26.4 实际问题与二次函数（第1课时）-课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决实际问题，以跳水运动员重心高度与时间的函数关系为导入，通过思考问题引出二次函数最值求法，再过渡到矩形菜园等几何图形面积最值，构建从具体实例到抽象方法再到应用的学习支架。 其亮点在于问题驱动与变式训练结合，通过跳水、矩形菜园（含墙长限制变式）等实例，培养数学眼光（抽象函数模型）和数学思维（分析自变量范围与最值关系）。方法点拨与课堂小结（一个关键、一个注意）帮助学生系统掌握，中考链接提升应用能力，对学生可发展建模意识，对教师提供完整教学流程与资源。

26.4 实际问题与二次函数 （第1课时） 人教版 数学 九年级 上册 1 七彩城就梦想 　 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）之间的关系式是h=−4.9t2+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？ 导入新知 【思考】 素养目标 2.会应用二次函数的性质解决实际问题. 1. 掌握几何问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数解析式求图形面积的最值. 3 七彩城就梦想 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）之间的关系式是h=−4.9t2+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.） 二次函数与几何图形面积的最值 知识点 探究新知 分析：运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题. 4 七彩城就梦想 由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 【想一想】 如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？ 探究新知 【分析】 5 七彩城就梦想 因此，运动员起跳后大约0.3s 时，其重心达到最高点，最大高度为 11.4 m． 探究新知 解： 一般地，当a>0(a<0)时，抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x= 时，二次函数有最小（大）值 . 对于二次函数h=−4.9t2+2.8t+11， 当 时，h有最大值 6 七彩城就梦想 探究新知 【想一想】函数h=－4.9t²+2.8t+11的图象如图所示，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗？ 【解析】运动员从11m高度起跳，先向上做减速运动,约0.3s后到达11.4m的最高点，随后向下做加速运动，约1.8s后落入水中，整个过程的重心高度变化呈现先增后减的抛物线形态. 7 七彩城就梦想 例 如图，利用一面墙（墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园．如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 若设垂直于墙的边长为xm,如何用x表示另一边？ 问题3 面积S的函数解析式是什么？ 利用二次函数求几何图形的面积的最值 素养考点 探究新知 设垂直于墙的边长为xm,则平行于墙的边长为（20－2x）m， 矩形菜园的面积S=x(20－2x)， x 20－2x 解： 即S=－2x2+20x (0<x<10). 探究新知 当 时， S有最大值 因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50m². 在实际问题中，函数自变量的取值应使问题有现实意义.如菜园的边长应为正数，即x＞0，且20-2x＞0. 方法点拨 利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： 1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数解析式； 2.确定自变量的取值范围； 3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； 4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值. 探究新知 x 20－2x 变式 如图，利用一面墙（墙的长度为8m)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园．如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？ 问题3 面积S的函数解析式是什么？ 问题1 变式与例题有什么不同？ S＝x(20－2x)=－2x2+20x. 设垂直于墙的边长为x米. 探究新知 11 七彩城就梦想 问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长8m对此题有什么作用？ 问题5 如何求最值？ 由于5＜6，因此只能利用函数的增减性求其最值. 即当x=6m时，S有最大值， 最大值为S=-2×62+20×6=48（m2）. 探究新知 即6≤x＜10. x＞0， 20－2x＞0， 20－2x≤8， 方法点拨 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围进行分析.通过例题和变式，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值. 探究新知 已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？ 巩固练习 解：∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长x, ∴ 另一边长为8-x. 则该直角三角形面积为 即 当 S有最大值 ＝ ∴当 时，直角三角形面积最大，最大值为8. S=（8-x）x÷2, x= =4,另一边为4时, 8, 两直角边都是4 （四川巴中中考）如图,计划用长为40m2的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25m). (1)矩形围栏的面积为150m²时，三边分别长多少？ 解：设垂直于墙的一边长xm. 根据题意，得x（40-2x）=150. 解得x1=5,x2=15. 当x=5时,40-2x=30>25（不符合题意，舍去）； 当x=15时,40-2x=10<25（符合题意）. ∴三边长分别为10m,15m,15m. 链接中考 （四川巴中中考）如图,计划用长为40m2的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25m). (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少m? 解：设设矩形围栏的面积为Sm². 根据题意,得S=x（40-2x）=-2（x-10)²+200 当x=10时,S有最大值，S最大值=200； 当x=10时，40-2x=20<25（符合题意）. ∴三边长分别为20m,10m,10m. 链接中考 1. 用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大面积是________. 基础巩固题 课堂检测 17 七彩城就梦想 2.如图1，在△ABC中， ∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小. 3 A B C P Q 图1 课堂检测 1. 如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？ 解：令AB长为1，设DH=x，正方形EFGH的面 积为y，则DG=1-x. 即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小. 能力提升题 课堂检测 当x= 时，y有最小值 . ∴ 2. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²． (1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围. 课堂检测 解： 即 (2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？ 课堂检测 解： ∵0＜x＜25， ∴当x=20时，满足条件的绿化带面积y最大值=200. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2). (1)写出S与x之间的解析式，并写出自变量x的取值范围； 解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x), S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6. 拓广探索题 课堂检测 22 七彩城就梦想 (2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; 当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2. 这时设计费最多，为9×1000=9000（元）. (2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用. 课堂检测 解： 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数解析式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 课堂小结 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 课后作业 谢谢观看 $