精品解析：陕西西安交通大学附属中学2025-2026学年第二学期高一期末考试数学试题

2025～2026学年第二学期 高一年级期末考试数学试题 注意：本试题共4页，四道大题. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分.共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将一般式化成斜截式，再根据即可求解 【详解】由变形可得，则，又，所以， 故选：C 【点睛】本题考查由直线的一般式求解直线倾斜角，属于基础题 4. 在正方体中，异面直线与所成角（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【详解】如下图，连接，，由正方体的性质知：， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角，即， 在三角形中，因为，所以三角形为等边三角形， 所以. 5. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】D 【解析】 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而， 所以圆与圆内切. 6. 设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（    ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质推理判断A；利用线面平行的判定性质推理判断B；利用线线、面面平行关系判断C；利用面面垂直及线面平行关系判断D. 【详解】对于A，由，，得，而，则，A错误； 对于B，由，得存在过的平面且与不重合，则， 由，得存在过的平面，则， 又，因此，又，则，B正确； 对于C，由，，，得与相交或平行，C错误； 对于D，由，，，得与相交、平行或异面，D错误. 故选：B 7. 已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本小题主要考查向量的数量积运算与均值不等式的应用，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 如图所示， 设PA与PB夹角为，因为，所以，则，因为，所以，当且仅当时取等号. 8. 在直角梯形中，，，，E，F分别为，的中点，以A为圆心，为半径的圆交于G，点在弧上运动（如图）.若，其中，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立如图所示的坐标系，则，，由得，，，用参数进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论． 【详解】解：建立如图所示的坐标系， 则，， 由得，， ，， ， ，其中， 所以当，即时，取得最大值． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由同角的平方关系求出的值判断A；由诱导公式求出的值判断B；由两角和的正弦公式求出的值判断C；由二倍角公式求出判断D. 【详解】对于A，因为为第二象限角，， 所以，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 10. 如图，已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形 C. 圆锥的表面积为3π D. 圆锥的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【详解】由题意可知，圆锥的直径为，母线长为，所以圆锥的高， 所以圆锥的体积，A选项正确； 圆锥的侧面展开图的弧长，半径为，所以圆心角，B选项错误； 圆锥的表面积，C选项正确 设圆锥的外接球半径为，则，则，所以外接球的表面积为，D选项正确. 11. 已知点在圆：上运动.则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D. 若，，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由圆的方程可得圆心坐标及半径，对A转化为直线与圆有交点时斜率最大值可得；对B转化为直线与圆有公共点时的最小值；对C设出直线方程求得点坐标，再用两点距离公式并结合圆点坐标范围可得；对D直接转化圆上的点到原点的距离的最小值问题可得. 【详解】对原圆方程配方得，圆心，半径 对A选项，令表示点与原点连线的斜率，即直线与圆有交点. 所以圆心到直线的距离，即， 平方整理得： ， 解得， 故​最大值为​​，A正确. 对B选项，设，即，即直线与圆有公共点， 所以圆心到直线距离 ，即， 解得，​ 所以的最小值为，不是，故B错误； 对C选项，过斜率为​的直线为， 令，得， ， 因为在圆上，所以，因此，故C正确； 对D选项，设，，， 所以， 因为，所以 ， 所以，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知两条直线：，：，若，则实数______. 【答案】 【解析】 【详解】两条直线：，：， 因为，则，所以. 13. 已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根，则 【答案】 【解析】 【分析】说明函数是周期为8的函数，求出其对称轴，画出函数的大致图象，根据图像判断即可. 【详解】解：定义在R上的奇函数，所以，， 又，所以，8是函数的一个周期， 所以，所以是函数的一条对称轴，函数的对称轴是，根据以上性质画出函数的大致图象: 有图象知，，所以， 故答案为： 【点睛】把函数的奇偶性、单调性、周期性与方程的根的个数结合起来考查，中档题. 14. 在一个底面半径为4cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内放入6个半径为2cm的铁球，则圆柱高的最小值为_____cm. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设分析每层放置铁球的个数，得6个球分3层，每层2个放置，总高最小，应用空间想象求出上下两层铁球球心的间隔距离，再由且即可得. 【详解】已知圆柱底面半径为，铁球半径为， 若同一层放2个球：两球心相距，每个球心到圆柱中心轴的距离为，球心到圆柱侧壁的距离为，刚好等于球半径，可放下， 若同一层放3个球：三个球心构成边长为的正三角形，其外接圆半径为，加球半径后大于，超出圆柱底面半径，放不下， 因此6个球分3层，每层2个放置，总高最小，此时相邻两层的两个球错开放置，如下示意图， 若为下层球心，为上层球心，且四个铁球两两相切，则四面体的各棱长为， 将四面体补全为上图所示的正方体，则正方体的棱长为， 即上层铁球的球心所在平面与下层铁球的球心所在平面的距离（上下两层铁球球心的间隔）为， 最下层球心距底面、最上层球心距顶面均为球半径，3层共2个间隔， 所以总高为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）求的最小正周期及最值； （2）求在上的单调递增区间. 【答案】（1）最小正周期为，最大值为，最小值为. （2）单调递增区间为 【解析】 【分析】（1）化简得，由三角函数的性质求解即可； （2）由，求解即可. 【小问1详解】 因为. 所以函数的最小正周期为，最大值为，最小值为. 【小问2详解】 由， 得， 所以函数的单调递增区间为. 16. 已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中，. （1）若，且，求向量的坐标； （2）若，求在上的投影向量； （3）若，且，求与的夹角的大小. 【答案】（1）或. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用共线向量的坐标表示和向量模的计算公式，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，利用投影向量的计算公式，即可求解； （3）根据题意，利用垂直向量的坐标表示，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量，， 因为，且，可得，解得或， 向量的坐标为或. 【小问2详解】 解：由向量，，可得且， 所以在上的投影向量. 【小问3详解】 解：由，且，可得， 因为，可得， 解得， 所以， 因为， 所以，即与的夹角为. 17. 如图，在三棱台中，若平面，，，，M，N分别为，中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）因为三棱台的上下底面相似，所以， 由题意得， 又，分别为，中点， 所以，且，则且， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面， 平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，从而有，再由线面平行的判定定理证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，， 以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 根据题意得各点坐标，，， 因为，，且都在平面内，所以平面， 因此平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，，， 所以，令，得，，即， 设两个平面的夹角为，平面夹角取锐角或直角，因此， 即平面与平面​夹角的余弦值为. 18. 如图，已知的内角的对边分别为. （1）若，，，求的内角的值； （2）若，，的面积为，求的值； （3）若顶点在以为直径的半圆上运动，半圆圆心为，点在线段的延长线上，，，以为边作正三角形，且点与圆心分别在直线两侧，，将四边形的面积表示成关于的函数，并求四边形面积的最大值. 【答案】（1）， （2） （3），，四边形面积的最大值为. 【解析】 【分析】（1）直接由正弦定理解三角形可得； （2）由三角形面积公式及余弦定理解得； （3）将四边形的面积分为两个三角形面积的和，分别求两个三角形面积可得函数关系，再结合正弦函数性质可得面积的最大值. 【小问1详解】 由正弦定理 ，得，因为， 所以，. 因此，. 【小问2详解】 因为的面积为，且，所以，得. 又由余弦定理，得，即， 所以，因此（负值舍去）. 故的值为. 【小问3详解】 由题意得，. 在中，由余弦定理得. 所以. 又因为是正三角形，所以. 所以四边形的面积 ， 即，. 因为，所以，， 当时，即，. 因此，，面积的最大值为 19. 已知圆的方程为. （1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （2）已知直线与圆交于点，，若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于，，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，，记的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过斜率存在和不存在，结合圆心到直线距离为1，即可求解； （2）设，由，得到，再结合的取值范围即可求解； （3）通过斜率存在和不存在，借助三角形面积公式求解和，即可求解. 【小问1详解】 设圆心到直线的距离为， 则 当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到的距离为1，符合， 当直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 则圆心到直线的距离， 解得，即直线方程为， 综上直线的方程为：或 【小问2详解】 联立，得或， 即， 设，满足， 由可得：， 化简可得：， 即， 即，又， 当或时，对应的点只有一个或，舍去， 当时，符合条件的点有两个， 故， 所以实数的取值范围； 【小问3详解】 当过点且不与轴重合的直线斜率不存在时，即， 易得， 此时方程为，联立，得， 此时方程为，联立，得， 所以，， 所以， 当此直线斜率存在时，设直线方程为， 联立圆的方程消去得： 得，对应 所以 则 所以直线的方程为，联立，得， 所以直线的方程为，联立，得， 所以， 所以， 综上的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期 高一年级期末考试数学试题 注意：本试题共4页，四道大题. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分.共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 4. 在正方体中，异面直线与所成角（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 6. 设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（    ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为 A. B. C. D. 8. 在直角梯形中，，，，E，F分别为，的中点，以A为圆心，为半径的圆交于G，点在弧上运动（如图）.若，其中，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形 C. 圆锥的表面积为3π D. 圆锥的外接球的表面积为 11. 已知点在圆：上运动.则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D. 若，，则的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知两条直线：，：，若，则实数______. 13. 已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根，则 14. 在一个底面半径为4cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内放入6个半径为2cm的铁球，则圆柱高的最小值为_____cm. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）求的最小正周期及最值； （2）求在上的单调递增区间. 16. 已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中，. （1）若，且，求向量的坐标； （2）若，求在上的投影向量； （3）若，且，求与的夹角的大小. 17. 如图，在三棱台中，若平面，，，，M，N分别为，中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 如图，已知的内角的对边分别为. （1）若，，，求的内角的值； （2）若，，的面积为，求的值； （3）若顶点在以为直径的半圆上运动，半圆圆心为，点在线段的延长线上，，，以为边作正三角形，且点与圆心分别在直线两侧，，将四边形的面积表示成关于的函数，并求四边形面积的最大值. 19. 已知圆的方程为. （1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （2）已知直线与圆交于点，，若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于，，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，，记的面积为，的面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $