考点05 抛物线与几何图形有关的最值问题 4考点5题型+能力强化（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“方法-题型-易错”三维架构系统突破抛物线几何最值，提炼5大核心方法与6步解题流程，实现从单点到综合问题的逻辑递进，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心方法|5类|二次函数顶点法、将军饮马对称法、铅锤面积法等|从基础最值到复杂几何变换，构建方法-问题对应体系| |解题步骤|6步标准流程|定基础-设动点-列关系式-化函数-求最值-验作答|形成可迁移的解题思维链，提升推理能力| |单动点线段|1例+6变式|距离公式法+顶点法|从水平/竖直线段到斜线段，实现坐标与几何转化| |将军饮马周长|1例+6变式|对称转化法|依托轴对称实现折线转直线，强化空间观念| |三角形面积|1例+4变式|铅锤高公式|固定底边求高最值，建立面积与二次函数关联| |四边形面积|1例+4变式|割补法+铅锤法|分解图形为三角形组合，培养几何直观| |胡不归最值|1例+4变式|三角函数转化法|构建PA+kPB模型，发展创新意识与应用能力|

考点05 抛物线与几何图形有关的最值问题 考点一：核心考点梳理 1. 抛物线基础最值考点 对于二次函数抛物线 ，函数最值仅在顶点处取得，是所有几何最值问题的基础： 当 ，抛物线开口向上，顶点为最低点，函数有最小值； 当 ，抛物线开口向下，顶点为最高点，函数有最大值； 通用最值公式：顶点纵坐标 ，对称轴 。 核心前提：若动点自变量有取值范围，顶点不在取值区间内时，最值需在区间端点处取得。 2. 线段最值考点 定点+抛物线上动点组合：依托两点之间线段最短、垂线段最短两大几何公理求解； 双动点线段：分为水平/竖直线段（直接用坐标差求解）、斜线段（两点间距离公式求解）。 3. 周长最值考点 核心模型为将军饮马轴对称模型，核心思路：将折线段周长通过对称变换转化为直线段，利用线段最短原理求最小周长，多用于三角形、四边形折线周长最值。 4. 面积最值考点 以平面直角坐标系中三角形、四边形面积最值为主，核心方法为割补法、铅锤高公式，核心思路：固定底边求高的最值，或固定高求底边的最值，转化为二次函数最值问题。 5. 特殊几何图形最值考点 结合等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、相似三角形等特殊图形性质，求解图形边长、周长、面积的最值，需结合图形判定条件+二次函数极值综合求解。 考点二： 核心方法 1.二次函数顶点法：适用所有单变量二次函数最值问题，纯抛物线上动点最值优先使用，简洁高效； 2.将军饮马对称法：专属折线周长最短问题，无法直接用距离公式求解的折线段最值唯一最优解法； 3.铅锤面积法：平面直角坐标系中三角形面积计算与最值的万能方法，适配所有斜三角形，规避复杂割补； 4.距离公式法：通用斜线段长度计算，适用于所有两点间线段最值问题； 5.分类讨论法：特殊三角形、平行四边形等几何图形最值必备方法，杜绝漏解、错解。 考点三： 通用标准解题步骤 1.定基础：求出抛物线解析式、定点坐标、对称轴，明确动点运动范围（自变量取值范围）； 2.设动点：设抛物线上动点横坐标为 ，结合解析式表示出完整坐标； 3.列关系式：根据几何性质（线段、周长、面积、特殊图形性质）列出对应表达式； 4.化函数：整理化简为标准二次函数 形式； 5.求最值：结合开口方向、对称轴、自变量取值范围，求出对应最值； 6.验作答：验证动点位置、图形存在性，规范书写答案。 考点四： 高频易错点全面梳理 1.最值方向判断错误：混淆抛物线开口方向，将最大值、最小值颠倒，是基础高频错误； 2.对称模型误用：将军饮马问题中找错对称对称轴、对称点，导致动点位置、最值长度计算偏差； 3.铅锤高计算失误：忽略坐标正负，未加绝对值，出现面积为负、数值偏差等问题； 4.动点坐标代入错误：设出动点坐标后，代入抛物线解析式出错，导致后续函数表达式全部失真； 5.分类讨论不全面：等腰、直角三角形问题遗漏某一种情况，导致漏掉最值解； 6.忽略自变量取值范围：盲目套用顶点最值公式，未判断顶点是否在动点可取区间内，区间内需用端点值求最值； 7.单位与逻辑疏漏：周长、面积最值求解后，未验证几何图形是否存在，出现无效最值解。 题型一： 单动点线段最值问题（基础必考） 题型特征：平面内有定点，抛物线上有一动点，求两点间线段长度的最值。 通用解题方法： 1.设抛物线上动点坐标：令动点横坐标为 ，代入抛物线解析式得纵坐标 ； 2.根据线段类型列式：水平距 ，竖直距 ，斜线段用两点距离公式 ； 3.整理为二次函数形式，结合自变量取值范围求最值。 【例1】已知抛物线 ，点 是抛物线上第一象限内的动点，过点 作 轴，交直线 于点 ，求线段 的最大值。 解析： 1. 确定取值范围：抛物线与x轴交点为 ，第一象限动点 范围：。 2. 设点坐标：设 ，则 。 3. 列线段表达式：竖直线段 4. 二次函数求最值：，开口向下，对称轴 （在取值范围内） 代入得： 答案： 最大值为 易错警示：必须限定自变量范围，若顶点不在区间内，不可直接用顶点最值。 【变式1-1】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，二次函数的图象（记为）经过点A，C．直线与两个图象，分别交于点M，N，与x轴交于点P． (1)求b，c的值； (2)当点P在线段上时，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：对于二次函数，当时，， 解得：，， ，，                 当时，， ，                 ∵二次函数的图象经过点A，C． ∴， 解得； （2）解：由（1）知的表达式为， ∵直线与x轴垂直， ，，其中， ，             ， ∴当时，取得最大值． 【变式1-2】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，，直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点． (1)求，的值； (2)当点在线段上时，求的最大值； (3)设点，到直线的距离分别为，，当时，对应的值有________个． 【答案】(1)， (2) (3)2 【详解】（1）解：在二次函数中，当时，，即， 当时，，解得，， ∴，， ∵二次函数的图象（记为）经过点，， ∴， 解得：，； （2）解：由（1）可得图象的解析式为， ∵直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点， ∴，， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为； （3）解：如图：作于点，于点，设交于点， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴、均为等腰直角三角形， 由题意可得：，， ∴，， 由题意可得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得，当时，的值最大，最大值为， ∵， ∴结合图象可得，当或时，共2个t值，满足， 故对应的值有2个． 【变式1-3】（25-26九年级上·重庆南岸·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于两点（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，作直线．已知是抛物线上的两点． (1)求抛物线的表达式； (2)试判断是否存在实数使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)已知点是抛物线在第一象限上的一点，过点作轴的垂线，交于点．当取得最大值时，在抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【详解】（1）解：，． 将代入，得， 解方程组，得， ∴抛物线的解析式是； （2）解：，， ． ． 关于的一元二次方程． ∴不存在满足条件的； （3）解：∵抛物线与轴交于点，故． ，，则直线为． 设的坐标为，则． ． 当取得最大值时，．此时 ，． 设的坐标为． 当点在点的左边，，如答图1． ， ． ． ， ∴直线为． ，且过点， ∴直线为． 直线经过点， ． 解方程，得（舍去）． ． 当点在点Q的右边，． 如答图2，过点作轴，与过点与轴平行的直线交于点． 则． ， ， ． ． ，即． ∴整理，得． 解方程，得（舍去）． ． 综上所述：满足条件的点为或． 【变式1-4】（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．动点在线段上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)抛物线上有一点，当时，请直接写出直线的解析式． 【答案】(1) (2)当时，线段有最大值 (3)或 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点， 设抛物线， 抛物线与轴交于点， ， 解得， 即， 抛物线的解析式为； （2）解：设点， 由（1）知抛物线的解析式为， 当时，， 即； 设， 将、代入解析式得， 解得， ； 当时，， 即； ， ， 抛物线开口向上，当时，线段有最大值； （3）解：、， ， ， 是等腰直角三角形， 则， 由可知，分两种情况， 当点在上方的抛物线上时，设直线交x轴于点D，如图所示： ， 在中，，，则， 由勾股定理可得，即， 设， 将、代入解析式得， 解得， ； 当点在下方的抛物线上时，设直线交x轴于点D，如图所示： ， 在中，，，则， 由勾股定理可得，即， 解得，则， 设， 将、代入解析式得 ， 解得， ； 综上所述，直线的解析式为或． 【变式1-5】（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，其中点的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线向左平移个单位，然后向下平移个单位，恰好经过点，则的值为 ； (3)设点是线段上的动点，作直线轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)最大值为 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（）得抛物线的解析式为， ∴， ∵将抛物线向左平移个单位，然后向下平移个单位， ∴平移后的解析式为， ∵平移后的解析式恰好经过点， ∴， 解得：或（舍去）， 故答案为：； （3）解：如图，作直线轴于点，交抛物线于点， 由（）得抛物线的解析式为， 令，则； ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，为． 【变式1-6】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线经过点和点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)当线段长等于2时，求点的坐标． (3)直接写出线段长的最大值是________． 【答案】(1)；点的坐标为 (2)或 (3) 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴可得， 解得， 抛物线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 直线的解析式为； 轴，点的横坐标为， ， ， 解得或， ， 或； （3）解：， ，， 当时，取最大值，最大值为． 长度的最大值是． 故答案为：． 题型二： 将军饮马周长最值问题（高频压轴） 题型特征：含抛物线上动点的折线段周长最小、三角形/四边形最小周长问题。 通用解题方法： 1.确定定点、动点及对称轴（抛物线对称轴、坐标轴）； 2.作定点关于对称轴/坐标轴的对称点，实现折线段转直线段； 3.连接对称点与另一定点，连线与对称轴的交点即为最值动点； 4.连线长度即为最小折线段长度，进而求出最小周长。 【例2】已知抛物线 ，对称轴为直线 ，抛物线与y轴交于点 ，与x轴右交点 ，点 是对称轴上一动点，求 最小周长。 解析： 1. 模型分析： 周长 ， 为定长，只需最小化 。 2. 对称转化：抛物线对称轴 ，作 关于 的对称点 。 3. 两点线段最短：，当 三点共线时取最小值。 4. 计算长度：， 5. 最小周长： 易错警示：对称点必须找对对称轴，区分坐标轴对称与抛物线对称。 【变式2-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，点Q是对称轴上一动点． （1）_________． （2）当的周长最小时，则_________． 【答案】 【详解】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点，， ∴ 解得 ， 故答案为：； （2）如图所示，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∵是定值， ∴当P、Q、N三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 设直线的表达式为， ∴ 解得， 直线的表达式为． 抛物线的表达式为， 此抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， ∴的周长有最小值时，点Q的坐标为， ∴此时 ∵， 当的周长最小时，， 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且图象经过点，，连接AC． (1)求的值． (2)点D是轴上一动点，过点D作轴，交直线于点，交抛物线于点E，设点D的横坐标为． ①当点D在线段（点D不与点重合）上运动时，过点E作，垂足为F，求周长的最大值及此时点E的坐标． ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①的周长的最大值为，此时点的坐标为；②的取值范围为或或 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为. （2）解：①在中，当时，，即， 当时，， 解得：，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，设点的横坐标为． ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴周长为： ， ∵， ∴当时，周长的最大值为， 此时， ∴的周长的最大值为，此时点的坐标为； ②由①可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 当时，可得：或， 解时，可得：， 综上所述，的取值范围为或或． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若，第二象限内有一动点，满足，求周长的最小值； (3)抛物线上有一个动点，记的面积为，若点符合条件的位置有且只有3个，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：将点，代入，得， 解得， ∴． （2）解：，， ∴， ∵，，则，， ∴为定值， ∴当取得最小值时，有最小值， 当点在线段上时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为． （3）解：由题意得，存在两条直线与抛物线有且只有3个交点且与直线平行，其中一条与抛物线有且只有1个交点， 设该直线的解析式为， 联立方程，得，整理得，， 有且只有一个交点， ∴， 解得， ∴点符合条件的位置之一在直线上， 设直线与轴交于点，则， ∴． 【变式2-4】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上一点，且，求点D的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D坐标为或或 (3)存在，点P坐标为 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：设点D坐标为， ∵， ∴， ∴， 即 ∴或， 解得：，此时； 解得：，此时或 ∴点D坐标为或或； （3）解：存在， 如图所示，连接，， ∵点A、B关于抛物线对称轴对称， ∴， ∴的周长， 即当点B、P、C三点共线时，此时的周长最小， 对于，令，则， ∴， 设直线解析式为，将，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∴对于，当时，， ∴点P坐标为． 【变式2-5】（25-26九年级上·天津西青·期末）已知抛物线（b，c为常数）与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求该抛物线的解析式及点的坐标． (2)抛物线上一点在直线上方，其横坐标为，过点作轴交于点，交于点，若存在点使的周长取得最大值，求出点的坐标． (3)点是抛物线上一点，满足，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得， ∴该抛物线的解析式为， 将代入得：， ∴点的坐标为． （2）解：由题意，画出图形如下： 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线上一点在直线上方，其横坐标为，且轴交于点， ∴， ∴， ∵轴轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 ， 由二次函数的性质可知，当时，的周长取得最大值， 此时， ∴点的坐标为． （3）解：设点的横坐标为， ①如图，当点在直线的上方时， 过点作轴于点，作轴于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将点代入得：， 解得或（不符合题意，舍去）； ②如图，当点在直线的下方时， 过点作轴于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将点代入得：， 解得或（不符合题意，舍去）； 综上，点的横坐标为或． 【变式2-6】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图1，抛物线交轴于点，点，交轴于点 (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； (2)当时，的取值范围为___________；（直接写出答案） (3)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (4)如图2，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为，求证：是一个定值． 【答案】(1)抛物线的表达式为，顶点的坐标为； (2) (3) (4)见解析 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵抛物线开口向下，对称轴在范围内， ∴在处取得最大值． 当时，； 当时，． ∴的最小值为0． ∴， 故答案为：； （3）解：的周长． 其中的长度一定， 当最小时，的周长最小． ∴点A关于对称轴的对称点为， ∴． ∴只需在对称轴上找一点P，使最小． 当B，P，C三点共线时，最小，即为的长． 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为． 当时，， ∴； （4）解：设过原点O的直线为， 与抛物线联立，得， 整理得：， ∵过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为， ∴该方程的两个根即为M，N的横坐标m，n， ∴， 由于−3是与k无关的常数， ∴是一个定值． 题型三： 三角形面积最值问题（核心高频） 万能解题工具：铅锤高公式 水平底 铅锤竖直高 解题步骤： 1.选取两个定点连线作为三角形固定底边，确定水平底长度； 2.过抛物线上动点作竖直直线，截底边线段得到可变铅锤高； 3.用动点坐标表示铅锤高，代入面积公式得到二次函数； 4.利用二次函数性质求面积最值。 【例3】抛物线 ，、 为定点，点 是直线 上方抛物线上动点，求 最大面积。 解析： 1. 求直线解析式：直线 ：。 2. 设点+表示铅锤高：设，铅锤高 。 3. 铅锤公式求面积：水平底取 4. 求最值：，对称轴 答案：最大面积为 方法点拨：铅锤高法无需复杂割补，是坐标系三角形面积最值最优解法。 【变式3-1】（25-26九年级上·山东菏泽·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C． (1)求出点A、B、C的坐标； (2)若点D为抛物线上在第一象限内的动点，请连接，，并解答下面的问题：当点D运动到何处时，的面积最大？并求出点D的坐标和面积的最大值． 【答案】(1)，， (2)，面积的最大值是8 【详解】（1）解：， 当时，或， ，； 当时，， ； （2）解：设直线的解析式为，将代入， 得：， 解得， 直线的解析式为， 点D为抛物线上在第一象限内的动点， 可设，过点D作轴交于点E， 则， ， ， 当， 当时，面积的最大值是8， 此时点D的坐标是． 【变式3-2】（25-26九年级上·吉林延边·月考）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点； (1)用配方法将二次函数化为的形式； (2)观察图象，当时，直接写出的取值范围； (3)点P为二次函数的图象第四象限的点，设点P的横坐标为m，当的面积最大时，求的最大面积，并写出此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3),此时 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴抛物线开口向上，当时，函数有最小值， 且抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵， ∴在这个范围内， ∴二次函数的最小值为， ∵， ∴当时，取得最大值，且最大值为， 故的取值范围为． （3）解：由得， 解方程得，得， 点是抛物线上的一动点，且在第四象限，点P的横坐标为m， 故 过点P作轴于点F，交直线于点Q， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的面积最大，且最大值为，此时． 【变式3-3】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)直接写出、、的坐标及抛物线的对称轴； (2)如图1，连接，抛物线的对称轴上是否存在点，使？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由： (3)如图2，点是该抛物线上一动点，且位于第三象限，连接，直线交于点，和的面积差为，当的值最大时求点的坐标和直线的解析式． 【答案】(1)，，，对称轴为直线； (2)存在，的坐标为或； (3)，直线的解析式为 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， 解得或， ∴，； ∴， ∴对称轴为直线； （2）解：存在点M，使，理由如下： 设， ∵，， ∴的中点，， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为或； （3）解：∵和的面积差为S， ∴和的面积差为S， 设点P的坐标为， ∴的面积，的面积， ∴， 当时，S有最大值为，此时， 设直线的解析式为， ∴，即， ∴直线的解析式为． 【变式3-4】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求，，的值； (2)点是直线上一动点（不与点重合），过点作轴，交抛物线于点，若点是点关于直线的对称点，且点落在轴上，求点的横坐标； (3)直线（为不等于0的常数）与抛物线交于点，求面积的最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)8 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，对称轴为直线， ∴，， ∴，； ∴，， 将代入得，， ∴； （2）解：∵，， ∴抛物线解析式为， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是点关于直线的对称点，且点落在轴上， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设直线的表达式为， 得， 解得, ∴直线的表达式为， 设，则 ∴， ∴ 解得（舍去）或． ∴点的横坐标为； （3）解：∵直线（为不等于0的常数）与抛物线交于点， 当时，， 直线过点， ， 轴，且， 联立直线与抛物线的解析式得：， 整理得，， ， ，， ， ， ∴当时，有最小值16， ∴的面积有最小值． 题型四： 四边形面积最值 【例4】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，点在点的左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴点的坐标为， 将点代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：令，解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为． 将点代入， 得，解得， ∴直线的解析式为． （3）解：过点作轴，交于点，如下图所示： 由（2）知， ∴， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大值为， ∴四边形面积的最大值为． 【变式4-1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接，，当四边形的面积最大时，求点D的坐标； (3)如图2，若抛物线的顶点为E，过点E作轴，交于点F，G是抛物线上的一点，过点G作轴，交AC于点H，当时，求出点G的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)当时，点G的坐标为或． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，与y轴交于点， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于，令，得， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为． 设点P的坐标为，则， ∴， ∴． ∵， 故四边形的面积有最大值， 当四边形的面积最大时，． ∴； （3）解：对于， ∴抛物线的顶点E的坐标为，对称轴为直线， 当时，， ∵轴， 当时，四边形是平行四边形，此时， ∴设直线的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴点G的坐标为， 由抛物线的对称性， 当点关于对称轴直线的对称点时，也符合题意， 如图，设交直线于点，则，存在， ∵， ∴， ∴， ∴当时，点G的坐标为或． 【变式4-2】（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）抛物线（，，是常数，）与轴交于，两点，与轴交于点，三个交点的坐标分别为，，． (1)求抛物线对应的函数解析式及顶点的坐标； (2)如图，若为线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴于点，连接，，求四边形的最大面积和此时点的坐标． (3)若是抛物线在第一象限上的一个动点，过点作，交轴于点．当点P的坐标为 时，四边形是平行四边形． 【答案】(1)，抛物线的顶点 (2)四边形的最大值为，点的坐标为 (3) 【详解】（1）解：抛物线与坐标轴的三个交点的坐标分别为，，． 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是， 整理可得：， 抛物线的顶点； （2）解：设直线的解析式为， 将点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， ，，， ， ， ， 当时，， 点的坐标为； 四边形的最大值为，点的坐标为； （3）解：如下图所示，过点作， 四边形是平行四边形， ， 点，关于抛物线对称轴直线对称， 点的坐标为， 点的坐标为， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线关系式； (2)已知P是直线下方抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E，M是直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积最大值是16，此时P的坐标为 (3)存在，点N的坐标为，，， 【详解】（1）解：将，两点代入解析式得，， 解得：， ∴抛物线关系式， （2）连接， 对于抛物线， 当时，可有，即， 又∵，， ∴， 设P点坐标，则 ， ∵，此函数有最大值， ∵， ∴当时，四边形面积有最大值，最大面积是16． 当时，，此时P的坐标为． （3）存在， 此时点N的坐标为：；；；． 由，可知，对称轴为直线， ∴，连接，可得， 设直线解析式为， 将点，代入， 可得，解得， 所以直线解析式为， ①当为边，且四边形为菱形时，如图所示， 此时， 过点作轴于点G， 设，则，，， ∴， 解得（舍去），或， ∴，； ②当为边，且四边形为菱形时，如图所示， 此时，过点作轴于点H，过点作轴于点T， ∵， ∴，， ∴， ， ∴，， ∴，， ∴，； ③当为对角线，且四边形CNEM为菱形时，如图所示， 取的中点K，过点K作，交于点M， ∴， 设直线的表达式为：，把，代入可得， 解得 ∴直线的表达式为：， ∵直线与直线垂直，且过的中点， ∴直线的表达式为：， 联立，解得， ∴， ∴， 综上可知，此时点N的坐标为：，，，． 【变式4-4】（25-26九年级上·山东德州·月考）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点． (1)求出抛物线的函数表达式； (2)如图1，抛物线在第二象限的部分上是否存在一点M，使得四边形面积最大，若存在求点M坐标；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点Q的横坐标为2或 【详解】（1）解：将代入，得： ， 解得： ， 所以抛物线的函数表达式：； （2）解：存在，，理由如下： 连接， ， 设， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形面积最大， 把代入中得： ， ∴； （3）解：存在，理由如下： 如图，在y轴上取点，连接，过点D作轴于点T， 则， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：或， ∴； 过点A作交的延长线于点L，过点D作交于点S， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：（舍）或， ∴ 综上，点Q的横坐标为2或． 题型五： 胡不归最值（(PA+kPB)型） 【例5】（23-24九年级上·辽宁大连·阶段检测）有一则历史放事： 说的是一个身在他乡的小伙子得知父亲病危的消息后，便日夜赶路回家．然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了．人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃叨念：“胡不归？胡不归？…” 我们一起来看看小伙子回家路况： 小伙子选择了什么路线？很多同学都认为：两点之间线段最短． 我们研究的不是最短路径，而是最短时间，小伙子有没有可能先在驿道上走一程后，再走沙砾地，虽然多走了路，但反而总用时更短呢？如果存在这种可能，他又要在驿道上行走多远才最省时？ 设在沙砾地行驶速度为，在驿道行驶速度为，显然． 假设从C处进入沙砾地，总共用时为t，则，因为及是确定的，所以只要最小．用时就最少，问题就转化为要求的最小值，我们可以画一条以C为端点的线段，使其等于，并且与线段位于的两侧，然后，根据两点之间线段最短，不难找到最小值点，由三角函数的定义，以为一边作． ，然后，作，则，最后，当点B、C、E在一条直线上时，最小，即的值最小，即用时最少、这类问题成为“胡不归”问题． 请根据上述信息解答下列问题： (1)在中，，，，P是边上一个动点，则的最小值为 ； (2)已知抛物线与x轴交于，，C是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点D． ①求抛物线的解析式； ②若点P是抛物线对称轴上一点，，连接PB，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：延长到点D，使得，如图， 则为等边三角形， 过点B作交于点P，则此时最小， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：； （2）解：①由题意得， ∴，解得， 故抛物线的解析式为； ②过点B作交于点P，如图， 则此时的值最小， ∵， ∴， 则， ∴， 那么，， 【变式5-1】（24-25九年级下·重庆北碚·开学考试）如图1，抛物线与坐标轴分别交于三点，其中点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，点是轴上一动点，当四边形的面积最大时，求的最小值； (3)在（2）条件下，将抛物线沿轴翻折得到，则点的对应点为，并将沿射线方向平移个单位长度得到，记在抛物线上的对应点为，过作轴于点是直线上一点，连接，则是否存在点使得；若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：令，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 把，代入得， 解得， ∴抛物线解析式； （2）解：过作轴于，交于， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∴当时，最大，此时， 过在轴上方找一点，使，，连接，设交轴于， ∴，， ∴，，即，点在直线上移动， ∴， ∴当在上时，最小， 设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴设， ∴， ∴当时，最小，即， ∴的最小值； （3）解：∵关于轴翻折得到点， ∴将抛物线沿轴翻折得到，解析式为，整理得，的对应点， 连接交轴于，则轴，，    ∴，，， ∴将沿射线方向平移个单位长度得到，相当于先向左移动个单位长度，再向下移动12个单位长度， ∴在抛物线上的对应点为，即， ∵过作轴于点， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 当点在点左边时，由外角可得，不合题意； 当点在线段上时，如图，连接交轴于点，过作于 ∵， ∴，即平分， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵中，， ∴， 解得， ∴， 同理可求得直线解析式为， ∵直线与交点为， ∴联立，解得， ∴； 当点在点右边时，如图，过作交于，过作轴于， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 同理可求得直线解析式为， ∵直线与交点为， ∴联立，解得， ∴， 综上所述，或． 【变式5-2】（2026·安徽阜阳·二模）平面直角坐标系中，如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，点是抛物线上，两点之间的一动点． (1)求这个抛物线的解析式； (2)如图2，过点作于点． ①求线段的最大值； ②如图3，过点作轴于点，设，求的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得， 抛物线的解析式为，即； （2）解：①由（1）知， 设直线的解析式为， 将，代入得：，解得， 直线的解析式为， 设，过点作轴交于点， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 当时，有最大值， 的最大值为； ②由①知，，， 延长交于点， ，， ，则 为等腰直角三角形， ， ， ， 把代入直线的解析式， 可得交点的横坐标， 轴， ， ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 【变式5-3】（2026·四川德阳·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于两点，对称轴是直线 ，图象与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线位于第二象限图象上的一点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图2，点是线段上一动点，的坐标，连接，求的最小值． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)3． 【详解】（1）解：∵，对称轴是直线， ∴，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作平行线，交抛物线于点，此时， 令， 则， ∴，， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴设直线的解析式为， 联立解析式：， 解得：，， ∴点的坐标为； （3）解：如图，过点作于点，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为3． 【变式5-4】（2026·天津河西·一模）已知抛物线，（，，为常数，）． (1)当，，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时，点和点在该抛物线上，点为抛物线与轴的交点，且，，求点的坐标； (3)当时，点在该抛物线上，且有点在抛物线上，点是轴正半轴上的动点，当的最小值为时，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：，，， 该抛物线的解析式为 ， 该抛物线顶点的坐标为； （2）解：点在抛物线上， ∴，，即， 又∵， ∴， ∵， ∴，即， 在中，当时，， ∴， ； 如图所示，过点作轴于点，   ， ∴． ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ，， ∵， 点的坐标为． 点在抛物线上， ， 即， 解得，（舍）． 点的坐标为； （3）解：，点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴点， ∵， ∴， ∴点M一定在第四象限； 如图所示，取点，过点N作交直线于点T，连接，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值； 如图所示，当三点共线时，过点M作轴于点S， 则，    ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵的最小值为， ∴， ∴． 1．（2026·四川南充·一模）如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上． (1)求抛物线的解析式； (2)当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； (3)四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题意得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为； 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴； （3）解：如图所示，连接，过点E作轴交于点H， 同理可得直线的解析式为， 由（2）得直线的解析式为， ∴， ∴点F到的距离为定值， ∴为定值， ∵， ∴当有最大值时，有最大值； 设，则， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴当时，有最大值，即此时有最大值， 由（2）可知，此时， ∴四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知抛物线过点和点． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)已知点是上方的抛物线上一点，作轴于点，求的最大值； (3)当，函数有最小值为0，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵抛物线过点和点． ∴ 解得： ∴该抛物线的函数关系式为； （2）解：设，，其中， ∴， ∵， ∴的最大值为； （3）解：∵，对称轴为直线， 当时， 解得：， ∵ 在对称轴左侧函数随着的增大而增大，在对称轴右侧函数随着的增大而减小． 故分以下三种情况讨论： ①若，即 则当时，函数有最小值为 ，解得：（舍去） ②若且，即 当时，函数有最小值为， ，解得：． 当时，函数有最小值为， ，解得： ， 或 ③若，即 则当时，函数有最小值为， ，解得：舍）， 综上，的值为或． 3．（25-26九年级下·重庆永川·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为对称轴右侧抛物线上的一动点，过点P作于点M，过点P作x轴的平行线交抛物线于点N，E，F为y轴上的动点，E在F的下方，满足，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）成立的情况下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，点K为平移后抛物线上的一动点，Q点坐标为，连接，当时，请直接写出K点的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)点K的坐标为或 【详解】（1）解：将，代入中得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线的对称轴是：直线， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，如图1，设直线交直线于点D，， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，，点P与点D的纵坐标相等， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，有最大值，此时点P的坐标为， 把点P的坐标为向下平移个单位得， 连接，作关于y轴的对称点，连接， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当，E，B三点共线时，有最小值，其最小值是， ∵，， ∴， ∴的最小值是； （3）解：， ∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，就是向右平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为：， 令，则， 解得：或 设点为函数与轴正半轴的交点， ∴， 分两种情况： ①点K在x轴的上方，如图，过点P作轴，过点K作轴于点F， 由（2）知：， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 解得或（此时与点重合，不合题意，舍去） ∴, ∴ ②点K在x轴的下方时，同理可得，， ∴， 综上，点K的坐标为或． 4．（25-26九年级下·湖北恩施·期中）如图1，抛物线交轴于，，顶点为，点为的中点． (1)直接写出抛物线的表达式； (2)过点作，垂足为，交抛物线于点．求线段的长； (3)点为线段上一动点（点除外），在右侧作平行四边形． 如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标； 如图3，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)； 【详解】（1）解：抛物线的顶点为， ； （2）解：，点为的中点， 由中点坐标公式得点，即， ， ， 当时，， ， ； （3）解：由（2）知，， 当时，即， 整理得， 解得，（位于点左侧，故不合题意，舍去）， ， 四边形是平行四边形， ， ． 设点，则点， 如图，过点作直线轴，则直线为， 作点关于直线的对称点，则，连接， ， ，当、、共线时，取最小值，最小值为的长， 设直线的表达式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的表达式为：， 将点的坐标代入得：， 解得， ，， ． 即最小值为． 5．（2026·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．直线经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，为直线与抛物线对称轴在第一象限的交点，连接，，，若是锐角三角形，求的取值范围； (3)如图2，若，点是抛物线第四象限图象上一点，连接并延长，交直线与点，连接，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）过，； ，解得； ∴抛物线的表达式． （2）∵直线过点， ， ， 抛物线的对称轴为直线 ， ∵点和， ，，， 若是直角三角形，则只能或 若，则，解得 若，则，解得 是锐角三角形，∴综合得． （3）连接，由点和，则直线的解析式为， 过点作轴，交于点， 设点的坐标为， ∴点的坐标为， ， ， ∴当时，的面积最大，最大值为， ， ∴直线的解析式为， ， 到的距离到的距离（或到的距离） ，为定值， 面积的最大值为． 6．（2026·重庆北碚·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴相交于点，抛物线的对称轴直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)点是第一象限内抛物线上一点，连接，，，点，是抛物线对称轴上的动点（点在点上方），且，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）中的面积取最大的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位得到抛物线，点为点的对应点，点是抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)当的面积最大时，点的坐标为，的最大值为 (3)或 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，与轴相交于点，抛物线的对称轴直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的对称轴直线与轴交于点， ∴， 设直线的解析式为， 将代入可得， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，令，则， 解得：，， ∴， 如图，过点作，交直线于点， 设点，则点的纵坐标为， 在中，当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴时，的面积最大，为，此时， ∴当的面积最大时，点的坐标为， 连接， ∵点，是抛物线对称轴上的动点，且点、点关于对称轴对称， ∴， 将点向下平移个单位长度得到点，连接，，则， 由平移的性质可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， ， ∵将抛物线沿射线的方向平移个单位得到抛物线， ∴将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到抛物线， ∵， ∴， ∵点为点的对应点， ∴， 过点作对称轴于点，过点作于点，过点作于点， 则，，，， ∴，， ∴， ∴， 当点在下方时，在轴上取一点，使得，则，连接并延长交于点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵对称轴于点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即点即为所求， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴此时； 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当点在上方时，作点关于直线的对称点，作直线交抛物线于点， 由轴对称的性质可得，点、的中点在直线上，，即点即为所求， 设，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴此时； 综上所述，点的坐标为或． 7．（25-26九年级下·重庆·期中）如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点作交轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，连接，，抛物线对称轴上有一动点，过点作轴于点，连接，，当的面积与面积之差最大时，求点的坐标和的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线恰好经过点，点为原抛物线的顶点，在新抛物线上是否存在点，使得．请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)； 的最小值 (3)点的横坐标为或 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，抛物线对称轴为， ，解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：抛物线与轴交于点，，抛物线对称轴为，与轴交于点， ， 令，得， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， ， ， 设直线的解析式为， 将点代入得， ，解得， 直线的解析式为， 令，得， ， 如图，过点作交于， 设，则， ， ， ， ，对称轴为，， 当时，取最大值，最大值为，此时， ； 抛物线对称轴上有一动点，过点作轴于点， ， 如图，将点向左平移个单位得到，作点关于轴的对称点，连接 ，与轴的交点为，连接， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 要使 取最小值，即取最小值，当点、、 共线时，取最小值，最小值为 ， 此时， 的最小值 ； （3）解：将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，且， 设将抛物线沿轴向右平移个单位，向上平移个单位得到新抛物线，其中， ， 新抛物线恰好经过点， ， 整理得， 解得（舍去）或， ， 点为原抛物线的顶点，当时，， ， 设原抛物线的对称轴与轴的交点为，则，， ， 是等腰直角三角形，，即， 当点在右侧时，如图，过点作交抛物线于点， ， ， 设直线的解析式为， 将点代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得或（不合题意，舍去）， ； 当点在左侧时，如图，作，此时， 设与相交于点，过点作于，作轴于， ， ，， ，，即， ，，， ， ， 设，则，， ，解得， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得或（不合题意，舍去）， ； 所有符合条件的点的横坐标为或． 8．（2026·天津北辰·二模）已知抛物线（，，为常数，），，抛物线与轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)若，点的坐标为，点的坐标为． ①求该抛物线的解析式和顶点坐标； ②过点作交抛物线于点，点为轴下方对称轴上一动点，当为等腰三角形时，求点的坐标： (2)若，，连接，点和点为直线上的两个动点（点在点的右侧），，点为直线下方抛物线上的一个点，点的横坐标为，连接，，当的最小值等于时，求的值． 【答案】(1)①，顶点坐标为；②，， (2) 【详解】（1）①解：当时，抛物线的解析式为， 抛物线经过点和， ，， 解得：， 抛物线的解析式为，               ， 抛物线的顶点坐标为；                       ②如图，延长交轴于点， ，， ，， ， ，， ， 设直线的解析式为：（，为常数，）， 把和代入， 可得解得， 直线的解析式为：， 解方程组：， 解得：，， ，                         为轴下方对称轴上一动点， 设，其中， 由抛物线的解析式，令， 可得：， 解得：，（与点重合，舍去）， 点的坐标为， ，，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述：，，；                        （2）解：设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ，， 点的坐标为， ， 把和代入， 可得：， 点的横坐标为， ， 即，                           如下图所示，过点作，且，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ． ，此时，，三点共线， 过点作轴，交轴于点， 为等腰直角三角形， ． ， ， ， 解得：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点05 抛物线与几何图形有关的最值问题 考点一：核心考点梳理 1. 抛物线基础最值考点 对于二次函数抛物线 ，函数最值仅在顶点处取得，是所有几何最值问题的基础： 当 ，抛物线开口向上，顶点为最低点，函数有最小值； 当 ，抛物线开口向下，顶点为最高点，函数有最大值； 通用最值公式：顶点纵坐标 ，对称轴 。 核心前提：若动点自变量有取值范围，顶点不在取值区间内时，最值需在区间端点处取得。 2. 线段最值考点 定点+抛物线上动点组合：依托两点之间线段最短、垂线段最短两大几何公理求解； 双动点线段：分为水平/竖直线段（直接用坐标差求解）、斜线段（两点间距离公式求解）。 3. 周长最值考点 核心模型为将军饮马轴对称模型，核心思路：将折线段周长通过对称变换转化为直线段，利用线段最短原理求最小周长，多用于三角形、四边形折线周长最值。 4. 面积最值考点 以平面直角坐标系中三角形、四边形面积最值为主，核心方法为割补法、铅锤高公式，核心思路：固定底边求高的最值，或固定高求底边的最值，转化为二次函数最值问题。 5. 特殊几何图形最值考点 结合等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、相似三角形等特殊图形性质，求解图形边长、周长、面积的最值，需结合图形判定条件+二次函数极值综合求解。 考点二： 核心方法 1.二次函数顶点法：适用所有单变量二次函数最值问题，纯抛物线上动点最值优先使用，简洁高效； 2.将军饮马对称法：专属折线周长最短问题，无法直接用距离公式求解的折线段最值唯一最优解法； 3.铅锤面积法：平面直角坐标系中三角形面积计算与最值的万能方法，适配所有斜三角形，规避复杂割补； 4.距离公式法：通用斜线段长度计算，适用于所有两点间线段最值问题； 5.分类讨论法：特殊三角形、平行四边形等几何图形最值必备方法，杜绝漏解、错解。 考点三： 通用标准解题步骤 1.定基础：求出抛物线解析式、定点坐标、对称轴，明确动点运动范围（自变量取值范围）； 2.设动点：设抛物线上动点横坐标为 ，结合解析式表示出完整坐标； 3.列关系式：根据几何性质（线段、周长、面积、特殊图形性质）列出对应表达式； 4.化函数：整理化简为标准二次函数 形式； 5.求最值：结合开口方向、对称轴、自变量取值范围，求出对应最值； 6.验作答：验证动点位置、图形存在性，规范书写答案。 考点四： 高频易错点全面梳理 1.最值方向判断错误：混淆抛物线开口方向，将最大值、最小值颠倒，是基础高频错误； 2.对称模型误用：将军饮马问题中找错对称对称轴、对称点，导致动点位置、最值长度计算偏差； 3.铅锤高计算失误：忽略坐标正负，未加绝对值，出现面积为负、数值偏差等问题； 4.动点坐标代入错误：设出动点坐标后，代入抛物线解析式出错，导致后续函数表达式全部失真； 5.分类讨论不全面：等腰、直角三角形问题遗漏某一种情况，导致漏掉最值解； 6.忽略自变量取值范围：盲目套用顶点最值公式，未判断顶点是否在动点可取区间内，区间内需用端点值求最值； 7.单位与逻辑疏漏：周长、面积最值求解后，未验证几何图形是否存在，出现无效最值解。 题型一： 单动点线段最值问题（基础必考） 题型特征：平面内有定点，抛物线上有一动点，求两点间线段长度的最值。 通用解题方法： 1.设抛物线上动点坐标：令动点横坐标为 ，代入抛物线解析式得纵坐标 ； 2.根据线段类型列式：水平距 ，竖直距 ，斜线段用两点距离公式 ； 3.整理为二次函数形式，结合自变量取值范围求最值。 【例1】已知抛物线 ，点 是抛物线上第一象限内的动点，过点 作 轴，交直线 于点 ，求线段 的最大值。 【变式1-1】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，二次函数的图象（记为）经过点A，C．直线与两个图象，分别交于点M，N，与x轴交于点P． (1)求b，c的值； (2)当点P在线段上时，求的最大值． 【变式1-2】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，，直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点． (1)求，的值； (2)当点在线段上时，求的最大值； (3)设点，到直线的距离分别为，，当时，对应的值有________个． 【变式1-3】（25-26九年级上·重庆南岸·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于两点（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，作直线．已知是抛物线上的两点． (1)求抛物线的表达式； (2)试判断是否存在实数使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)已知点是抛物线在第一象限上的一点，过点作轴的垂线，交于点．当取得最大值时，在抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【变式1-4】（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．动点在线段上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)抛物线上有一点，当时，请直接写出直线的解析式． 【变式1-5】（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，其中点的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线向左平移个单位，然后向下平移个单位，恰好经过点，则的值为 ； (3)设点是线段上的动点，作直线轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【变式1-6】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线经过点和点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)当线段长等于2时，求点的坐标． (3)直接写出线段长的最大值是________． 题型二： 将军饮马周长最值问题（高频压轴） 题型特征：含抛物线上动点的折线段周长最小、三角形/四边形最小周长问题。 通用解题方法： 1.确定定点、动点及对称轴（抛物线对称轴、坐标轴）； 2.作定点关于对称轴/坐标轴的对称点，实现折线段转直线段； 3.连接对称点与另一定点，连线与对称轴的交点即为最值动点； 4.连线长度即为最小折线段长度，进而求出最小周长。 【例2】已知抛物线 ，对称轴为直线 ，抛物线与y轴交于点 ，与x轴右交点 ，点 是对称轴上一动点，求 最小周长。 【变式2-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，点Q是对称轴上一动点． （1）_________． （2）当的周长最小时，则_________． 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且图象经过点，，连接AC． (1)求的值． (2)点D是轴上一动点，过点D作轴，交直线于点，交抛物线于点E，设点D的横坐标为． ①当点D在线段（点D不与点重合）上运动时，过点E作，垂足为F，求周长的最大值及此时点E的坐标． ②当时，直接写出的取值范围． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若，第二象限内有一动点，满足，求周长的最小值； (3)抛物线上有一个动点，记的面积为，若点符合条件的位置有且只有3个，求的值． 【变式2-4】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上一点，且，求点D的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-5】（25-26九年级上·天津西青·期末）已知抛物线（b，c为常数）与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求该抛物线的解析式及点的坐标． (2)抛物线上一点在直线上方，其横坐标为，过点作轴交于点，交于点，若存在点使的周长取得最大值，求出点的坐标． (3)点是抛物线上一点，满足，请直接写出点的横坐标． 【变式2-6】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图1，抛物线交轴于点，点，交轴于点 (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； (2)当时，的取值范围为___________；（直接写出答案） (3)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (4)如图2，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为，求证：是一个定值． 题型三： 三角形面积最值问题（核心高频） 万能解题工具：铅锤高公式 水平底 铅锤竖直高 解题步骤： 1.选取两个定点连线作为三角形固定底边，确定水平底长度； 2.过抛物线上动点作竖直直线，截底边线段得到可变铅锤高； 3.用动点坐标表示铅锤高，代入面积公式得到二次函数； 4.利用二次函数性质求面积最值。 【例3】抛物线 ，、 为定点，点 是直线 上方抛物线上动点，求 最大面积。 【变式3-1】（25-26九年级上·山东菏泽·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C． (1)求出点A、B、C的坐标； (2)若点D为抛物线上在第一象限内的动点，请连接，，并解答下面的问题：当点D运动到何处时，的面积最大？并求出点D的坐标和面积的最大值． 【变式3-2】（25-26九年级上·吉林延边·月考）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点； (1)用配方法将二次函数化为的形式； (2)观察图象，当时，直接写出的取值范围； (3)点P为二次函数的图象第四象限的点，设点P的横坐标为m，当的面积最大时，求的最大面积，并写出此时点P的坐标． 【变式3-3】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)直接写出、、的坐标及抛物线的对称轴； (2)如图1，连接，抛物线的对称轴上是否存在点，使？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由： (3)如图2，点是该抛物线上一动点，且位于第三象限，连接，直线交于点，和的面积差为，当的值最大时求点的坐标和直线的解析式． 【变式3-4】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求，，的值； (2)点是直线上一动点（不与点重合），过点作轴，交抛物线于点，若点是点关于直线的对称点，且点落在轴上，求点的横坐标； (3)直线（为不等于0的常数）与抛物线交于点，求面积的最小值． 题型四： 四边形面积最值 【例4】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，点在点的左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【变式4-1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接，，当四边形的面积最大时，求点D的坐标； (3)如图2，若抛物线的顶点为E，过点E作轴，交于点F，G是抛物线上的一点，过点G作轴，交AC于点H，当时，求出点G的坐标． 【变式4-2】（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）抛物线（，，是常数，）与轴交于，两点，与轴交于点，三个交点的坐标分别为，，． (1)求抛物线对应的函数解析式及顶点的坐标； (2)如图，若为线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴于点，连接，，求四边形的最大面积和此时点的坐标． (3)若是抛物线在第一象限上的一个动点，过点作，交轴于点．当点P的坐标为 时，四边形是平行四边形． 【变式4-3】（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线关系式； (2)已知P是直线下方抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E，M是直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-4】（25-26九年级上·山东德州·月考）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点． (1)求出抛物线的函数表达式； (2)如图1，抛物线在第二象限的部分上是否存在一点M，使得四边形面积最大，若存在求点M坐标；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由． 题型五： 胡不归最值（(PA+kPB)型） 【例5】（23-24九年级上·辽宁大连·阶段检测）有一则历史放事： 说的是一个身在他乡的小伙子得知父亲病危的消息后，便日夜赶路回家．然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了．人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃叨念：“胡不归？胡不归？…” 我们一起来看看小伙子回家路况： 小伙子选择了什么路线？很多同学都认为：两点之间线段最短． 我们研究的不是最短路径，而是最短时间，小伙子有没有可能先在驿道上走一程后，再走沙砾地，虽然多走了路，但反而总用时更短呢？如果存在这种可能，他又要在驿道上行走多远才最省时？ 设在沙砾地行驶速度为，在驿道行驶速度为，显然． 假设从C处进入沙砾地，总共用时为t，则，因为及是确定的，所以只要最小．用时就最少，问题就转化为要求的最小值，我们可以画一条以C为端点的线段，使其等于，并且与线段位于的两侧，然后，根据两点之间线段最短，不难找到最小值点，由三角函数的定义，以为一边作． ，然后，作，则，最后，当点B、C、E在一条直线上时，最小，即的值最小，即用时最少、这类问题成为“胡不归”问题． 请根据上述信息解答下列问题： (1)在中，，，，P是边上一个动点，则的最小值为 ； (2)已知抛物线与x轴交于，，C是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点D． ①求抛物线的解析式； ②若点P是抛物线对称轴上一点，，连接PB，求的最小值． 【变式5-1】（24-25九年级下·重庆北碚·开学考试）如图1，抛物线与坐标轴分别交于三点，其中点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，点是轴上一动点，当四边形的面积最大时，求的最小值； (3)在（2）条件下，将抛物线沿轴翻折得到，则点的对应点为，并将沿射线方向平移个单位长度得到，记在抛物线上的对应点为，过作轴于点是直线上一点，连接，则是否存在点使得；若存在，请直接写出点的坐标． 【变式5-2】（2026·安徽阜阳·二模）平面直角坐标系中，如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，点是抛物线上，两点之间的一动点． (1)求这个抛物线的解析式； (2)如图2，过点作于点． ①求线段的最大值； ②如图3，过点作轴于点，设，求的最大值． 【变式5-3】（2026·四川德阳·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于两点，对称轴是直线 ，图象与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线位于第二象限图象上的一点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图2，点是线段上一动点，的坐标，连接，求的最小值． 【变式5-4】（2026·天津河西·一模）已知抛物线，（，，为常数，）． (1)当，，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时，点和点在该抛物线上，点为抛物线与轴的交点，且，，求点的坐标； (3)当时，点在该抛物线上，且有点在抛物线上，点是轴正半轴上的动点，当的最小值为时，求的值． 1．（2026·四川南充·一模）如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上． (1)求抛物线的解析式； (2)当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； (3)四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由． 2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知抛物线过点和点． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)已知点是上方的抛物线上一点，作轴于点，求的最大值； (3)当，函数有最小值为0，求的值． 3．（25-26九年级下·重庆永川·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为对称轴右侧抛物线上的一动点，过点P作于点M，过点P作x轴的平行线交抛物线于点N，E，F为y轴上的动点，E在F的下方，满足，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）成立的情况下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，点K为平移后抛物线上的一动点，Q点坐标为，连接，当时，请直接写出K点的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程． 4．（25-26九年级下·湖北恩施·期中）如图1，抛物线交轴于，，顶点为，点为的中点． (1)直接写出抛物线的表达式； (2)过点作，垂足为，交抛物线于点．求线段的长； (3)点为线段上一动点（点除外），在右侧作平行四边形． 如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标； 如图3，连接，，求的最小值． 5．（2026·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．直线经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，为直线与抛物线对称轴在第一象限的交点，连接，，，若是锐角三角形，求的取值范围； (3)如图2，若，点是抛物线第四象限图象上一点，连接并延长，交直线与点，连接，，求面积的最大值． 6．（2026·重庆北碚·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴相交于点，抛物线的对称轴直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)点是第一象限内抛物线上一点，连接，，，点，是抛物线对称轴上的动点（点在点上方），且，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）中的面积取最大的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位得到抛物线，点为点的对应点，点是抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 7．（25-26九年级下·重庆·期中）如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点作交轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，连接，，抛物线对称轴上有一动点，过点作轴于点，连接，，当的面积与面积之差最大时，求点的坐标和的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线恰好经过点，点为原抛物线的顶点，在新抛物线上是否存在点，使得．请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 8．（2026·天津北辰·二模）已知抛物线（，，为常数，），，抛物线与轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)若，点的坐标为，点的坐标为． ①求该抛物线的解析式和顶点坐标； ②过点作交抛物线于点，点为轴下方对称轴上一动点，当为等腰三角形时，求点的坐标： (2)若，，连接，点和点为直线上的两个动点（点在点的右侧），，点为直线下方抛物线上的一个点，点的横坐标为，连接，，当的最小值等于时，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $