5.3.2 “盈不足”问题-课件-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程解决盈不足问题，通过分书情境和《九章算术》古题导入，连接两种分配方案中物品总数与人数不变的等量关系，搭建从具体问题到方程模型的学习支架。 其亮点是融合古代数学文化，如《九章算术》“共买物”问题，通过表格分析训练数学思维（推理能力），以方程模型表达等量关系培养数学语言（模型意识）。学生能提升方程应用能力，教师可获得系统题型及解题策略支持。

北师大版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月7日 5.3.2 “盈不足”问题 第五章 一元一次方程 北师大版七年级上册数学5.3.2“盈不足”问题练习题 本套练习题围绕一元一次方程实际应用中的盈不足问题（分配问题）核心考点设计，重点考查一盈一亏、双盈、双亏经典题型，核心解题思想为物品总数量不变、分配总人数不变，通过两种不同分配方案列等量关系列方程。聚焦学生找不准不变量、混淆多/少对应符号、列式逻辑混乱等高频易错点，题型循序渐进、完全贴合课本同步考点，是七年级方程应用题必考核心题型。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 解决盈不足问题的核心等量关系是（ ） A. 分配人数变化 B. 物品总数量不变 C. 分配方案相同 D. 物品数量随意变化 2. 一组同学分糖果，每人分5颗，剩3颗；每人分6颗，缺4颗。设同学有$$x$$人，列方程正确的是（ ） A. $$5x-3=6x+4$$ B. $$5x+3=6x-4$$ C. $$5x+3=6x+4$$ D. $$5x-3=6x-4$$ 3. 班级分练习本，每人分4本，余12本；每人分5本，余3本。该题型属于（ ） A. 一盈一亏 B. 双盈问题 C. 双亏问题 D. 非盈不足问题 4. 若干人分物品，每人分8个，差5个；每人分7个，差1个。设人数为$$x$$，方程正确的是（ ） A. $$8x-5=7x-1$$ B. $$8x+5=7x+1$$ C. $$8x-5=7x+1$$ D. $$8x+5=7x-1$$ 5. 盈不足问题中，下列说法正确的是（ ） A. 剩余物品要在总数中减去 B. 缺少物品要在总数中加上 C. 两种分配方案物品总数相等 D. 两种分配方案人数不相等 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 盈不足问题三类模型：一盈一亏、________、________。 2. 分配物品时，有剩余叫做“________”，数量不够叫做“________”。 3. 小朋友分玩具，每人分3个，余5个；若人数为$$x$$，玩具总数可表示为________。 4. 分树苗，每人栽4棵，缺6棵；若人数为$$x$$，树苗总数可表示为________。 5. 同一盈不足问题，解题关键是抓住________不变，列等式方程。 三、解答题（共60分） 1.（20分）基础一盈一亏题型： 把若干苹果分给学生，若每人分3个，则剩余2个；若每人分4个，则缺少5个。求学生人数和苹果总数。 2.（20分）双盈进阶题型： 将一批图书分给班级同学，如果每人分5本，剩余15本；如果每人分6本，剩余3本。求学生人数和图书总数。 3.（20分）双亏拔高题型： 一组学生搬桌椅，每人搬4套，还差8套；每人搬6套，还差2套。求学生人数和桌椅总套数。 参考答案及解析 一、选择题 1.B 解析：盈不足问题核心原理：两种分配方案中，物品总数量、分配人数始终不变。 2.B 解析：总糖果数不变，第一种方案：$$5x+3$$；第二种方案：$$6x-4$$，等式联立即可。 3.B 解析：两次分配均有剩余，属于双盈问题。 4.A 解析：两次分配均不足，总物品数相等，分别列式联立：$$8x-5=7x-1$$。 5.C 解析：盈不足问题核心等量：两种分配方式下，物品总数量相等。 二、填空题 1. 双盈；双亏 2. 盈；亏 3. $$3x+5$$ 4. $$4x-6$$ 5. 物品总数量（或分配人数） 三、解答题 1. 解：设学生有$$x$$人。 根据苹果总数不变，列方程：$$3x+2=4x-5$$ 移项合并：$$4x-3x=2+5$$，解得$$x=7$$。 苹果总数：$$3\times7+2=23$$（个）。 答：学生有7人，苹果有23个。 2. 解：设学生有$$x$$人。 根据图书总数不变，列方程：$$5x+15=6x+3$$ 移项合并：$$6x-5x=15-3$$，解得$$x=12$$。 图书总数：$$5\times12+15=75$$（本）。 答：学生有12人，图书有75本。 3. 解：设学生有$$x$$人。 根据桌椅总数不变，列方程：$$4x+8=6x+2$$ 移项合并：$$6x-4x=8-2$$，解得$$x=3$$。 桌椅总数：$$4\times3+8=20$$（套）。 答：学生有3人，桌椅有20套。 把一些书分给几名学生，如果每人分3本，那么多出8本；如果每人分5本，那么还少2本.共有多少本书？ 共有多少名学生？ 创设情境，导入新课 探究点　利用一元一次方程解决古代数学问题 1.《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问：人数、物价各几何？ 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱.合伙人数、物品的价格分别是多少？ (1)问题中有哪些已知量和未知量？ 它们之间有怎样的等量关系？ 活动引入，合作探究 已知量：每人出8钱和7钱时出钱总数与物价的差距； 未知量：人数与物价. 等量关系：每人出的钱数×人数-多出的钱数=每人出的钱数×人数+少出的钱数 (1)问题中有哪些已知量和未知量？ 它们之间有怎样的等量关系？ (2)设人数为x，其他未知量能用含x 的代数式表示并完成下表. (3)根据等量关系， 列出方程 设人数为x. 根据等量关系，列出方程：______________　 解这个方程，得 x ＝________ 因此，人数为________，物价为_________钱. 有关量 每人出8钱 每人出7钱 人数 x 出钱总数 物价 8x 8x-3 x 7x 7x+4 8x-3=7x+4 7 7 53 思考：如果设物价为 y 钱， 用含 y 的代数式表示其他未知量，并补充表格. 有关量 每人出8钱 每人出7钱 物价 y 出钱总数 人数 y+3 y y-4 根据等量关系， 列出方程 设物价为 y. 根据等量关系，列出方程：______________　 = 知识点1 古算术中的盈余问题 1. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文 是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三.问人数、 物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多 二钱；每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？ 设人数为人，货物总价为 钱，则可列方程为( ) A A. B. C. D. 中考考法 7 2.《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百， 盈三千四百；人出三百，盈一百.问：人数、金价各几何？ 题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱. 合伙人数、金价各是多少？ (1)问题中的等量关系是怎样的？ 每人出的较多钱数×人数－多出的钱数＝每人出的较少钱数×人数－多出的钱数. (2)设人数为x，补充下列表格 有关量 每人出400钱 每人出300钱 人数 x 出钱总数 金价 400x 400x-3400 x 300x 300x-100 设合伙数为x. ，则金价可表示为_________________ 根据等量关系，列出方程：______________　 解这个方程，得 x ＝________ 因此，人数为________人，金价为_________钱. (400x-3400)钱或(300x-100)钱 400x-3400=300x-100 33 33 9800 300×33-100=9800 设金价为y钱，则人数可表示为____________ 根据等量关系，列出方程：______________　 思考　 (1)设金价为y钱，能列出怎样的方程？ 有关量 每人出400钱 每人出300钱 金价 y 出钱总数 人数 y+3400 y y+100 (2)《九章算术》给出了一种算法： 人数＝两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差； 物价＝每人出的钱数×人数－剩余钱数. 此种求法与方程的求解过程相比有什么不同？ 第二次出钱总数-物价=第二次剩余钱数 第一次出钱总数-物价=第一次剩余钱数 ① ② ①和②两边分别相减得到 两次出钱总数之差＝两次剩余钱数之差 所以 人数＝两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差. 两次出钱总数之差＝两次每人所出钱数之差×人数， 1. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问 开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客， 一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果每 一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间 客房住9人，那么就空出一间客房.设有x间客房， 可列方程为 ⁠. 7x＋7＝9(x－1)　 随堂练习 2. 小明根据方程5x＋2＝6x－8编写了一道应用 题，请你把空缺的部分补充完整. 某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师， 如果每人做5个，那么就比计划少2个； ⁠ ，请问手工小组有几 人？(设手工小组有x人) 如果每人 做6个，那么就比计划多8个　 随堂练习 3. 今年植树节，九年级(1)班同学参加义务植树活 动，共同种植一批樟树苗，如果每人种4棵，那么剩 余25棵；如果每人种5棵，那么还缺20棵，求该班的 学生人数和樟树苗的棵数. 书写规范 解：设 ⁠， 由题意，得 ⁠， 解得 ⁠. 所以 ⁠. 答： ⁠. 该班的学生人数为x　 4x＋25＝5x－20　 x＝45　 4x＋25＝4×45＋25＝205(棵)　 该班的学生人数为45，樟树苗的棵数为205 随堂练习 2. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》 之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳 度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？译 文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对 折再量长木，长木还剩余1尺，问木长为____尺. 6.5 【点拨】设木长为尺，根据题意得 ，解 得 ，因此，木长为6.5尺. 中考考法 15 3. 牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五 个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？ （选自《算法统宗》）.题目大意：牧童们要分一堆杏，不知 道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多 10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．求有几个牧 童？几个杏？ 中考考法 16 【解】设牧童有 人， 根据题意，得 , 解得 ， 所以 . 答：有24个牧童，50个杏. 中考考法 17 知识点2 一般盈余问题 4. “曹冲称象”是流传很广的故事，按照他的方法，先将象 牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出.然后往船上抬入20块等 质量的条形石，并在船上留3名搬运工，这时水位恰好到达标记位置.如果 再抬入1块同样的条形石，船上只留1名搬运工，水位也恰好到达标记位 置.已知1名搬运工的体重均为120斤，设每块条形石的质量是 斤，则正确 的是( ) A. 依题意得 B. 依题意得 C. 该象的质量是5 040斤 D. 每块条形石的质量是260斤 B 中考考法 18 5. 近年来，网购的蓬勃发展方便了 人们的生活.某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若 每名快递员派送10件，还剩6件；若每名快递员派送12件， 还差14件，则该快递分派站现有快递员____名. 10 中考考法 19 6. 某学校组织师生去邻市中小学素质教育实践学校研学.已 知此次共有名师生乘坐 辆客车前往目的地，若每辆客车坐 40人，则还有15人没有上车；若每辆客车坐45人，则刚好空 出一辆客车.以下四个方程：① ；② ；③；④ 其中正确的是( ) B A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 中考考法 20 【点拨】根据总人数不变列方程，应为 ，根据客车数量不变列方程，应为 .所以①④正确.故选B. 中考考法 21 7. 小王同学根据方程 编了一道应用题：几个人为 学校建花坛搬砖，____，求参与搬砖的人数.若设参与搬砖的有 人，那 么横线部分的条件应描述为( ) B A. 若每人搬8块，则缺3块砖；若再添8人一起搬，每人搬6块，则缺5块砖 B. 若每人搬8块，则剩3块砖未搬;若再添8人一起搬，每人搬6块，则缺 5块砖 C. 若每人搬8块，则缺3块砖；若再添8人一起搬，每人搬6块，则剩5块 砖未搬 D. 若每人搬8块，则剩3块砖未搬；若再添8人一起搬，每人搬6块，则 剩5块砖未搬 中考考法 22 8. 据我国古代《易 经》记载，远古时期人们通过在绳子上 打结来记录数量，即“结绳记数”.如图， 一位妇女在从右到左依次排列的绳子上 打结，满五进一，用来记录采集到的野 1 果的个数.她一共采集到了32个野果，则在第2根绳子上的打 结数是___. 中考考法 23 课堂小结 古代数学问题 数学问题 （一元一次方程） 表格分析 寻找等量关系 $