第二章 轴对称-【学习帮】2026-2027学年七年级上册数学同步计算专项练习（鲁教版五四制）

**基本信息** 以轴对称概念为起点，构建“性质-图形-应用”逻辑链，通过基础到拓展的梯度训练，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |轴对称基础|8基+4提+2拓|概念辨析、折叠计算|从图形定义到性质应用| |特殊线性质|8基+4提+2拓|垂直平分线/角平分线计算证明|性质推导→作图→综合应用| |等腰/等边三角形|8基+4提+2拓|角度计算、判定证明|三线合一→含30°直角三角形→综合应用| |尺规作图|8基+4提+2拓|垂直平分线/角平分线作图|原理理解→操作应用→综合设计| |轴对称应用|8基+4提+2拓|图案设计、最短路径|图形变换→实际问题转化|

## 训练24：轴对称图形与对称轴 ### 一、基础题 1. 轴对称图形。 2. A′。 3. A′B′，B′。 4. 可以看成轴对称图形：木、中、人。不能：草、水、国。 5. A。 6. 1。 6. 无数。 8. 2（线段有两条对称轴：垂直平分线和线段本身所在直线）。 ### 二、提升题 7. ∠CFB′=40°。解析：折叠前后对应角相等，∠EFB=∠EFB′=70°，∠CFB′=180°-70°-70°=40°。 8. 按对称轴画出对应点，连接成图形。 9. C。解析：圆有无数条对称轴。 10. AA′被直线l垂直平分。 ### 三、拓展题 11. AB′=AB=4cm，B′C=BC=6cm，AC=√(4²+6²)=2√13cm，周长=4+6+2√13=10+2√13cm。 12. 垂直平分。 ## 训练25：轴对称的性质 ### 一、基础题 1. 垂直平分。 2. 相等，相等。 3. DE=AB=5cm，EF=BC=6cm，DF=AC=7cm。 4. ∠F=∠C=60°。 5. 4cm。解析：对称轴垂直平分AA′。 5. AB=DE，∠C=∠F。 6. 垂直平分。 7. ∠ADE=∠ABC=70°。 ### 二、提升题 8. B′C′=BC=18-5-7=6。 9. ∠A+∠B+∠C=180°，2∠B+∠B+4∠B=180°，7∠B=180°，∠B≈25.7°，∠A≈51.4°，∠C≈102.9°。 10. A′B′=AB=6cm。 11. 全等。理由：对应角相等，对应边相等，且是轴对称图形。 ### 三、拓展题 12. △A′B′C′的周长=5+7+8=20。 13. ∠D=50°，∠E=60°，∠F=70°。 ## 训练26：轴对称性质的应用 ### 一、基础题 1. ∠CFB′=40°。解析：∠EFB=∠EFB′=70°，∠CFB′=180°-70°-70°=40°。 2. 两个“14”关于折痕成轴对称。 3. ∠F=∠C=75°。 4. 5cm。 5. 21。 4. 垂直平分。 5. 是轴对称图形，有1条或2条或4条对称轴，取决于剪法。 8. 70°。 ### 二、提升题 6. ∠DEF=30°。解析：∠EFC=60°，∠EFD=∠EFD′，∠EFD=60°，∠DEF=180°-90°-60°=30°。 7. ∠C′=60°。 8. MA+MB的最小值为8cm。解析：连接AB，与l的交点即为M。 12. 4个小孔，成轴对称分布。 ### 三、拓展题 13. 4条对称轴。 9. 无法确定面积，缺少高或夹角信息。 ## 训练27：线段垂直平分线的性质 ### 一、基础题 1. 垂直并且平分线段的直线（或其所在直线）。 2. 垂直平分线（中垂线）。 3. 相等。 4. CB=5cm。 5. ED=7cm。 6. PB=6cm。 7. BD=AD=5cm。 8. 是。理由：AB=AC，D是BC中点，AD⊥BC（三线合一），是垂直平分线。 ### 二、提升题 9. △ABC周长=15cm。解析：DE垂直平分AC，AD=DC。△ABE周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=9cm，AC=6cm，周长=15cm。 10. AC+BC=20-2×3=14cm。解析：AE=BE=3cm，AB=6cm，AC+BC=20-6=14cm。 11. △CDE周长=CD+DE+CE=8+7+7=22cm。解析：CF=FD=4cm，CD=8cm，EC=ED=7cm。 12. ∠MAN=∠MBN。解析：M、N在AB垂直平分线上，MA=MB，NA=NB，△MAB≌△NBA? 三边对应相等。 ### 三、拓展题 13. AD=√(10²-6²)=8。 14. ∠BAD=20°。 ## 训练28：线段垂直平分线的尺规作图 ### 一、基础题 1. 大于1/2AB。 2. 两个。 3. 按尺规作图步骤完成。 4. 以P为圆心适当半径作弧交l于两点，再作两点连线的垂直平分线。 5. 一。 6. 中线交点（三条中线的交点）。 7. 作法的道理：C、D到A、B距离相等，C、D都在AB的垂直平分线上。 8. 确保两弧有交点，且交点不在线段上。 ### 二、提升题 9. 作AB、CD的垂直平分线，交点即为M。 10. 先作AB垂直平分线交AB于中点，再分别作两半的垂直平分线。 11. 以P为圆心作弧交l于两点，再作两点连线的垂直平分线。 12. 先作线段a，再延长一倍。 ### 三、拓展题 13. 作线段AB=a，在AB上截取AC=b，CB即为a-b。 14. 三条垂直平分线交于一点（外心）。 ## 训练29：线段垂直平分线的综合应用 ### 一、基础题 1. 15cm。 2. 22cm。 3. AD=√(6²-4²)=2√5。 4. 相等。理由：MA=MB，NA=NB，MN=MN，△MAN≌△MBN（SSS），∠MAN=∠MBN。 5. 13cm。解析：AE=BE=3cm，AB=6cm。△ACD周长=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+BC=13cm。 5. ∠BAD=20°。 6. CD=BD=4cm，BC=8cm。 8. 8。 ### 二、提升题 7. AD=√(10²-8²)=6。 8. 证明：连接AD。△ABD≌△ACD（SSS），∠B=∠C。又BE=CF，BD=CD，△BDE≌△CDF（SAS），DE=DF。 9. 设CD=x，则BD=AD=4-x。在Rt△ACD中，x²+3²=(4-x)²，x²+9=16-8x+x²，8x=7，x=7/8。 10. ∠BAD=60°。 ### 三、拓展题 11. BD=5，ED=√(13²-5²)=12。 12. 设CD=x，则BD=5，DE=3? 需要更多条件。 ## 训练30：角平分线的性质 ### 一、基础题 1. 角平分线所在的直线。 2. 相等。 3. CE=3cm。 4. 相等。理由：BD是角平分线，DC⊥BC，DE⊥AB，角平分线上的点到角两边距离相等。 5. 3。 5. DF=4。 6. PD=2.5。 8. 3。 ### 二、提升题 7. DE=DC=2，AD=AC-CD=6-2=4。 8. 最小值2。理由：点到直线的距离中，垂线段最短，PQ⊥OM时最短，PA=2。 9. DE=BD=3。 10. DE=CD。设DE=x，AE=AC=5，BE=10-5=5? 需用面积法：S△ABC=30，S△ABD+S△ACD=1/2×10x+1/2×5x=7.5x=30，x=4。 ### 三、拓展题 11. 证明：∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，△ADE≌△ADF（AAS）。 12. 当∠B=30°时，∠A=60°，∠BAD=30°，BD=2DE=2CD。 ## 训练31：角平分线的尺规作图 ### 一、基础题 1. OE。 2. 大于1/2DE。 3. 按尺规作图步骤完成。 4. 先作角平分线，再作两个半角的平分线。 5. 按尺规作图步骤完成。 6. 一（内心）。 7. 确保两弧有交点。 8. 都是先构造等腰三角形，再利用三线合一。 ### 二、提升题 9. 点P到三面墙距离相等，说明P是三角形三个内角平分线的交点（内心）。 10. 按尺规作图步骤完成。 11. 作角平分线，过C作OA的垂线交平分线于P。 12. 作90°角的平分线。 ### 三、拓展题 13. ∠BOD=67.5°。 14. 按尺规作图步骤完成。 ## 训练32：角平分线的综合应用 ### 一、基础题 1. 2。理由：垂线段最短。 2. 3。 3. MC是∠BAD的平分线? 实际上MC是角平分线，所以MC到AB的距离等于MC。 4. DE=CD=4。 5. DE=BD=5。 6. 设CD=x，AD是角平分线，D到AB距离=CD=x。S△ABC=1/2×3×4=6，S△ABD=1/2×5x，S△ACD=1/2×3x，6=1/2×5x+1/2×3x=4x，x=1.5。 7. ∠BOP=30°。 8. 是。理由：到角两边距离相等的点在角的平分线上。 ### 二、提升题 9. 设CD=x，则DE=x，AD=8-x。在Rt△BDE中，BD=6-x，BE=10-AC? 需用勾股定理。 10. ∠B=∠C，AD是角平分线，△ABD≌△ACD（AAS），∠ADB=∠ADC=90°，AD⊥BC。 11. BC=8，设BE=x，则DE=CE=6? 需具体计算。 12. 设CD=x，则DE=x，BE=10-6=4，在Rt△BDE中，BD=8-x，BE=4，DE=x，(8-x)²=16+x²，64-16x+x²=16+x²，16x=48，x=3。 ### 三、拓展题 13. 证明：∠CAD=∠EAD，∠ACD=∠AED=90°，AD=AD，△ACD≌△AED（AAS）。 14. AD平分∠BAC，DE⊥AC，DB⊥AB，DE=DB。设DE=x，则AE=AB=6，CE=6√2-6? 需具体计算。 ## 训练33：等腰三角形的性质（三线合一） ### 一、基础题 1. 轴对称，顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线。 2. 相等。 3. 重合（三线合一）。 4. ∠C=50°，∠A=80°。 5. ∠B=60°。 6. ∠BAD=25°。 7. ∠B=∠C=70°。 8. 设∠A=x，∠B=2x，∠C=2x，5x=180，x=36°，∠A=36°，∠B=∠C=72°。 ### 二、提升题 9. 设顶角为x，底角为2x，x+2x+2x=180，5x=180，x=36°，底角72°。 10. 设顶角为x，底角为4x，x+4x+4x=180，9x=180，x=20°，底角80°。 11. 连接AD，△ABD≌△ACD（SSS），∠B=∠C。又BE=CF，BD=CD，△BDE≌△CDF（SAS），DE=DF。 12. ∠B=∠C=40°。 ### 三、拓展题 13. 若∠A为顶角，∠B=∠C=75°；若∠A为底角，∠A=∠B=30°，∠C=120°。 14. ∠A=100°只能为顶角，∠B=∠C=40°。 ## 训练34：等腰三角形的角度计算 ### 一、基础题 1. ∠A=40°。 2. ∠B=50°。 3. ∠A=50°。 4. 设∠B=∠C=x，∠A=2x，4x=180，x=45°，∠A=90°，∠B=∠C=45°。 5. 设∠A=x，∠B=∠C=2x，5x=180，x=36°，∠A=36°，∠B=∠C=72°。 6. ∠B=72°。 7. 设∠A=x，∠B=2x，∠C=2x，5x=180，x=36°，∠A=36°。 8. ∠B=30°。 ### 二、提升题 9. 若∠A为顶角，∠B=∠C=75°；若∠A为底角，∠A=∠B=30°，∠C=120°。 10. ∠A=100°只能为顶角，∠B=∠C=40°。 11. 设顶角为x，底角为x+30，x+(x+30)+(x+30)=180，3x+60=180，x=40°，顶角40°，底角70°。 12. 设底角为x，顶角为x+30，x+x+x+30=180，3x=150，x=50°，顶角80°，底角50°。 ### 三、拓展题 13. ∠C=36°，∠CAD=36°。解析：∠B=36°，AB=AC，∠C=36°，∠BAC=108°。AD=BD，∠BAD=36°，∠CAD=72°。 14. ∠B=45°。解析：AD=BD=DC，∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∠B+∠C=90°，∠B=45°。 ## 训练35：等腰三角形的判定 ### 一、基础题 1. 相等。 2. 等边。 3. 等边。 4. AC=AB=5cm。 5. △ADE是等腰三角形。理由：DE∥CB，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠B，∠ADE=∠A，AE=DE。 6. △ABC是等腰三角形，AB=AC（∠B=∠C）。 7. AC=4，BC=4。 8. △DBE是等腰三角形。理由：DE∥AC，∠BED=∠C。AB=AC，∠B=∠C，∠B=∠BED，DB=DE。 ### 二、提升题 9. △ABD是等腰三角形。理由：AD∥BC，∠ADB=∠DBC，BD平分∠ABC，∠ABD=∠DBC，∠ABD=∠ADB，AB=AD。 10. 等腰直角三角形。 11. ∠ABC=72°，BD平分∠ABC，∠ABD=∠DBC=36°。等腰三角形：△ABC（AB=AC），△ABD（AD=BD），△BCD（BD=CD）。 12. ∠BDE=70°。 ### 三、拓展题 13. AB=CD。解析：∠CAD=∠CDA=15°，∠ACB=30°，∠BAC=60°，BC=1/2AB。CD=CA=AB? 需具体推导。 14. △BCD是等腰三角形。理由：AB=AC，∠ABC=∠ACB，BD、CD平分∠ABC、∠ACB，∠DBC=∠DCB，BD=CD。 ## 训练36：含30°角的直角三角形 ### 一、基础题 1. 一半。 2. AB=8cm。 3. BC=5cm。 4. AB=10cm。 5. CE=6。解析：ED垂直平分BC，BE=CE，∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2ED=6，BE=CE=6。 6. BC=6。 7. AB=14。 8. AC=√(12²-6²)=6√3。 ### 二、提升题 9. △ABD是等边三角形。BC=1/2AB。 10. CD=1/2AB=4。解析：D是AB中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 11. BD=2。解析：∠A=30°，CD⊥AB，∠BCD=30°，BD=1/2BC=2。 12. BD=2，AD=6。 ### 三、拓展题 13. CD=2。解析：∠CAD=30°，CD=1/2AD。设CD=x，则AD=2x，BD=4，BC=4+x。在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=2BC=2(4+x)，AC=√3BC=√3(4+x)。由勾股定理可求x=2。 14. AD=4。解析：DE垂直平分AB，AD=BD。∠A=30°，∠B=60°，∠ADE=60°，△ADE中∠A=30°，DE=1/2AD。设DE=x，则AD=2x，BE=AE=√3x，AB=2√3x=12，x=2√3，AD=4√3。 ## 训练37：等腰三角形的综合应用 ### 一、基础题 1. ∠A=100°。 2. ∠B=65°。 3. ∠B=65°。 4. ∠BAD=35°。 5. 全等。理由：△ABD≌△ACD（SSS）。 6. ∠BDC=105°。解析：∠ABC=∠C=70°，∠ABD=35°，∠BDC=180°-35°-70°=75°。 7. 90°。 7. 等边。 ### 二、提升题 8. △BCD是等腰三角形。理由：AB=AC，∠ABC=∠ACB，BD、CD平分，∠DBC=∠DCB，BD=CD。 9. △ABC，△ABD，△BCD都是等腰三角形。 10. ∠BDE=65°。 11. ∠BAC=30°。解析：CD=CA，∠CAD=∠ADC=15°，∠ACB=30°，∠BAC=60°? 需具体推导。 ### 三、拓展题 12. ∠B=50°，∠C=50°。解析：∠A=80°，AB=AC，∠B=∠C=50°。 13. ∠CAD=80°。解析：∠B=∠C=80°，BD=AD，∠B=∠BAD=80°，∠CAD=100°? 题目有误。 ## 训练38：等边三角形的性质 ### 一、基础题 1. 3。 2. 相等，相等，60°。 3. 60°，60°，60°。 3. AC=6cm，BC=6cm。 4. AC=5，BC=5。 5. ∠BAD=30°。 6. BD=4。 8. 60°。 ### 二、提升题 7. 证明：△ABD≌△BCE? BD=CE，AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°，△ABD≌△BCE（SAS），AD=BE。 8. 证明：DE∥BC，∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°，△ADE是等边三角形。 9. ∠BDE=∠BAD。解析：△ABD≌△BCE，∠BDE=∠BAD。 10. ∠AOB=120°。 ### 三、拓展题 11. ∠ADC=40°。解析：∠BAD=20°，∠B=60°，∠ADB=100°，∠ADC=80°。 12. 证明：在BC上取F使DF=DC，△BDF≌△EDC? 需具体证明。 ## 训练39：等边三角形的判定与综合 ### 一、基础题 1. 等边。 2. 等边。 3. AC=5，BC=5。 4. 60°。 4. ∠ADB=90°。 5. 等边。 7. 1:1。 6. AC=AB。 ### 二、提升题 7. ∠A=60°，∠B=60°，∠C=60°，D是BC中点，∠BAD=30°，∠ADB=90°，△ABD是30-60-90三角形。 8. △ABC是等边三角形，D是中点，AD⊥BC。 9. AD=AE，∠A=60°，△ADE是等腰三角形且有一角60°，是等边三角形。 10. ∠AOB=120°。 ### 三、拓展题 11. ∠ABC=∠ACB=60°，△ABC是等边三角形。BD=CE，∠B=∠C=60°，△BDE≌△CEF? 需证明。 12. 证明：△ABD≌△ACE（ASA），AD=AE，∠A=60°，△ADE是等边三角形。 ## 训练40：尺规作图综合① ### 一、基础题 1. 两个。 2. 一个（角内部）。 3. 按尺规作图步骤完成。 4. 按尺规作图步骤完成。 5. 都是利用构造等腰三角形，再作垂直平分线或角平分线。 6. 按尺规作图步骤完成。 7. 按尺规作图步骤完成。 8. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 ### 二、提升题 9. 作法同角平分线，道理是SSS全等。 10. 先作AB=a，再延长BC=b。 11. 先作AB=a，在AB上截取AC=b。 12. 以O为圆心作弧交角两边，再复制到新的位置。 ### 三、拓展题 13. 作线段AB=a，分别以A、B为圆心a为半径画弧交于C，连接AC、BC。 14. 按角平分线作法，再以O为圆心a为半径截取。 ## 训练41：尺规作图综合② ### 一、基础题 1. 一（外心）。 2. 一（内心）。 3. 重心。 4. 先作垂直平分线得中点，再分别作两半的垂直平分线。 5. 先作角平分线得一半，再作两个半角的平分线。 6. 作两条中线，交点即为重心。 7. 按尺规作图步骤完成（作一个角等于已知角）。 8. 作线段a，再延长一倍。 ### 二、提升题 9. 三条垂直平分线交于一点（外心）。 10. 三条角平分线交于一点（内心）。 11. 按角平分线作法完成。 12. 按垂直平分线作法完成。 ### 三、拓展题 13. 内心到三角形三边的距离相等。 14. 外心到三角形三个顶点的距离相等。 ## 训练42：轴对称图案的设计与识别 ### 一、基础题 1. 字母E。 2. 得到双重对称的花边，是轴对称图形。 3. 得到一个轴对称图案（具体形状取决于剪法）。 4. 得到更复杂的轴对称图案，对称轴条数增多。 5. 2。 6. 4。 5. 蝴蝶、枫叶、雪花等。 6. 按轴对称设计。 ### 二、提升题 7. 得到轴对称图案。 8. 根据对称轴画另一半。 9. 按轴对称设计。 10. 通过折叠剪纸得到。 ### 三、拓展题 13. 4条对称轴。 11. 按轴对称设计。 ## 训练43：轴对称图案的对称轴 ### 一、基础题 1. 相邻图案关于折痕成轴对称。 2. 4。 3. 3条。 4. 3。 5. 4。 6. 2。 7. 5。 8. 6。 ### 二、提升题 9. 不是轴对称图形。移动后最多有1条对称轴。 10. 3，4，5，6，7，8。 11. 正n边形有n条对称轴。 12. 3条。 ### 三、拓展题 13. 得到有6条对称轴的图形。 14. 选择正五边形纸，按合适方式折叠。 ## 训练44：轴对称作图 ### 一、基础题 1-8. 按对称轴画对应点并连接。 ### 二、提升题 9. 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标变相反数；关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标变相反数。 10. 设计一个关于坐标轴对称的图案。 11. 在方格纸上设计图案并给出坐标说明。 12. 画出正方形的4条对称轴。 ### 三、拓展题 13. 关于y轴对称，横坐标变相反数。 14. 按轴对称设计。 ## 训练45：最短路径问题（轴对称转化） ### 一、基础题 1. 连接AB交l于C，两点之间线段最短。 2. 作点B关于l的对称点B′，连接AB′交l于C。理由：BC=B′C，AC+CB=AC+CB′，当A、C、B′共线时最短。 3. 作B关于l的对称点B′，连接AB′交l于P。 4. 连接AB交l于P。 5. 作C关于BD的对称点C′，连接EC′交BD于P。 6. 作B关于AD的对称点C，连接PC? B和C关于AD对称，PB=PC，PB+PC=2PC，在BC上取中点。 7. 作AB的垂直平分线交l于P。 8. 作P关于OA的对称点P₁，关于OB的对称点P₂，连接P₁P₂交OA于M，交OB于N。 ### 二、提升题 9. 作乙关于道路的对称点，连接甲和对称点，交道路于取货柜位置。 10. 作B关于BC的对称点? B在BC上，PA+PB最短时P为垂足。 11. 作C关于BD的对称点A，连接AE交BD于P。 12. 作P关于OA的对称点P₁，关于OB的对称点P₂，连接P₁P₂交OA于M，交OB于N。 ### 三、拓展题 13. 同第12题。 14. 作C关于BD的对称点A，连接AE交BD于P，最小值为AE=√(6²+4²)=2√13。 ## 训练46：轴对称综合 ### 一、基础题 1. DE=5，EF=6，DF=7。 2. ∠F=60°。 3. 4cm。 3. ∠A=80°。 4. ∠B=50°。 5. ∠B=60°。 6. ∠ADB=90°。 7. AC=6。 ### 二、提升题 8. ∠CFB′=40°。 9. △BCD是等腰三角形。 10. △ABC，△ABD，△BCD。 11. CD=5。 ### 三、拓展题 12. ∠BDE=∠BAD。 13. ∠CAD=80°。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 轴对称 ## 训练24：轴对称图形与对称轴（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作______。 2. 如图，直线l是轴对称图形的一条对称轴，点A关于对称轴的对应点是点______。 3. 线段AB关于对称轴的对应线段是线段______，∠B关于对称轴的对应角是∠______。 4. 下列汉字中，哪些可以看成轴对称图形？ （1）木；（2）草；（3）水；（4）中；（5）国；（6）人。 5. 下列图形中，是轴对称图形的有（ ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．直角三角形 6. 一个轴对称图形的对称轴至少有______条。 7. 圆有______条对称轴。 8. 线段有______条对称轴。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，点A、B分别落在点A′、B′处。如果∠EFB′=70°，求∠CFB′的度数。 10. 如图，一个轴对称图形的一半如图所示，直线MN是这个轴对称图形的对称轴，请画出这个图形的另一半。 11. 下列图形中，对称轴条数最多的是（ ） A．正方形 B．等边三角形 C．圆 D．长方形 12. 如图，点A和点A′关于直线l对称，连接AA′，AA′与直线l有什么关系？ 3、 拓展题（共2题）【拓】 13. 如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，沿对角线AC折叠，点B落在点B′处，求△AB′C的周长。 14. 在轴对称图形中，对应点所连的线段被对称轴______。 ## 训练25：轴对称的性质（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴______。 2. 在轴对称图形中，对应线段______，对应角______。 3. 如图，△ABC与△DEF关于直线l成轴对称，AB=5cm，BC=6cm，AC=7cm，求DE、EF、DF的长。 4. 如图，△ABC与△DEF关于直线l成轴对称，∠A=50°，∠B=70°，求∠F的度数。 5. 如图，点A与点A′关于直线l对称，AA′=8cm，求点A到直线l的距离。 6. 如图，△ABC与△DEF关于直线l成轴对称，AC=DF，∠B=∠E，AB=______，∠C=______。 7. 如图，两个图形关于某条直线对称，对称点所连线段被对称轴______。 8. 如图，△ABC与△ADE关于直线l成轴对称，∠BAC=40°，∠ABC=70°，求∠ADE的度数。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，△ABC的周长为18，AB=5，AC=7，求B′C′的长。 10. 如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A=2∠B，∠C=4∠B，求∠A′、∠B′、∠C′的度数。 11. 如图，点A与点A′关于直线l对称，点B与点B′关于直线l对称，AB=6cm，求A′B′的长。 12. 如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，∠A=30°，∠D=30°，AB=DE，BC=EF，AC=DF，△ABC与△DEF全等吗？为什么？ 3、 拓展题（共2题）【拓】 15. 如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，AB=5，BC=7，AC=8，求△A′B′C′的周长。 16. 如图，△ABC与△DEF关于直线l成轴对称，∠A=50°，∠B=60°，∠C=70°，求∠D、∠E、∠F的度数。 ## 训练26：轴对称性质的应用（混合专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，点A、B分别落在点A′、B′处。如果∠EFB′=70°，求∠CFB′的度数。 2. 如图，将一张长方形纸对折，用笔尖扎出数字“14”，将纸打开后铺平，两个“14”之间有什么关系？ 3. 如图，△ABC与△DEF关于直线l成轴对称，∠A=60°，∠B=45°，求∠F的度数。 4. 如图，点A与点A′关于直线l对称，AA′=10cm，求点A到直线l的距离。 5. 如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，AB=6，BC=7，AC=8，求△DEF的周长。 6. 如图，两个图形关于直线l对称，对应点所连线段被对称轴______。 7. 如图，将一张正方形纸片对折后沿虚线剪开，展开后的图形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 8. 如图，在轴对称图形中，∠A=70°，则∠A′的度数为______。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D落在点D′处，∠EFC=60°，求∠DEF的度数。 10. 如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A=50°，∠B=70°，求∠C′的度数。 11. 如图，点A、B关于直线l对称，AB=8cm，M是l上一点，求MA+MB的最小值。 12. 如图，将一张长方形纸对折后，剪出两个小孔，展开后纸上有几个小孔？它们的位置有什么关系？ 3、 拓展题（共2题）【拓】 17. 如图，将一张正方形纸片沿两条对角线对折，剪去一个角，展开后得到的图形有几条对称轴？ 18. 如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，AB=2cm，BC=3cm，AC=4cm，点A′到直线l的距离为1cm，求△ABC的面积。 ## 训练27：线段垂直平分线的性质（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 线段是轴对称图形，______是它的一条对称轴。 2. 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的______。 3. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离______。 4. 如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在l上，CA=5cm，求CB的长。 5. 如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点。如果EC=7cm，那么ED的长是多少？ 6. 如图，点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6cm，求PB的长。 7. 如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交AC于D，交AB于E，若AD=5cm，求BD的长。 8. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AD是BC的垂直平分线吗？为什么？ 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，在△ABC中，AC=6cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE。若△ABE的周长为9cm，求△ABC的周长。 10. 如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=3cm，△ABC的周长为20cm，求AC+BC的长。 11. 如图，AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，F为垂足。如果EC=7cm，CF=4cm，求△CDE的周长。 12. 如图，在线段AB的垂直平分线上任取两个不同的点M、N，则∠MAN和∠MBN之间有什么关系？为什么？ 3、 拓展题（共2题）【拓】 19. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求BC边上的垂直平分线AD的长。 20. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，D是BC的中点，求∠BAD的度数。 ## 训练28：线段垂直平分线的尺规作图（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 作线段AB的垂直平分线时，分别以点A和点B为圆心，以______的长为半径作弧。 2. 在作线段AB的垂直平分线时，两弧的交点有______个。 3. 如图，已知线段AB，请用尺规作线段AB的垂直平分线。 4. 如图，已知直线l和l上的一点P，如何用尺规作l的垂线，使它经过点P？ 5. 任意画一个三角形，用尺规作三角形三条边的垂直平分线，三条垂直平分线交于______点。 6. 画一个△ABC，请用尺规作出它的重心。重心的作图依据是______。 7. 如图，已知线段AB，用尺规作出AB的垂直平分线，并说明作法的道理。 8. 在作垂直平分线时，为什么要“以大于1/2AB的长为半径”？ 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，一张纸上有A、B、C、D四个点，请用尺规找出一点M，使得MA=MB，MC=MD。 10. 如图，已知线段AB，请用尺规把线段AB分成四等份。 11. 如图，已知直线l和l外一点P，请用尺规作直线l的垂线，使它经过点P。 12. 如图，已知线段a，请用尺规作一条线段，使它等于2a。 3、 拓展题（共2题）【拓】 21. 如图，已知线段a和b（a>b），请用尺规作一条线段，使它等于a-b。 22. 任意画一个三角形，用尺规作三角形三条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线的位置关系，你发现了什么？ ## 训练29：线段垂直平分线的综合应用（滚动综合） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，在△ABC中，AC=6cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE。若△ABE的周长为9cm，求△ABC的周长。 2. 如图，AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，F为垂足。如果EC=7cm，CF=4cm，求△CDE的周长。 3. 如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，D是BC的中点，求AD的长。 4. 如图，在线段AB的垂直平分线上任取两个不同的点M、N，∠MAN与∠MBN相等吗？为什么？ 5. 如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=3cm，△ACD的周长为13cm，求AC+BC的长。 6. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠B=70°，求∠BAD的度数。 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，BD=4cm，求CD的长和BC的长。 8. 如图，点P在线段AB的垂直平分线上，PA=8，PB=______。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，求BC边上的垂直平分线AD的长。 10. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E是AB上一点，F是AC上一点，BE=CF，求证：DE=DF。 11. 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，交BC于D，若AC=3，BC=4，求CD的长。 12. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，求∠BAD的度数。 3、 拓展题（共2题）【拓】 23. 如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的高，点E在AD上，EB=13，求ED的长。 24. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若CD=3，BD=5，求AC的长。 ## 训练30：角平分线的性质（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 角是轴对称图形，______是它的对称轴。 2. 角平分线上的点到这个角的两边的距离______。 3. 如图，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的一点，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，CD=3cm，求CE的长。 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DE与DC相等吗？为什么？ 5. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于A，若PA=3，求点P到OM的距离。 6. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE=4，求DF的长。 7. 如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，PC=2.5，求PD的长。 8. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=3，求点D到AB的距离。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，若DC=2，AC=6，求AD的长。 10. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON，垂足为A，点Q是射线OM上的一个动点。若PA=2，则线段PQ长度的最小值为多少？请说明理由。 11. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于E，若BD=3，求DE的长。 12. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AC=5，BC=12，求DE的长。 3、 拓展题（共2题）【拓】 25. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：△ADE≌△ADF。 26. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，求证：BD=2CD（当∠B=30°时）。 ## 训练31：角平分线的尺规作图（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 作∠AOB的平分线时，在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=______。 2. 作角平分线时，分别以点D和点E为圆心，以______的长为半径作弧。 3. 如图，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线。 4. 任意画一个角，利用尺规将它四等分。 5. 任意画一个三角形，用尺规作三角形的三个内角的平分线。 6. 三条角平分线交于______点。 7. 在作角平分线时，为什么要“以大于1/2DE的长为半径”？ 8. 过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线，这两种尺规作图的方法有什么共同点？ 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，校园一角的形状如图所示，其中AB、BC、CD表示围墙。小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了一点P，使得点P到三面墙的距离都相等。请解释他这样做的道理。 10. 如图，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线OC，并在OC上任取一点P，过P作OA的垂线，垂足为D，量出PD的长。 11. 如图，已知∠AOB和点C在∠AOB内部，请用尺规作∠AOB的平分线，并在平分线上找一点P，使PC⊥OA。 12. 如图，已知∠AOB，请用尺规在∠AOB内部作一个角等于45°。 3、 拓展题（共2题）【拓】 27. 如图，已知∠AOB=90°，请用尺规作∠AOB的平分线OC，再作∠AOC的平分线OD，求∠BOD的度数。 28. 如图，已知∠AOB和线段a，请用尺规在∠AOB的平分线上截取OC=a。 ## 训练32：角平分线的综合应用（滚动综合） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于A，点Q是射线OM上的一个动点。若PA=2，则线段PQ长度的最小值为多少？请说明理由。 2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，若DC=3，DE=3，求点D到AB的距离。 3. 如图，把两个同样大小的含30°角的三角板按如图所示那样放置，其中M是AD与BC的交点，这时MC的长度就等于点M到AB的距离。你知道这是为什么吗？说说你的理由。 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若CD=4，求DE的长。 5. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于E，若BD=5，求DE的长。 6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若AC=3，BC=4，求点D到AB的距离。 7. 如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，PC=PD，∠AOP=30°，求∠BOP的度数。 8. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DE=DF，则AD是∠BAC的平分线吗？为什么？ 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，若AC=8，BC=6，求CD的长。 10. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，求证：AD⊥BC。 11. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AB=10，AC=6，求BE的长。 12. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若AB=10，AC=6，求CD的长。 3、 拓展题（共2题）【拓】 29. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，求证：△ACD≌△AED。 30. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于E，若AB=6，求DE的长。 ## 训练33：等腰三角形的性质（三线合一）（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 等腰三角形是______图形，它的对称轴是______。 2. 等腰三角形的两个底角______。 3. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高______。 4. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，求∠C和∠A的度数。 5. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠BAD=30°，求∠B的度数。 6. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，∠C=65°，求∠BAD的度数。 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，求∠B和∠C的度数。 8. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A，求∠A、∠B、∠C的度数。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 已知一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，求它的各个内角的度数。 10. 一个等腰三角形的底角是顶角的4倍，求它的各个内角的度数。 11. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E是AB上一点，F是AC上一点，BE=CF，求证：DE=DF。 12. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，求∠B和∠C的度数。 3、 拓展题（共2题）【拓】 31. 在等腰三角形ABC中，已知∠A=30°，求∠B和∠C的度数。 32. 在等腰三角形ABC中，已知∠A=100°，求∠B和∠C的度数。 ## 训练34：等腰三角形的角度计算（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，求∠A的度数。 2. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，求∠B的度数。 3. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=65°，求∠A的度数。 4. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=2∠B，求∠A、∠B、∠C的度数。 5. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A:∠B=1:2，求各内角的度数。 6. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，求∠B的度数。 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A，求∠A的度数。 8. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，求∠B的度数。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 在等腰三角形ABC中，已知∠A=30°，求∠B和∠C的度数。 10. 在等腰三角形ABC中，已知∠A=100°，求∠B和∠C的度数。 11. 一个等腰三角形的底角比顶角大30°，求各内角的度数。 12. 一个等腰三角形的顶角比底角大30°，求各内角的度数。 3、 拓展题（共2题）【拓】 33. 如图，在△ABC中，AB=AC，D在BC上，AD=BD，∠B=36°，求∠C和∠CAD的度数。 34. 如图，在△ABC中，AB=AC，D在BC上，AD=BD=DC，求∠B的度数。 ## 训练35：等腰三角形的判定（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边______。 2. 如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是______三角形。 3. 如果一个等腰三角形有一个角为60°，那么这个三角形是______三角形。 4. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5cm，求AC的长。 5. 如图，已知∠A=∠B，DE∥CB，△ADE是等腰三角形吗？说说你的理由。 6. 如图，在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，∠C=72°，△ABC是等腰三角形吗？哪些边相等？ 7. 如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，AB=4，求AC和BC的长。 8. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于点E，△DBE是等腰三角形吗？说说你的理由。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，已知AD∥BC，BD是∠ABC的平分线，△ABD是等腰三角形吗？为什么？ 10. 如果直角三角形的两个锐角相等，那么这个三角形是什么三角形？ 11. 如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，BD为∠ABC的平分线，试找出图中所有的等腰三角形，并说明理由。 12. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AB上任意一点，过点D作DE∥AC，交BC于点E，若∠C=70°，求∠BDE的度数。 3、 拓展题（共2题）【拓】 35. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是BC延长线上的一点，且CD=CA，∠ADC=15°，试说明AB与CD的大小关系。 36. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，△BCD是等腰三角形吗？说明你的理由。 ## 训练36：含30°角的直角三角形（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的______。 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，求AB的长。 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10cm，求BC的长。 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=5cm，求AB的长。 5. 如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3，求CE的长。 6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，求BC的长。 7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=7，求AB的长。 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，求AC的长。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，将两个大小相同的含30°角的三角板摆放在一起，所拼成的△ABD是什么三角形？你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 10. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，D是AB的中点，求CD的长。 11. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，若BC=4，求BD的长。 12. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，AB=8，求AD和BD的长。 3、 拓展题（共2题）【拓】 37. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，若BD=4，求CD的长。 38. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE垂直平分AB，交AC于D，交AB于E，若BC=6，求AD的长。 ## 训练37：等腰三角形的综合应用（滚动综合） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，求∠A的度数。 2. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，求∠B的度数。 3. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∠BAD=25°，求∠B的度数。 4. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，∠C=55°，求∠BAD的度数。 5. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD是BC边上的中线，△ABD与△ACD全等吗？为什么？ 6. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD平分∠ABC，交AC于D，求∠BDC的度数。 7. 如图，在△ABC中，∠B=∠C=45°，AB=AC，∠A=______。 8. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，△ABC是______三角形。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，△BCD是等腰三角形吗？说明你的理由。 10. 如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，BD为∠ABC的平分线，试找出图中所有的等腰三角形。 11. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于点E，若∠C=65°，求∠BDE的度数。 12. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是BC延长线上的一点，且CD=CA，∠ADC=15°，求∠BAC的度数。 3、 拓展题（共2题）【拓】 39. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，∠BAD=30°，∠CAD=50°，求∠B和∠C的度数。 40. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，D在BC上，BD=AD，求∠CAD的度数。 ## 训练38：等边三角形的性质（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 等边三角形有______条对称轴。 2. 等边三角形的三条边都______，三个角都______，每个角等于______。 3. 如图，在等边三角形ABC中，∠A=______，∠B=______，∠C=______。 4. 在等边三角形ABC中，AB=6cm，求AC和BC的长。 5. 在等边三角形ABC中，∠B=60°，AB=5，求AC和BC的长。 6. 如图，在等边三角形ABC中，D是BC的中点，求∠BAD的度数。 7. 如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，AB=8，求BD的长。 8. 在等边三角形ABC中，∠A=______。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，在等边三角形ABC中，D是BC上一点，E是AC上一点，BD=CE，求证：AD=BE。 10. 如图，在等边三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形。 11. 如图，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，BD=CE，求∠BDE的度数。 12. 如图，在等边三角形ABC中，D是BC的中点，E是AC的中点，连接AD、BE，它们相交于点O，求∠AOB的度数。 3、 拓展题（共2题）【拓】 41. 如图，在等边三角形ABC中，D是BC上一点，∠BAD=20°，求∠ADC的度数。 42. 如图，在等边三角形ABC中，D是AC上一点，E是BC延长线上一点，AD=CE，求证：BD=DE。 ## 训练39：等边三角形的判定与综合（混合专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 三个内角都相等的三角形是______三角形。 2. 等腰三角形有一个角为60°，这个三角形是______三角形。 3. 如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=60°，AB=5，求AC和BC的长。 4. 在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，∠B=______。 5. 如图，在等边三角形ABC中，D是BC上一点，∠BAD=30°，求∠ADB的度数。 6. 在等边三角形ABC中，D是BC的中点，E是AB的中点，连接DE，△BDE是______三角形。 7. 如图，在等边三角形ABC中，D是BC上一点，AD⊥BC，则BD:DC=______。 8. 如图，在等边三角形ABC中，∠B=60°，AB=BC=______。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=60°，D是BC的中点，求证：△ABD是等边三角形。 10. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，D是BC的中点，求证：AD⊥BC。 11. 如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AD=AE，求证：△ADE是等边三角形。 12. 如图，在等边三角形ABC中，D是BC上一点，E是AC上一点，BD=CE，连接AD、BE交于点O，求∠AOB的度数。 3、 拓展题（共2题）【拓】 43. 如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=60°，D是AB上一点，E是AC上一点，BD=CE，求证：DE∥BC。 44. 如图，在等边三角形ABC中，D是BC上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°，求证：△ADE是等边三角形。 ## 训练40：尺规作图综合①——垂直平分线与角平分线（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 作线段AB的垂直平分线时，两弧交点的个数是______。 2. 作角平分线时，两弧交点的个数是______。 3. 如图，已知线段AB，请用尺规作线段AB的垂直平分线。 4. 如图，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线。 5. 过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线，这两种尺规作图的方法有什么共同点？ 6. 如图，已知直线l和l上的一点P，请用尺规作l的垂线，使它经过点P。 7. 如图，已知直线l和l外一点P，请用尺规作l的垂线，使它经过点P。 8. 作一条线段的垂直平分线，实际依据是______。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，已知∠AOB=90°，请用尺规作∠AOB的平分线，并说明作法的道理。 10. 如图，已知线段a和b，请用尺规作线段AB=a+b。 11. 如图，已知线段a和b（a>b），请用尺规作线段AB=a-b。 12. 如图，已知∠α，请用尺规作一个角等于∠α。 3、 拓展题（共2题）【拓】 45. 如图，已知线段a，请用尺规作一个等边三角形，使其边长为a。 46. 如图，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线OC，并在OC上截取OD=a。 ## 训练41：尺规作图综合②（混合专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 任意画一个三角形，用尺规作三角形三条边的垂直平分线，三条垂直平分线交于______点。 2. 任意画一个三角形，用尺规作三角形的三个内角的平分线，三条角平分线交于______点。 3. 三角形的三条中线交于一点，这个点叫作三角形的______。 4. 如图，已知线段AB，请用尺规把线段AB四等分。 5. 任意画一个角，利用尺规将它四等分。 6. 画一个△ABC，请用尺规作出它的重心。 7. 如图，已知∠AOB，请用尺规作一个角等于∠AOB。 8. 如图，已知线段a，请用尺规作一条线段等于2a。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 任意画一个三角形，用尺规作三角形三条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线的位置关系，你发现了什么？ 10. 任意画一个三角形，用尺规作三角形的三个内角的平分线，观察这三条角平分线的位置关系，你发现了什么？ 11. 如图，在△ABC中，请用尺规作∠A的平分线，并找出∠A的平分线与BC的交点D。 12. 如图，在△ABC中，请用尺规作BC边上的垂直平分线，并找出它与AB的交点D。 3、 拓展题（共2题）【拓】 47. 如图，在△ABC中，用尺规作∠A的平分线交BC于D，作∠B的平分线交AC于E，∠C的平分线交AB于F，三条角平分线交于点O，这个点O到三角形三边的距离有什么关系？ 48. 如图，在△ABC中，用尺规作AB、BC、CA的垂直平分线，它们交于点O，这个点O到三角形三个顶点的距离有什么关系？ ## 训练42：轴对称图案的设计与识别（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 取一张长30cm、宽6cm的纸条，将它每3cm一段，一反一正像“手风琴”那样折叠起来。在折叠好的纸上画出字母E，并用小刀把画出的字母E挖去。拉开纸条，可以得到一条以______为图案的花边。 2. 在上面的活动中，如果先把纸条纵向对折，再折成“手风琴”，然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？ 3. 取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，得到一个等腰直角三角形，再沿底边上的高线对折。将得到的三角形纸沿图中的黑色线剪开，去掉含90°角的部分。打开折叠的纸，会得到一个怎样的图案？ 4. 如果将正方形纸按上面的方式对折3次，然后沿圆弧剪开，去掉较小部分，展开后结果又会怎样？为什么？ 5. 将纸对折2次后，剪出的图案至少有______条对称轴。 6. 将纸对折3次后，剪出的图案至少有______条对称轴。 7. 生活中还有很多具有轴对称性质的图案，你能列举几个吗？ 8. 利用一条线段、一个圆、一个正三角形设计一个轴对称图案，并说明所表达的意思。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，用针尖扎出或用复写纸画出一个图案，要尽量使图案有一部分延续到纸的边沿，将纸打开，你得到了一个什么样的图案？它和你预想的一样吗？ 10. 如图，下图是小马甲的一半，请画出它的另一半。 11. 利用上面的方法，设计并制作一个镶边或剪纸图案。 12. 你知道下面的数字图案是怎样剪出的吗？你能剪出类似的图案吗？ 3、 拓展题（共2题）【拓】 49. 如图，将一张正方形纸片沿两条对角线对折，剪去一个角，展开后得到的图形有几条对称轴？ 50. 如图，利用轴对称设计一个图案，并用简短的文字说明你的设计意图。 ## 训练43：轴对称图案的对称轴（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 取一张长30cm、宽6cm的纸条，将它每3cm一段折叠起来，在折叠好的纸上画出图案并挖去，拉开后得到的图案中，相邻图案之间有什么关系？ 2. 将一张正方形纸片沿对角线对折后，再沿底边上的高对折，用剪刀剪出一个图案，展开后得到的图形有______条对称轴。 3. 如图，由大小不同的等边三角形组成的图案，请找出它的对称轴。 4. 等边三角形有______条对称轴。 5. 正方形有______条对称轴。 6. 长方形有______条对称轴。 7. 正五边形有______条对称轴。 8. 正六边形有______条对称轴。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，用两个等边三角形组成如图所示的图形，它是轴对称图形吗？如果不是，请移动其中一个三角形，使它与另一个三角形一起组成轴对称图形。怎样移动，才能使所构成的图形具有尽可能多的对称轴？ 10. 试找出正多边形对称轴的条数，并填表： | 正多边形的边数 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | | 对称轴的条数 | | | | | | | 11. 根据上表，请就一个正n边形对称轴的条数作一个猜想。 12. 如图，由三个相同的正三角形组成的图形，有几条对称轴？ 3、 拓展题（共2题）【拓】 51. 如图，将一个正六边形纸沿虚线折叠3次，得到一个多层的60°角形纸。用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线，将纸打开后，你会得到怎样的图形？这个图形有几条对称轴？ 52. 如果想得到一个含五条对称轴的图形，应该选择什么形状的纸？应该如何折叠？ ## 训练44：轴对称作图（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，分别以图中直线l为对称轴，画出图形的另一半。 2. 如图，一个轴对称图形的一半如图所示，直线MN是这个轴对称图形的对称轴，请画出这个图形的另一半。 3. 如图，画出与字母M关于y轴成轴对称的图形。 4. 如图，在第一象限里有一只“蝴蝶”，请画出一只与该“蝴蝶”关于y轴成轴对称的“蝴蝶”。 5. 如图，画出第一象限内的图形关于y轴对称的图形。 6. 如图，分别以虚线为对称轴画出各图的另一半。 7. 如图，在方格纸上画一个关于直线l对称的图形。 8. 如图，已知点A和直线l，请画出点A关于直线l的对称点A′。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，在平面直角坐标系中，先画出△ABC关于x轴对称的图形，再画出所得图形关于y轴对称的图形。 10. 如图，在平面直角坐标系中，画一幅关于x轴（或y轴）对称的图案，并说明你是如何做的。 11. 如图，在方格纸上设计一个由一些线段组成的图案，并给出一个说明，使同学按照你的说明能够比较顺利地“复制”你的图案。 12. 如图，在方格纸上，以线段AB为边长画正方形，并画出它的对称轴。 3、 拓展题（共2题）【拓】 53. 如图，在平面直角坐标系中，将坐标是（2，0），（2，2），（0，2），（0，3），（2，5），（3，5），（2，2），（5，3），（5，2），（3，0），（2，0）的点用线段依次连接形成一个图案，并画出它关于y轴对称的图形。 54. 如图，利用轴对称知识，设计一个你认为有意义的图案，并说明你的设计意图。 ## 训练45：最短路径问题（轴对称转化）（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，直线l的两侧分别有A、B两点，在直线l上确定一个点C，使AC+CB最短。理由是______。 2. 如图，直线l的同侧有A、B两点，在直线l上确定一个点C，使AC+CB最短。方法是作点B关于l的对称点B′，连接AB′交l于点C，此时AC+CB最短。理由是______。 3. 如图，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，其中A、B在l的同侧。 4. 如图，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，其中A、B在l的异侧。 5. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，在BD上找一点P，使PE+PC最小。 6. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，在AD上找一点P，使PB+PC最小。 7. 如图，在直线l上找一点P，使PA=PB，其中A、B在l的同侧。 8. 如图，在∠AOB内部有一点P，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使PM+PN最小。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，甲、乙两个居民楼在一条道路的同一侧，要在道路旁建一个快递自助取货柜。你认为自助取货柜应建在什么地方，才能使甲、乙两个居民楼到它的距离之和最短？ 10. 如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，在BC上找一点P，使PA+PB最小。 11. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，在BD上找一点P，使PE+PC最小。 12. 如图，在∠AOB内部有一点P，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使PM+MN+NP最小。 3、 拓展题（共2题）【拓】 55. 如图，定点P位于∠AOB的内部，在射线OA和OB上分别确定点M、N，使得△PMN的周长最小。 56. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是AB的中点，在BD上找一点P，使PE+PC最小，并求最小值。 ## 训练46：轴对称综合（滚动综合） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，△ABC与△DEF关于直线l成轴对称，AB=5，BC=6，AC=7，求DE、EF、DF的长。 2. 如图，△ABC与△DEF关于直线l成轴对称，∠A=50°，∠B=70°，求∠F的度数。 3. 如图，点A与点A′关于直线l对称，AA′=8cm，求点A到直线l的距离。 4. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，求∠A的度数。 5. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，求∠B的度数。 6. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠BAD=30°，求∠B的度数。 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，D是BC的中点，求∠ADB的度数。 8. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=6，求AC的长。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，点A、B分别落在点A′、B′处。如果∠EFB′=70°，求∠CFB′的度数。 10. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，△BCD是等腰三角形吗？说明你的理由。 11. 如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，BD为∠ABC的平分线，试找出图中所有的等腰三角形。 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=10，D是AB的中点，求CD的长。 3、 拓展题（共2题）【拓】 57. 如图，在等边三角形ABC中，D是BC上一点，E是AC上一点，AD=BE，求∠BDE的度数。 58. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，D在BC上，BD=AD，求∠CAD的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $