5.3.1形积问题课件-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的形积问题，核心是利用形变前后周长、体积等不变量列方程。通过阿基米德测皇冠体积的故事导入，引出“形状改变，体积不变”，衔接方程基础，为后续应用题构建几何与代数结合的学习支架。 其亮点在于以故事激发兴趣，用饮料罐改造等实例引导学生用数学眼光观察不变量，借助表格梳理信息培养推理意识，用方程表达等量关系强化模型意识。课堂小结明确“审设列检答”步骤，帮助学生掌握解题方法，教师可直接用于结构化教学，提升效率。

北师大版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月13日 5.3.1形积问题 第五章 一元一次方程 北师大版七年级上册数学5.3.1形积问题同步练习题 本节课是一元一次方程应用题的核心基础题型，主要利用形状改变、周长/面积/体积不变的等量关系列方程求解。核心解题思路：找准形变前后的不变量，熟记常见几何图形周长、面积、体积公式，根据等量关系建立一元一次方程，实现几何问题代数求解，是后续各类方程应用题的铺垫。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 把一根铁丝围成正方形改围成长方形，变化前后不变的量是（） A. 边长 B. 面积 C. 周长 D. 形状 2. 将圆柱形铁块锻造成长方体铁块，形变前后不变的是（） A. 底面积 B. 体积 C. 表面积 D. 高 3. 一个长方形周长为40cm，长为x cm，则宽为（） A. $$(40-x)\mathrm{cm}$$ B. $$(20-x)\mathrm{cm}$$ C. $$(40-2x)\mathrm{cm}$$ D. $$(20+x)\mathrm{cm}$$ 4. 正方形边长增加2cm，周长增加（） A. 2cm B. 4cm C. 8cm D. 16cm 5. 形积问题列方程的核心是（） A. 随便设未知数 B. 找形变前后不变的等量关系 C. 只算面积 D. 只算周长 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 铁丝围图形变形问题：________不变，面积改变。 7. 物体锻造、熔铸变形问题：________不变，表面积、形状改变。 8. 长方形周长公式：$$C=$$________，面积公式：$$S=$$________。 9. 已知正方形周长为$$8x$$，则正方形边长为________。 10. 把长、宽分别为5cm、3cm的长方形铁丝改围成正方形，正方形边长为________cm。 三、解答题（共60分） 11.（18分）基础周长形变问题： 一根铁丝可围成边长为6cm的正方形，现将这根铁丝改围成一个长为8cm的长方形，求长方形的宽和面积。 12.（20分）进阶面积形变问题： 一个长方形菜地，长比宽多3m，周长为34m，求这个长方形的长、宽和面积。 13.（22分）体积不变综合问题： 将一个底面半径为4cm、高为9cm的圆柱形铁块，锻造成底面为正方形、边长为6cm的长方体铁块，求长方体铁块的高。（圆柱体积公式：$$V=\pi r^2h$$，$$\pi$$取3） 参考答案及解析 一、选择题 1.C 解析：铁丝长度固定，围不同图形周长不变，面积随形状改变。 2.B 解析：锻造、熔铸仅改变物体形状，物质体积保持不变。 3.B 解析：长方形周长=2(长+宽)，长+宽=20，故宽=(20-x)cm。 4.C 解析：正方形4条边，边长增加2cm，周长增加$$4\times2=8\mathrm{cm}$$。 5.B 解析：形积问题解题核心：抓住形变、量不变，以此列等量方程。 二、填空题 6. 周长 7. 体积 8. $$2(a+b)$$、$$ab$$ 9. $$2x$$ 10. 4 三、解答题 11. 解：铁丝总长（正方形周长）：$$4\times6=24\mathrm{cm}$$ 设长方形宽为$$x\mathrm{cm}$$，列方程：$$2(8+x)=24$$ 解得：$$x=4$$，长方形面积：$$8\times4=32\mathrm{cm}^2$$ 答：长方形宽为4cm，面积为32cm²。 12. 解：设长方形宽为$$x\mathrm{m}$$，则长为$$(x+3)\mathrm{m}$$ 列方程：$$2(x+x+3)=34$$，化简得$$2(2x+3)=34$$ 解得：$$x=7$$，长：$$7+3=10\mathrm{m}$$ 面积：$$10\times7=70\mathrm{m}^2$$ 答：长方形长10m，宽7m，面积70m²。 13. 解：设长方体的高为$$h\mathrm{cm}$$ 圆柱体积：$$V=3\times4^2\times9=432\mathrm{cm}^3$$ 长方体体积：$$V=6\times6\times h=36h$$ 根据体积不变列方程：$$36h=432$$ 解得：$$h=12$$ 答：长方体铁块的高为12cm。 03 新知导入 h r 阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？ 形状改变， 体积不变. = 思考：在这个过程中什么没有发生变化？ 02 新知探究 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm 的圆柱形易拉罐饮料. 经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米? (1)这个问题中包含哪些量? 它们之间有怎样的等量关系? 包含的量：圆柱形易拉罐改造前后的底面半径、 高、容积 02 新知探究 “容积不变” 等量关系：改造前易拉罐容积=改造后易拉罐容积 改造前 改造后 直径(半径)减少，高如何变化？ 03 新知讲解 　(2)设新包装的高度为 x cm，借助下面的表格梳理问题中的信息 03 新知讲解 (3)根据等量关系，列出方程 设新包装的高度为 x cm 根据等量关系列出方程 = 答：新包装的高度为14.52cm 列方程的关键找出问题中的等量关系 解这个方程得：x=14.52 （第1题） 1. 如图，正方形的一边长减少 后，得到一 个长方形（图中阴影部分）.若长方形的周长为 ，求正方形的边长.设正方形的边长为 ， 可列方程为( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 7 2. ［2025深圳月考］有一位工人师傅将底面直径为10，高为 80的“瘦长”形圆柱，锻造成底面直径为40的“矮胖”形圆柱， 则“矮胖”形圆柱的高为( ) B A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 返回 中考考法 8 03 新知讲解 例1、用一根长为10m 的铁丝围成一个长方形. (1)如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? (2)如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? 此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化? (3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米? 正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化? 03 新知讲解 分析：本题涉及哪些量?它们之间有怎样的数量关系？ 铁丝的长，长方形的长、宽、周长、面积. 等量关系： (长＋宽)×2＝周长(周长就是铁丝的长度) 解：(1)设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+1.4) m. 根据题意，得2(x+1.4) +2x＝10 解得 x=1.8 1.8+1.4=3.2 此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m. 03 新知讲解 (2)解：设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+0.8)m. 根据题意，得 2(x+0.8)＋2x＝10 解得：x＝2.1，2.1+0.8=2.9 此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m， 长方形面积为2.9×2.1＝6.09(m2) (1)中长方形的面积为3.2×1.8＝5.76(m2)， 此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大 6.09-5.76＝0.33(m2) 03 新知讲解 (3)设正方形的边长为x m 根据题意，得 4x=10 解得 x=2.5 正方形的边长为 2.5m，面积为 2.5×2.5＝6.25(m2)， 比(2)中长方形的面积增大 6.25-6.09＝0.16(m2) 03 新知讲解 在前面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量? 列方程的思路是什么? 与同伴进行交流 思考·交流 所列方程的两边分别表示： 长方形的周长和铁丝的长度 列方程的思路： 先设一边长为未知数，再用含未知数的代数式表示出周长，根据周长等于铁丝的长度10m这个等量关系列出方程. （第3题） 3. 如图，一块长、宽 的长方形纸 板和一块长、宽 的长方形纸板、一 块正方形纸板以及另两块长方形纸板恰好拼 成一个大正方形，则大正方形的面积是 ( ) C A. B. C. D. 中考考法 14 （第3题） 【点拨】设正方形纸板的边长为 ，则大 正方形的边长为 或 ，由题意，得 ，解得 ，所以大 正方形的边长为 ，所以拼 成的大正方形的面积是 . 返回 中考考法 15 （第4题） 4. 如图，一个瓶子的容积是 ，瓶内装着一些水.当 瓶子正放时，瓶内水的高度为 ，倒 放时，空余部分的高度为 ，则瓶子的 底面积为( ) B A. B. C. D. 中考考法 16 5.墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图所示 （单位： ）.小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这根彩绳 钉成一个长方形.小颖所钉成的长方形的长为_______. （第5题） 返回 中考考法 17 6. 用 的篱笆围成一个长方形场地. （1）如果宽是长的 ，则这个长方形场地的长为______，宽 为______. 【点拨】设这个长方形场地的长为，则宽为 ，根据 题意,得，解得，此时 .所以 这个长方形场地的长为，宽为 . 中考考法 18 （2）如果长比宽多 ，求这个长方形场地的面积. 【解】设这个长方形场地的长为，则宽为 ，根 据题意,得 ， 解得.此时 . 所以这个长方形场地的面积为 . 中考考法 19 05 课堂小结 一元一次方程的应用 图形等长变化 应用一元一次方程解决实际问题的步骤 图形等积变化 列 ⑤检 ④解 设 审 ⑥答 $