5.3.2 “盈不足”问题-课件-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“盈不足”问题，通过《九章算术》古题导入，连接古代数学与现代一元一次方程解法，以表格梳理数量关系为支架，帮助学生从方程基础过渡到实际应用。 其亮点在于融合数学文化与生活实践，古题引入培养数学眼光（创新意识），表格分析发展数学思维（推理意识），分题型练习强化数学语言（模型意识）。解题口诀总结方法，助力学生掌握列方程技巧，教师可直接用于教学提升效率。

北师大版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月13日 5.3.2 “盈不足”问题 第五章 一元一次方程 北师大版七年级上册数学5.3.2“盈不足”问题同步练习题 “盈不足问题”又称盈亏问题，是一元一次方程经典应用题。核心解题原理：物品总数始终不变，根据两种不同分配方案，利用“总数量相等”建立方程。常见两类题型：一盈一亏、双盈、双亏，解题关键是找准分配对象数量与每份数量，梳理清楚多、少的数量关系，规避盈亏符号混淆、总量算错等易错点。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 盈不足问题列方程的核心等量关系是（） A. 分配人数不变 B. 物品总数量不变 C. 每份数量不变 D. 盈亏数相等 2. 一批糖果分给学生，每人分5颗剩3颗，每人分6颗缺4颗，设学生有x人，糖果总数正确的列式是（） A. $$5x-3=6x+4$$ B. $$5x+3=6x-4$$ C. $$5x+3=6x+4$$ D. $$5x-3=6x-4$$ 3. 一盈一亏问题中，下列说法正确的是（） A. 两种分配方案物品总数不同 B. 有余为加，不足为减 C. 有余为减，不足为加 D. 无需设未知数可直接求解 4. 一批书本分给班级同学，每人分4本余8本，每人分5本刚好分完，设人数为x，方程为（） A. $$4x+8=5x$$ B. $$4x-8=5x$$ C. $$4x=5x+8$$ D. $$4x+5x=8$$ 5. 解决盈不足问题的第一步是（） A. 计算盈亏数 B. 设定未知数（一般设分配人数/份数） C. 直接计算总数 D. 比较每份数量 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 盈不足问题中，盈指分配后物品________，亏指分配后物品________。 7. 解决盈不足问题常设________为未知数，利用________不变列方程。 8. 每人分3个物品，剩余5个，物品总数可表示为________。 9. 每人分7个物品，缺少2个，物品总数可表示为________。 10. 同一批物品两种分配方案，列出的两个代数式________（填“相等”或“不相等”）。 三、解答题（共60分） 11.（18分）基础一盈一亏题型： 把若干苹果分给若干同学，如果每人分3个，剩余6个；如果每人分5个，缺少4个。求同学人数和苹果总数。 12.（20分）双盈进阶题型： 将一批练习本分给学生，若每人分4本，剩余12本；若每人分6本，剩余2本。求学生人数和练习本总数。 13.（22分）生活实际盈亏综合题型： 某小组植树，若每人栽5棵，还剩14棵树苗；若每人栽7棵，还差4棵树苗。求该小组人数和树苗总棵数。 参考答案及解析 一、选择题 1.B 解析：盈不足问题核心：两种分配方式，物品总数量保持不变，以此列等量方程。 2.B 解析：每人5颗剩3颗，总数：$$5x+3$$；每人6颗缺4颗，总数：$$6x-4$$，总数相等列方程。 3.B 解析：分配有余（盈），总数=每份数×份数+余数；分配不足（亏），总数=每份数×份数-缺数。 4.A 解析：余8本加8，刚好分完无盈亏，故$$4x+8=5x$$。 5.B 解析：常规解题思路：先设分配人数/份数为未知数，再用两种方式表示物品总数。 二、填空题 6. 剩余、缺少 7. 分配人数、物品总数 8. $$3x+5$$ 9. $$7x-2$$ 10. 相等 三、解答题 11. 解：设同学有$$x$$人。 根据苹果总数不变列方程：$$3x+6=5x-4$$ 移项合并：$$2x=10$$，解得$$x=5$$ 苹果总数：$$3\times5+6=21$$（个） 答：同学有5人，苹果有21个。 12. 解：设学生有$$x$$人。 双盈问题总数相等：$$4x+12=6x+2$$ 移项合并：$$2x=10$$，解得$$x=5$$ 练习本总数：$$4\times5+12=32$$（本） 答：学生有5人，练习本有32本。 13. 解：设小组有$$x$$人。 根据树苗总数不变列方程：$$5x+14=7x-4$$ 移项合并：$$2x=18$$，解得$$x=9$$ 树苗总数：$$5\times9+14=59$$（棵） 答：小组有9人，树苗共59棵。 核心解题口诀：同总量、两方案，盈加亏减列方程；双盈相减、双亏相减，一盈一亏相加算。 03 新知导入 《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》 中最重要的一部。 《九章算术》第七章“盈不足”中有这样一个问题: “今有共买物，人出八，盈三;人出七，不足四。问 人数、物价各几何?” 你知道我国古人是如何解决这个问题的吗? 02 新知探究 今有共买物，人出八，盈三;人出七，不足四。问:人数、物价各几何?题目大意:几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱;若每人出7 钱，则还少4钱。合伙人数、物品的价格分别是多少? (1)问题中有哪些已知量和未知量?它们之间有怎样的等量关系? 已知量:每人出8钱,多3钱;每人出7钱,少4钱。 未知量:人数、物价。 等量关系:每人出8钱 x人数一多出的3钱=每人出7钱x人数+还少的4钱。 02 新知探究 (2)设人数为x，其他未知量能用含x的代数式表示吗?请完成下表。 有关量 每人出8钱 每人出7钱 人数 出钱总数 金价 x 8x-3 x 7x+4 8x 7x 利用表格分析数量关系是一种有效方法。 03 新知讲解 (3)根据等量关系，你能列出怎样的方程? 设人数为x。 根据等量关系，列出方程:________________。 解这个方程，得x=_____。 因此，人数为_________，物价为______钱。 8x-3=7x+4 7 7 53 03 新知讲解 如果设物价为y钱，你能列出怎样的方程?与同伴进行交流。 设物价为y，可列方程为= 03 新知讲解 例1 《九章算术》“盈不足”章第五题:今有共买金，人出四百，盈三千四百;人出三百，盈一百。问:人数、金价各几何? 题目大意:几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱;每人出300 钱，会多出100钱。合伙人数、金价各是多少? 分析:设人数为x，你能把下表补充完整吗? 有关量 每人出400钱 每人出300钱 人数 出钱总数 金价 x 400x-3400 x 300x-100 400x 300x 03 新知讲解 解:设合伙人数为x，则金价可表示为(400x-3400)钱，还可表示为(300x-100)钱，根据等量关系，列出方程: 400x-3400 =300x-100。 解这个方程，得x=33。 300x33-100=9 800。 因此，人数为33，金价为9800 钱。 方程的两边就是金价的两种不同的表达式。 03 新知讲解 思考∙交流 (1)对于例1，如果设金价为y钱，能列出怎样的方程? 解：设金价为y钱,根据题意列方程,得=, 解这个方程,得y=9800. ==33. 因此,人数为33,金价为9800钱. 1. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文 是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三.问人数、 物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多 二钱；每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？ 设人数为人，货物总价为 钱，则可列方程为( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 10 03 新知讲解 (2)《九章算术》给出了一种算法: 人数=两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差 物价=每人出的钱数x人数-剩余钱数 你能理解这种解法吗?与方程的求解过程相比，有什么不同? 与同伴进行交流。 03 新知讲解 能理解。 人数为(3 400-100)÷(400-300)=33。 金价为 400x33-3400=9800(钱)。 方程的求解过程是根据等式的性质求未知数的值,而这种解法是直接列算式进行运算。 2. “曹冲称象”是流传很广的故事，按照他的 方法，先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵 出.然后往船上抬入20块等质量的条形石，并在船上留3名搬 运工，这时水位恰好到达标记位置.如果再抬入1块同样的条 形石，船上只留1名搬运工，水位也恰好到达标记位置.已知1 名搬运工的体重均为120斤，设每块条形石的质量是 斤，则 正确的是( ) 中考考法 13 A. 依题意得 B. 依题意得 C. 该象的质量是5 040斤 D. 每块条形石的质量是260斤 √ 返回 中考考法 14 3. 近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生 活.某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每名快递 员派送10件，还剩6件；若每名快递员派送12件，还差14件， 则该快递分派站现有快递员____名. 10 返回 中考考法 15 4. 我国古代数学名著《增删算法统宗》中 有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿多十四， 每人八竿恰齐足.”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地 玩耍，不知有多少人和竹竿.每人6竿，多14竿；每人8竿，恰 好用完.”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数. 【解】设牧童人数为人,根据题意,得 ,解得 .所以牧童人数为7人. 返回 中考考法 16 05 课堂小结 实 际 问 题 建立 模型 确 定 等 量 关 系 列表 分析 列 方 程 并 求 解 归纳 总结 求 解 思 路 应用 求解古 数学盈 亏问题 $