精品解析：湖南省长沙市博才实验中学等校2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025—2026学年度第二学期八年级期末考试 试题卷数学 总分：120分 时间：120分钟 一．选择题（在下列各题中的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，在中，对角线与相交于点O，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，点为斜边的中点，则的长为（ ） A. 16 B. 5 C. 4 D. 7 5. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（　　） A. 30米 B. 32米 C. 36米 D. 48米 6. 已知一班和二班的人数相等，在一次考试中两个班成绩（单位：分）的箱线图如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的下四分位数是80分 C. 一班有同学的成绩超过140分 D. 一班的最低分高于二班的最低分 7. 一次函数y＝2x的图象大致是（　　） A. B. C. D. 8. 已知关于的一元二次方程根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 9. 如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，为中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，若，则正方形的边长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 12. 如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，分别表示这三个正方形的面积．若，则的值为_____． 13. 小雅参加“我为团旗添光彩”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、9分，若三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小雅的最终比赛成绩为______． 14. 一次函数的函数值随自变量的值增大而减小，则的取值范围是_____． 15. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD＝60°，AD＝2，则AC的长为_____． 16. 某医院研究所开发了一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化情况如图所示，如果每毫升血液中的含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个最有效的时间共有______小时． 三．解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程： 19. 如图，在中，，，，点D是外一点，连接，且 （1）求的长； （2）求证：是直角三角形． 20. 联合国《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）在中国云南昆明召开，为了广泛宣传生物多样性工作，某中学组织学生结合所学知识，进行了生物知识竞赛活动．校方想了解该校七年级学生的竞赛情况．随机抽取了部分学生成绩进行分析．并将测试成绩绘制成两幅统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下列问题： （1）此次调查的样本容量是 ，并补全条形统计图； （2）抽取的样本中，测试成绩的众数是 分，中位数是 分，表示测试成绩为85分的扇形圆心角α的度数为 ； （3）已知该校七年级共有学生1040人，若竞赛成绩在（含85分和95分）分视为“成绩良好”，请你估计该校七年级生物知识竞赛“成绩良好”的学生共有多少人？ 21. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若两实数根分别为和，且，求m的值． 22. 如图，四边形是菱形，交的延长线于． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，，求菱形的面积． 23. 树立文明新风尚，某区投入一批资金计划购买甲、乙两种道旁装饰性垃圾桶．已知购买10个甲种垃圾桶、20个乙种垃圾桶需8000元，购买20个甲种垃圾桶、30个乙种垃圾桶需13000元． （1）求甲、乙两种垃圾桶每个各多少元． （2）若购买两种垃圾桶共400个，其中购买甲种垃圾桶x个，所需总资金为y元，请列出y（元）与x（个）之间的函数关系式． （3）在（2）中，若购买甲种垃圾桶的个数不超过乙种垃圾桶个数的三分之一，请你设计购买这批垃圾桶花费最少的方案，最少花费是多少？ 24. 我们约定：关于的一次函数和，满足，则称和互为“镜函数”请根据该约定，解答下列问题： （1）若关于的一次函数和互为“镜函数”，则_____，_____． （2）关于的一次函数与它的“镜函数”交点为，关于的一次函数与它的“镜函数”交点为，当时，求的范围． （3）已知关于的一次函数（其中）的图像是直线，它的“镜函数”图像是直线，且与的交点为．点关于的对称点为，点关于的对称点为．当以为顶点的四边形是平行四边形时，求该平行四边形的面积． 25. 如图1，在矩形中，点、分别是边、上的点，，连接、，． （1）求证：； （2）如图2，对角线、交于点，点、分别是线段、上的点，，连接、．求证：是直角； （3）在（2）的条件下： ①若点是边的中点，且，求面积的最小值； ②如图3，连接、，交于点，若，设，，请用含有，的式子表示边的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期八年级期末考试 试题卷数学 总分：120分 时间：120分钟 一．选择题（在下列各题中的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义即可判断． 【详解】解：A、对于一部分自变量的值，有多个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； B、对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数，故选项符合题意； C、对于一部分自变量的值，有两个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； D、对于一部分自变量的值，有两个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； 2. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键． 【详解】解：、，故是直角三角形，故选项不符合题意； 、，故是直角三角形，故选项不符合题意； 、，故不是直角三角形，故选项符合题意； 、，故是直角三角形，故选项不符合题意． 故选：． 3. 如图，在中，对角线与相交于点O，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 故A，B，D正确，不符合题意； ∵与不一定相等，故C错误，符合题意． 故选：C． 4. 如图，在中，，点为斜边的中点，则的长为（ ） A. 16 B. 5 C. 4 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握以上知识是关键． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， ∵点为斜边的中点， ∴， 故选：C ． 5. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（　　） A. 30米 B. 32米 C. 36米 D. 48米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得到． 【详解】解：∵D、E分别是、中点， ∴是的中位线， ∴， ∵米， ∴米， ∴A、B两点间的距离为32米． 故选：B 6. 已知一班和二班的人数相等，在一次考试中两个班成绩（单位：分）的箱线图如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的下四分位数是80分 C. 一班有同学的成绩超过140分 D. 一班的最低分高于二班的最低分 【答案】B 【解析】 【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：A．观察箱线图知∶二班成绩的箱线图宽度较窄，则二班成绩比一班成绩集中，故原说法错误； B．观察箱线图知∶ 一班成绩的下四分位数是80分，故原说法正确； C．观察箱线图知∶ 一班没有同学的成绩超过140分， 故原说法错误； D．观察箱线图知∶一班的最低分低于二班的最低分， 故原说法错误． 7. 一次函数y＝2x的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式知k=2>0，b=-3<0，则一次函数y＝2x的图象经过第一、第三，第四象限，即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数y＝2x， ∴k=2>0, b=-3<0， ∴一次函数y＝2x的图象经过第一、第三，第四象限， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，对于一次函数对于一次函数=kx+b，当k>0，b>0时，一次函数图象经过第一、第二，第三象限；当k>0，b<0时，一次函数图象经过第一、第三，第四象限；当k<0，b>0时，一次函数图象经过第一、第二，第四象限；当k<0，b<0时，一次函数图象经过第二、第三，第四象限． 8. 已知关于的一元二次方程根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 9. 如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 10. 如图，在正方形中，为中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，若，则正方形的边长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，可得，，设，则，再利用勾股定理进一步求解即可； 【详解】解：在正方形中，为中点，，， 得，，， 得， 得， 得， 得， 由E为中点，设，则， 得， 得， 得． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，关键熟练运用这些性质解决问题． 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，分别表示这三个正方形的面积．若，则的值为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵， ∴由勾股定理可得， ∵以的三边为边向外作正方形，分别表示这三个正方形的面积， ∴， ∵， ∴． 13. 小雅参加“我为团旗添光彩”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、9分，若三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小雅的最终比赛成绩为______． 【答案】8.4分 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．利用加权平均数的计算方法可求出结果． 【详解】解：根据题意可得： 故小雅的最终比赛成绩为分 故答案为：分． 14. 一次函数的函数值随自变量的值增大而减小，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，当一次函数的函数值随自变量增大而减小时，一次项系数小于，据此列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的函数值随自变量的值增大而减小， ∴， 解得． 15. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD＝60°，AD＝2，则AC的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】利用直角三角形30度角的性质，可得AC=2AD=4． 【详解】解：在矩形ABCD中，OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC， ∵∠AOD=60°， ∴∠OCD=∠AOD=×60°=30°， 又∵∠ADC=90°， ∴AC=2AD=2×2=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键 16. 某医院研究所开发了一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化情况如图所示，如果每毫升血液中的含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个最有效的时间共有______小时． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，求出时，与之间的函数关系式，时，与之间的函数关系式，把代入所得的两个函数解析式，看得到的相应时间，较大的数减较小的数即为有效时间． 【详解】设时，正比例函数解析式为，把代入得，， 当时，与之间的函数关系式是； 设时，一次函数解析式为， ，，在函数解析式上， ， 解得， 当时，与之间的函数关系式是； 把代入得，； 把代入得，， 有效时间为， 如果每毫升血液中的含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个最有效的时间共有4小时． 故答案为：4． 三．解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除法和加减法，绝对值，负整数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 19. 如图，在中，，，，点D是外一点，连接，且 （1）求的长； （2）求证：是直角三角形． 【答案】（1）5 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理， （1）在中，根据勾股定理即可求得的长； （2）利用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． 【小问2详解】 证明：∵在中，， ∴是直角三角形． 20. 联合国《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）在中国云南昆明召开，为了广泛宣传生物多样性工作，某中学组织学生结合所学知识，进行了生物知识竞赛活动．校方想了解该校七年级学生的竞赛情况．随机抽取了部分学生成绩进行分析．并将测试成绩绘制成两幅统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下列问题： （1）此次调查的样本容量是 ，并补全条形统计图； （2）抽取的样本中，测试成绩的众数是 分，中位数是 分，表示测试成绩为85分的扇形圆心角α的度数为 ； （3）已知该校七年级共有学生1040人，若竞赛成绩在（含85分和95分）分视为“成绩良好”，请你估计该校七年级生物知识竞赛“成绩良好”的学生共有多少人？ 【答案】（1）80；见解析 （2）90；92.5； （3）728人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、样本估计总体，理解两个统计图中数量关系是正确解答的关键． （1）根据“95分”的频数为24，占调查人数的，可求出调查总人数，进而求出“90分”的人数，并补全条形统计图； （2）根据中位数、众数的意义进行判断及扇形圆心角计算方法计算即可； （3）求出样本中“竞赛成绩在”所占得百分比即可． 【小问1详解】 解：（人）， （人）， 故答案为：80； 补全条形统计图如下， 【小问2详解】 解：这80名学生成绩出现次数最多的是90，因此众数是90分， 将这80名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数分别是90分和95分，因此中位数是分， ， 故答案为：90；92.5；； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校七年级生物知识竞赛“成绩良好”的学生大约共有728人． 21. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若两实数根分别为和，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程有实数根可得△=b2﹣4ac=4+4m≥0，解不等式即可； （2）由x1和x2是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=﹣m，又由x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=6，可得方程22+2m=6，求解方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴△=b2﹣4ac=4+4m≥0， 解得：m≥﹣1； 【小问2详解】 解：∵x1和x2是方程的两个实数根， ∵x1+x2=2，x1x2=﹣m， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=6， ∴22+2m=6， 解得：m=1． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 22. 如图，四边形是菱形，交的延长线于． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形是菱形，得、，结合得，进而证明四边形是平行四边形； （2）由得平行四边形是菱形，结合四边形是菱形得，得，根据勾股定理得，进而根据菱形面积等于对角线积的一半来计算即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：， ∴平行四边形是菱形， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， ∴菱形的面积为：． 23. 树立文明新风尚，某区投入一批资金计划购买甲、乙两种道旁装饰性垃圾桶．已知购买10个甲种垃圾桶、20个乙种垃圾桶需8000元，购买20个甲种垃圾桶、30个乙种垃圾桶需13000元． （1）求甲、乙两种垃圾桶每个各多少元． （2）若购买两种垃圾桶共400个，其中购买甲种垃圾桶x个，所需总资金为y元，请列出y（元）与x（个）之间的函数关系式． （3）在（2）中，若购买甲种垃圾桶的个数不超过乙种垃圾桶个数的三分之一，请你设计购买这批垃圾桶花费最少的方案，最少花费是多少？ 【答案】（1）甲种垃圾桶每个200元，乙种垃圾桶每个300元； （2）； （3）购买甲种垃圾桶100个，乙种垃圾桶300个，最少花费为元； 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，一次函数，不等式的实际应用问题，根据实际问题找到对应的等量关系是解题的关键． （1）设甲种垃圾桶每个m元，乙种垃圾桶每个n元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）若购买两种垃圾桶共400个，其中购买甲种垃圾桶x个，则购买乙种垃圾桶个，根据总资金等于两种垃圾桶的价格之和即可列出函数关系式； （3）根据购买甲种垃圾桶的个数不超过乙种垃圾桶个数的三分之一，列出不等关系式，求出甲种垃圾桶的取值范围，再结合总资金函数关系式求出最小值即可； 【小问1详解】 设甲种垃圾桶每个m元，乙种垃圾桶每个n元， 由题意，得， 解得． 答：甲种垃圾桶每个200元，乙种垃圾桶每个300元． 【小问2详解】 若购买两种垃圾桶共400个，其中购买甲种垃圾桶x个，则购买乙种垃圾桶个， 所需总资金为． 【小问3详解】 由题意得，解得． 在中， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当x取100时，y最小． 此时． 故花费最少的方案是购买甲种垃圾桶100个，乙种垃圾桶300个，最少花费为元． 24. 我们约定：关于的一次函数和，满足，则称和互为“镜函数”请根据该约定，解答下列问题： （1）若关于的一次函数和互为“镜函数”，则_____，_____． （2）关于的一次函数与它的“镜函数”交点为，关于的一次函数与它的“镜函数”交点为，当时，求的范围． （3）已知关于的一次函数（其中）的图像是直线，它的“镜函数”图像是直线，且与的交点为．点关于的对称点为，点关于的对称点为．当以为顶点的四边形是平行四边形时，求该平行四边形的面积． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“镜函数”的定义得，再利用算术平方根与完全平方公式的非负性求解； （2）根据“镜函数”的定义找出与的镜函数，联立互为镜函数的两个一次函数解析式求出交点坐标，再将值代入中求解； （3）联立互为镜函数的两个一次函数解析式求出交点坐标，求出与轴的交点坐标，结合轴对称图形的性质与菱形的判定解得四边形为菱形，利用菱形的性质与勾股定理求解． 【小问1详解】 解：根据“镜函数”的定义可得， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：依题可得的镜函数是， 联立得，解得，则． 同理可得． 由得，整理得， 则或，解得． 【小问3详解】 解：联立， 解得，则． 整理得， 当时， 过定点． 在中，当时， 与轴交点为． ， ， ∴， 经过第一、二、三象限． 同理可得过定点，与轴交点， 经过第二、三、四象限，且与的图像关于轴对称，如图1所示。 关于对称， 是线段的对称轴， ． 同理． 由与的图像关于轴对称，在轴上可得，如图2所示， 当四边形为平行四边形时，， ， ，且， ∴四边形为菱形，且为等边三角形． ． ， 在Rt中，． 连接交于，在Rt中，，则， 菱形面积． 25. 如图1，在矩形中，点、分别是边、上的点，，连接、，． （1）求证：； （2）如图2，对角线、交于点，点、分别是线段、上的点，，连接、．求证：是直角； （3）在（2）的条件下： ①若点是边的中点，且，求面积的最小值； ②如图3，连接、，交于点，若，设，，请用含有，的式子表示边的长． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在与中， ， ． （2）证明：由（1）可知，在矩形中，， 四边形是正方形， 点为正方形的对角线交点， ， 由（1）知：， ， ， 即， 在与中， ， ， ， ， ，即， 是直角． （3）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后可得，进而可得，最后问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求证； （3）①连接，由题意易得，当取得最小值时，最小，即，由勾股定理得，然后可得，进而问题可求解； ②连接，由三角形中位线可得，则有，然后可得，，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①由（2）可知，， ， 由（2）可知，是直角，， 当取得最小值时，最小， 当时，最小， 如图，连接， ， ， 在中，， 点分别是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， 即的最小值为， 最小值． ②如图，连接， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， ， 在与中， ， ， ， 在等腰直角三角形中， ，即， 在中， 四边形是正方形， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $