26.4实际问题与二次函数（第2课时 生活中的最值问题）（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦商品销售最大利润等生活最值问题，通过复习二次函数顶点最值和销售公式，结合涨价降价利润变化的矛盾设问导入，承接第一课时建模基础，整合函数图象、顶点性质等知识，搭建从理论到应用的学习支架。 特色在于双情境探究与标准化流程，通过涨价降价案例引导学生分析数量关系建立模型，培养数学建模和数据分析素养，中考真题练习强化运算能力与推理意识，帮助学生掌握解题规范，提升教师教学效率与学生应用能力。

26.4实际问题与二次函数 （第二课时 生活中的最值问题） （教学设计） 1.教学内容 本节课是人教版2024版九年级上册第26章《二次函数》，26.4实际问题与二次函数第二课时生活中的最值问题.本节课承接第一课时二次函数建模基础，聚焦初中数学高频考点——商品销售最大利润等问题.核心教学内容：掌握商品销售问题的核心利润公式；能根据涨价、降价两种销售情境，建立利润与调价金额的二次函数模型；结合自变量实际取值范围，利用二次函数顶点性质求解最大利润、最优定价；能对比涨价与降价方案，选择最优销售策略，掌握二次函数在最值优化类实际问题中的通用解题方法. 2. 内容解析 本节课是26.4实际问题与二次函数的重点、必考核心课时，在整章知识体系中起到承前启后、学以致用的关键作用.承接第一课时“实际问题二次函数建模”方法，将基础建模升级为建模+最值求解的综合应用，同时整合二次函数图象、顶点最值、自变量取值范围等核心知识，实现知识点融会贯通.二次函数的核心价值之一就是解决生活中的最值优化问题，而商品利润问题是最贴合生活、中考考查频次最高的模型。本节课的解题思路、建模方法、最值判定逻辑，可迁移至面积最值、高度最值、成本最优等所有二次函数优化题型.本节课以“生活销售情境—梳理利润关系—建立函数模型—限定取值范围—求最值定方案”为主线，重点培养学生数学建模、运算求解、数据分析的核心素养，是从理论函数走向应用函数的关键一课. 基于以上分析，本节课的教学重点为掌握商品销售问题的数量关系，正确建立利润与调价金额的二次函数模型；利用二次函数顶点最值性质，求解商品最大利润及对应最优定价. 1. 教学目标 （1）熟记商品销售利润等核心公式；能在涨价、降价情境中精准建立利润的二次函数解析式；能结合自变量实际范围，利用二次函数顶点公式求解最大利润与最优售价；能对比不同调价方案选择最优销售策略. （2）经历“分析销售情境—梳理数量关系—建立函数模型—限定变量范围—求解最值方案”的完整探究过程，掌握二次函数解决优化问题的通用流程，提升综合建模与最值运算能力. （3）感受二次函数在商业销售、生活优化中的实用价值，体会数学模型解决实际决策问题的优势，培养严谨的数学思维和理性的方案决策意识，提升数学应用素养. 2.目标解析 目标1本节课实现二次函数知识的综合落地应用，要求学生不仅会建模，更会利用函数性质解决实际最值问题。突破学生只会纯函数求最值、不会结合实际约束条件解题的短板，掌握中考核心题型的解题规范与得分要点. 目标2通过涨价、降价双情境对比探究，让学生掌握分类讨论思想、建模思想、最值优化思想，固化“建模→定域→求最值→验实际”的标准化解题流程，形成通用解题模型. 目标3通过生活化的销售问题，消除学生对函数综合应用题的畏惧心理，让学生体会数学的实用性，学会用数学思维分析生活中的决策问题，实现数学育人的实际价值. 学生已掌握二次函数建模方法、二次函数顶点最值求解公式、自变量取值范围判定方法，同时具备小学、初中一次函数销售利润问题的基础，具备本节课学习的知识铺垫.九年级学生具备一定的情境分析、数量梳理和建模能力，能跟随步骤完成基础建模与运算.学生对“调价引发单件利润、销量双向变化”的复杂数量关系梳理不清，容易漏变、错变数据；习惯纯数学求最值，忽略实际自变量范围对最值的约束，是本节课最大易错点；缺乏分类讨论意识，无法对比涨跌价两种方案.销量变化数量列式错误；忘记限定自变量取值范围；直接套用顶点最值，不验证是否在取值区间内；涨跌价方案混淆. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是根据涨价、降价情境，准确分析单件利润、销售数量的变化规律，避免数量关系列式错误；结合自变量实际取值范围判定最值，理解：当顶点横坐标在取值范围内时，顶点为最值点；超出范围时，最值出现在区间端点；对比涨价、降价两种方案，综合实际销售情况选择最优策略. 创设情景，引入新课 复习回顾：（1）二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0)，当a<0时，抛物线开口向下，顶点为最大值点，顶点横坐标 .(2)销售公式：单件利润 = 售价 − 进价,总利润 = 单件利润 × 销售数量. 设问导入：商品涨价利润会升高，但销量会降低；降价销量升高，但单件利润降低。如何定价才能获得最大利润？ (设计意图:精准复习本节课必备的函数最值知识、销售核心公式，扫清知识障碍。通过矛盾式设问，制造认知冲突，让学生感知利润变化的复杂性，自然引出本节课“利用二次函数求最大利润”的核心课题.） 探究点1 调价情境下的利润变化规律 活动1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 学生合作交流，完成下列问题： 追问1：调整价格有几种情况？ 调整价格包括涨价和降价两种情况. 追问2.本问题我们要分几种情况讨论？ 先来看涨价的情况，再考虑降价的情况. 追问3.设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润随之变化.怎样来确定y随x变化的函数解析式. 每件涨价x元时，每星期要少卖10x件，实际卖出（300－10x）件，销售额为(60+x)（300－10x）元，买进商品需付40(300－10x）元.因此，所得利润 y=(60+x)(300－10x）－40(300－10x)， 即y=-10x²+100x+6 000，其中，0≤x≤30，x为整数. 追问4.根据上面的函数，当x= 时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元，即定 价 元时，利润最大，最大利润是 元？ 5、5、65、6250 追问5.根据以上探究过程，考虑在降价的情况下，最大利润是多少？ 降价2.5元，定价为57.5元，最大利润是6150元. 追问6.根据以上讨论及现在的销售状况，你知道如何定价才能使利润最大了吗？ 定价为65元才能使利润最大，最大利润是6250元. 探究点2 归纳通用解题步骤 根据以上解答过程，归纳解题步骤 ① 辨情境：区分涨价/降价，梳理单件利润、销量变化； ② 建模型：根据总利润公式列二次函数解析式； ③ 定范围：根据销量、价格非负确定自变量范围； ④ 求最值：利用顶点公式求最值，验证顶点是否在取值范围. （设计意图：从单一涨价简单情境入手，分步拆解复杂数量关系，降低探究难度.让学生自主参与变量分析、列式、定范围全过程，构建利润问题的基础模型，归纳标准化解题流程，突破建模难点，为综合例题学习铺垫方法.） 典型例题 例1.小明投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于进价，而每件的利润不高于成本价的． (1)设小明每月获得利润为（元），求每月获得利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得1500元的利润？ (3)当销售单价定为多少元时，每月可获行最大利润？ 【分析】此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题； （1）由题意得，根据利润= （定价进价） 销售量，从而列出关系式； （2）令，解方程即可； （3）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可； 【详解】（1）由题意，得：或 ， ， ． （2）解：令，即， 解得：． ， ， 答：当销售单价定为20元时，每月可获得利润1500元； （3）解：， 对称轴直线． ， 抛物线开口向下． 其对称轴为直线， 当时，最大， 答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润． 例2.某风景区统计了近三年国庆节的游客人数．据统计，2023年国庆节游客人数约为3万，2025年国庆节游客人数约为4.32万． (1)求2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率． (2)已知该风景区有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 元/人 元/人 元/人 据预测，2026年国庆节选择甲、乙、丙三种购票方式的游客各有2万人，当甲、乙两种门票的价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有名原计划购买甲种门票的游客和名原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票，当丙种门票的价格下降多少元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 【分析】（1）设2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率为，则2025年该风景区国庆节游客人数人为，根据2025年国庆节游客人数约为万人，再列方程，解方程可得答案； （2）设丙种门票价格下降元，该风景区国庆节的门票总收入为万元，，再列出与的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大值即可． 本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，利用二次函数的性质求解最大值是解题的关键． 【详解】（1）解：设2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率为， 由题意，得， 解这个方程，得（舍去） 答：2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率20%． （2）设丙种门票价格下降元，该风景区国庆节的门票总收入为万元， 由题意，得 化简，得， ， ∴当时，取最大值，为万元． 答：当丙种门票价格下降元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值，最大值是万元． (设计意图：通过不同形式的练习，让学生掌握基本解法，同时积累解题经验) 课本P53课堂练习. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．今年中秋节前夕，江津区新世纪超市从某厂家分两次购进蛋黄月饼、甜蜜月饼，两次进货时，两种月饼的进价不变．第一次购进蛋黄月饼60袋和甜蜜月饼袋，总费用为元；第二次购进蛋黄月饼袋和甜安月饼袋，总费用为元． (1)求蛋黄月饼、甜蜜月饼每袋的进价各是多少元？ (2)当蛋黄月饼销售价为每袋70元时；每天可售出20袋，为了促销，新世纪超市决定对蛋黄月饼进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄月饼每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄月饼所获得的利润为元． (3)在（2）的条件下，若蛋黄月饼每天销售价为多少元时，每天售出蛋黄月饼所获得的利润最大．最大利润是多少？ 【详解】（1）解：设蛋黄月饼的进价是元袋，甜蜜月饼的进价是元袋， 根据题意得：， 解得：． 答：蛋黄月饼的进价是50元袋，甜蜜月饼的进价是20元袋； （2）设蛋黄月饼的销售价格为元袋，则每袋的销售利润为元，每天可售出袋， 根据题意得：， 解得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当蛋黄月饼每袋的销售价为52元时，每天售出蛋黄月饼所获得的利润为220元． （3）设蛋黄月饼每袋的降价为元时，每天售出所获得的利润最大，利润为元， 根据题意得，， ， 当销售价降低8元时，每天售出所获得的利润最大，最大利润是480元， 即售价62元时，每天售出所获得的利润最大，最大利润是480元． （设计意图：强化二次函数的实际应用） 1．（2025•内江）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【解答】解：（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品 （400﹣m）个， 由题意得，40（400﹣m）+20m≤12000， 解得m≥200， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）由题意得，W＝（a﹣40）[200﹣5（a﹣60）] ＝（a﹣40）（200﹣5a+300） ＝（a﹣40）（500﹣5a） ＝500a﹣20000﹣5a2+200a ＝﹣5（a﹣70）2+4500， ∵﹣5＜0，60≤a≤100， ∴当a﹣70＝0，即a＝70时，W最大，最大值为4500． 2．（2025•南充）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用（3200﹣50m）元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【解答】解：（1）设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为（x﹣15）人， 根据题意得：， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意， ∴x﹣15＝60﹣15＝45（人）． 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人； （2）设租用A型客车m辆，则租用B型客车（10﹣m）辆， 根据题意得：60m+45（10﹣m）≥530， 解得：m， 设本次研学活动学校的租车总费用为w元，则w＝（3200﹣50m）m+3000×0.8（10﹣m）＝﹣50m2+800m+24000， ∵抛物线的对称轴为直线m8， ∴m≤8时，w随着m的增大而增大， ∵m取正整数，且， ∴当m＝6时，w取得最小值，最小值为﹣50×62+800×6+24000＝27000（元）． 答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元． 3．（2025.四川）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是　 　 件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是 （60+10x） 件， 故答案为：（60+10x）； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：（40﹣30﹣x）（60+10x）＝630， 整理可得：x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， 由于要让利于游客，x＝1 舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则W＝（40﹣30﹣x）（60+10x） ＝（10﹣x）（60+10x） ＝﹣10x2+40x+600 ＝﹣10（x﹣2）2+640， ∵﹣10＜0， ∴当x＝2时，W取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． （ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能：（1）核心公式：总利润=（售价−进价）×销售量；（2）核心模型：涨跌价销售问题均可建立开口向下的二次函数模型，存在最大值；（3）解题规范：建模→定自变量实际范围→求顶点最值→验证区间有效性→得出最优定价与最大利润. 思想方法：（1）数学建模思想：将复杂销售实际问题抽象为二次函数最值模型；（2）分类讨论思想：区分涨价、降价两种情境分类求解；（3）数形结合思想：利用抛物线开口、顶点、区间范围判定实际最值； （4）优化决策思想：通过数学计算对比方案，选择最优实际策略. 易错提醒：（1）数量关系易错：涨价单件利润增加、销量减少；降价单件利润减少、销量增加，切勿写反； （2）范围易错：自变量必须满足价格、销量、利润非负，不能取全体实数；（3）最值易错：顶点横坐标必须验证是否在取值区间内，不在区间内则最值取端点值；（4）结论易错：答题必须写明对应定价+最大利润，不可只算利润不写定价等. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题26.4第3、7题. 探究性作业：习题26.4第8题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 26.4 实际问题与二次函数（第二课时） 一、核心认知 二、建模步骤 三、核心思想 四、易错警示 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $