第九讲 功与功率 讲义--2027届高三物理暑假自学衔接课

新高三暑假复习讲义 2027届高三暑假自学衔接课 第九讲 功与功率 一、功的计算 1.恒力F做功：W＝FLcosα.（注意：F为恒力；L为物体对地的位移） 2.变力F做功的求解方法： ①若变力F是位移L的线性函数，则，即：F－L图线下的面积等于功。 ②在曲线运动或往返运动时，滑动摩擦力、空气阻力的功等于力和路程(不是位移)的乘积,即W＝－FfL，式中Ff的大小恒定，L为物体运动的路程。 ③变力F的功率P恒定：W＝Pt。 ④利用动能定理及功能关系等方法根据做功的效果求解．即W合＝ΔEk或W＝E. 3.合力的功W合：W合＝F合Lcosα，F合是恒力；或者W合＝W1＋W2＋…＋Wn，要注意各功的正负。 二、功率的计算 1.利用P＝求解；主要求解平均功率 2.利用P＝Fvcosα求解，其中若v为物体运动的平均速度，求得的是物体的平均功率；若v为物体运动的瞬时速度，求得的是物体的瞬时功率。 3.机车启动 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P­t图像 和 v­t图像 OA 段 过程 分析 v↑⇒F＝↓ ⇒a＝↓ a＝不变⇒F不变 P＝Fv↑直到P额＝Fv1 运动 性质 加速度减小的加速运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝ AB 段 过程 分析 F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝ 其中F阻不一定是摩擦力 v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ 运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动 BC段 无 F＝F阻⇒a＝0⇒以vm＝做匀速运动，其中F阻不一定是摩擦力 易错点提醒：(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。 (2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝＜vm＝。 (3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－F阻x＝ΔEk。此式经常用于求解机动车以恒定功率启动过程的位移大小。 考点一：功的理解及计算 例1.以一定初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力大小恒定为f，则从抛出点到落回出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】上升过程阻力做功 下降过程阻力同样做负功 总功 故选C。 例2.如图，在竖直面内做匀速圆周运动的摩天轮，转动半径为R，一位质量为m的同学在乘坐摩天轮的过程中，从最高点运动到最低点重力做的功为（重力加速度为g）（　　） A．mR B．2mR C．mgR D．2mgR 【答案】D 【详解】重力做功仅与初末位置的高度差有关，与路径无关。该同学从最高点运动到最低点，高度差为（竖直位移向下），重力大小为，方向向下，位移方向向下，故重力做正功，大小为，故D正确，ABC错误。 故选D。 例3.一物体放在水平面上，它的俯视图如图所示，两个相互垂直的力和同时作用在物体上，使物体在水平面做直线运动。经过一段位移的过程中，力和对物体所做的功分别为和，则两个力的合力对物体所做的功为（　　） A．9J B．5J C．4J D．1J 【答案】A 【详解】两个力的合力对物体所做的功等于两个分力做功的代数和，即W=4J+5J=9J。 故选A。 【变式训练】如图所示，将一个大小为与水平方向成角的力作用在一个质量为的物体上，物体沿水平地面匀速前进了，，下面关于物体所受各力做功说法正确的是（　　） A．力对物体做功为 B．摩擦力对物体做功为 C．重力做功为 D．合力做功为 【答案】BD 【详解】A．由题意可知，竖直方向力对物体做功为0，水平方向根据功的定义式，故A错误； B．如图所示 物体受重力、支持力、拉力及摩擦力，由于物体做匀速直线运动，所以摩擦力，方向与位移相反，做负功，故B正确； C．位移水平，重力竖直向下，两者垂直，重力做功为零，故C错误； D．物体匀速，合外力为零，总功为零，故D正确。 故选BD。 考点二：变力做功的计算 例1.如图所示，摆球质量为，悬线长度为，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从点运动到点的过程中空气阻力的大小不变，则下列说法正确的是（　　） A．重力的瞬时功率在不断增大 B．悬线的拉力做功为 C．空气阻力做功为 D．空气阻力做功为 【答案】B 【详解】A．在最初的位置，因为小球的速度为零，则重力做功的功率为零。在摆动过程中，重力与小球的速度成锐角，功率不为零。在最低点时，小球的速度与重力垂直，则重力做功的功率为零。由此可知，重力做功的功率先增大后减小，故A错误； B．悬线的拉力始终与速度方向垂直，做功为0，故B正确； CD．空气阻力的大小不变，方向始终与速度方向相反，空气阻力做功为，故CD错误。 故选B。 例2.某气象站使用新型监测无人机进行近地面大气污染物采样。无人机携带传感器从地面观测站由静止竖直起飞，其所受升力随高度变化的规律如图所示。在无人机从起点升至距起点高度为处的过程中，升力对无人机做的功为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在图像中，图线与横轴所围成的面积表示力在该段位移内所做的功；故无人机从起点升至距起点高度为处的过程中，升力对无人机做的功为 故选D。 例3.如图所示，n个完全相同、棱长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为µ，重力加速度为g，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】小方块依次进入粗糙区域，摩擦力逐渐增大，设小方块全部进入粗糙区域时的摩擦力为f，则 整个过程中的平均摩擦力 摩擦力对所有小方块做的功 所以做功的大小为。 故选C。 例4.如图所示，质量为m的物块放在水平转台上，物块与转轴相距R，物块随转台由静止开始转动。当角速度增至时，转台开始做匀速转动，整个过程物块与转台总是保持相对静止，则（    ） A．在角速度增至过程中，物块所受的摩擦力方向总是指向转轴 B．转台匀速转动时，物块所受的摩擦力大小为 C．在角速度增至过程中，摩擦力对物块做的功是 D．在角速度增至过程中，摩擦力对物块做的功是0 【答案】C 【详解】A．在角速度增至过程中，即物块加速转动，则物块所受的摩擦力方向与速度夹角为锐角，不是总是指向转轴，选项A错误； B．转台匀速转动时，物块所受的摩擦力充当向心力，则摩擦力大小为选项B错误； CD．根据动能定理，在角速度增至过程中，摩擦力对物块做的功是选项C正确，D错误。故选C。 考点三：功率的理解与计算 例1.《天工开物•粹精》记载：“大者用牛曳转…次者用驴磨，斤两稍轻。”这是古代谷物加工的场景。如图为驴拉中型石磨盘的示意图，磨盘半径为r，磨杆长度也为r，驴沿磨盘切线方向，以大小恒定的拉力F牵引磨盘，使磨盘匀速转动，每秒转动n圈，驴可视为质点。下列说法正确的是（    ） A．驴拉磨的拉力不做功 B．驴拉磨的线速度保持不变 C．驴拉磨的线速度大小为4πrn D．拉力F的瞬时功率大小时刻变化 【答案】C 【详解】A．驴拉磨的拉力方向与运动方向相同，拉力做正功，故A错误； B．线速度是矢量，匀速圆周运动中线速度方向时刻改变，故B错误； C．由题意可知驴做圆周运动的半径为，角速度，线速度大小，故C正确； D．拉力大小恒定，线速度大小恒定，且力与速度方向始终相同，功率保持不变，故D错误。 故选C。 【变式训练】如图所示，从某高度以5m/s的水平速度抛出一小球，球经过0.5s到达地面，此时小球的速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，取重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（     ） A．小球距地面的高度为5m B．小球着地速度大小为5m/s C．小球落地时的速度与水平方向的夹角为45° D．若小球抛出时的速度增大，则重力的瞬时功率增大 【答案】C 【详解】A．小球距离地面的高度为，故A错误； B．着地时小球竖直方向的速度为，着地速度大小为，故B错误； C．设小球落地时速度与水平方向的夹角为，则，因此，故C正确； D．小球抛出高度不变时，着地时竖直方向的速度不变，则重力的瞬时功率不变，因此重力的瞬时功率与水平初速度无关，故D错误。 故选C。 例2. 杭州宇树科技携旗下机器人H1惊艳亮相2025年央视春晚。十几个人形机器人动作精准流畅，机械臂灵活挥舞着手帕，舞步充满科技感。其中有一个经典的动作是竖直上抛手绢，机械臂顶着手绢竖直向上运动一段距离后，手绢以4m/s的速度离开机械臂，然后在牵引绳的作用下，匀减速上升0.4m后落回。已知手绢的质量是0.2kg，重力加速度g取，不计空气阻力，在手绢匀减速上升的过程中（　　） A．牵引绳拉力大小为4N B．牵引绳拉力大小为0N C．克服牵引绳拉力的平均功率为8W D．克服牵引绳拉力的平均功率为4W 【答案】D 【详解】AB．上升过程，由动能定理，有 解得牵引绳拉力大小为，故AB均错误； CD．上升为匀减速过程，克服牵引绳拉力的平均功率为，故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练】如图所示，质量为m=3kg的木块在倾角θ=37°的足够长的斜面上静止开始下滑，且木块与斜面的动摩擦因数为0.5。（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8；g=10m/s2），求： (1)前4s内重力做的功； (2)前4s内重力的平均功率； 【答案】(1)288J (2)72W (3)144W 【详解】（1）木块下滑过程，根据牛顿第二定律可得 解得加速度大小为 则前4s木块的位移为 前4s内重力做的功 （2）前4s内重力的平均功率为 解得 考点四：机动车启动方式 例1.中国“智造”的复兴号动车组是中国高铁“金名片”，标志着中国已全面掌握高铁关键核心技术。假设质量为的高铁列车在平直铁路上以额定功率启动，且行驶过程中受到的阻力恒定，最高行驶速度为。下列说法正确的是（     ） A．在加速阶段，列车的加速度保持不变 B．行驶过程中列车受到的阻力大小为 C．当列车的速度大小为时，列车的加速度大小为 D．从启动到速度大小为的过程中，列车所受牵引力做的功为 【答案】C 【详解】A．题目中表示列车以额定功率启动，根据可知随着列车速度增大，列车牵引力在减小。因此列车所受合外力逐渐减小、加速度减小。故A错误； B．当牵引力大小等于阻力时有最大速度，因此行驶过程中列车受到的阻力大小为。故B错误； C．当列车速度大小为时，列车牵引力为，所受合外力 加速度，故C正确； D．从启动到速度大小为的过程中，列车所受合外力做的功为。其中包括牵引力做的正功和阻力做的负功。因此牵引力做的功要大于，故D错误。 故选C。 【变式训练】如图所示，某款无人配送车车身净质量为300 kg，最大承载质量为200 kg，设计满载最大速度为10 m/s。已知该车在水平路面行驶时，受到的阻力由两部分组成：轮胎滚动阻力约为总重力的0.05倍，空气阻力大小与速度的关系f＝5v，重力加速度g取10 m/s2。该车在水平路面上直线行驶时，下列说法正确的是（     ） A．配送车受到的最大阻力为250 N B．配送车空载时，能达到的最大速度为15 m/s C．配送车以额定功率启动时，先做匀加速直线运动，直至达到最大速度 D．满载情况下以额定功率启动，当速度为5 m/s时，配送车的加速度大小为0.65 m/s2 【答案】D 【详解】A．配送车受到的阻力 f=f滚+f空=0.05mg+5v 当配送车满载且速度最大时，阻力最大。满载总质量 M=300 kg+200 kg=500 kg 最大阻力 fmax=0.05×500×10 N +5×10 N =300 N，故A错误； B．当配送车满载以最大速度 vm1=10 m/s 行驶时，牵引力等于阻力，此时功率为额定功率 P。有 空载时，阻力为 由 解得，故B错误； C．配送车以额定功率启动时，由 P=Fv 可知，随着速度 v 增大，牵引力 F 减小。 由牛顿第二定律 F−f=ma 且阻力 f 随速度增大而增大，可知加速度 a 逐渐减小。 配送车做加速度减小的加速运动，直到加速度为零时达到最大速度，不是匀加速直线运动，故C错误； D．满载情况下以额定功率启动，当速度 v1=5 m/s 时，牵引力 此时阻力 f1=0.05Mg+5v=250 N +5×5 N =275 N 根据牛顿第二定律有F1−f1=Ma1 解得加速度，故D正确。 故选D。 例2.如图甲所示，无人配送车作为新型配送装备，可以自动规避道路障碍物与来往车辆行人，实现智能配送。满载时总质量的无人配送车在水平路面上以恒定加速度启动，到达额定功率后保持功率不变，其图像如图乙所示，其中段和段均为直线。已知无人配送车满载时的额定功率。若该无人配送车正常行驶时，受到的阻力约为总重力的，重力加速度取。无人配送车满载时，下列说法正确的是（     ） A．无人配送车的最大行驶速度 B．匀加速阶段能达到的最大速度 C．车速时，无人配送车仍做匀加速直线运动 D．加速度时，无人配送车的速度为 【答案】BD 【详解】A．配送车在水平路面上以最大行驶速度匀速行驶时，牵引力等于阻力，即 功率为额定功率 最大行驶速度，故A错误； B．匀加速阶段，根据牛顿第二定律可得 解得 汽车达到匀加速阶段的最大速度时，功率为额定功率，可得，故B正确； C．由于 汽车在阶段，以恒额定功率进行加速，故C错误； D．根据牛顿第二定律得 解得 由于 汽车在阶段，以额定功率进行加速，此时配送车的速度，故D正确。 故选BD。 【变式训练】一质量为的汽车在水平路面上启动，其速度随时间变化的关系如图所示，时间内图像为过原点的直线，时刻速度为，功率达到额定功率，此后功率保持不变直至速度达到最大。汽车运动过程中所受阻力恒为车重的0.2倍，重力加速度为。汽车整个运动过程中，下列说法正确的是（    ） A．汽车的牵引力逐渐减小 B．汽车的牵引力始终保持不变 C．汽车牵引力的最大值为 D．汽车的最大速度为 【答案】C 【详解】AB．由图像可知汽车先做匀加速直线运动，后做加速度减小的加速运动，达到最大速度后做匀速直线运动；根据牛顿第二定律有 可知汽车的牵引力先保持不变，后逐渐减小，再保持不变，故AB错误； C．汽车运动过程中所受阻力恒为车重的0.2倍，则有 匀加速阶段，根据牛顿第二定律可得 根据图像可得加速度大小为 联立解得汽车牵引力的最大值为，故C正确； D．汽车的额定功率为 当牵引力等于阻力时，汽车的速度达到最大，则有 联立可得汽车的最大速度为，故D错误。 故选C。 例3.目前，世界上最先进的起重机是我国的“XCA4000”轮式起重机，满足170米的吊装高度，230吨的极限吊装重量，被誉为“全球第一吊”。该起重机将质量为的重物由静止开始以加速度竖直向上匀加速提升，经过时间达到额定功率，之后继续向上加速运动，直至匀速上升。不计空气阻力，设重力加速度为，下面说法正确的是（　　） A．重物匀速上升时的速度为 B．重物匀速上升时的速度为 C．重物在匀加速提升阶段的机械能增量为 D．起重机的额定功率 【答案】A 【详解】AB．当重物匀速上升时，牵引力与重力平衡，即 根据功率公式 可得匀速上升的速度 ，A正确，B错误； C．匀加速阶段，牵引力恒定，速度 可知速度均匀增大，起重机的功率 故起重机的功率从0均匀增大到额定功率，所以拉力做的总功为 根据功能关系可得机械能增量为，C错误； D．匀加速阶段，由牛顿第二定律有 解得牵引力 时刻速度 此时达到额定功率，因此，D错误。 故选A。 一、单选题 1．如图，李同学课间用手握住板擦，在向右挥动手臂擦黑板的过程中，下列说法正确的是（　　） A．黑板给板擦的摩擦力水平向右 B．黑板对板擦的作用力水平向左 C．黑板和板擦间存在摩擦生热 D．手和板擦间存在摩擦生热 【答案】C 【详解】A．板擦相对黑板向右运动，受到黑板给它向左的摩擦力，故A错误； B．黑板对板擦有向外的支持力，与摩擦力的合力方向是斜向黑板的左外侧，故B错误； C．黑板和板擦间有相对运动，存在摩擦生热，故C正确； D．手握住板擦，二者间无相对运动，无摩擦生热，故D错误。 故选C。 2．某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为（k，已知），石头沿竖直方向做直线运动，当时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】阻力随深度线性变化，利用平均力法可得平均力 则 故选C。 3．将质量为m的小球竖直上抛，小球所受空气阻力大小恒为f，小球上升的最大高度为h，则从抛出至落回到出发点的过程中，重力和空气阻力分别对小球做的功为（　　） A．和 B．和 C．0和0 D．0和 【答案】D 【详解】从抛出点到落回原出发点的过程中，重力先做负功，后做正功，从抛出至落回出发点的过程中，位移为零，所以重力做功之和为零。 上升过程中空气阻力对小球做功W1=-fh 下落过程中空气阻力对小球做功W2=-fh 则从抛出到落回到抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功为W=W1+W2=-2fh 故选D。 4．汽车行驶过程中遇到不同路况时，司机通常都会通过换挡和加、减油门来操控汽车，从而使汽车行驶平稳。如图，当汽车要上长陡坡时，司机最恰当的操作应该是（     ） A．换低速挡，减油门减小发动机的输出功率 B．换高速挡，减油门减小发动机的输出功率 C．换低速挡，加油门增加发动机的输出功率 D．换高速挡，加油门增加发动机的输出功率 【答案】C 【详解】由功率公式可知，当汽车要上长陡坡时，需要很大的牵引力，司机通过换低速挡减小速度，可以在功率一定的情况下增大牵引力；同时通过加大油门增加发动机的输出功率，可以进一步增大牵引力。 故选C。 5．某地有一风力发电机，它的叶片转动时可形成半径为的圆面。某段时间内该地区的风速，风向恰好跟叶片转动形成的圆面垂直，已知空气的密度，若该风力发电机能将此圆内的空气动能转化为电能。取3.0，则此风力发电机发电的功率约为（     ） A．4374 W B．4284 W C．4174 W D．4084 W 【答案】A 【详解】单位时间内通过风轮圆面的空气柱体积为 空气柱质量为 空气动能为 已知只有的空气动能转化为电能，联立可得功率 代入数据解得 故选A。 6．如图所示，部队士兵进行体能训练，用拖绳拖动轮胎在水平地面匀速直线前进。连接轮胎的拖绳与地面夹角为37°，绳子拉力大小为50 N，轮胎以5 m/s的速度匀速直线前进3 s，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力，则（     ） A．水平地面对轮胎的摩擦力大小为30 N B．3 s内，轮胎克服摩擦力做功为450 J C．3 s内，绳子拉力对轮胎做功为600 J D．3 s内，绳子拉力的功率为250 W 【答案】C 【详解】A．轮胎做匀速直线运动，处于平衡状态，水平方向上拉力的水平分量与摩擦力平衡，则摩擦力大小为 f=Fcos37°=40N，故A错误； B．3s 内轮胎的位移为 x=vt=15m 轮胎克服摩擦力做功为，故B错误； C．3s 内，绳子拉力对轮胎做功为 W=Fxcos37°=600J，故C正确； D．3s 内，绳子拉力的功率为 P=Fvcos37°=200W，故D错误。 故选C。 7．酢浆草的果实成熟后会突然裂开，将种子以弹射的方式散播出去。某次抛出的种子中有两粒的运动轨迹如图所示（两粒种子可视为同时抛出），它们质量相同，轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为，且轨迹交于点，抛出时种子1和种子2的初速度均为，种子1抛出时方向水平，种子2抛出时方向斜向上，忽略空气阻力。关于这两粒种子从运动到的过程中，下列说法正确的是（     ） A．种子2重力的平均功率大 B．运动过程中种子2的重力做功多 C．经过点时种子2重力的瞬时功率大小大于种子1的 D．种子2经过点时的速率小于种子1经过点时的速率 【答案】C 【详解】AB．在竖直方向上，种子2做竖直上抛运动，即先向上减速再向下加速，而种子1做自由落体运动，这两粒种子从点运动到点的高度相同，则种子2运动时间较长，且两粒种子质量相同，则两粒种子重力做功相同，种子1重力的平均功率大，故AB错误； D．在点对于种子1有 对于种子2，竖直方向上有 则在点有 则种子1、2在点的速率相同，故D错误； C．重力的瞬时功率 在竖直方向上，由于种子2由最高点运动到P点过程中竖直方向下落的高度比种子1从O点运动到P点竖直方向下落的高度高，可知在P点，种子2的竖直分速度大，则在点种子2重力的瞬时功率大，故C正确。 故选C。 8．图甲为用无人机吊运脐橙的情境，一段时间内，无人机从距地面处沿竖直方向上升到距地面处。该段时间内，连接无人机的主绳上拉力F随高度x变化的图像如图乙所示，主绳始终竖直，则这段时间，主绳上拉力F做功为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据图像与横轴围成的面积表示位移，可知这段时间，主绳上拉力F做功为 故选B。 9．小明在家打扫卫生时，先将静止的沙发沿直线推开，清洁地面后再将沙发沿直线推回原位置静止。关于往返全过程中说法正确的是（     ） A．沙发总位移大小为 B．合力对沙发做的总功为零 C．人对沙发的推力做的总功为零 D．滑动摩擦力对沙发做的总功为零 【答案】B 【详解】A．位移是初位置指向末位置的有向线段，沙发往返后回到原位置，初末位置重合，总位移大小为0，故A错误； B．根据动能定理，合外力对物体做的总功等于物体动能的变化量，沙发初末状态均静止，动能变化，因此合力总功为零，故B正确； C．功的正负由力与位移的夹角决定，夹角为锐角时力做正功：推出沙发时推力与位移同向，做正功；推回沙发时推力与位移仍同向，也做正功，因此人对沙发推力的总功为正，不为零，故C错误； D．滑动摩擦力方向始终与物体相对运动方向相反，两次运动中摩擦力均与位移反向，夹角为180°，都做负功，因此滑动摩擦力的总功为负，不为零，故D错误。 故选B。 10．如图所示，木块A放在木板B上左端，用恒力将A拉至B的右端，第一次将B固定在地面上，做功为，生热为，第二次让B可以在光滑地面上自由滑动，这次做功为，生热为，则应有（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】第一次B固定在地面上，将A拉到B的右端时，A相对于地面移动的距离等于B板的长度；第二次B可以在光滑地面上自由滑动，A、B间存在摩擦，在摩擦力作用下B要向右运动，则将A拉到B的右端时，A相对于地面移动的距离将大于B板的长度；所以，第二次A相对于地面移动的距离大，而拉力恒定，由公式可知， 摩擦产生的热量，两次都从木板B的左端滑到右端，相对距离都等于B板的长度，相对距离相等，且A、B间的摩擦力大小不变，所以 故选A。 二、多选题 11．无人机是利用无线电遥控设备和由机载计算机自主控制装置操作的设备，某无人机公司在调试无人机飞行技术数据时，让无人机从地面由静止沿竖直方向匀加速升空，当速度增加到时，无人机恰好达到额定功率，且额定功率，忽略空气阻力。下列判断正确的是（     ） A．无人机受到竖直向上的作用力大小为24 N B．无人机受到竖直向上的作用力大小为60 N C．当无人机速度大小为3 m/s时，无人机的功率为72 W D．当无人机速度大小为3 m/s时，无人机的功率为180 W 【答案】AC 【详解】AB．无人机达到额定功率时速度为 ，忽略空气阻力，竖直向上的作用力功率为，解得，故A正确，B错误。 CD．速度从 增加到前，无人机匀加速升空，竖直向上的作用力大小不变，由可知，当速度为时，功率为，故C正确，D错误。 故选AC。 12．如图所示，R20000-720塔机是由中联重科与中交第二航务工程局联合研发的全球最大塔式起重机，额定起重力矩20000吨米，最大起重量720吨，最大起升高度400米，创下12项世界首创技术。将质量为m的重物由静止开始以加速度a匀加速向上提升，经过时间t达到额定功率P，重力加速度为g，不计空气阻力，下面说法正确的是（　　） A．重物匀加速上升受到的拉力 B．重物匀速运动时的最大速度 C．重物由静止到最大速度经历时间 D．匀加速阶段起重机对重物做功 【答案】ABD 【详解】A．重物匀加速上升过程，根据牛顿第二定律可得 所以，故A正确； B．重物匀速运动时的最大速度，故B正确； C．达到额定功率后，重物向上做加速度减小的加速运动，直到达到最大速度，所以重物由静止到最大速度经历时间为，故C错误； D．匀加速阶段起重机对重物做功，故D正确。 故选ABD。 13．如图所示为我国首条空轨列车（简称空轨），一质量为的空轨在平直轨道上从静止开始匀加速直线行驶，经过时间前进的距离为，发动机输出功率恰好达到额定功率，空轨所受阻力恒定，则空轨（     ） A．匀加速行驶过程中，最大速度为 B．匀加速行驶过程中，牵引力做的功为 C．匀加速行驶过程中，阻力大小为 D．能达到的最大速度为 【答案】BC 【详解】A、已知空轨从静止开始匀加速直线行驶时间前进的距离为，空轨匀加速直线行驶过程中的最大速度为，设由运动学公式得 解得，故A错误； B、设匀加速直线行驶过程中牵引力大小为，其做的功为。已知空轨匀加速直线行驶达到最大速度时发动机输出功率恰好达到额定功率，则有 牵引力做功 联立解得，故B正确； C、设匀加速直线行驶过程中空轨的阻力大小为，根据动能定理得 联立解得，故C正确； D、当空轨匀加速直线行驶达到最大速度后，发动机输出功率为额定功率保持不变，由，空轨继续加速，牵引力减小，当牵引力减小到等于阻力时空轨达到最大速度，故空轨能达到的最大速度，故D错误。 故选BC。 14．试验运行的CR450动车组是当今世界跑得最快的高速列车，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为的动车组从静止开始以恒定功率在平直轨道上运动，后达到最大速度。设动车组行驶过程所受到的阻力保持不变，此过程中动车组（     ） A．加速度不变 B．加速度逐渐减小 C．受到的阻力 D．受到的牵引力做功 【答案】BC 【详解】AB．列车以恒定功率运动，根据可得，随着速度增加，牵引力减小。 根据牛顿第二定律得 可得加速度逐渐减小，故A错误，B正确； C．列车以最大速度运行时，牵引力等于阻力，可得阻力，故C正确； D．加速过程中功率不变，牵引力做的功，故D错误。 故选BC。 15．如图所示，摆球质量为m，悬线的长为l，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力F阻的大小不变，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．重力做功为mgl B．绳的拉力做功为零 C．F阻做功为－mgl D．F阻做功为 【答案】ABD 【详解】A．小球下落过程中，重力做功为，故A正确； B．绳的拉力始终与速度方向垂直，拉力做功为零，故B正确； CD．空气阻力大小不变，方向始终与速度方向相反，F阻做功为，故C错误，D正确。 故选ABD。 三、解答题 16．某兴趣小组对刚买来的一辆小型遥控车的性能进行研究。他让这辆小车在水平的地面上由静止开始沿直线轨道运动，并将小车运动的全过程通过传感器记录下来，通过数据处理得到如图所示的图像。已知小车在内做匀加速直线运动，内小车牵引力的功率保持不变，内小车做匀速直线运动，在末小车失去动力而开始减速滑行。已知小车质量，整个过程中小车受到的阻力大小不变，求 (1)小车受到的阻力大小； (2)小车匀速行驶阶段的功率； (3)小车在末的速度大小； (4)小车在加速过程通过的距离。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）小车在11s~15s内在阻力作用下做匀减速运动，则 则小车受到的阻力大小为 （2）小车以匀速时，牵引力的大小等于阻力的大小，则功率为 （3）小车在0-2s内做匀加速运动，则， 在时，有 解得 （4）小车在0-2s内通过的位移为 小车在2s-9s内应用动能定理得，其中 解得 则小车在加速过程通过的距离为 17．汽车发动机的功率为 ，若其总质量为 ，在水平路面上行驶时，所受阻力恒定为，试求： (1)汽车所能达到的最大速度。 (2)若汽车以的加速度由静止开始做匀加速运动，这一过程能维持多长时间。 (3)若汽车保持额定功率加速，当速度是 时，加速度是多少？ 【答案】(1)30m/s (2)15s (3)0.5m/s2 【详解】（1）当牵引力等于阻力时，速度最大，根据 可得最大速度 （2）根据牛顿第二定律得 解得 则匀加速运动的末速度 匀加速运动的时间 （3）当速度为时，牵引力 则加速度 14 学科网（北京）股份有限公司 $新高三暑假复习讲义 2027届高三暑假自学衔接课 第九讲 功与功率 一、功的计算 1.恒力F做功：W＝FLcosα.（注意：F为恒力；L为物体对地的位移） 2.变力F做功的求解方法： ①若变力F是位移L的线性函数，则，即：F－L图线下的面积等于功。 ②在曲线运动或往返运动时，滑动摩擦力、空气阻力的功等于力和路程(不是位移)的乘积,即W＝－FfL，式中Ff的大小恒定，L为物体运动的路程。 ③变力F的功率P恒定：W＝Pt。 ④利用动能定理及功能关系等方法根据做功的效果求解．即W合＝ΔEk或W＝E. 3.合力的功W合：W合＝F合Lcosα，F合是恒力；或者W合＝W1＋W2＋…＋Wn，要注意各功的正负。 二、功率的计算 1.利用P＝求解；主要求解平均功率 2.利用P＝Fvcosα求解，其中若v为物体运动的平均速度，求得的是物体的平均功率；若v为物体运动的瞬时速度，求得的是物体的瞬时功率。 3.机车启动 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P­t图像 和 v­t图像 OA 段 过程 分析 v↑⇒F＝↓ ⇒a＝↓ a＝不变⇒F不变 P＝Fv↑直到P额＝Fv1 运动 性质 加速度减小的加速运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝ AB 段 过程 分析 F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝ 其中F阻不一定是摩擦力 v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ 运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动 BC段 无 F＝F阻⇒a＝0⇒以vm＝做匀速运动，其中F阻不一定是摩擦力 易错点提醒：(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。 (2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝＜vm＝。 (3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－F阻x＝ΔEk。此式经常用于求解机动车以恒定功率启动过程的位移大小。 考点一：功的理解及计算 例1.以一定初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力大小恒定为f，则从抛出点到落回出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为（　　） A．0 B． C． D． 例2.如图，在竖直面内做匀速圆周运动的摩天轮，转动半径为R，一位质量为m的同学在乘坐摩天轮的过程中，从最高点运动到最低点重力做的功为（重力加速度为g）（　　） A．mR B．2mR C．mgR D．2mgR 例3.一物体放在水平面上，它的俯视图如图所示，两个相互垂直的力和同时作用在物体上，使物体在水平面做直线运动。经过一段位移的过程中，力和对物体所做的功分别为和，则两个力的合力对物体所做的功为（　　） A．9J B．5J C．4J D．1J 【变式训练】如图所示，将一个大小为与水平方向成角的力作用在一个质量为的物体上，物体沿水平地面匀速前进了，，下面关于物体所受各力做功说法正确的是（　　） A．力对物体做功为 B．摩擦力对物体做功为 C．重力做功为 D．合力做功为 考点二：变力做功的计算 例1.如图所示，摆球质量为，悬线长度为，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从点运动到点的过程中空气阻力的大小不变，则下列说法正确的是（　　） A．重力的瞬时功率在不断增大 B．悬线的拉力做功为 C．空气阻力做功为 D．空气阻力做功为 例2.某气象站使用新型监测无人机进行近地面大气污染物采样。无人机携带传感器从地面观测站由静止竖直起飞，其所受升力随高度变化的规律如图所示。在无人机从起点升至距起点高度为处的过程中，升力对无人机做的功为（     ） A． B． C． D． 例3.如图所示，n个完全相同、棱长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为µ，重力加速度为g，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为（　　） A． B． C． D． 例4.如图所示，质量为m的物块放在水平转台上，物块与转轴相距R，物块随转台由静止开始转动。当角速度增至时，转台开始做匀速转动，整个过程物块与转台总是保持相对静止，则（    ） A．在角速度增至过程中，物块所受的摩擦力方向总是指向转轴 B．转台匀速转动时，物块所受的摩擦力大小为 C．在角速度增至过程中，摩擦力对物块做的功是 D．在角速度增至过程中，摩擦力对物块做的功是0 考点三：功率的理解与计算 例1.《天工开物•粹精》记载：“大者用牛曳转…次者用驴磨，斤两稍轻。”这是古代谷物加工的场景。如图为驴拉中型石磨盘的示意图，磨盘半径为r，磨杆长度也为r，驴沿磨盘切线方向，以大小恒定的拉力F牵引磨盘，使磨盘匀速转动，每秒转动n圈，驴可视为质点。下列说法正确的是（    ） A．驴拉磨的拉力不做功 B．驴拉磨的线速度保持不变 C．驴拉磨的线速度大小为4πrn D．拉力F的瞬时功率大小时刻变化 【变式训练】如图所示，从某高度以5m/s的水平速度抛出一小球，球经过0.5s到达地面，此时小球的速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，取重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（     ） A．小球距地面的高度为5m B．小球着地速度大小为5m/s C．小球落地时的速度与水平方向的夹角为45° D．若小球抛出时的速度增大，则重力的瞬时功率增大 例2. 杭州宇树科技携旗下机器人H1惊艳亮相2025年央视春晚。十几个人形机器人动作精准流畅，机械臂灵活挥舞着手帕，舞步充满科技感。其中有一个经典的动作是竖直上抛手绢，机械臂顶着手绢竖直向上运动一段距离后，手绢以4m/s的速度离开机械臂，然后在牵引绳的作用下，匀减速上升0.4m后落回。已知手绢的质量是0.2kg，重力加速度g取，不计空气阻力，在手绢匀减速上升的过程中（　　） A．牵引绳拉力大小为4N B．牵引绳拉力大小为0N C．克服牵引绳拉力的平均功率为8W D．克服牵引绳拉力的平均功率为4W 【变式训练】如图所示，质量为m=3kg的木块在倾角θ=37°的足够长的斜面上静止开始下滑，且木块与斜面的动摩擦因数为0.5。（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8；g=10m/s2），求： (1)前4s内重力做的功； (2)前4s内重力的平均功率； 考点四：机动车启动方式 例1.中国“智造”的复兴号动车组是中国高铁“金名片”，标志着中国已全面掌握高铁关键核心技术。假设质量为的高铁列车在平直铁路上以额定功率启动，且行驶过程中受到的阻力恒定，最高行驶速度为。下列说法正确的是（     ） A．在加速阶段，列车的加速度保持不变 B．行驶过程中列车受到的阻力大小为 C．当列车的速度大小为时，列车的加速度大小为 D．从启动到速度大小为的过程中，列车所受牵引力做的功为 【变式训练】如图所示，某款无人配送车车身净质量为300 kg，最大承载质量为200 kg，设计满载最大速度为10 m/s。已知该车在水平路面行驶时，受到的阻力由两部分组成：轮胎滚动阻力约为总重力的0.05倍，空气阻力大小与速度的关系f＝5v，重力加速度g取10 m/s2。该车在水平路面上直线行驶时，下列说法正确的是（     ） A．配送车受到的最大阻力为250 N B．配送车空载时，能达到的最大速度为15 m/s C．配送车以额定功率启动时，先做匀加速直线运动，直至达到最大速度 D．满载情况下以额定功率启动，当速度为5 m/s时，配送车的加速度大小为0.65 m/s2 例2.如图甲所示，无人配送车作为新型配送装备，可以自动规避道路障碍物与来往车辆行人，实现智能配送。满载时总质量的无人配送车在水平路面上以恒定加速度启动，到达额定功率后保持功率不变，其图像如图乙所示，其中段和段均为直线。已知无人配送车满载时的额定功率。若该无人配送车正常行驶时，受到的阻力约为总重力的，重力加速度取。无人配送车满载时，下列说法正确的是（     ） A．无人配送车的最大行驶速度 B．匀加速阶段能达到的最大速度 C．车速时，无人配送车仍做匀加速直线运动 D．加速度时，无人配送车的速度为 【变式训练】一质量为的汽车在水平路面上启动，其速度随时间变化的关系如图所示，时间内图像为过原点的直线，时刻速度为，功率达到额定功率，此后功率保持不变直至速度达到最大。汽车运动过程中所受阻力恒为车重的0.2倍，重力加速度为。汽车整个运动过程中，下列说法正确的是（    ） A．汽车的牵引力逐渐减小 B．汽车的牵引力始终保持不变 C．汽车牵引力的最大值为 D．汽车的最大速度为 例3.目前，世界上最先进的起重机是我国的“XCA4000”轮式起重机，满足170米的吊装高度，230吨的极限吊装重量，被誉为“全球第一吊”。该起重机将质量为的重物由静止开始以加速度竖直向上匀加速提升，经过时间达到额定功率，之后继续向上加速运动，直至匀速上升。不计空气阻力，设重力加速度为，下面说法正确的是（　　） A．重物匀速上升时的速度为 B．重物匀速上升时的速度为 C．重物在匀加速提升阶段的机械能增量为 D．起重机的额定功率 一、单选题 1．如图，李同学课间用手握住板擦，在向右挥动手臂擦黑板的过程中，下列说法正确的是（　　） A．黑板给板擦的摩擦力水平向右 B．黑板对板擦的作用力水平向左 C．黑板和板擦间存在摩擦生热 D．手和板擦间存在摩擦生热 2．某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为（k，已知），石头沿竖直方向做直线运动，当时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为（　　） A． B． C． D． 3．将质量为m的小球竖直上抛，小球所受空气阻力大小恒为f，小球上升的最大高度为h，则从抛出至落回到出发点的过程中，重力和空气阻力分别对小球做的功为（　　） A．和 B．和 C．0和0 D．0和 4．汽车行驶过程中遇到不同路况时，司机通常都会通过换挡和加、减油门来操控汽车，从而使汽车行驶平稳。如图，当汽车要上长陡坡时，司机最恰当的操作应该是（     ） A．换低速挡，减油门减小发动机的输出功率 B．换高速挡，减油门减小发动机的输出功率 C．换低速挡，加油门增加发动机的输出功率 D．换高速挡，加油门增加发动机的输出功率 5．某地有一风力发电机，它的叶片转动时可形成半径为的圆面。某段时间内该地区的风速，风向恰好跟叶片转动形成的圆面垂直，已知空气的密度，若该风力发电机能将此圆内的空气动能转化为电能。取3.0，则此风力发电机发电的功率约为（     ） A．4374 W B．4284 W C．4174 W D．4084 W 6．如图所示，部队士兵进行体能训练，用拖绳拖动轮胎在水平地面匀速直线前进。连接轮胎的拖绳与地面夹角为37°，绳子拉力大小为50 N，轮胎以5 m/s的速度匀速直线前进3 s，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力，则（     ） A．水平地面对轮胎的摩擦力大小为30 N B．3 s内，轮胎克服摩擦力做功为450 J C．3 s内，绳子拉力对轮胎做功为600 J D．3 s内，绳子拉力的功率为250 W 7．酢浆草的果实成熟后会突然裂开，将种子以弹射的方式散播出去。某次抛出的种子中有两粒的运动轨迹如图所示（两粒种子可视为同时抛出），它们质量相同，轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为，且轨迹交于点，抛出时种子1和种子2的初速度均为，种子1抛出时方向水平，种子2抛出时方向斜向上，忽略空气阻力。关于这两粒种子从运动到的过程中，下列说法正确的是（     ） A．种子2重力的平均功率大 B．运动过程中种子2的重力做功多 C．经过点时种子2重力的瞬时功率大小大于种子1的 D．种子2经过点时的速率小于种子1经过点时的速率 8．图甲为用无人机吊运脐橙的情境，一段时间内，无人机从距地面处沿竖直方向上升到距地面处。该段时间内，连接无人机的主绳上拉力F随高度x变化的图像如图乙所示，主绳始终竖直，则这段时间，主绳上拉力F做功为（　　） A． B． C． D． 9．小明在家打扫卫生时，先将静止的沙发沿直线推开，清洁地面后再将沙发沿直线推回原位置静止。关于往返全过程中说法正确的是（     ） A．沙发总位移大小为 B．合力对沙发做的总功为零 C．人对沙发的推力做的总功为零 D．滑动摩擦力对沙发做的总功为零 10．如图所示，木块A放在木板B上左端，用恒力将A拉至B的右端，第一次将B固定在地面上，做功为，生热为，第二次让B可以在光滑地面上自由滑动，这次做功为，生热为，则应有（     ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 11．无人机是利用无线电遥控设备和由机载计算机自主控制装置操作的设备，某无人机公司在调试无人机飞行技术数据时，让无人机从地面由静止沿竖直方向匀加速升空，当速度增加到时，无人机恰好达到额定功率，且额定功率，忽略空气阻力。下列判断正确的是（     ） A．无人机受到竖直向上的作用力大小为24 N B．无人机受到竖直向上的作用力大小为60 N C．当无人机速度大小为3 m/s时，无人机的功率为72 W D．当无人机速度大小为3 m/s时，无人机的功率为180 W 12．如图所示，R20000-720塔机是由中联重科与中交第二航务工程局联合研发的全球最大塔式起重机，额定起重力矩20000吨米，最大起重量720吨，最大起升高度400米，创下12项世界首创技术。将质量为m的重物由静止开始以加速度a匀加速向上提升，经过时间t达到额定功率P，重力加速度为g，不计空气阻力，下面说法正确的是（　　） A．重物匀加速上升受到的拉力 B．重物匀速运动时的最大速度 C．重物由静止到最大速度经历时间 D．匀加速阶段起重机对重物做功 13．如图所示为我国首条空轨列车（简称空轨），一质量为的空轨在平直轨道上从静止开始匀加速直线行驶，经过时间前进的距离为，发动机输出功率恰好达到额定功率，空轨所受阻力恒定，则空轨（     ） A．匀加速行驶过程中，最大速度为 B．匀加速行驶过程中，牵引力做的功为 C．匀加速行驶过程中，阻力大小为 D．能达到的最大速度为 14．试验运行的CR450动车组是当今世界跑得最快的高速列车，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为的动车组从静止开始以恒定功率在平直轨道上运动，后达到最大速度。设动车组行驶过程所受到的阻力保持不变，此过程中动车组（     ） A．加速度不变 B．加速度逐渐减小 C．受到的阻力 D．受到的牵引力做功 15．如图所示，摆球质量为m，悬线的长为l，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力F阻的大小不变，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．重力做功为mgl B．绳的拉力做功为零 C．F阻做功为－mgl D．F阻做功为 三、解答题 16．某兴趣小组对刚买来的一辆小型遥控车的性能进行研究。他让这辆小车在水平的地面上由静止开始沿直线轨道运动，并将小车运动的全过程通过传感器记录下来，通过数据处理得到如图所示的图像。已知小车在内做匀加速直线运动，内小车牵引力的功率保持不变，内小车做匀速直线运动，在末小车失去动力而开始减速滑行。已知小车质量，整个过程中小车受到的阻力大小不变，求 (1)小车受到的阻力大小； (2)小车匀速行驶阶段的功率； (3)小车在末的速度大小； (4)小车在加速过程通过的距离。 17．汽车发动机的功率为 ，若其总质量为 ，在水平路面上行驶时，所受阻力恒定为，试求： (1)汽车所能达到的最大速度。 (2)若汽车以的加速度由静止开始做匀加速运动，这一过程能维持多长时间。 (3)若汽车保持额定功率加速，当速度是 时，加速度是多少？ 14 学科网（北京）股份有限公司 $