26.4实际问题与二次函数（第1课时最大（小）值问题）（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决实际最值问题，通过回顾二次函数开口方向、顶点坐标等旧知，结合跳水运动员重心高度与时间关系的情境导入，搭建从性质到应用的学习支架。 其亮点在于以运动（如小球上抛）和几何（如矩形菜园）实例为载体，通过问题探究培养数学思维与模型意识，总结四步解题法助力学生掌握，教师可借助系统实例提升教学效率。

第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 第1课时 最值问题 学 习 目 标 1 2 3 能将实际问题中的变量关系转化为二次函数模型，掌握利用二次函数顶点公式求实际问题中最值的方法. 能根据实际问题的意义确定二次函数自变量的取值范围，并结合取值范围判断函数的最值； 经历 “实际问题→建立二次函数模型→求解最值→解释实际意义” 的全过程，培养数学建模能力和分析解决问题的能力。 新课引入 回顾 1.二次函数 () 开口方向由什么决定？ 2.二次函数的顶点坐标是什么？ 3.当和时，函数分别在什么位置取得最大值或最小值？ 开口方向 时，开口向上 时，开口向下 顶点坐标 顶点横坐标： 顶点纵坐标： 最值 当时，函数有最小值； 当时，函数有最大值。 情境 新课引入 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度 (单位：m)与起跳后的时间 (单位：s) 之间的关系式是。 今天我们就一起来学习如何用二次函数解决实际生活中的最值问题。 该情景中的关系式是二次函数，二次函数的性质在生活中有着广泛的应用，如运动员跳水的最大高度. 新知探究 运动中的最值问题 探究1 “最大高度”对应二次函数的最大值。 ①在情境中，运动员起跳后经过多长时间达到最高点？ ②运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位） 时间和高度，是的二次函数 由关系式可知： 想一想 “达到最高点”和“最大高度”分别对应二次函数的什么量？ 分析 “达到最高点”对应二次函数取得最大值时自变量的值. 新知探究  解： 确定二次函数的系数： ，，。 计算顶点横坐标（达到最高点的时间）： 计算顶点纵坐标（最大高度）： 教师带领学生分步计算，最终得到 (m)。 新知探究 思考 （1）图象的开口方向是什么？为什么？ （2）图象的顶点坐标是什么？它表示什么实际意义？ （3）你能结合图象描述运动员从起跳到入水的整个运动过程吗？ （2）顶点坐标约为，表示运动员起跳后 0.3s 时重心达到最高点，最大高度为 11.4m； （3）运动员起跳后重心先上升，0.3s 时达到最高点，之后重心下降，直到入水。 （1）图象开口向下 因为； 新知巩固 运动中的最值问题 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度 (单位：m)与运动时间 (单位：s)的关系式为 。小球运动到最高点时的时间和最大高度分别多少？ 【分析】小球的运动轨迹是抛物线，最高点对应抛物线的顶点。 解： 对于二次函数 其中，，。 抛物线开口向下，函数有最大值。 最大高度（顶点纵坐标）： 因此，小球运动2s时达到最高点，最大高度为20m. 8 新知探究 几何中的最值问题 探究2 利用一面墙（墙的长度不限），用 长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 要求矩形的最大面积，需要先建立面积与边长之间的函数关系. 矩形面积 在这个问题中，自变量可以取任意实数吗？为什么？ 解得 不可以，因为矩形的边长必须为正数，所以 ，且 设垂直于墙的边长为 则平行于墙的边长为 新知探究 顶点横坐标(m) 在的范围内，符合实际意义。 答：当垂直于墙的边长为 5m,平行于墙的边长为 10m 时，菜园的面积最大，最大面积是 50。 顶点纵坐标 知识小结 思考 解决实际最值问题的一般步骤是什么？ 解决实际最值问题的一般步骤： 1.分析变量关系，建立二次函数模型； 2.根据实际意义，确定自变量的取值范围； 3.利用顶点公式或函数单调性求最值； 4.解释最值的实际意义。 新知巩固 几何中的最值问题 如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是多少？ 【分析】设，花圃面积为，根据题意得，利用二次函数的性质求解即可． 解：设花圃面积为，则， 根据题意，， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为32， 故这个花圃的最大面积是， 12 巩固训练1 运动中的最值问题 小红跳绳时，绳子的最低点距离地面的高度（单位：cm）与时间（单位：s）的关系式为。绳子距离地面的最大高度是多少？ 【分析】，求最大高度即求函数的最大值，只需代入顶点纵坐标公式计算即可。 ， 函数有最大值。 最大高度为顶点纵坐标： 因此，绳子距离地面的最大高度是52cm. 解：对于二次函数 其中，，。 (cm) 巩固训练1 运动中的最值问题 变式题 某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）的关系式为。飞机着陆后滑行多远才能停下来？ 解：对于二次函数，其中，，。 ， 函数有最大值。 当时，滑行距离最大。 最大滑行距离 因此，飞机着陆后滑行才能停下来。 巩固训练2二次函数与一面靠墙面积问题 如图是一面足够长的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，若设的长度为，则矩形花园的面积与的函数解析式是什么？ 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列式． 由题意得，， 故函数解析式为：． 【详解】解：设的长度为 则， 巩固训练2二次函数与一面靠墙面积问题 变式题 为了深入推进劳动教育，开展劳动实践活动，某校打算建一个如图所示的矩形菜地．菜地的一面利用学校边墙（墙长），其他三面用栅栏围住，但要开一扇宽的进出口（不需要栅栏），已知栅栏的总长度为10m，求矩形菜地的面积最大为多少平方米（栅栏的宽度忽略不计）？ 解：设菜地垂直于墙的一边长是米，则平行于墙的一边是米， 面积， 解得：， ，对称轴， 当时，最大（平方米） 巩固训练3二次函数与常见几何图形的面积问题 用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（），则窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【分析】根据题意，得，根据矩形的面积公式解答即可． 解：根据题意，得， 故窗框的透光面积关于（）的函数表达式为． 故选：C． 巩固训练3二次函数与常见几何图形的面积问题 变式题 如图，一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路，剩余面积种植庄稼，设剩余面积为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 解：∵一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路， ∴剩余面积的长和宽分别为 ∴ 自变量取值范围为 课堂总结 本节课你学到了什么？ 19 感谢聆听! 20 $