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，若，，，则（   ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据，结合二倍角公式及正弦定理求出，再由余弦定理求出或，讨论舍去即可求出答案. 【详解】由，得， 所以. 由余弦定理，得， 解得或. 若，则，得，又由且，得， 所以，与矛盾； 若，由余弦定理得， 又，且， 所以，符合题意． 综上所述，. 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知 为函数 的最小正周期，则 （    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】 . ，. 3．（2026·河南开封·模拟预测）已知的外接圆半径为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出，，利用平面向量数量积的运算性质、三角恒等变换并结合角的取值范围可求得的最大值. 【详解】由正弦定理可得，则，， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以， 故当时，取最大值. 二、多选题 4．（2026·海南三亚·一模）已知中，与均为锐角，的面积为，且，则（） A． B． C．周长为 D． 【答案】ACD 【分析】利用和角公式结合已知等式推出，再由面积、正弦定理求边长，通过平方变形计算，逐一判断选项正误. 【详解】由，可得. 因为， 所以， 则， 即. 因为与均为锐角，所以 当时，此时，. 当时，， 此时，，则， 且，，则， 此时与不能同时成立，同理，也不成立， 综上 ， 选项A正确. 因为，则，由可得成立， 又，则， 成立， 此时， 由正弦定理：，，即， 故. ，，即，所以，，选项B错误. ，选项D正确. 因为， 所以，所以周长选项C正确. 5．（2026·安徽合肥·二模）已知是定义域为，最小正周期为的函数，我们把称为的叠加函数，则（    ） A．的叠加函数是最小正周期为的周期函数 B．当时，的值域为 C．当时方程在上有25个实根 D．当，，时方程在有实根的充要条件为 【答案】BCD 【分析】由题意，求出，分析可判断A的正误；当时，可得最小正周期，即可得的解析式，即可得的解析式，根据正弦型函数的值域，即可判断B的正误；分别讨论和两种情况，分别求出的解析式，根据条件，求出根，可判断C的正误；分别讨论和两种情况，分别求出的解析式，根据二次函数的性质，可得的值域，分析可判断D的正误. 【详解】选项A：， 所以的叠加函数的一个周期为，故A错误； 选项B：当时，最小正周期， 则， 所以， 因为，所以，则，所以，故B正确； 选项C：的最小正周期，则， 当时，，，则， 此时方程在上的根为，共13个； 当时，，， 所以， 令，则， 所以，则， 此时方程在上的根为，共12个， 所以方程在上有25个实根，故C正确； 选项D：由题意的最小正周期为2，则， 当时，， 则， 因为，所以， 当时，， 则， 因为，所以，综上在上的值域为， 则方程在有实根的充要条件为，故D正确. 6．（2026·湖北·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上位于第一象限内任意一点，记（其中均不为），的面积为，则（    ） A．的值随着的增大而减小 B． C．为定值 D．为定值 【答案】ACD 【分析】由正弦定理结合正弦函数单调性可判断A；借助倾斜角与斜率的关系计算可得B；借助面积公式、三角形内角和关系、诱导公式与倾斜角与斜率的关系计算可得C；借助三角形内角和关系、诱导公式与两角和与差的余弦函数公式计算可得D. 【详解】对A：，当增大时，增大，且，故增大， 增大，且，故减小，故减小，即的值随着的增大而减小，故A正确； 对B：、，由，满足， 则，， 则， 由为双曲线渐近线方程，则，即， 故，故B错误； 对C：，， 且 ， 则，故为定值，故C正确； ， 故为定值，故D正确. 三、填空题 7．（2026·四川绵阳·模拟预测）在△ABC中，已知M、N分别是AC、BC的中点，且，则______；若△ABC的面积为3，则AB的最小值为______. 【答案】 【分析】设，角A，B，C的对边分别为a，b，c，通过已知条件得，再通过正弦定理即可求出的值；过A作AH垂直于BC与，通过△ABC的面积为3得到，再把代入即可求出. 【详解】设，角A，B，C的对边分别为a，b，c 因为M、N分别是AC、BC的中点，所以，又； 所以，化简得：，即（C为锐角） 由正弦定理可得：，又， 所以，所以，即； 如图，过A作AH垂直于BC于H. 因为，所以，则； 又△ABC的面积为3，所以； 所以，即，所以AB的最小值为. 8．（2026·江苏徐州·三模）已知三角形的内角的对边分别为，，，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】利用正余弦定理得到，根据两角差的正切公式得到，令，结合基本不等式求解即可. 【详解】由余弦定理得，， 又，所以，即. 由正弦定理得，，所以， 即， 斜三角形中，，， 所以. . 因为，则，所以，若为钝角，也为钝角，不满足，故为锐角， 令，则. 则，当且仅当，即时取等号. 故的最大值为. 9．（2025·山东青岛·二模）已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则______． 【答案】/ 【分析】联立方程，利用和差公式化简，表示出相邻三点的坐标，然后根据三角形的特征列方程求解即可. 【详解】设三个相邻的交点分别为，，， 不妨设，由， 得，整理得， 所以，所以，， 不妨令，0，1，得，，， 则，，， 所以，，， 所以， ，， 所以，因为是一个直角三角形， 所以为等腰直角三角形，底边为， 即， 整理得，因为，所以. 10．（2026·安徽芜湖·模拟预测）在中，内角的对边分别是，若，，则的面积最大值为___________． 【答案】 【分析】由已知条件可得，进而可得，利用余弦定理结合基本不等式可得，最后根据求出三角形面积最大值. 【详解】解：由，则， 化简整理得，即， 则，此时，则， 或，，则，在三角形中不合题意， 因此，， 由余弦定理可得，又，代入化简得， 由基本不等式可知，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 因此，的面积最大值为. 四、解答题 11．（2026·广东肇庆·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，且 (1)求角； (2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理边角互化，然后借助辅助角公式化简三角函数式，结合内角范围即可求出角； （2）先用正弦定理把边化为角的正弦，然后利用三角恒等变换化简，再由锐角三角形约束的范围，最后结合正弦函数的单调性即可得出的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理得： ， 因为，所以，则， 即，， 因为，则，所以，即. （2）因为，，所以， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以， 所以， 所以． 真题·实战演练 高频考点：三角恒等变换的应用 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 2．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 二、多选题 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知的面积为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对由二倍角公式先可推知A选项正确，方法一分情况比较和的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用算出取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项. 【详解】，由二倍角公式，， 整理可得，，A选项正确； 由诱导公式，， 展开可得， 即， 下证. 方法一：分类讨论 若，则可知等式成立； 若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理， 又，于是， 与条件不符，则不成立； 若，类似可推导出，则不成立. 综上讨论可知，，即. 方法二：边角转化 时，由，则， 于是， 由正弦定理，， 由余弦定理可知，，则， 若，则，注意到，则， 于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是， 结合，而都是锐角，则， 于是，这和相矛盾， 故不成立，则 方法三：结合射影定理（方法一改进） 由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是， 则，可同方法一种讨论的角度，推出， 方法四：和差化积（方法一改进） 续法三： ，可知同时为或者异号，即，展开可得， ， 即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知. 由，由，则，即， 则，同理，由上述推导，，则， 不妨设，则，即， 由两角和差的正弦公式可知，C选项正确 由两角和的正切公式可得，， 设，则， 由，则，则， 于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误. 故选：ABC 三、填空题 4．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 5．（2024·上海·高考真题）三角形中，，则______ 【答案】 【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解． 【详解】三角形中，， ， 由正弦定理，，， 得． 故答案为：． 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 【答案】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 7．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则______． 【答案】 【分析】方法1，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，利用导数求解作答. 方法2，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，借助辅助角公式求解作答. 【详解】方法1：依题意，斜坡长度， 因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力， 求导得，由，得， 当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，人上坡消耗的总体力最小. 方法2：依题意，斜坡长度， 因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力， 由，得，即，其中锐角由确定， 显然，而，则，当且仅当，即时取等号， 此时，即， 所以当时，人上坡消耗的总体力最小. 故答案为： 四、解答题 8．（2026·全国二卷·高考真题）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负，一个为正. 又，即中必有一个是钝角； (2) 【分析】（1），结合题设得出，然后由两角和的余弦展开得到，进而得解； （2）先推出三角形面积公式的变形式，解得，由正弦定理进而得出，然后列余弦定理和面积公式的关于的方程组求解. 【详解】（1）略 （2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. 9．（2026·天津·高考真题）已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解； （2）利用换元法，结合正弦函数性质求解； （3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解. 【详解】（1）； （2）若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； （3）若，，所以， 则，， 则. 10．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 11．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理即可解出； （2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出． 【详解】（1）因为，所以，解得：． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 三角恒等变换 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 给角求值 2 题型02 给值求值 8 题型03 给值求角 13 题型04 三角函数化简与证明 19 题型05 辅助角公式综合 25 题型06 恒等变换与解三角形综合 32 重难·创新演练 42 真题·实战演练 53 模拟·基础演练 考查重点：恒等变换与解三角形综合 题型01 给角求值 一、单选题 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（    ）． A． B． C． D． 3．如果将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 4．（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．下列代数式的值为的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2026·四川绵阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则的最大值为______. 7.计算：______. 8. ______． 故答案为：. 9. _________． 10.【变载体】（2026·江西上饶·二模）（1）证明：，； （2）实数，若不等式在恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：． 题型02 给值求值 一、单选题 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南湘西·三模）已知，则（   ） A．-4 B． C． D． 3．（2026·陕西咸阳·二模）已知，若，则=（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南·三模）已知，且在第二象限，则（   ） A． B． C． D． 5．设，，，，若满足条件的与存在且唯一，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 二、多选题 6．（2026·福建福州·三模）已知，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题 7．（2026·陕西西安·模拟预测）若 ，，则 ____. 8．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知，，则________． 9．（2026·江苏南京·模拟预测）已知，，则＝_________. 四、解答题 10.（2026·广东广州·三模）已知函数，满足对于任意实数，都有恒成立，且函数相邻两个零点的距离是. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若，且满足，求. 题型03 给值求角 一、单选题 1．设且则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东珠海·模拟预测）设，，且，则（   ） A． B． C． D． 3. （2015·四川成都·一模）若，且，，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 4．已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 6．已知函数的零点从小到大分别为.若，则（    ） A． B． C． D．3 二、填空题 7．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，，，则______． 8．（2026·河北沧州·二模）已知，，若，，则______. 9.若，且，则的值为______． 故答案为：或. 三、解答题 10．【变载体】（2026·浙江金华·二模）已知函数，． (1)求； (2)中，若构成等差数列，且，求． 题型04 三角函数化简与证明 一、单选题 1．若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．【变载体】（2026·安徽芜湖·模拟预测）设数列满足，则的值为（    ） A．6 B． C．9 D． 3．（2025·四川成都·模拟预测）已知，是第三象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东济南·三模）已知，，则（   ） A． B． C． D．2 5．已知圆的内接四边形中，，，，则（    ） A．-3 B． C． D．3 二、多选题 6．已知实数x，θ满足则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 7.下面结论正确的有（　　） A．若角为锐角，则角为钝角 B． C．在中，“”是“为钝角三角形”的充要条件 D． 三、填空题 8．【新思维】（2026·江西·模拟预测）设正数满足，若关于的方程的所有正实数解从小到大依次为，则的取值范围为__________. 9．（2025·浙江金华·二模）已知，则________. 10．【新题型】已知函数在内恰有两个不同的零点，则__________，__________. 题型05 辅助角公式综合 一、单选题 1．（2026·安徽·三模）已知是函数的对称轴，则的值可以是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·北京·三模）已知函数．若在区间上既不是增函数也不是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江西南昌·模拟预测）已知两个电流（单位：安）瞬时值与线圈旋转的时间(单位：秒)的函数解析式分别是，记它们合成后的电流，则函数的周期是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为 C．函数在区间上有3个零点 D．函数在区间上单调递增 5.（2026·山东·模拟预测）已知函数，满足，，且的最小值为，下列说法正确的是（     ） A．的最小正周期为 B．在区间单调递减 C．在区间有两个极值点 D．使得为偶函数的最小正实数为 6．（2026·陕西安康·模拟预测）定义关于的函数，，其中，则（    ） A． B． C．对于任意， D．对于任意， 7．（2026·福建泉州·三模）已知函数，则（） A．图象关于轴对称 B．的最小正周期为 C．的值域为 D．在单调递增 三、填空题 8．【变载体】（2026·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，，点在线段上运动（包括端点），点满足，若点满足，则直线的斜率的取值范围为___________. 9．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数的最大值为2，且其图象的一条对称轴为，则__________. 10．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为___________． 题型06 恒等变换与解三角形综合 一、单选题 1．函数在区间内所有零点的和为（    ） A．0 B． C． D． 2.在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 故这个三角形一定是等腰或直角三角形 二、多选题 3．（2026·浙江·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的有（   ） A．若为锐角三角形，则 B．若为钝角三角形，则 C．存在，满足且 D．若，则，，成等差数列 4．（2026·海南·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则一定是直角三角形 D．若，则是等腰三角形或直角三角形 5．（2026·江苏无锡·模拟预测）在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若是锐角三角形，则 C．存在钝角三角形，满足 D．若，则成等差数列 6．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，AC的中点为M，，且，延长AC到点D，使点C为线段AD的中点，下列说法正确的是（   ） A． B．△ABD的面积的最大值为 C．若△ABC为锐角三角形，BM的取值范围为 D．BD的最小值为 三、填空题 7．【新题型】在中，，点D，E分别在线段上，，°，则_________，的面积等于_________． 8．【新题型】在中，已知，则________，________． 四、解答题 9．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若是边上一点，，，求的周长. 10．在中，，，分别为内角，，的对边，已知． （1）求角； （2）若，，求的面积． 重难·创新演练 设题创新:综合考察 一、单选题 1．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，若，，，则（   ） A．3 B．5 C． D． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知 为函数 的最小正周期，则 （    ） A． B． C． D．0 3．（2026·河南开封·模拟预测）已知的外接圆半径为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2026·海南三亚·一模）已知中，与均为锐角，的面积为，且，则（） A． B． C．周长为 D． 5．（2026·安徽合肥·二模）已知是定义域为，最小正周期为的函数，我们把称为的叠加函数，则（    ） A．的叠加函数是最小正周期为的周期函数 B．当时，的值域为 C．当时方程在上有25个实根 D．当，，时方程在有实根的充要条件为 6．（2026·湖北·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上位于第一象限内任意一点，记（其中均不为），的面积为，则（    ） A．的值随着的增大而减小 B． C．为定值 D．为定值 三、填空题 7．（2026·四川绵阳·模拟预测）在△ABC中，已知M、N分别是AC、BC的中点，且，则______；若△ABC的面积为3，则AB的最小值为______. 8．（2026·江苏徐州·三模）已知三角形的内角的对边分别为，，，则的最大值为_______． 9．（2025·山东青岛·二模）已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则______． 10．（2026·安徽芜湖·模拟预测）在中，内角的对边分别是，若，，则的面积最大值为___________． 四、解答题 11．（2026·广东肇庆·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，且 (1)求角； (2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． 真题·实战演练 高频考点：三角恒等变换的应用 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知的面积为，若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 5．（2024·上海·高考真题）三角形中，，则______ 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 7．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则______． 四、解答题 8．（2026·全国二卷·高考真题）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 9．（2026·天津·高考真题）已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 10．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 11．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $