26.4　实际问题与二次函数 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.4　实际问题与二次函数

第1课时　最大高度与最大面积问题

教师备课　素材示例

●情景导入　如图，用10.8 m长的木料，做一个有一条横档的矩形窗框，为了使窗户透进的光线最多，窗框的竖边、横边长应各是多少？

【教学与建议】教学：通过对周长一定的矩形面积最大值的实际问题的导入，引入学生研究二次函数与图形面积问题的一般方法．建议：可以针对以上问题让学生填空：设横边长为x m，面积为S m2.根据题意并结合图形可得S＝__x(5.4－x)__＝__－x2＋5.4x__．∵－__＜__0，∴S有最__大__值，当x＝__－＝1.8__时，S最__大__值，此时5.4－x＝__2.7__，即当窗框的竖边长为__2.7_m__，横边长为__1.8_m__时，窗户透进的光线最多．

●悬念激趣　(1)(做一做)请你画一个周长为18 cm的矩形，算一算它的面积是多少．再和周围同学所画的矩形比一比，你发现了什么？谁画的矩形的面积最大？

(2)(练一练)已知一个矩形的周长为18 m，它的一边长为x m，那么矩形面积S(m2)与x(m)之间有怎样的关系？自变量的取值范围是什么？

(3)(试一试)若想设计一个周长为18 m的矩形广告牌，假如你是设计师，你知道怎么设计才能使广告牌的面积最大吗？

【教学与建议】教学：逐渐增加问题难度，能有效地提高学生的数学建模能力．建议：教师要讲解时关注学生能否将实际问题转化为数学问题．

命题角度1　利用二次函数的性质解决运动中的最大高度问题

运动中的最大高度往往是抛物线顶点的坐标，而落地时，函数值一般为0(根据实际情况分析)．

【例1】如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的高度h(单位：m)与运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝24t－6t2.解答以下问题：

(1)小球从被击出到落地要用多少时间？

(2)小球运动过程中的最大高度是多少？此时运动了多少时间？

解：(1)当h＝0时，24t－6t2＝0，

解得t＝4或t＝0.

4－0＝4(s).

答：小球从被击出到落地要用4 s．

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

(2)h＝24t－6t2＝－6(t－2)2＋24，

∵－6<0，

∴当t－2＝0，即t＝2时，h有最大值，最大值为24，

答：小球运动过程中的最大高度是24 m，此时运动了2 s．

命题角度2　利用二次函数的性质解决图形面积的最值问题

常见题型：(1)利用二次函数解决图形的最大(小)面积问题；(2)几何图形上点的运动问题，何时面积最大(小)．

【例2】(1)如图，某居民小区要在一块一边靠墙(墙足够长)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另外三边用总长为42 m的栅栏围成，CD上留2 m的位置做大门，则CD＝__22__m时，花园的面积最大，最大面积是__242__m2.

(2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12 cm，点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，当PB＝__6_cm__时，四边形PECF的面积最大，最大值为__9_cm2__．

命题角度3　在几何图形运动过程中，判断函数图象

此类问题把几何图形的性质转化为求函数解析式的条件，然后再判断图象．

【例3】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3 cm，BC＝6 cm，动点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，若P，Q两点分别从点A，B同时出发，点P到达点B时两点同时停止运动，则△PBQ的面积S与出发时间t之间的函数关系图象大致是              (C)

              

高效课堂　教学设计

1．让学生能够用二次函数知识解决最值问题．

2．让学生能够根据实际问题构建二次函数模型．

▲重点

掌握用二次函数求最值来解决最大高度和图形面积问题．

▲难点

将实际问题转化为数学问题是本节的难点．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

◆活动1　新课导入

某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆．现在需要调往A县10辆，需要调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元．

(1)设乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式；

(2)求最低总运费是多少元？

解：(1)设乙仓库调往A县农用车x辆，则乙仓库调往B县农用车(6－x)辆，甲仓库调往A县农用车(10－x)辆，调往B县农用车(2＋x)辆．根据题意，得y＝30x＋50(6－x)＋40(10－x)＋80(2＋x)＝20x＋860(0≤x≤6).

(2)∵k＝20>0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝0时，y最小值＝860.∴最低总运费是860元．

引入：正如一次函数能解决实际问题一样，二次函数的实际应用也十分广泛，让我们一起去看看二次函数的实际应用吧．

◆活动2　探究新知

1．教材P51　例1.

提出问题：

(1)请将二次函数h＝－4.9t2＋2.8t＋11化成顶点式，并指出其对称轴和顶点坐标；

(2)请解释该顶点横、纵坐标的含义？

学生完成并交流展示．

2．教材P51　例2.

提出问题：

(1)矩形的面积公式是什么？

(2)如何用x表示另一边？面积S关于x的函数解析式是什么？

(3)由函数解析式S＝－2x2＋20x(0＜x＜10)可知抛物线的开口方向如何？所以面积S在何时取得最大值？

学生完成并交流展示．

◆活动3　知识归纳

一般地，当a＞0(a＜0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最__低__(__高__)点，也就是说，当x＝__－____时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值______.

◆活动4　例题与练习

例1　某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1 000元，设矩形的一边长为x m，面积为S m2.

(1)写出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

 

 (2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．

解：(1)∵矩形的一边长为x m，周长为12 m，

∴另一边长为(6－x)m，

∴S＝x(6－x)＝－x2＋6x，其中0＜x＜6.

(2)∵S＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，

∴当x＝3，即矩形的一边长为3 m时，矩形面积最大，为9 m2，这时设计费最多，为9×1 000＝9 000(元).

例2　如图，有长为30 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃，设花圃的一边AB为x m，面积为y m2.

(1)求y与x之间的函数解析式．

(2)y是否有最大值？如果有，请求出y的最大值．

解：(1)y＝x(30－3x)＝－3x2＋30x(≤x＜10).

(2)y有最大值．∵－＝－＝5，

∴当≤x＜10时，y随x的增大而减小，

∴当x＝时，y最大＝.

练习

1．教材P52　练习第1，2题．

2．用长12 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是 (　C　)

　A．9 m2　　　B．2 m2　　　C．6 m2　　　D．8 m2

◆活动5　课堂小结

利用二次函数解决最大高度和最大面积问题．

1．作业布置

(1)教材P55　习题26.4第3，4题；

(2)对应课时练习．

2．教学反思