26.4　实际问题与二次函数 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数实际应用，涵盖最大高度、面积、利润及抛物线形问题。课堂导入通过情景（窗框透光）、悬念（矩形面积）、置疑（商品利润）等方式，连接实际问题与二次函数知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料特色是以现实问题为载体，引导学生用数学眼光抽象模型，通过问题链培养推理思维，用函数解析式表达现实。例如最大利润问题分析价格与销量关系建立模型，提升学生应用能力，为教师提供丰富案例与活动设计。

26.4　实际问题与二次函数 第1课时　最大高度与最大面积问题 教师备课　素材示例 ●情景导入　如图，用10.8 m长的木料，做一个有一条横档的矩形窗框，为了使窗户透进的光线最多，窗框的竖边、横边长应各是多少？ 【教学与建议】教学：通过对周长一定的矩形面积最大值的实际问题的导入，引入学生研究二次函数与图形面积问题的一般方法．建议：可以针对以上问题让学生填空：设横边长为x m，面积为S m2.根据题意并结合图形可得S＝__x(5.4－x)__＝__－x2＋5.4x__．∵－__＜__0，∴S有最__大__值，当x＝__－＝1.8__时，S最__大__值，此时5.4－x＝__2.7__，即当窗框的竖边长为__2.7_m__，横边长为__1.8_m__时，窗户透进的光线最多． ●悬念激趣　(1)(做一做)请你画一个周长为18 cm的矩形，算一算它的面积是多少．再和周围同学所画的矩形比一比，你发现了什么？谁画的矩形的面积最大？ (2)(练一练)已知一个矩形的周长为18 m，它的一边长为x m，那么矩形面积S(m2)与x(m)之间有怎样的关系？自变量的取值范围是什么？ (3)(试一试)若想设计一个周长为18 m的矩形广告牌，假如你是设计师，你知道怎么设计才能使广告牌的面积最大吗？ 【教学与建议】教学：逐渐增加问题难度，能有效地提高学生的数学建模能力．建议：教师要讲解时关注学生能否将实际问题转化为数学问题． 命题角度1　利用二次函数的性质解决运动中的最大高度问题 运动中的最大高度往往是抛物线顶点的坐标，而落地时，函数值一般为0(根据实际情况分析)． 【例1】如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的高度h(单位：m)与运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝24t－6t2.解答以下问题： (1)小球从被击出到落地要用多少时间？ (2)小球运动过程中的最大高度是多少？此时运动了多少时间？ 解：(1)当h＝0时，24t－6t2＝0， 解得t＝4或t＝0. 4－0＝4(s). 答：小球从被击出到落地要用4 s． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)h＝24t－6t2＝－6(t－2)2＋24， ∵－6<0， ∴当t－2＝0，即t＝2时，h有最大值，最大值为24， 答：小球运动过程中的最大高度是24 m，此时运动了2 s． 命题角度2　利用二次函数的性质解决图形面积的最值问题 常见题型：(1)利用二次函数解决图形的最大(小)面积问题；(2)几何图形上点的运动问题，何时面积最大(小)． 【例2】(1)如图，某居民小区要在一块一边靠墙(墙足够长)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另外三边用总长为42 m的栅栏围成，CD上留2 m的位置做大门，则CD＝__22__m时，花园的面积最大，最大面积是__242__m2. (2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12 cm，点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，当PB＝__6_cm__时，四边形PECF的面积最大，最大值为__9_cm2__． 命题角度3　在几何图形运动过程中，判断函数图象 此类问题把几何图形的性质转化为求函数解析式的条件，然后再判断图象． 【例3】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3 cm，BC＝6 cm，动点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，若P，Q两点分别从点A，B同时出发，点P到达点B时两点同时停止运动，则△PBQ的面积S与出发时间t之间的函数关系图象大致是 (C) 高效课堂　教学设计 1．让学生能够用二次函数知识解决最值问题． 2．让学生能够根据实际问题构建二次函数模型． ▲重点 掌握用二次函数求最值来解决最大高度和图形面积问题． ▲难点 将实际问题转化为数学问题是本节的难点． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ◆活动1　新课导入 某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆．现在需要调往A县10辆，需要调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元． (1)设乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求最低总运费是多少元？ 解：(1)设乙仓库调往A县农用车x辆，则乙仓库调往B县农用车(6－x)辆，甲仓库调往A县农用车(10－x)辆，调往B县农用车(2＋x)辆．根据题意，得y＝30x＋50(6－x)＋40(10－x)＋80(2＋x)＝20x＋860(0≤x≤6). (2)∵k＝20>0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝0时，y最小值＝860.∴最低总运费是860元． 引入：正如一次函数能解决实际问题一样，二次函数的实际应用也十分广泛，让我们一起去看看二次函数的实际应用吧． ◆活动2　探究新知 1．教材P51　例1. 提出问题： (1)请将二次函数h＝－4.9t2＋2.8t＋11化成顶点式，并指出其对称轴和顶点坐标； (2)请解释该顶点横、纵坐标的含义？ 学生完成并交流展示． 2．教材P51　例2. 提出问题： (1)矩形的面积公式是什么？ (2)如何用x表示另一边？面积S关于x的函数解析式是什么？ (3)由函数解析式S＝－2x2＋20x(0＜x＜10)可知抛物线的开口方向如何？所以面积S在何时取得最大值？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 一般地，当a＞0(a＜0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最__低__(__高__)点，也就是说，当x＝__－____时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值______. ◆活动4　例题与练习 例1　某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1 000元，设矩形的一边长为x m，面积为S m2. (1)写出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用． 解：(1)∵矩形的一边长为x m，周长为12 m， ∴另一边长为(6－x)m， ∴S＝x(6－x)＝－x2＋6x，其中0＜x＜6. (2)∵S＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9， ∴当x＝3，即矩形的一边长为3 m时，矩形面积最大，为9 m2，这时设计费最多，为9×1 000＝9 000(元). 例2　如图，有长为30 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃，设花圃的一边AB为x m，面积为y m2. (1)求y与x之间的函数解析式． (2)y是否有最大值？如果有，请求出y的最大值． 解：(1)y＝x(30－3x)＝－3x2＋30x(≤x＜10). (2)y有最大值．∵－＝－＝5， ∴当≤x＜10时，y随x的增大而减小， ∴当x＝时，y最大＝. 练习 1．教材P52　练习第1，2题． 2．用长12 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是 (　C　) 　A．9 m2　　　B．2 m2　　　C．6 m2　　　D．8 m2 ◆活动5　课堂小结 利用二次函数解决最大高度和最大面积问题． 1．作业布置 (1)教材P55　习题26.4第3，4题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 第2课时　最大利润问题 教师备课　素材示例 ●置疑导入　一种商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出25件．已知该商品的进价为每件40元，请问： ①题中调整价格的方式有几种？②如何表示价格和利润之间的关系？③如何确定x的取值范围？④如何定价才能使每星期的销售利润最大？ 【教学与建议】教学：从学生感兴趣的经济问题入手，通过学生观察、思考，小组内相互交流后建立数学模型．建议：关注学生是否能够考虑到两种调整价格的方式，同时注意到两种价格调整方式中自变量的取值范围． ●复习导入　(1)请求出下列二次函数的最大值或最小值： 　 ①y＝2x2－8x＋1；②y＝－x2－6x＋3. (2)用一根长为40 m的绳子围成一个矩形，求围成的矩形的最大面积是多少. 【教学与建议】教学：复习旧知识，强调模型化思想．建议：对于第(1)题可指导学生运用两种不同的方法进行解答；对于第(2)题应先确定矩形的长和宽，再利用矩形的面积公式列函数解析式，最后求最值. 命题角度　利用二次函数的性质解决最大利润问题 此类问题的常见题型：(1)利用二次函数解决最大利润问题；(2)一次函数与二次函数的图象结合解决最大利润问题． 【例】(1)某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y＝ax2＋bx－75.其图象如图． 　 ①销售单价为__10__元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为__25__元； 　 ②销售单价在__7≤x≤13__元时，该种商品每天的销售利润不低于16元． (2)某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(kg)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图． 　 ①求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 　 ②若在销售过程中每天还要支付其他费用500元，当销售单价为多少时，该经销商日获利最大？最大获利是多少元？ 解：①设y＝kx＋b，把(30，140)，(50，100)代入，得解得 ∴y＝－2x＋200(30≤x≤60). ②设日获利为W元，则W＝(－2x＋200)(x－30)－500＝－2x2＋260x－6 500＝－2(x－65)2＋1 950(30≤x≤60). ∵－2＜0， ∴当30≤x≤60时，W随x的增大而增大， ∴当x＝60时，W最大＝－2×(60－65)2＋1 950＝1 900， ∴销售单价为每千克60元时，该经销商日获利最大，最大获利是1 900元． 高效课堂　教学设计 1．让学生能够用二次函数知识解决商品最大利润问题． 2．让学生能够根据实际问题构建二次函数模型． ▲重点 用二次函数知识解决商品最大利润问题． ▲难点 建立二次函数模型． ◆活动1　新课导入 某市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务．甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元六折优惠．且甲、乙两厂都规定：一次印刷数至少是500份． (1)分别求两个印刷厂收费y(元)与印刷数量x(份)的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？ 解：(1)y甲＝1.5×80%·x＋900＝1.2x＋900(x≥500)； y乙＝1.5x＋900×60%＝1.5x＋540(x≥500). (2)由题意，得1.2x＋900＝1.5x＋540，解得x＝1 200. 1．2x＋900＜1.5x＋540，解得x＞1 200， 1．2x＋900＞1.5x＋540，解得x＜1 200， ∴当印刷1 200份时，两个印刷厂一样合算； 当印刷数量大于1 200份时，选甲印刷厂比较合算； 当印刷数量大于500小于1 200份时，选乙印刷厂比较合算． 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 引入：正如一次函数能解决经济问题一样，二次函数在商品利润问题中的应用也十分广泛，让我们一起进入今天的学习吧． ◆活动2　探究新知 1．教材P52　探究1. 提出问题： (1)问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？如果你是老板，你会怎样定价？ (2)若设每件涨价x元，获得的利润为y元，则每星期少卖多少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品时需付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？何时有最大利润，最大利润为多少元？ (3)若设每件商品降价x元，获得的利润为y元，则每星期多卖多少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品时需付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？何时有最大利润，最大利润为多少元？ (4)由此可知应如何定价才能使利润最大？ 学生完成并交流展示． 2．某商场卖一种服装，由经验可知，销售利润与销售定价之间存在二次函数关系，且二次函数的系数a小于0，据调查，当定价为150元或300元时，能获得相同的利润，则要使利润最大，其售价应为多少元？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．商品单件利润＝售价－进价． 2．总利润＝单件利润×销售总数量． ◆活动4　例题与练习 例1　春节期间，物价局规定花生油最低价格为4.1 元/L，最高价格为4.5元/L，小王按4.1 元/L购入，若原价卖出，则每天平均可卖出200 L，若价格每上涨0.1元，则每天少卖20 L油，问油价定为多少时，每天获利最大？最大获利为多少？ 解：设油价定为x元/L时获利y元，则y＝(x－4.1)(200－×20)＝－200(x－4.6)2＋50. ∵4.1≤x≤4.5， ∴当x＝4.5时，y最大值＝－200×(4.5－4.6)2＋50＝48， 即油价定为4.5元/L时，每天获利最大，最大获利为48元． 例2　为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系：y＝－10x＋1 200. (1)求利润W(元)与销售单价x(元)之间的关系式(利润＝销售额－成本). (2)当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？ 解：(1)W＝y(x－40)＝(－10x＋1 200)(x－40)＝－10x2＋1 600x－48 000. (2)W＝－10x2＋1 600x－48 000＝－10(x－80)2＋16 000， ∴当销售单价定为80元时，该公司每天获取的利润最大，最大利润是16 000元． 练习 1．教材P53　练习第1，2题． 2．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个；若这种商品在一定范围内每降价1元，每日销量就增加1个．为了获得最大利润，则应该降价 (　A　) 　A．5元　　　　B．10元　　　　C．15元　　　　D．20元 3．某商品单个利润y(元)与变化的单价x(元)之间的关系为y＝－5x2＋10x，当0.5≤x≤2时，最大利润是__5__元． ◆活动5　课堂小结 1．用二次函数解决商品利润问题的方法． 2．解决利润相关问题中需要注意的问题． 1．作业布置 (1)教材P55～56　习题26.4第7，8题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 第3课时　非最值类抛物线形实际应用问题 教师备课　素材示例 ●情景导入　(1)欣赏一组石拱桥的图片(如图)，观察桥拱的形状．这组石拱桥图案中，桥拱的形状和抛物线像吗？有关桥拱的问题可以用抛物线知识来解决吗？ (2)步行街广场中心处有高低不同的各种喷泉(如图)，喷泉喷出的水柱的形状和抛物线像吗？有关喷泉的问题可以用抛物线知识来解决吗？ 【教学与建议】教学：从学生生活中熟知的拱桥和喷泉问题引入新课，为探索二次函数的实际应用提供背景材料．建议：让学生欣赏这一组图片以后，引入问题． ●置疑导入　问题1：现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥吧？能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题呢？ 　　　 问题2：如图中的抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水面下降1 m，水面宽度增加多少？ 【教学与建议】教学：从学生熟知的拱桥图片入手，建立数学模型．建议：(1)先复习二次函数解析式的形式；(2)观察图象，建立平面直角坐标系，找出点和坐标，探索函数解析式． 命题角度1　利用二次函数的性质解决抛物线形拱桥、隧道、帐篷等问题 【例1】(1)某桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的解析式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，水面宽度AB为 (C) A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m 　　　　　　　　　　　　　　 (2)如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1 m，拱桥的跨度为10 m，桥洞与水面的最大距离是5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯，则两盏景观灯之间的水平距离是__5_m__． 命题角度2　利用二次函数的性质解决刹车、投篮、喷水等其他实际问题 【例2】(1)在中考体考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝－x2＋x＋，由此可知该生此次实心球训练的成绩为__10__m. (2)如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2 m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1 m，且到地面的距离为3.6 m. ①建立适当平面直角坐标系，确定抛物线的函数解析式； ②求水流的落地点D到喷水枪底部B的距离． 解：①建立平面直角坐标系，如图． 由题意，得P(1，3.6)，AB＝2，A(0，2). 设抛物线的函数解析式为y＝a(x－1)2＋3.6. 将A(0，2)代入，得a(0－1)2＋3.6＝2，解得a＝－1.6， ∴抛物线的函数解析式为y＝－1.6x2＋3.2x＋2. ②当y＝0时，有－1.6x2＋3.2x＋2＝0， 解得x1＝2.5，x2＝－0.5(舍去)， ∴BD＝2.5， ∴水流的落地点D到喷水枪底部B的距离为2.5 m． 高效课堂　教学设计 1．让学生能够用二次函数知识解决拱桥问题． 2．让学生能够根据实际问题构建二次函数模型． ▲重点 建坐标系解决拱桥问题． ▲难点 建立适当的坐标系解决抛物线形实际问题． 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ◆活动1　新课导入 现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥(如图)吧？能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题呢？ ◆活动2　探究新知 教材P53　探究2. 提出问题： (1)对于抛物线形拱桥，要是能知道此抛物线的函数解析式就好了．你能确定这条抛物线的函数解析式吗？ (2)水面上升1 m的含义是什么？怎样把距离转化成坐标？如何求宽度增加多少？你能先在图中建立一个恰当的平面直角坐标系，使抛物线形拱桥转化为坐标系中的抛物线吗？ (3)你还有其他的解决方法吗？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．将线段长度转化为点的坐标问题． 2．利用点的坐标以及抛物线的特点，设出函数解析式并求解． 3．利用函数解析式求点的坐标，转化为线段的长度． ◆活动4　例题与练习 例1　如图①，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20 m，顶点M距水面6 m(即MO＝6 m)，小孔顶点N距水面4.5 m(即NC＝4.5 m)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图②中的平面直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF. 图①　　　　　　　　　　图② 解：设大孔对应的抛物线的函数解析式为y＝ax2＋6. 依题意，得B(10，0)，∴a×102＋6＝0， 解得a＝－0.06，即y＝－0.06x2＋6. 当y＝4.5时，－0.06x2＋6＝4.5，解得x＝±5. ∴DE＝DF＝5 m，∴EF＝10 m，即水面宽度EF为10 m． 例2　如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方A，B距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子C处，求绳子的最低点距地面的距离为多少米？ 解：建立如图所示的平面直角坐标系．可设它的函数解析式为y＝ax2＋k. 把B(1，2.5)，C(－0.5，1)代入，得解得 ∴抛物线的函数解析式为y＝2x2＋0.5. ∵a＝2＞0，∴y有最小值，∴当x＝0时，y最小＝0.5. 答：绳子的最低点距地面的距离为0.5 m． 练习 1．欢欢在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数h＝3.5t－4.9t2(t的单位：s，h的单位：m)可以描述她跳跃时重心高度随时间的变化关系，则她起跳后到重心到达最高时所用的时间是____s. 2．某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 m，与篮圈中心的水平距离为7 m，当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m. (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲面前1 m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m，则他能否获得成功？ 解：(1)能投中．由题意，设篮球运行轨迹的抛物线为y＝a(x－4)2＋4.易得其过点(0，)，∴＝a×(0－4)2＋4，解得a＝－，∴y＝－(x－4)2＋4. 当x＝7时，y＝－×(7－4)2＋4＝3.∴能投中． (2)当x＝1时，y＝3＜3.1，∴能成功． ◆活动5　课堂小结 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： ①建立适当的平面直角坐标系；②写出抛物线上的关键点的坐标；③运用待定系数法求出函数解析式；④求解数学问题；⑤求解抛物线形实际问题． 1．作业布置 (1)教材P55 　习题26.4第1，2题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $