专项素养巩固训练卷(三)勾股定理的八种常见模型 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

专项素养巩固训练卷(三)勾股定理的八种常见模型 2025-2026学年 鲁教版（五四制）七年级数学上册 模型一 勾股树模型 1.下图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图①，一个边长为a的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图②；……如此继续“生长”下去，则第2023 次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和为 ， 模型二 梯子滑动模型 2.如图,一架梯子AB长为5米,顶端A 靠在墙AC上，这时梯子下端B 与墙底端C 的距离是3米，梯子下滑后停在DE 的位置上，这时测得BE为1米，则梯子顶端A下滑了 ( ) A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米 3.消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务.消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险.如图，已知云梯最多只能伸长到25 m(即AA'=BB'=25m),，消防车高4m，救人时云梯伸长至最长，在完成从19m(即A'M=19m)高的A'处救人后,还要从24 m(即B'M=24m))高的B'处救人，这时消防车从A 处向着火的楼房靠近的距离AB 为多少米? 模型三 赵爽弦图模型 4.观察、思考与验证. (1)图①是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 (2)如图②所示, ，且B，C，D在同一直线上.试说明： (3)伽菲尔德(1880年任美国第20届总统)利用(1)中的公式和图②证明了勾股定理(发表在1876年4月1 日的《新英格兰教育日志》上)，请你写出验证过程. 5.【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅勾股定理力.图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形的证明拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c²，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 从而得到等式 化简便得到结论 这里用两种求法来表示同一个量，从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”. 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明没有停止，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春在2010年发现了一个新的证法：把两个全等的 和 按图②式放置，其三边长分别为a，b，c， 显然 (1)请用a,b,c分别表示出四边形ABDC,梯形AEDC, 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理 【方法迁移】 (2)如图③,在 中,AD 是BC边上的高,AB=4,AC=5,BC=6,设BD=x,求x的值. 模型四 折树模型 6.如图，《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何?意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问：折断处离地面的高度是多少?请回答这个问题.对 7.一棵高8米的大树被折断，折断处A距地面的距离AC=3米(点B 为大树顶端着地处).在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部C 的距离CD为4.5米，点D 在CB的延长线上，求大树顶端着地处B到小轿车的距离 BD 模型五 出水芙蓉模型 8.(如图，有一个底面直径为8cm的圆柱形的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时(筷子底端不动)，筷子顶端刚好触到杯口，则筷子的长度为 cm. 9.老师准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿露出水面的部分刚好为0.5m ，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，请你帮老师计算河水的深度是多少米. 模型六 最短路径模型 10.一个三级台阶如图，它的每一级的长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米,A,B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点的最短路程是 米. 11.如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A 点绕到正上方的 B点，已知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是 Ⅲ. 12.如图，一只蚂蚁在圆柱形玻璃杯的外壁，距离底端2厘米的A 处发现在自己对面距离顶端2厘米B处内壁有一滴蜂蜜，已知玻璃杯底面的周长为12厘米，高为 8 厘米，求蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为多少. 模型七 折叠模型 13.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=4,BC=3,，将纸片沿DE 折叠，使点A 与点B 重合，求折痕DE 的长. 14.(如图,长方形纸片ABCD中,AB=10cm,BC=8cm,，E为BC上的一点，将纸片沿AE 翻折，使点 B 与 CD边上的点 F 重合.求线段EF的长. 模型八 垂美四边形模型 15.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC,BD交于点 O.若AD=2,BC=7,则 等于( ) A.45 B.49 C.50 D.53 16.我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”.如图①，已知四边形ABCD，AC⊥BD，像这样的四边形称为“垂美四边形”。 【探索证明】 (1)如图①,设AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,猜想a²,b²,c²,d²之间的关系，用等式表示出来，并说明你的理由. 【变式思考】 (2)如图②,BD,CE是△ABC的中线,BD⊥CE,垂足为O,BC=2DE,设BC=m,AC=n,AB=k,请用一个等式把m²,n²,k²三者之间的数量关系表示出来： . 【拓展应用】 (3)如图③,在长方形ABCD 中,E 为AD 的中点,若四边形ABCE为“垂美四边形”,且BC=2,求AB² 的值. 专项素养巩固训练卷(三)勾股定理的八种常见模型 1.答案: 解析：如图， ∵大正方形的边长为a，∴大正方形的面积为( 由勾股定理得， 即经过一次“生长”后在它的上侧生长出的两个小正方形的面积和为 ∴第1次“生长”后所有正方形的面积和为 同理，第2次“生长”后所有正方形的面积和为 …… 则第2 023次“生长”后所有正方形的面积和为 故答案为： 2. A 在 中，AB=5米，BC=3米， 米. 在Rt△CDE中,DE=AB=5米,CE=BC+BE=3+1=4(米),∠DCE=90°, 米， ∴AD=AC-DC=4-3=1(米), 即梯子顶端A下滑了1米，故选 A. 3.解析：由题意可知，DM=4m ,AA'=BB'=25 m,A'M=19 m, 点A、B、D 三点共线,∴A'D=A'M-DM=19-4=15(m),B'D=B'M-DM=24-4=20(m). 在 Rt△AA'D 中,由勾股定理得 400,∴AD=20m, 在 中，由勾股定理得 225,BD=15m, ∴AB=AD-BD=20-15=5(m). 答：消防车从A 处向着火的楼房靠近的距离AB为5m . 4.解析:(1)∵大正方形的边长为a+b, ∴大正方形的面积： 又∵大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个矩形的面积 故答案为 (2)证明:在 和 中， (3)证明: 即四边形ABDE 是梯形， ∴ 四边形ABDE 的面积 整理得 5.解析:(1)证明: (2)在 中，由勾股定理得 在 中，由勾股定理得 6.解析：设竹子折断处离地面x尺，则斜边长为((10-x)尺，根据勾股定理得 解得.x=4.55, ∴折断处离地面的高度为4.55尺. 7.解析：由题意可知AC=3m,AB=8-3=5(m), 答：大树顶端着地处B到小轿车的距离BD为0.5m. 8.答案:8.5 解析：设杯子的高度是x cm，那么筷子的高度是((x+1)cm,由题意得 解得.x=7.5, 筷子的长度为8.5cm .故答案为8.5.9.解析：设河水的深度为h米，则竹竿的长为((h+0.5)米. 由勾股定理得 解得h=2. 答：河水的深度为2米. 10.答案:2.5 解析：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为2米，宽为(0.2+0.3)×3=1.5(米), 则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点的最短路程是此长方形的对角线AB的长. 设AB=x米， 由勾股定理得 解得x=2.5. 11.答案:20 解析：如图，将圆柱侧面展开4次得长方形ABCD，因为用彩带绗绕圆柱4圈.易得图中 AC 的长即为所求.由题意可得AB=16m,AD=4×3=12(m),，由勾股定理得 400、∴AC=20m.故答案为20. 12.解析：如图，将杯子侧面的一半展开，作B 关于EC的对称点B'.连接B'A.则B'A的长度即为最短路程，作 交AC 的延长线于点 D. 由题意可得B'D=6厘米，AD=8厘米， 由勾股定理得 厘米.答：蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为10厘米. 13.解析:在 中， 由折叠可知 BD=AD.设BD=x,则CD=4-x. 在 中， 解得 在 中， 即折痕DE的长为 14.解析:根据折叠的性质知∠ABE=∠AFE=90°,AB=AF=10 cm,EF=BE. 在 Rt△ADF中,AF=10 cm,AD=8cm,由勾股定理得 ∴CF=CD-DF=10-6=4(cm). 在Rt△CEF中,CE=BC-BE=BC-EF=8-EF,由勾股定理得 即 解得 EF=5cm .故线段 EF 的长为5cm . 15. D 在 Rt△AOD 与 Rt△BOC 中,由勾股定理得 在 Rt△AOB 与Rt△COD 中,由勾股定理得 故选 D. 16.解析: 理由如下： 中， 中， 中， 中， 详解:∵ BD,CE 是 的中线，BC=2DE, ∴ 四边形 BCDE 是“垂美四边形”, 由(1)可得 (3)∵四边形ABCD是长方形,. ∵E为AD的中点,. ∵ 四边形ABCE 为“垂美四边形”, 学科网（北京）股份有限公司 $