二次函数与几何图形综合题专项训练（一）2026年内蒙古中考数学

中考数学压轴题专项突破 数学学科中考备考资料 2026年内蒙古自治区中考数学二次函数实际应用题考点分析 一、通用解题总流程（所有题型通用，必背） 步骤1：审题建模（得分关键） 1. 找出题干常量：成本、单价、固定长度、最大高度等不变量； 2. 设出自变量：常规设未知数规范 3. 明确因变量：利润y、高度y、面积y。 步骤2：列出二次函数解析式（核心得分点） 1.  根据题干等量关系： 利润=单件利润×销量；高度=二次函数关系式；面积=长×宽； 2. 整理化成一般式 3. 必须标注自变量取值范围（中考扣分重灾区），根据实际意义 步骤3：利用二次函数性质解题（三问通用） 1. 求对称轴 2. 求顶点纵坐标（最值） 3. 判断开口：a>0开口向上有最小值；a<0开口向下有最大值。 步骤4：结合实际取舍 1. 若对称轴在自变量取值范围内：顶点为最值点； 2. 若对称轴不在取值范围：在端点处取最值； 3. 实际问题舍去负数、不符合生活逻辑的解。 步骤5：规范作答 答题末尾必须写中文总结句，不可只写数字，严格遵循中考答题格式。 二、中考三大必考题型｜分题型解题模板 题型一：销售利润问题（中考高频第一大题） 常见设问（固定3问） 第1问：求y与x的函数关系式； 第2问：求最大利润及对应定价； 第3问：限定利润，求定价/销量。 题型二：抛物线轨迹问题（拱桥、喷水、投篮） 常见设问（固定3问） 第1问：求抛物线函数解析式； 第2问：求最大高度、最高距离； 第3问：判断物体能否通过、是否达标。 解题规范 1. 建系：题目无坐标系，必须写出建立平面直角坐标系； 2. 设式：顶点在对称轴上优先设顶点式； 3. 代点：把已知坐标代入解析式求系数； 4. 判定：给定横坐标求高度，或给定高度求横坐标。 题型三：几何面积最值问题（矩形、围栏） 常见设问（固定3问） 第1问：求面积与边长函数关系式； 第2问：求最大面积； 第3问：限定周长/墙体长度，求取值。 2026年内蒙古自治区中考数学二次函数实际应用题专项训练（一） 解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 1.本小题分问题背景 某校劳动基地蔬菜大棚由抛物线和“矩形”构成，抛物线最高点到地面的距离为米，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系已知米，米  建立模型 求抛物线的解析式；  问题解决  冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，如图，准备在大棚抛物线上安装矩形“脚手架”即三根支架，其中，垂直地面，平行地面，求“脚手架”的最大长度；  如图，在蔬菜大棚上安装照明灯，要求照明灯到地面的垂直距离为米，每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过米，左右外侧的两个照明灯安装在抛物线上，如图所示，直接写出至少需要安装照明灯的个数  考点分析：本题考查二次函数的应用，关键是利用函数的性质解答． 2.本小题分如图是一个直角三角形斜坡截面，，米，米，坡面上有一棵小树小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，，现在斜坡点处安装一个喷水管高度忽略不计，喷水管喷出的水流呈抛物线形状，建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离米与水流的高度米的变化规律如表：  求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标；  若喷水管喷出水流恰好经过树顶点  求小树的最大高度；  若点到，两点距离相等，求点坐标． 考点分析：本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求函数解析式、一元二次方程等知识点，熟记相关结论即可． 3.本小题分 【项目式学习】  【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜  【项目背景】寻找生活中的数学，九班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型菜地装有个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜如图所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒  【项目素材】  素材一：甲小组在图中建立合适的直角坐标系，喷水口中心有一喷水管，从点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点喷水口在轴上，轴上的点为水柱的最外落水点  素材二：乙小组测得种植农民的身高为米，他常常往返于菜地之间  素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大棚里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长  【项目任务】  任务一：丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点到水柱的最外落水点水平距离为米，其中喷出的水正好经过一个直立木杆的顶部处，木杆高米，距离喷水口米求出水柱所在抛物线的函数解析式  任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是米时，不会被水淋到，求的取值范围  任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米？直接写出答案，精确到米  考点分析：本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：直线与轴轴的夹角为，直线解析式的比例系数的绝对值等于；二次函数左右平移，不改变二次项的系数，只改变自变量的值，左加右减． 2026年内蒙古自治区中考数学二次函数实际应用题专项训练（一） 答 案 和 解 析 1.解：由题意可知顶点的坐标为，  设抛物线的函数表达式为：，  代入，得，  解得，  抛物线的函数表达式为；  设点的坐标为，，，的长度之和为米，  可得：，，  则，  ，  当时，有最大值，最大值为，  答：，，的长度之和的最大值为米；  当时，，  解得，  左右外侧的两个照明灯之间的距离为米，  ，且每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过米，  至少要安装个照明灯．  【解析】根据题意，用待定系数法求函数解析式；  设点的坐标为，，，的长度之和为米，得出与的函数解析式，由函数的性质求最值；  当时，求出的值，结合实际情况确定照明灯的个数． 2.解：由题意可得：设，  将点代入得：，  解得，  ；  设直线解析式为  将，代入得，，  解得  即解析式为  设，则，    故当时，的最大值为  过作于点，设，则，    由得：为中点，即，  ，  ，  即，  将点坐标代入抛物线解析式得：，  整理方程得：，  解得舍去，，  故点坐标为． 由表格信息可知抛物线顶点为设抛物线解析式为，将点代入即可求解；  设直线解析式为，将，代入可求得即解析式为设，则，根据，即可求解；  过作于点，设，则，由可推出，得到，将点坐标代入抛物线解析式即可求解； 3.解：任务一、设水柱所在抛物线的函数解析式为：  由题意得：抛物线经过的点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为    解得：  水柱所在抛物线的函数解析式为：；  任务二、当时，  ，    解得：，    任务三、    薄膜所在平面可看成是一条直线  薄膜所在平面和地面的夹角是，  薄膜所在平面的直线解析式为：  当薄膜所在直线与水柱所在抛物线相切时，        只有一个交点，          直线与轴的交点为  过点作于点，且，过点作，交轴于点    由题意得：，  米  米  答：薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离为米．  【解析】抛物线经过的点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，设水柱所在抛物线的函数解析式为：，把点、、的坐标代入抛物线，求得，，的值，即可得到水柱所在抛物线的函数解析式；  取农民的身高，求得的值即为这位农民与喷水口的水平距离，即可求得的取值范围；  薄膜所在平面可看成是一条直线，解析式可设为：，求得此直线与抛物线相切时的值，进而把直线向右平移米，得到新的直线解析式，取，即可求得薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离． 2026年内蒙古自治区中考数学几何图形综合题考点分析 1、 题型说明 几何综合大题为中考数学必考压轴解答题。常考模型：三角形综合、特殊四边形、图形折叠、图形旋转、平移动点。特点：图形变化多、辅助线多、逻辑链条长，是中考拉分核心题型。 二、高频必考考点清单 （一）三角形核心考点 1. 三角形性质：内角和、三边关系、外角定理； 2. 特殊三角形：等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线等于斜边一半； 3. 全等三角形：判定（SAS、ASA、AAS、SSS、HL），中考必考； 4. 相似三角形：八字模型、A字模型、斜A型、母子相似，求边长、求比例； 5. 勾股定理：求线段长度、折叠求边长万能公式。 （二）四边形必考考点 1. 平行四边形：对边平行且相等、对角线互相平分； 2. 矩形：四个直角、对角线相等；折叠题高频； 3. 菱形：四边相等、对角线互相垂直平分； 4. 正方形：兼具矩形、菱形全部性质，中考压轴最爱考。 （三）图形变换（中考3大必考变换） 1. 折叠：折叠前后边相等、角相等、对称轴垂直平分对应点连线，必有全等； 2. 旋转：旋转前后图形全等、旋转角相等、对应边相等，常考手拉手模型； 3. 平移：平行等距移动，边长、角度不变。 （四）计算类必考工具 1. 勾股定理、相似比、三角函数（特殊角）； 2. 面积法：等面积求高、求线段； 3. 方程思想：设未知数，利用勾股、相似列方程求解边长。 三、中考几何综合题【三问固定出题套路】 第1问：基础证明（送分题） 考查：全等判定、平行判定、角度相等、线段相等。 要求：步骤简洁、判定定理写规范。 第2问：图形变换+计算（中档题） 考查：折叠、旋转、动点，求线段长、周长、比值。 方法：作辅助线、构造直角三角形、勾股定理列方程。 第3问：压轴探究（拉分题） 考查：动点存在性、最值问题、位置关系探究。 思想：分类讨论、相似构造、临界取值。 四、万能辅助线做法（必背） 1. 遇中点：作中位线、倍长中线； 2. 遇垂直：作高、构造直角三角形； 3. 遇折叠：连接对应点、作垂线； 4. 遇平行线：构造八字、A字相似； 5. 遇不规则图形：割补法、连接对角线。 五、标准解题步骤（中考阅卷满分格式） 1. 观察图形：找出相等边、相等角、特殊图形； 2. 标注条件：把已知边长、角度标在图上； 3. 构造模型：作辅助线，构造全等、相似、直角三角形； 4. 推理证明：规范书写判定条件，不要跳步； 5. 列式计算：勾股、相似、方程求解； 6. 总结作答：写出中文答句，分类讨论写完整。 六、中考扣分禁忌（学生易错） 1. 不写判定定理，直接得出全等、相似，扣分； 2. 辅助线不说明：过点A作AH⊥BC，必须文字说明； 3. 跳步推理、逻辑断层； 4. 动点问题不分类讨论，漏解； 5. 最后不写中文答句。 七、万能口诀（学生背诵） 几何综合不要慌，先找边角等量关系； 遇折找对称，遇旋转找等距； 中点中位线，垂直构直角； 全等写条件，相似找模型； 方程算边长，分类不漏题； 步骤写规范，压轴拿高分。 2026年内蒙古自治区中考数学几何图形综合题专项训练（一） 解答题：本题共3小题，共39分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 1.本小题分 综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以直角三角形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论如图，在中，，点是的中点，连接，分别过点，作，的平行线相交于点． 猜想证明：判断四边形的形状，并证明你的结论； 操作探究：“乐学”小组在图的基础上连接，交于点，然后将绕点逆时针旋转得到点，的对应点分别为，，在认真分析旋转到不同位置时的情形后，他们提出如下问题，请你解答： 如图，当点恰好与点重合时，与交于点，求证：； 若，，当线段所在直线与所在直线平行时，直接写出点，之间的距离． 考点分析：本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，熟练利用分类讨论思想正确添加辅助线是解题的关键． 2.本小题分 综合与探究 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作直线，交于点，交于点，连接，，且平分． 求证：四边形是菱形； 直接写出的度数． 把中菱形进行分离研究，如图，，分别在，边上，且，连接，为的中点，连接，并延长交于点，连接，，，试探究线段与之间满足的数量及位置关系，并说明理由． 考点分析：本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，理解矩形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造等边三角形和全等三角形是解决问题的难点． 3. 本小题分 综合与探究 问题情境：在中，，点是边上一点不与端点重合，连接将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． 猜想求解：如图，若，，求的度数； 拓展延伸： 如图，，，过点作，交的延长线于，连接，求证：； 如图，点是的中点，点是的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系并证明． 考点分析：本题主要考查了几何图形旋转以及线段之间的关系，掌握其相关知识点是解题的关键． 2026年中考数学几何图形综合题专项训练（一） 答 案 和 解 析 1. 解：四边形是菱形；  证明：过点，作，的平行线相交于点，  ，，  四边形是平行四边形，  在中，点是的中点，  ，  四边形是菱形；  证明：四边形是菱形，  ，，  ，  ，  在和中，  ，  ≌，  将绕点逆时针旋转得到点，的对应点分别为，，点恰好与点重合，  ≌，  ，，  ，  ，即；  解：点，之间的距离为或理由如下：  如图，当在点上方，且点在上时，，  ，  在直角三角形中，，，  由勾股定理得：，  ，  根据旋转的性质，，  ，  过点作，连接，  ，  ，，  ，  ；  如图，当在点下方，且点在的延长线上时，    ，  ，  根据旋转的性质，  ，  过点作，交的延长线于点，连接，  同理可得，，  ，  由勾股定理得：，  综上所述，点，之间的距离为或． 先证明四边形是平行四边形，在根据斜边上中线等于斜边一半得到，即可证明四边形为菱形；  证明≌即可解答；  分情况讨论，即当在点上方或当在点下方两种情况，分别求解即可． 2. 证明：四边形是矩形，对角线与相交于点，如图所示： ，，， ， ， 是的垂直平分线， ，，， 在和中， ， ≌， ， ， 四边形是菱形， 解：四边形是菱形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ； 解：线段与满足的数量关系是：，位置关系是：，理由如下： 延长到，使，连接，如图所示： 四边形是菱形，， ，， ，，， 为的中点， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ，， 是等边三角形， ， 又，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ，， 在中，， ， ， 又， 是等边三角形， ， ，， 在中，， ， 由勾股定理得：， 线段与满足的数量关系是：，位置关系是：． 证明是的垂直平分线得，，，再证明和全等得，进而得，由此即可得出结论； 根据菱形性质得，则，再根据平分得，则，由此得，继而可得出的度数； 延长到，使，连接，证明和全等得，，进而得，证明和都是等边三角形得，，再证明，进而依据“”判定和全等得，，根据得，由此得是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得，，据此即可得出线段与之间满足的数量及位置关系． 3解：，，  是等边三角形，  ，  由旋转得，  ，  ；  证明：如图，连接，    ，，  ，  由旋转知，，  ，  即，  ，  ≌，  ，，  ，  ，    ，  ，  ，  ≌，  ，；  解：，理由如下：  连接，    点是的中点，，  ，  ，  ，  ，即  点是的中点，，  ，  ，  是等腰直角三角形，  ，  即，  ． 先说明是等边三角形，可得，再根据旋转的性质求出，然后根据得出答案；  连接，由题意得，，再说明，根据“边角边”说明≌，可得，进而得出，然后证明，接下来根据“边角边”证明≌，即可得出答案；  连接，根据直角三角形的性质得，再说明，然后根据直角三角形的性质得，即可得出是等腰直角三角形，最后根据勾股定理得出答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $