26.4实际问题与二次函数（第3课时 利用二次函数解决实际问题）（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦利用二次函数解决抛物线型实际问题，通过回顾面积、利润最值旧知，结合拱桥、喷泉等实景图片导入，衔接知识脉络，搭建学习支架。 特色在于强化数学建模与数形结合，以四步解题法（建系、找点、求式、验根）为核心，通过拱桥通行判断、投篮轨迹分析等实例，培养模型观念与几何直观，提升运算能力。助力教师明确教学重难点，帮助学生掌握实际问题转化为数学模型的方法，落实核心素养。

26.4实际问题与二次函数 （第三课时 利用二次函数解决实际问题） （教学设计） 1.教学内容 本节课是人教版2024版九年级上册第26章《二次函数》，26.4实际问题与二次函数第三课时利用二次函数解决实际问题，核心内容为利用二次函数解决抛物线型实际问题.主要包括拱桥、隧道、投篮、喷水轨迹等生活中典型的抛物线轨迹问题，重点讲解通过建立平面直角坐标系、构建二次函数模型，结合二次函数的图象与性质求解实际问题中的高度、宽度、最值、可行性判断等实际量，是二次函数实际应用的重要拓展内容. 2. 内容解析 本节课是在学生掌握二次函数的图象、性质，以及前两课时利用二次函数解决面积最值、销售利润最值问题的基础上开展的进阶应用课.前两课时侧重几何面积、经济利润的数量最值问题，本节课聚焦抛物线轨迹类几何实际问题，贴合生活实景，综合性更强.从知识体系来看，本节课是初中函数建模思想的核心载体，衔接了平面直角坐标系、二次函数解析式求解、函数性质应用、几何实际运算等多个知识点.同时，本节课的建模方法（建系、建模、求解、验根、作答）是中考二次函数压轴实际应用题的核心解题模板，既能巩固二次函数基础知识，又能培养学生数形结合、数学建模的核心素养，为后续高中函数应用学习奠定基础. 基于以上分析，本节课的教学重点为根据抛物线型实际问题场景，合理建立平面直角坐标系；利用待定系数法求二次函数解析式，结合函数性质解决实际问题. 1. 教学目标 （1）掌握抛物线型实际问题的解题步骤，能根据实际场景合理建立平面直角坐标系，准确求出二次函数解析式；熟练利用二次函数的图象和性质，求解轨迹类问题中的高度、跨度、最值等实际问题. （2）经历“实际问题—抽象建模—函数求解—回归实际”的完整探究过程，提升数形结合分析问题、将生活问题转化为数学函数问题的能力，熟练掌握建模解题的通用方法. （3）感受二次函数在生活中的广泛应用，体会数学源于生活、服务生活的本质；培养严谨的数学思维和解决实际问题的能力，增强数学学习的实用性认知和学习兴趣. 2.目标解析 目标1学生需突破“合理建系”的难点，摒弃固定思维，学会根据题目已知条件选择最简建系方式（顶点建系、端点建系），掌握待定系数法求抛物线解析式，能够结合自变量的实际取值范围，准确解答实际问题，规避纯函数计算脱离实际的错误. 目标2通过例题探究、小组合作、分步拆解问题，让学生固化抛物线类二次函数应用题的解题流程，掌握数形结合、数学建模、转化归纳三大数学思想，提升综合解题能力. 目标3通过拱桥、喷水、球类运动等生活化例题，拉近数学与生活的距离，消除学生对函数应用题的畏难情绪，培养严谨求实的解题习惯，落实初中数学核心素养中的模型观念、几何直观、运算能力. 九年级学生已经熟练掌握二次函数的三种解析式形式、图象性质、最值求解方法，具备初步的二次函数建模解题经验，能够完成简单的实际问题列式计算.但学生存在明显的薄弱点：一是建系思维固化，不会灵活选择建系位置，容易导致运算复杂、计算出错；二是数形结合能力薄弱，无法精准提取图形中的坐标信息，难以将实景数据转化为函数参数；三是脱离实际解题，忽略自变量的实际取值范围，不会检验结果的实际可行性；四是综合题型的分步拆解能力不足，面对复杂轨迹问题容易无从下手.基于以上学情，本节课以“分步拆解、模板固化、易错强调”为核心，由浅入深开展教学，针对性突破学生薄弱点. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是选择最优建系方法，简化运算过程；结合实际情境确定自变量的取值范围，对函数计算结果进行实际意义检验，排除不符合题意的解. 创设情景，引入新课 回顾旧知：提问学生前两课时学习的二次函数实际应用类型，总结解题通用步骤：审题→找变量关系→列函数解析式→利用性质求解→实际作答. 情境导入：展示生活实景图片（石拱桥、公园喷水喷泉、篮球投篮轨迹），提问：这些物体的运动轨迹、建筑轮廓是什么曲线？能否用二次函数知识解决相关高度、宽度问题？引出课题. (设计意图：通过旧知回顾，衔接前后课时知识，帮助学生构建完整的二次函数应用知识体系；利用生活化实景导入，激发学生学习兴趣，让学生直观感知本节课的应用场景，快速进入课堂学习状态.) 探究点1 物线型问题的建模方法 活动1.一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m.突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少? 学生合作交流，完成下列问题： 追问1.二次函数的图象是抛物线，抛物线形拱桥问题转化为二次函数问题来解决？ 建立适当的平面直角坐标系，就可以根据已知条件求出这条抛物线对应的二次函数，进而解决问题，为简单起见，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系（如图). 追问2.在建立的直角坐标系中，怎样求出抛物线形拱桥的函数表达式？ 这条抛物线表示的二次函数为y=ax².由抛物线经过点（5，一4)，可得 解得 因此，这条抛物线对应的二次函数为. 追问3.怎样把“当拱顶离水面4m时，水面宽10m.突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少”的问题转化二次函数问题？ 可以转化为当水面上升1m时，水面的纵坐标为-3,根据上面的函数解析式可以求出这时水面的宽度. 当时，，，水面的宽度为(m) 探究点2 归纳通用建模方法 活动2.根据以上解答过程，归纳解题步骤 ① 建系：根据图形特征，选择顶点、中点、端点为坐标原点，建立平面直角坐标系（优先选择让顶点在坐标轴上、对称建系，简化计算）； ② 找点：结合题目已知数据，转化出抛物线上关键点的坐标； ③ 求式：根据坐标特点，选择顶点式、交点式、一般式，用待定系数法求二次函数解析式； ④ 求解验根：根据问题需求，代入自变量或函数值计算，结合实际范围取舍结果，规范作答. 关键强调：抛物线实际问题中，自变量、函数值均有实际意义，计算结果必须符合实际场景. （设计意图：先提炼通用解题模板，为后续例题探究搭建思维框架，降低学生解题难度；提前点明建系技巧和易错点，针对性解决学生“不会建系、解题脱离实际”的薄弱问题，培养学生归纳总结的能力.） 典型例题 例1.某公园有一座抛物线型拱桥，拱桥最高点离水面高度为4m，拱桥水面跨度为8m。现有一艘宽4m、高2.5m的游船，试问这艘游船能否安全通过该拱桥？ 【分析】本题为典型抛物线拱桥问题，已知拱桥最大高度、水面跨度，判断固定尺寸游船能否通行，核心是求“宽度4m处拱桥的实际高度”，与游船高度对比即可判断.解题思路：① 最优建系：以拱桥最高点（抛物线顶点）为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向建立平面直角坐标系，最大程度简化解析式；② 提取关键点坐标：根据跨度8m、高4m，确定抛物线端点坐标；③ 设顶点式解析式，代入坐标求解函数；④ 结合游船宽度，求出对应位置的拱桥高度，对比判断. 难点预判：学生易建系混乱、坐标取值错误，忽略对称特征导致计算繁琐. 【详解】解：1. 建立平面直角坐标系以拱桥最高点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直向下为y轴建立平面直角坐标系. 由题意可知：拱桥最大高度为4m，水面跨度为8m，则抛物线与水面的两个交点坐标为A(-4,4)、B(4,4)，抛物线顶点为O(0,0)。 ∵ 抛物线顶点在原点，且关于y轴对称， ∴ 设抛物线解析式为：y=ax²（a≠0） 将点B(4,4)代入解析式：4=a×4²，解得 ∴ 抛物线解析式为：， 游船宽度为4m，游船居中通行时，单侧宽度为2m，即x=2， 将x=2代入解析式： （m） 此处水面到拱桥顶点的竖直距离为1m， 因此该位置拱桥距离水面的高度为：4-1=3（m） ∵ 游船高度2.5m ＜ 拱桥通行高度3m ∴ 该游船可以安全通过拱桥. 变式小结：若建系方式改变（以水面中点为原点），解题逻辑一致，仅解析式不同，对称建系是此类题型最优解法，可大幅简化运算。 例2.在一次足球训练中，小华从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．    (1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为，请通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，准确求出二次函数解析式是解此题的关键． （1）以为原点，为轴建立平面直角坐标系，则，，抛物线经过，顶点为，设抛物线的解析式为，将代入计算出的值即可； （2）当时，求出的值与进行比较即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，则，，抛物线经过，顶点为， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过， ， 解得， ，即； （2）解：当时，， 所以球不能射进球门． (设计意图：通过不同形式的练习，让学生掌握基本解法，同时积累解题经验) 课本P54课堂练习. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到） 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． （1）建立的坐标系要便于计算，因此以正常水面所在直线为x轴，拱桥的最高点在y轴上，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解； （2）水位上涨了2米时，则，求出对应的x的值即可； （3）货船安全通过拱桥，当水面宽与货船宽相等时，水位上升的高度取最大值，结合函数解析式求解． 【详解】（1）解：如图，为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以的中点为平面直角坐标系的原点O，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如下： 则，， 抛物线的顶点坐标为，， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，则， 解得：， ， ∴水面上升2米后的水面宽度为米， （3）解：如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到处，    ∵货船的高为米，宽为米， ∴米，， 设米，则米， ∴点的坐标为， 将代入，得： 解得， ∴要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升米． （设计意图：强化二次函数的实际应用） 1．（2025•山西）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75），点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm．仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝80，顶点纵坐标为60， ∴顶点坐标为（80，60）， 设抛物线的函数解析式为：y＝a（x﹣80）2+60， ∵图象过原点， ∴a（0﹣80）2+60＝0， 解得， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点（0，75）， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当y＝0时，， 解得：x1＝200，x2＝﹣40（舍去）， 故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm； （3）设该平台的高度为k cm，由题意，设新的函数解析式为：y60+k， ∵AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm，仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过CD正上方3cm处，即抛物线经过点（80+40，48+3），即：（128，51）， ∴把（128，51）代入y， 得51， 解得：k＝6， 故该平台的高度为6cm． 2．（2025•广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆最低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为（0，0.0015），， 即A（0.85，0.18）， 设该抛物线的表达式为y＝ax2+0.0015， 将A（0.85，0.18）代入y＝ax2+0.0015， 得0.18＝0.852a+0.0015， 解得， ∴该抛物线的表达式为． 3．（2025•深圳）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　18x　 ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为　w＝﹣x2+42x+100　 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【解答】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为（用x表示）18x，若排队人数为w，则w与x的函数表达式为w＝y﹣18x＝﹣x2+42x+100； 故答案为：18x，w＝﹣x2+42x+100； （2）w＝﹣x2+42x+100＝﹣（x﹣21）2+541， ∴当x＝21时，Wmax＝541； 答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人； （3）设开了m条通道， 则：w＝y﹣6mx＝﹣x2+60x+100﹣6mx＝﹣x2+6（10﹣m）x+100， ∴对称轴为x＝3（10﹣m）， ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少， ∴0≤3（10﹣m）≤10，即：， 又∵最多开通9条， ∴， ∵m为正整数， ∴m最小值为7， ∴最少开7条通道． 4．（2025•内蒙古）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示． 外形参数： 如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L2组成．抛物线L1的高度为8cm，矩形ABCD的边AB＝8cm，BC＝6cm，抛物线L2的高度为4cm．在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L2上，点H，G在抛物线L1上． 问题解决： 如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出B，C，D三点的坐标； （2）直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标，并分别求出抛物线L1和L2的函数表达式； （3）为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要EH边的长为15cm，求此时EF边的长． 【解答】解：（1）∵矩形ABCD的边AB＝8cm，BC＝6cm， ∴CD＝AB＝8cm，AD＝BC＝6cm，CD∥AB，BC∥AD， ∴B（8，0），C（8，6），D（0，6）； （2）∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线L1于M，交抛物线L2于N，交矩形ABCD于N，P， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线MQ是抛物线L1和L2的对称轴，，∠DNP＝∠APN＝90°， ∴四边形DAPN是矩形， ∴NP＝AD＝6， ∵抛物线L1的高度为8cm，抛物线L2的高度为4cm，直线MQ是抛物线L1和L2的对称轴， ∴MP＝MN+NP＝8+6＝14（cm），QP＝4cm， ∴抛物线L1和L2的顶点坐标分别为M（4，14），Q（4，﹣4）， 分别设抛物线L1和L2的表达式为，， 将D（0，6）代入， 解得， 则抛物线L1的表达式为； 将A（0，0）代入， 解得； 则抛物线L2的表达式为； （3）∵装置整体图案为轴对称图形， ∴EF⊥MG，HG⊥MG， ∵MQ⊥x轴， ∴EF∥HG∥x轴， ∵EFGH是矩形， ∴HE⊥EF， ∴HE⊥x轴， ∴xE＝xH， 设xE＝xH＝n， ∴，， ∴， 解得：n＝2或6（在对称轴右侧，舍）， ∴xE＝2， 由抛物线对称性可得EF＝2（x对称轴﹣xE）＝4． （ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能:（1）掌握抛物线型实际问题的四步解题法：建系→找点→求式→求解验根；（2）学会根据图形对称特征，选择最优平面直角坐标系；（3）能利用二次函数解析式，求解轨迹高度、跨度、通行可行性等实际问题. 思想方法:（1）数学建模思想：将生活中的抛物线轨迹问题抽象为二次函数数学模型；（2）数形结合思想：结合图形提取坐标，利用函数解析式还原图形数据；（3）转化归纳思想：将复杂实际问题转化为熟悉的二次函数求值问题. 易错提醒:（1）建系随意，未利用对称性简化计算，导致运算繁琐出错；（2）坐标提取错误，混淆横、纵坐标的实际意义；（3）忽略自变量、函数值的实际取值范围，直接套用纯函数结果；（4）忘记结果检验，未结合实际场景判断结果是否合理. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题26.4第6、9题. 探究性作业：习题26.4第10题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 26.4 实际问题与二次函数（第三课时） 一、核心题型 二、解题步骤 三、易错总结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $