第三章 勾股定理-【学习帮】2026-2027学年七年级上册数学同步计算专项练习（鲁教版五四制）

## 训练47：勾股定理的直接应用 ### 一、基础题 1. c=√(3²+4²)=5。 2. c=√(6²+8²)=10。 3. b=√(13²-5²)=12。 4. a=√(13²-12²)=5。 5. c=√(9²+12²)=15。 6. b=√(17²-8²)=15。 7. 正方形面积=斜边平方=两直角边平方和。 8. h=6×8÷10=4.8。 ### 二、提升题 9. 另一直角边=√(17²-15²)=8，面积=1/2×15×8=60cm²。 10. BD=5，AD=√(13²-5²)=12，面积=1/2×10×12=60cm²。 11. 钢索=√(8²+6²)=10m。 12. 对角线=√(121.5²+68.5²)≈139.5cm≈55英寸，售货员没搞错。 ### 三、拓展题 13. 设a=3x，b=4x，(3x)²+(4x)²=10²，25x²=100，x=2，a=6，b=8。 14. c=√(5+20)=5。 ## 训练48：勾股定理求面积 ### 一、基础题 1. 25。 2.8 π+18π=26π。 3. 9+16+25=50。 4. AB=√(5²+12²)=13，正方形面积=169。 5. 36+64=100。 5. BC=√(10²-6²)=8，面积=64。 6. AC=√(13²-5²)=12，面积=144。 7. AB=√(1²+2²)=√5，面积=5。 ### 二、提升题 8. 斜边=√(8²+15²)=17，三个正方形面积=64+225+289=578。 9. BC=√(10²-6²)=8，正方形面积=100。 10. AB=5，h=3×4÷5=2.4。 11. c=√(5²+12²)=13，h=5×12÷13=60/13。 ### 三、拓展题 12. (a+b)²=a²+b²+2ab=100+2ab=196，2ab=96，面积=1/2ab=24。 13. 以AB为边的正方形面积=a²+b²=25。 ## 训练49：勾股定理的实际应用 ### 一、基础题 1. 折断前高度=√(3²+4²)+3=5+3=8m。 2. 距离=√(160²+120²)=200km。 3. 向东距离=√(250²-150²)=200m。 4. 顶端高度=√(25²-7²)=24m。 5. BC=√(4²+3²)=5。 6. AC=√(6²+8²)=10。 7. AB=√(5²+12²)=13。 8. AC=√(25²-7²)=24。 ### 二、提升题 9. AB=√(100²-80²)=60m。 10. 能到达高度=√(15²-9²)=12m>11.7m，能。 11. BC=√(500²-400²)=300m，速度=300÷10=30m/s。 12. 需根据具体图形计算OM和OQ长度。 ### 三、拓展题 13. 最短路径=√(20²+8²)=4√29≈21.5cm。 14. 彩带长=√(6²+2²)×4? 沿侧面展开：4圈对应高6m，水平展开长度4×2=8m，彩带长=√(6²+8²)=10m。 ## 训练50：勾股定理的验证 ### 一、基础题 1. 三个正方形面积关系：大正方形面积=两个小正方形面积之和。 2. 大正方形面积=4个三角形面积+小正方形面积，化简得a²+b²=c²。 3. 大正方形面积=c²，4个三角形面积=2ab，小正方形面积=(b-a)²，c²=2ab+(b-a)²=a²+b²。 4. 同上。 5. AB=5。 6. AB=13。 7. AC=12。 8. c=10。 ### 二、提升题 9. AB⊥DE，可用面积法验证勾股定理。 10. 同上。 11. 利用面积相等验证。 12. 拼成正方形验证。 ### 三、拓展题 13. 用赵爽弦图证明。 14. 用青朱出入图证明。 ## 训练51：勾股定理综合 ### 一、基础题 1. c=25。 2. b=20。 3. a=15。 4. c=√13。 5. c=3。 6. c=5√2。 7. b=√3。 8. c=2√13。 ### 二、提升题 9. (a+b)²=a²+b²+2ab=169+2ab=289，2ab=120，面积=30。 10. c=13，h=12×5÷13=60/13。 11. AB=8，AC=4√3。 12. AB=10，BC=5√3。 ### 三、拓展题 13. 设AC=BC=x，x²+x²=100，x=5√2。 14. 设a=5k，b=12k，c=13k，30k=60，k=2，a=10，b=24，c=26。 ## 训练52：勾股定理的逆定理 ### 一、基础题 1. （1）9²+12²=225=15²，能；（2）12²+18²=468≠484，不能；（3）12²+35²=1369≠1296，不能；（4）15²+36²=1521=39²，能。 2. 直角。 3. 勾股数。 4.3 ²+4²=5²，是直角三角形。 5. 5²+12²=169=13²，是直角三角形。 6. 8²+15²=289=17²，是直角三角形。 7. 7²+24²=625=25²，是直角三角形。 8. 9²+40²=1681=41²，是直角三角形。 ### 二、提升题 9. a²=c²-b²，a²+b²=c²，是直角三角形。 10. 是直角三角形。理由：两边平方和等于第三边平方。 11. | 勾股数 | 2倍 | 3倍 | 4倍 | 10倍 | | 3，4，5 | 6，8，10 | 9，12，15 | 12，16，20 | 30，40，50 | | 5，12，13 | 10，24，26 | 15，36，39 | 20，48，52 | 50，120，130 | | 8，15，17 | 16，30，34 | 24，45，51 | 32，60，68 | 80，150，170 | 12. 12²+16²=400=20²，是直角三角形。 ### 三、拓展题 13. (√3)²+(√4)²=3+4=7≠5，不是直角三角形。 14. (a²-b²)²+(2ab)²=a⁴-2a²b²+b⁴+4a²b²=a⁴+2a²b²+b⁴=(a²+b²)²，是直角三角形。 ## 训练53：勾股数 ### 一、基础题 1. 勾股数。 2. B。解析：3²+4²=5²。 3. A、D。 4.4 4，5；5，12，13；8，15，17。 4. (2a)²+(2b)²=4(a²+b²)=4c²=(2c)²，是勾股数。 5. 是。 6. 是。 7. 是（3，4，5的2倍）。 ### 二、提升题 8. 是。理由：(na)²+(nb)²=n²(a²+b²)=n²c²=(nc)²。 9. m=3，n=2，m²-n²=5，2mn=12，m²+n²=13。 10. (m²-n²)²+(2mn)²=(m²+n²)²，是勾股数。 11. 是。 ### 三、拓展题 12. n²-1，2n，n²+1（n≥2）。 13. (2n)²+(n²-1)²=4n²+n⁴-2n²+1=n⁴+2n²+1=(n²+1)²，是勾股数。 ## 训练54：勾股定理逆定理的应用 ### 一、基础题 1. ∠A=90°（3²+4²=5²），∠DBC=90°（5²+12²=13²），符合要求。 2. AC=5，5²+12²=13²，∠ACD=90°。 3. △ABE（2²+4²=20≠?），需具体计算：AE=2，DF=1，CF=3，BE=2，CE=√(4²+3²)=5，△BCE是直角三角形。 4. ∠A=90°。 5. 9²+12²=225=15²，是直角三角形。 5. ∠A=90°。 7. 10²+24²=676=26²，是直角三角形。 6. AD=√(5²-3²)=4。 ### 二、提升题 7. AC=5，AC²+CD²=5²+12²=169=AD²，∠ACD=90°。面积=S△ABC+S△ACD=1/2×3×4+1/2×5×12=6+30=36。 8. CD=√(13²-12²)=5。 9. BD=√(4²+4²)=4√2，BC²+CD²=9+25=34≠32，∠BCD不是直角。 10. AD=√(10²-8²)=6。 ### 三、拓展题 11. 设BD=x，CD=6-x，AD²+BD²=AB²? 16+x²=25，x=3。 12. AC=5，AD=√(13²-5²)=12。 ## 训练55：勾股定理与最短路径（圆柱侧面） ### 一、基础题 1. 展开成长方形，长为18cm，高为12cm，最短=√(18²+12²)=√468=6√13≈21.6cm。 2. 连接A、B的直线段。 3. 底面周长=2πr=12cm，最短=√(12²+5²)=13cm。 4. 最短=√(8²+6²)=10cm。 5. 底面周长=4π≈12.56cm，最短=√(12.56²+3²)≈12.9cm。 6. 最短=√(12²+8²)=4√13cm。 7. 侧面积=2πrh=2×3.14×3×4=75.36cm²。 8. 侧面积=12.56×6=75.36cm²。 ### 二、提升题 9. 底面周长=2×3.14×3=18.84cm，最短=√(18.84²+10²)≈21.3cm。 10. 沿侧面最短=√(12²+8²)=4√13≈14.4cm，经C点路程=8+直径(12/π? )≈8+3.82=11.82cm，经C点更短。 11. 最短=√(24²+5²)=√601≈24.5cm。 12. 最短=√(20²+15²)=25cm。 ### 三、拓展题 13. 底面周长=6cm，最短=√(6²+6²)=6√2cm。 14. 最短=√((2πr)²+h²)。 ## 训练56：勾股定理的实际测量 ### 一、基础题 1. 量AD、AB、BD，用勾股定理判断。 2.9 ²+40²=2500=50²，AD⊥AB。 3. 量AD、AB、BD，判断是否能构成直角三角形。 4. 根据具体图形计算。 5. AB=√(100²-80²)=60m。 6. 展开长方体，最短路径=√(15²+10²? )需根据展开图计算。 7. 设BE=DE=x，AE=4-x，AD=2，在Rt△AED中，(4-x)²=x²+2²，16-8x+x²=x²+4，8x=12，x=1.5，S△AED=1/2×2×(4-1.5)=2.5cm²。 8. BD=5，CD=13，S=1/2×3×4+1/2×5×12=6+30=36。 ### 二、提升题 9. 甲走了2h×6=12km，乙走了1h×5=5km，距离=√(12²+5²)=13km。 10. 中间图形正确（7²+24²=25²，15²+20²=25²）。 11. 筷子长度24cm，水杯深12cm，最短露出=24-√(5²+12²)=24-13=11cm，最长露出=24-12=12cm，11≤h≤12。 12. s=v²/(2a)，25=20²/(2a)，50a=400，a=8m/s²。 ### 三、拓展题 13. 最短路径需展开三个不同面计算取最小：√((15+10)²+20²)=√925=5√37≈30.4cm，√((15+20)²+10²)=√1325≈36.4cm，√((10+20)²+15²)=√1125≈33.5cm，最短30.4cm。 14. 原长5m，顶端下滑1m后高3m，底端离墙=√(5²-3²)=4m，外滑=4-3=1m。 ## 训练57：勾股定理的应用（《九章算术》） ### 一、基础题 1. 设水深x尺，葭长x+1尺，5²+x²=(x+1)²，25+x²=x²+2x+1，2x=24，x=12，葭长13尺。 2. 同上，水深12尺，芦苇13尺。 3. 设折断处高x尺，竹尖到根3尺，斜边为10-x尺，x²+3²=(10-x)²，x²+9=100-20x+x²，20x=91，x=4.55尺。 4. 折断处高4.55尺。 5. 设索长x尺，股为x-3尺，勾8尺，8²+(x-3)²=x²，64+x²-6x+9=x²，6x=73，x=73/6尺。 6. 索长73/6尺。 7. 圆柱展开成长方形，高20尺，水平展开7×3=21尺，藤长=√(20²+21²)=29尺。 8. 藤长29尺。 ### 二、提升题 9. OB=1.5m，BC=3.6m，OC²=1.5²+3.6²=15.21，4.2²=17.64>15.21，能通过。 10. 能通过。 11. 设梯子长x m，墙高x-1 m，4²+(x-1)²=x²，16+x²-2x+1=x²，2x=17，x=8.5m。 12. 若12cm为直角边，设另一直角边x，斜边36-12-x=24-x，(24-x)²=x²+12²，576-48x+x²=x²+144，48x=432，x=9，三边为9、12、15。若12cm为斜边，设直角边为x、24-x，x²+(24-x)²=144无整数解。所以三边为9、12、15。 ### 三、拓展题 13. 设股为b，弦为c，c-b=d，b=c-d，a²+(c-d)²=c²，a²+c²-2cd+d²=c²，2cd=a²+d²，c=(a²+d²)/(2d)。 14. ∠CDB′=60°。 ## 训练58：勾股定理综合应用 ### 一、基础题 1. c=13。 2. b=15。 3. a=7。 4. AB=10，CD=6×8÷10=4.8。 5. AB=10。 6. AB=8。 7. (√2)²+(√3)²=5=(√5)²，是直角三角形。 8. 2²+3²=13≠16，不是直角三角形。 ### 二、提升题 8. (a+b)²=a²+b²+2ab=100+2ab=196，2ab=96，面积=24。 9. c=10，h=6×8÷10=4.8。 10. AB=√(6²+6²)=6√2。 11. AB=√(5²+5²)=5√2。 ### 三、拓展题 12. 设AC=3x，BC=4x，(3x)²+(4x)²=400，25x²=400，x=4，AC=12，BC=16。 13. AB=√(5²+5²)=5√2，h=5×5÷(5√2)=5/√2=5√2/2。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 勾股定理 训练47：勾股定理的直接应用（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，求c。 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，b=8，求c。 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，c=13，求b。 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，b=12，c=13，求a。 5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=9，b=12，求c。 6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=8，c=17，求b。 7. 求图中字母代表的正方形的面积。 8. 直角三角形两直角边分别为6和8，斜边上的高为多少？ 2、 提升题（共4题）【提】 9. 求斜边长为17cm、一条直角边长为15cm的直角三角形的面积。 10. 如图，求等腰三角形ABC的面积（AB=AC=13，BC=10）。 11. 如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索？ 12. 小明家买了一台55英寸的电视机，屏幕只有121.5cm长和68.5cm宽，你能用勾股定理判断售货员是否搞错了吗？ 3、 拓展题（共2题）【拓】 13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a:b=3:4，c=10，求a和b。 14. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=√5，b=2√5，求c。 ## 训练48：勾股定理求面积（混合专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，以直角三角形三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别为9和16，求第三个正方形的面积。 2. 如图，分别以直角三角形的三边为直径向外作半圆，其中两个半圆的面积分别为8π和18π，求第三个半圆的面积。 3. 直角三角形两直角边分别为3和4，分别以三边为边向外作正方形，三个正方形的面积之和为______。 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，以AB为边向外作正方形ABDE，求正方形ABDE的面积。 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以AC、BC为边向外作正方形，求这两个正方形的面积之和。 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以BC为边向外作正方形BCDE，求正方形BCDE的面积。 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求AC的长及以AC为边的正方形面积。 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，以AB为边向外作正方形，求正方形的面积。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=15，分别以三边为边向外作正方形，三个正方形的面积之和是多少？ 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AB为边作正方形ABDE，求正方形ABDE的面积。 11. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，斜边AB上的高为h，求h的值。 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，求斜边c的长及斜边上的高。 3、 拓展题（共2题）【拓】 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14，c=10，求△ABC的面积。 16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a²+b²=25，求以AB为边的正方形的面积。 ## 训练49：勾股定理的实际应用（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处。旗杆折断之前有多高？ 2. 如图，一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160km，然后向正北方向航行了120km，这时它离出发点有多远？ 3. 如图，小明从家出发向正北方向走了150m，接着向正东方向走到离家250m远的地方。小明向正东方向走了多远？ 4. 如图，一架云梯长25m，斜靠在一面墙上，底端离墙7m，求云梯顶端到地面的距离。 5. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，求BC的长。 6. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，求AC的长。 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB的长。 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，BC=7，求AC的长。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，为了得到湖两岸A点和B点间的距离，一个观测者在C点设桩，使△ABC为直角三角形，并测得AC长100m，BC长80m。A、B两点间的距离是多少？ 10. 如图，一座城墙高11.7m，墙外有一条护城河，在护城河外距离墙根9m处的一架长为15m的云梯能否抵达墙的顶端？ 11. 如图，在一次军事演习中，红方侦察员在距离一条东西向公路400m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400m；过了10s，测得汽车与他相距500m。求蓝方汽车这10s的平均速度。 12. 如图，某沿江地区交通平面图所示，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M、O、Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5000万元/千米，该沿江高速公路的建设成本预计是多少？ 3、 拓展题（共2题）【拓】 17. 如图，一个无盖的长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的外表面爬到盒顶的点B。蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 18. 如图，为了营造节日气氛，学校准备在大厅圆柱上缠绕彩带。已知大厅圆柱的高为6m，底面周长为2m。如果希望彩带绕圆柱4圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带多少米？ ## 训练50：勾股定理的验证（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以三边为边向外作正方形，根据面积关系验证勾股定理。 2. 如图，用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，中间是一个小正方形，利用面积关系验证勾股定理。 3. 如图，赵爽弦图是利用四个全等的直角三角形拼成的，中间是一个小正方形，利用面积关系验证勾股定理。 4. 如图，用四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，验证勾股定理。 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求AB的长，并用面积法验证。 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB的长。 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求AC的长。 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，b=8，求c。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，△ABC≌△DEB，∠C=90°，AB与DE垂直吗？你能利用它验证勾股定理吗？ 10. 如图，用四个全等的直角三角形拼成如图所示的图形，利用面积关系验证勾股定理。 11. 如图，意大利画家达·芬奇的方法，用两个全等的正方形拼成图形，通过面积关系验证勾股定理。 12. 如图，在一张纸上复制四个全等的直角三角形，通过拼图的方法验证勾股定理。 3、 拓展题（共2题）【拓】 19. 如图，已知直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，请利用赵爽弦图证明a²+b²=c²。 20. 如图，利用青朱出入图的思想，说明勾股定理的正确性。 ## 训练51：勾股定理综合（滚动综合） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=7，b=24，求c。 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=15，c=25，求b。 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，b=8，c=17，求a。 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2，b=3，求c（结果保留根号）。 5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=√3，b=√6，求c。 6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3√2，b=4√2，求c。 7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=2，求b。 8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=6，求c。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=17，c=13，求△ABC的面积。 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a=12，b=5，求斜边上的高h。 11. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，求AB和AC。 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=5，求AB和BC。 3、 拓展题（共2题）【拓】 21. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=BC，求AC和BC。 22. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a:b:c=5:12:13，且a+b+c=60，求a、b、c。 ## 训练52：勾股定理的逆定理（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 下列几组数能否作为直角三角形的三边长？ （1）9，12，15；（2）12，18，22；（3）12，35，36；（4）15，36，39。 2. 如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是______三角形。 3. 满足a²+b²=c²的三个正整数，称为______。 4. 判断：以3，4，5为三边长的三角形是直角三角形吗？为什么？ 5. 判断：以5，12，13为三边长的三角形是直角三角形吗？为什么？ 6. 判断：以8，15，17为三边长的三角形是直角三角形吗？为什么？ 7. 判断：以7，24，25为三边长的三角形是直角三角形吗？为什么？ 8. 判断：以9，40，41为三边长的三角形是直角三角形吗？为什么？ 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如果三条线段a、b、c满足a²=c²-b²，那么这三条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？ 10. 如果将直角三角形的三条边长同时扩大相同的倍数，那么得到的三角形还是直角三角形吗？ 11. 下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表： | 勾股数 | 2倍 | 3倍 | 4倍 | 10倍 | | 3，4，5 | 6，8，10 | | | | | 5，12，13 | | 15，36，39 | | | | 8，15，17 | | | 32，60，68 | | 12. 判断：以12，16，20为三边长的三角形是直角三角形吗？为什么？ 3、 拓展题（共2题）【拓】 23. 判断：以√3，√4，√5为三边长的三角形是直角三角形吗？为什么？ 24. 已知三角形的三边长分别为a²-b²，2ab，a²+b²（a>b>0），判断这个三角形是否为直角三角形。 ## 训练53：勾股数（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 满足a²+b²=c²的三个正整数，称为______。 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，7，8 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A．5，12，13 B．7，12，15 C．12，15，20 D．7，24，25 4. 写出三组常见的勾股数：______，______，______。 5. 如果a、b、c是一组勾股数，那么2a、2b、2c也是勾股数吗？为什么？ 6. 如果a、b、c是一组勾股数，那么3a、3b、3c也是勾股数吗？为什么？ 7. 如果a、b、c是一组勾股数，那么na、nb、nc（n为正整数）也是勾股数吗？为什么？ 8. 判断：6，8，10是一组勾股数吗？ 2、 提升题（共4题）【提】 9. 将勾股数3，4，5的各数分别乘以同一个正整数，得到的新数还是勾股数吗？请说明理由。 10. 小明发现很多勾股数组中都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数分别可以写成m²+n²，m²-n²。验证：4=2×2×1，5=2²+1²，3=2²-1²。请写出m=3，n=2时对应的勾股数。 11. 若m>n，且m、n为正整数，则m²-n²，2mn，m²+n²是勾股数吗？请说明理由。 12. 已知勾股数中的一组数为a，b，c（a²+b²=c²），则ka，kb，kc（k为正整数）是否一定为勾股数？为什么？ 3、 拓展题（共2题）【拓】 25. 用含n的代数式表示一组勾股数（n≥2）。 26. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为2n和n²-1（n>1），求斜边的长。这组数是勾股数吗？ ## 训练54：勾股定理逆定理的应用（混合专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得AB=3，AD=4，BD=5，BC=12，CD=13，这个零件符合要求吗？ 2. 如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，∠ABC=90°，求∠ACD的度数。 3. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形？你是如何判断的？ 4. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，求∠A的度数。 5. 如图，在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=15，判断△ABC是否为直角三角形。 6. 如图，在△ABC中，AB=8，AC=15，BC=17，求∠A的度数。 7. 如图，在△ABC中，AB=10，AC=24，BC=26，判断△ABC的形状。 8. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的高，求AD的长。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，∠ABC=90°，求四边形ABCD的面积。 10. 如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=15，AC=13，AD=12，BD=9，求CD的长。 11. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=3，CD=5，∠BAD=90°，求∠BCD的度数。 12. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，D是BC的中点，求AD的长。 3、 拓展题（共2题）【拓】 27. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC上一点，AD=4，求BD的长。 28. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=4，CD=12，求AD的长。 ## 训练55：勾股定理与最短路径（圆柱侧面）（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，一个圆柱的高为12cm，底面圆的周长为18cm。在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 2. 将一个圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是______。 3. 如图，一个圆柱的底面半径为2cm，高为5cm，一只蚂蚁从底部点A爬到顶部点B，求最短路程（π取3）。 4. 如图，一个圆柱的高为6cm，底面周长为8cm，一只蚂蚁从底部点A爬到顶部点B，求最短路程。 5. 如图，一个圆柱的底面直径为4cm，高为3cm，一只蚂蚁从底部点A爬到顶部点B，求最短路程（π取3.14，结果保留一位小数）。 6. 如图，一个圆柱的高为8cm，底面周长为12cm，一只蚂蚁从底部点A爬到顶部点B，求最短路程。 7. 如图，一个圆柱的底面半径为3cm，高为4cm，求圆柱的侧面积。 8. 如图，一个圆柱的底面周长为12.56cm，高为6cm，求圆柱的侧面积（π取3.14）。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，一个圆柱的高为10cm，底面半径为3cm，一只蚂蚁从底部点A爬到顶部点B，求最短路程（π取3.14，结果保留一位小数）。 10. 如图，一个圆柱的高为8cm，底面周长为12cm，一只蚂蚁从底部点A先向上爬到点C（C在底面直径的另一端顶部），再从C沿底面直径爬到点B，与直接沿侧面爬行的最短路线相比，哪一条更短？ 11. 如图，一个圆柱的高为5cm，底面周长为24cm，一只蚂蚁从底部点A爬到顶部点B，求最短路程。 12. 如图，一个圆柱的高为15cm，底面周长为20cm，一只蚂蚁从底部点A爬到顶部点B，求最短路程。 3、 拓展题（共2题）【拓】 29. 如图，一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，圆柱的高为6cm，一只蚂蚁从底部点A爬到顶部点B，求最短路程。 30. 如图，一个圆柱的高为h，底面半径为r，一只蚂蚁从底部点A爬到顶部点B，求最短路程（用含h、r的代数式表示）。 ## 训练56：勾股定理的实际测量（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB。如果李叔叔随身只带了卷尺，你能替他想办法完成任务吗？ 2. 李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B、D之间的距离是50cm。边AD垂直于边AB吗？ 3. 如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm的刻度尺，他能检验边AD是否垂直于边AB吗？ 4. 如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是多少？ 5. 如图，为了得到湖两岸A点和B点间的距离，一个观测者在C点设桩，使△ABC为直角三角形，并测得AC长100m，BC长80m。A、B两点间的距离是多少？ 6. 如图，一个长方形箱子的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离是5cm。一只蚂蚁沿箱的外表面从点A处爬到点B处，求最短路程。 7. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=4cm，AD=2cm，BC=CD，E是AB上的一点。若沿CE折叠，则B、D两点重合，求△AED的面积。 8. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=4，BC=12，CD=13，求四边形ABCD的面积。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，甲、乙两位探险者到沙漠进行探险。某日早晨8：00甲先出发，他以6km/h的速度向正东方向行走。1h后乙出发，他以5km/h的速度向正北方向行走。上午10：00，甲、乙二人相距多远？ 10. 如图，五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图形中哪个是正确的？ 11. 如图，将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，求h的取值范围。 12. 如图，一辆汽车以72km/h的速度行驶，司机发现前方有危险后紧急刹车，刹车后汽车滑行了25m才停下。已知汽车刹车后滑行的距离与速度的关系为s=v²/(2a)（a为常数），求a的值。 3、 拓展题（共2题）【拓】 31. 如图，一个长方体形盒子的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离是5cm。一只蚂蚁沿盒的外表面从点A处爬到点B处，那么它爬行的最短路程是多少？ 32. 如图，一根木棒斜靠在墙上，木棒顶端距地面4m，底端距墙3m。如果木棒顶端下滑1m，底端向外滑动了多少米？ ## 训练57：勾股定理的应用（《九章算术》）（混合专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何。（1丈=10尺） 2. 如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 3. 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何。（1丈=10尺） 4. 如图，有一根竹子原来高10尺，竹梢部分折断，尖端落在地上，竹尖与竹根距离3尺。问折断处离地多高。 5. 今有立木，系索其末，委地三尺。引索却行，去本八尺而索尽。问索长几何。 6. 如图，在直立于地面的一根木杆顶端，系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺。在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直。问这根绳索有多长。 7. 今有木长二丈，围之三尺。葛生其下，缠木七周，上与木齐。问葛长几何。（1丈=10尺） 8. 如图，有一棵树（将树看作一个圆柱）高2丈，底面周长是3尺，一条生长在树底下的藤从树底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平。问这条藤长多少。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，某单向隧道的截面是一个半径为4.2m的半圆形，一辆高3.6m、宽3m的卡车能通过这个隧道吗？ 10. 如图，一个半径为4.2m的半圆形隧道，一辆宽3m的卡车从隧道的正中间通过，车高3.6m，能否通过？请用计算说明。 11. 如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高1m。若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙4m时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐。求梯子的长度。 12. 如图，小英想用一条36cm长的绳子围成一个直角三角形，其中一条边的长度为12cm，求另外两条边的长度。 3、 拓展题（共2题）【拓】 33. 已知直角三角形的勾长为a，弦与股的差为d，求弦长c（用含a、d的代数式表示）。 34. 如图，将直角三角形纸片ABC的角B沿CD折叠，点B落到纸片边缘AC的点B′处。如果∠A=30°，求∠CDB′的度数。 ## 训练58：勾股定理综合应用（滚动综合） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，求c。 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=8，c=17，求b。 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，b=24，c=25，求a。 4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，CD是斜边AB上的高，求CD的长。 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5，求AB的长。 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，求AB的长。 7. 判断：以√2，√3，√5为三边长的三角形是直角三角形吗？为什么？ 8. 判断：以2，3，4为三边长的三角形是直角三角形吗？为什么？ 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14，c=10，求△ABC的面积。 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，b=8，求斜边上的高h。 11. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，BC=6，求AB的长。 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AC=5，求AB的长。 3、 拓展题（共2题）【拓】 35. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=20，AC:BC=3:4，求AC和BC。 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，求斜边AB上的高。 学科网（北京）股份有限公司 $