陕西咸阳市2025-2026学年第二学期期末质量检测高一数学试题

**基本信息** 高中数学期末试卷通过真实情境与分层设计，整合抽象能力、推理意识与数据观念，考查函数、几何等核心知识，体现数学思维与现实应用的结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|6/70|函数应用、立体几何、概率统计|结合科技情境设计综合问题，如用导数分析工程优化，通过统计案例培养数据观念| |选择题|12/60|集合、数列、解析几何|基础题注重概念辨析，提升题融入跨学科背景，如用数列模型描述人口增长|

2025~2026学年度第二学期期末质量检测 高一数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．某公司芯片研发、软件开发、人工智能这三个部门的员工人数分别为180，240，360．现采用分层随机抽样的方法从这三个部门的员工中抽取39人，调研员工对工作的满意度，则人工智能部门被抽取的人数为 A．6 B．12 C．18 D．24 3．在复平面内，复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知平面向量，不共线，满足，则与的夹角为 A． B． C． D． 5．设，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．某模型对图像中目标识别的准确率与训练样本量的关系为，当识别的准确率达到时，的值约为（参考数据：） A．1152 B．1560 C．1842 D．2303 7．在正方体中，下列说法错误的是 A． B．与是异面直线 C．平面平面 D．直线与平面所成角为 8．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数，，，满足：，则下列不等式恒成立的是 A． B． C． D． 10．已知，，为随机事件，且，，，则下列结论正确的有 A．事件，是相互对立事件 B．若事件，，两两互斥，则为必然事件 C．若事件，相互独立，则 D．若，则事件，相互独立 11．设是定义在上的偶函数，且，当时，，则 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的虚部为________． 13．在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，开关，闭合与断开的概率都是，且所有开关的闭合与断开是相互独立的，则灯亮的概率为________． 14．已知球的体积为，正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）的四个顶点，，，均在球的球面上，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 从2名男学生（记为和）和3名女学生（记为，和）组成的总体中，采用有放回简单随机抽样的方法抽取2名学生． （1）写出该试验的样本空间； （2）求抽到的2人都是女生的概率． 16．（本小题满分15分） 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间． 17．（本小题满分15分） 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若边的中点为，，，求的面积． 18．（本小题满分17分） 树人中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前25%的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； （3）若成绩落在的平均成绩是57，方差是7；成绩落在的平均成绩为69，方差是4，求这两组数据的总平均数和方差． 19．（本小题满分17分） 如图1是边长为2的正方形，将其沿折起，使得，得到如图2所示的三棱锥，其中，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末质量检测 高一数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B 2．C 3．B 4．A 5．B 6．D 7．D 8．C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分；有选错的得0分． 9．ABD 10．BC 11．ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）所求样本空间为 ． （6分） （2）设事件为抽到的2人都是女生，则事件 ， 又，， 根据古典概型，得所求概率为． （13分） 16．解：（1） ， 所以函数的最小正周期为． （7分） （2）由（1）知， 由， 解得， 所以函数的单调递增区间为． （15分） 17．解：（1）由及正弦定理得， 整理得：， 所以， 又，所以． （7分） （2）因为边的中点为， 所以， 所以， 所以，解得或（舍）． 所以的面积为． （15分） 18．解：（1）由题意可得，解得， 平均数为． （5分） （2）分数介于的频率为，的频率为，所以获荣誉证书的最低分数介于， 设最低分数为， 则，解得． （11分） （3）成绩在的学生人数为，成绩在的学生人数为， 故， ． （17分） 19．解：（1）证明：因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面． （5分） （2）证明：因为，， 所以为边长为的等边三角形，即． 连接，，易知， 所以，即． 又，为中点， 所以， 又，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． （11分） （3）由（2）知， 又，所以为等边三角形． 取线段的中点，连接，， 则，且， 同理可得，，且． 又平面平面， 所以二面角的平面角为， 又， 所以， 故二面角的余弦值为． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $