课时规范练37　等差数列-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以等差数列定义、公式为基础，通过基本量法、性质应用、实际建模等系统化方法，构建从基础到综合的知识逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|10题（含2024全国甲卷真题）|基本量法、性质法（如S5=S10得a8=0）、充要条件判断、实际应用建模|定义公式→性质应用→简单综合（与等比结合）| |综合提升练|4题（含高阶等差创新题型）|累加法求通项、前n项和最值分析、跨数列综合|性质拓展→高阶等差→复杂综合应用|

课时规范练37　等差数列 (分值:80分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.(2024·全国甲,理4)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5=S10,a5=1,则a1=(　　) A. B. C.- D.- 2.在等差数列{an}中,“a2+a5=a3+am”是“m=4”的(　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2025·山西吕梁二模)已知等差数列{an}的公差不为0,记其前n项和为Sn,若a6=a5+a7,S2k=a2k,则正整数k的值为(　　) A.3 B.6 C.8 D.12 4.(2026·河南新乡模拟)某会场的座位呈扇形分布,第一排有15个座位,从第二排起,每一排都比前一排多两个座位,已知该会场能容纳一个700人的代表团,则该会场的座位至少有(　　) A.20排 B.21排 C.22排 D.23排 5.(2025·河北唐山模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若,则=(　　) A. B.3 C. D. 6.(2026·北京顺义模拟)已知数列{an}为递增的等差数列,前n项和为Sn,若a5,a6,a10成等比数列,则当Sn取最小值时,n=(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 7.(多选题)(2026·福建宁德模拟)在等差数列{an}中,a2+a3=-12,a5+a7=2,记数列{an}的前n项和为Sn,下列选项正确的是(　　) A.a1=-9 B.Sn取最小值时,n=6 C.数列{}是递增数列 D.数列{|an|}的前10项和为50 8.(2025·山西太原期中)在等差数列{an}中,若S7=14,S15=60,则a6=　　　　.  9.(2025·广东佛山期中)设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an},所有被5除余2的自然数从小到大组成数列{bn},把{an}和{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},则{cn}的通项公式为　　　　　　　.  10.(13分)(2026·山东济南模拟)已知正项数列{an}的前n项积为Tn,且满足an=(n∈N*). (1)求证:数列{Tn}为等差数列; (2)令cn=,求数列{cn}的前n项和Sn. 综合提升练 11.(2026·山东泰安模拟)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若,则满足的正整数n有(　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 12.南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献,他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》,该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列,以高阶等差数列中的二阶等差数列为例,其特点是从数列的第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1,3,7,13,则该数列的第13项为(　　) A.156 B.157 C.158 D.159 13.(多选题)(2026·广东阳江期中)已知首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若(S15-S11)(S15-S12)<0,则(　　) A.a13+a14<0 B.S11<S15<S12 C.当n=14时,Sn取最大值 D.当Sn<0时,n的最小值为27 14.(2026·湖北武汉模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=m,nan-Sn=,若对任意的n∈N*,等式=λ恒成立,则m+λ=　　　　.  参考答案 课时规范练37　等差数列 1.B　解析 (方法1)设公差为d,由S5=S10,可得5a1+d=10a1+d,即5a1+35d=0,又a5=1,即a1+4d=1,解得a1=.故选B. (方法2)若S5=S10,则a6+a7+a8+a9+a10=0,即5a8=0,所以a8=0,则公差d==-,所以a1=a8+(1-8)×(-)=.故选B. 2.A　解析 当{an}的公差d=0时,由a2+a5=a3+am,得m是任意的正整数.在等差数列{an}中,由m=4,得a2+a5=a3+am,则“a2+a5=a3+am”是“m=4”的必要不充分条件. 3.B　解析 设等差数列{an}的公差为d,d≠0,由a6=a5+a7,得a6=2a6,解得a6=0,a1=a6-5d=-5d,an=a1+(n-1)d=(n-6)d,S2k=·2k,因此·2k=(2k-6)d,整理得2k2-13k+6=0,解得k=6.故选B. 4.B　解析 依题意,该会场从第一排到最后一排的座位数构成以15为首项,2为公差的等差数列{an},设其前n项和为Sn,则Sn=15n+·2=n2+14n,显然数列{Sn}是递增数列,S20=680<700,S21=735>700,由Sn≥700,得nmin=21,所以该会场的座位至少有21排.故选B. 5.C　解析 由题意设S3=3t,t≠0,则S6=7t,由{an}是等差数列,所以S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9也成等差数列,所以S9-S6=5t,解得S9=12t;S12-S9=6t,解得S12=18t,所以.故选C. 6.B　解析 设数列{an}的公差为d,因为a5,a6,a10成等比数列,所以=a5a10,即(a1+5d)2=(a1+4d)(a1+9d),化简得3a1d+11d2=0,解得a1=-d或d=0,因为数列{an}为递增的等差数列,所以d>0,故d=0舍去,因此a1=-d.所以Sn=na1+n(n-1)d=n2d-nd=d(n-)2-d,所以当n=4时,Sn取得最小值.故选B. 7.ACD　解析 对于A,设等差数列{an}的公差为d,则由题意知解得故A正确;对于B,an=-9+2(n-1)=2n-11,Sn==n2-10n=(n-5)2-25,则当n=5时,Sn取最小值-25,故B错误;对于C,=n-10,所以数列{}是递增数列,故C正确;对于D,数列{|an|}的前10项和为|-9|+|-7|+|-5|+|-3|+|-1|+1+3+5+7+9=50,故D正确.故选ACD. 8.3　解析 由S7=14,S15=60,得7a4=14,15a8=60,所以a4=2,a8=4,于是a4+a8=6=2a6,因此a6=3. 9.cn=15n-13　解析 根据题意,数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,则an=2+3(n-1)=3n-1,数列{bn}是首项为2,公差为5的等差数列,bn=2+5(n-1)=5n-3.数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},故数列{cn}是首项为2,公差为15的等差数列,则cn=2+15(n-1)=15n-13. 10.(1)证明 当n=1时,a1=T1=, 又an>0,T1≠0,所以T1=3, 当n≥2时,an=, 又Tn≠0,所以Tn-2=Tn-1, 即Tn-Tn-1=2, 所以数列{Tn}是首项为3,公差为2的等差数列. (2)解 由(1)知数列{Tn}是首项为3,公差为2的等差数列,则Tn=2n+1,cn=), 数列{cn}的前n项和Sn=+…+)=)=, 所以数列{cn}的前n项和Sn=. 11.C　解析 由,得,又,所以,解得n≤2,故符合条件的n可取1,2.故选C. 12.B　解析 设该二阶等差数列为{an},则a1=1,a2=3,a3=7,a4=13.由二阶等差数列的定义可知,a2-a1=2,a3-a2=4,a4-a3=6,…,所以数列{an+1-an}是以a2-a1=2为首项,d=2为公差的等差数列,即an+1-an=2n,所以a2-a1=2,a3-a2=4,a4-a3=6,…,an+1-an=2n,将所有上式累加可得an+1=a1+=n2+n+1,所以a13=122+12+1=157,即该数列的第13项为a13=157.故选B. 13.BD　解析 由(S15-S11)(S15-S12)<0得(a15+a14+a13+a12)(a15+a14+a13)=6a14(a14+a13)<0(*),即a13a14<-≤0.对于A,由上分析,a13,a14异号,而a1>0,则数列{an}是递减等差数列,因此a14<0,故由(*)可得a14+a13>0,故A错误;对于B,S15-S11=a15+a14+a13+a12=2(a14+a13)>0,则S15>S11,又S15-S12=a13+a14+a15=3a14<0,则S15<S12,故B正确;对于C,由A知,a13>0,a14<0,又数列{an}是递减等差数列,则当n=13时,Sn取得最大值,故C错误;对于D,因为S26==13(a14+a13)>0,S27==27a14<0,由A知,当n≥14时,an<0,则当n≥27时,Sn<0,故D正确.故选BD. 14.　解析 因为nan-Sn=,所以当n≥2时,有(n-1)an-1-Sn-1=,两式相减得(n-1)an-(n-1)an-1=n-1,所以an-an-1=1,所以数列{an}是以m为首项,1为公差的等差数列.因此an=m+(n-1)×1=m+n-1,Sn=,则S2n==2n2+(2m-1)n. 所以.又对任意的n∈N*,等式=λ恒成立,所以4(2m-1)=4m-2,解得m=,λ=,所以m+λ=. 2 学科网（北京）股份有限公司 $