第1—2章 阶段性综合练习题 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2024）七年级数学上册

2025-2026学年鲁教版（五四学制）七年级数学上册《第1—2章》 阶段性综合练习题（附答案） 一、单选题（满分30分） 1．中华文明源远流长，以下是中国几个历史文化名城的图标，其中不是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．3，4，5 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4，4，10 3．下列图形中，不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，与关于直线成轴对称，则线段与直线的关系正确的是（    ） A． 直线被线段垂直平分 B．线段被直线垂直平分 C．直线经过线段中点，但不垂直 D．直线与线段垂直，但不经过线段中点 5．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，用尺规作出了，其作图依据是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点，在上，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 8．如图，大正方形由9个相同的小正方形拼成，图中已有3个小正方形涂上了颜色，如果在图中再涂上一个正方形，使涂色部分成为一个轴对称图形，一共有（    ）种不同的涂法． A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，点N，过这两个点作直线，交于点D，连接．若，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 10．如图：点在上，、均是等边三角形，、分别与、交于点、，则下列结论：①；②；③为等边三角形；④；⑤图中共有3对全等三角形，其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②③④⑤ 二、填空题（满分24分） 11．已知是的三条边长，化简： ． 12．等腰三角形的两边长分别为5和9，则这个等腰三角形的周长为 ． 13．已知是的高，，，则的度数是 14．如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 15．如图，平分，于点E，于点F，．若，则 ． 16．如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 17．如图，在中，，，于，于，，，则的长是 ． 18．如图，点D、F分别为的边、的中点，，，的周长为16，，则 ． 三、解答题（满分66分） 19．尺规作图：已知线段a，，作，使，，． 20．如图所示，为的角平分线，为的高，若，，求的度数． 21．如图，已知分别是的高和中线，．求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 22．如图，方格图中每个小正方形的边长都为1，点、，都是格点． (1)在图中画出关于直线的轴对称图形； (2)求的面积； (3)在直线上找一点，使的值最小． 23．如图，中，的垂直平分线分别交于点D，E，的垂直平分线分别交于点F，G，连接． (1)若的周长为10，求线段的长； (2)若，求的度数． 24．中，． (1)如图1：平分，作，垂足在的延长线上，的延长线交延长线于点．求证：； (2)如图2：点为上一点，，垂足为与相交于点．试探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 25．已知：，点P是平分线上的一点，点A在射线上，作，交直线于点B，作于点C． (1)观察猜想：如图1，当时，和的数量关系是 ． (2)探究证明：如图2，当，点B在射线上时， ①（1）中的结论还成立吗？成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，之间另外的数量关系． ②若，猜想线段和之间的数量关系，并说明理由． 26．“一线三等角”学习探究． “一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”． (1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：； (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． (3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由． 参考答案 1．解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．A 【分析】本题考查了组成三角形的条件：任两边的和大于第三边，据此即可判断． 【详解】解：A、，故三条线段能组成三角形； B、，故三条线段不能组成三角形； C、，故三条线段不能组成三角形； D、，故三条线段不能组成三角形； 故选：A． 3．C 【分析】本题考查三角形的稳定性，三角形具有稳定性，由此即可判断． 【详解】解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性， 所以选项A，B，D中的图形都是有若干个三角形构成，具有稳定性，不符合题意； 选项C中的图形是由一个四边形和一个三角形构成，四边形不具有稳定性，符合题意． 故答案为：C． 4．B 【分析】本题考查了轴对称的性质，如果把两个图形沿着某条直线折叠后，两个图形能完全重合，这两个图形关于这条直线轴对称，这条直线是对称轴，对称轴是对应点连线段的垂直平分线． 【详解】解： 与关于直线成轴对称， 是对称轴，点和点是对应点， 是线段的垂直平分线， 故A选项错误，不符合题意； 是线段的垂直平分线， 线段被直线垂直平分， 故B选项正确，符合题意； 是线段的垂直平分线， 直线经过线段的中点，且垂直于线段， 故C选项错误，不符合题意； 是线段的垂直平分线， 直线与线段垂直，且经过线段的中点， 故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解： ，，分别是的高、角平分线、中线， ，，． 结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选C． 6．A 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知：，， ， ． 故选：A． 7．C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 设，根据得，根据得，再根据得，由此得，据此即可得出答案． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 即， ， ， 即． 故选：． 8．C 【分析】此题主要考查学生轴对称性的认识．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：如图，一共有4种不同的涂法． 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先求出，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ． 故选：C． 10．D 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法和性质的运用是解题的关键． 根据等边三角形的性质，运用边角边可证，可判定①；运用角边角证明，可判定②；由①②的结论解判定③；根据为等边三角形可得，运用内错角相等，两直线平行可判定④；运用角边角证明，结合上述证明可判定⑤；由此即可求解． 【详解】解：∵都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴是等边三角形，故③正确； ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴， 由上述证明可得，，，共有3对全等三角形，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②③④⑤， 故选：D ． 11． 【分析】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值以及整式的加减运算，根据三角形的三边关系得出是解题的关键． 先根据三角形的三边关系判断：，然后化简绝对值，再进行整式的加减计算即可得． 【详解】解：∵是的三条边长， ， ， 故答案为：． 12．19或23/23或19 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行判定是解题的关键．分边长为的边为腰和边长为的边为腰两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其周长即可． 【详解】解：当的边长为腰时，三角形的三边长为：、、，满足三角形的三边关系，其周长为， 当5的边长为腰时，三角形的三边长为：、、，满足三角形的三边关系，其周长为， ∴这个等腰三角形的周长为19或23． 故答案为：19或23． 13．或 【分析】本题考查了三角形的高线，解题的关键是要分情况讨论．分高在内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①如图，当高在的内部时， ； ②如图，当高在的外部时， ， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 14．/135度 【分析】本题考查了全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．也考查了正方形的性质．如图，根据题意得，，，，先判断为等腰直角三角形得到，再证明，得到，则，从而求出的度数． 【详解】解：如图， 根据题意得，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15．3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识点，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等成为解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：∵平分，于点E，于点F， ∴， ∵， ∴，解得． 故答案为：3． 16． 【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ，D为中点， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 17．2 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 先证明可得，再根据线段的和差计算即可． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 故答案为：2． 18．3 【分析】本题考查垂直平分线的定义与性质，线段的和差，三角形的周长计算等，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到答案． 【详解】解： 的周长为16， ， 点D、F分别为的边、的中点，，， ， ，即， ， ， ， 故答案为：3． 19．见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图，分别作，截取即可． 【详解】解：如图，即为所求； 20． 【分析】首先根据三角形高的定义可知，再结合三角形内角和定理解得的值，结合为的角平分线，可得，然后根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，由求解即可． 【详解】解：∵为的高， ∴， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、三角形的角平分线和三角形的高等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 21．(1) (2) (3) 【分析】本题考查三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线和高线的定义，是解题的关键： （1）等积法求出的长即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可； （3）根据三角形的中线的定义，推出和的周长的差为，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，是的高， ∴， ∴， ∴； （2）∵，是的中线， ∴； （3）∵是的中线， ∴， ∴和的周长的差为． 22．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，三角形的面积，轴对称的性质求线段和的最值问题； （1）利用网格特点和轴对称的性质画出、、的对称点即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积； （3）连接交于点，利用两点之间线段最短可得到，此时的值最小． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）的面积； （3）如图，点为所作， ， 当在上时的值最小． 23．(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，三角形内角和定理，角的和差，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质定理． （1）利用线段垂直平分线的性质定理进行求解即可； （2）利用三角形内角和定理求出，再利用线段垂直平分线的性质和等边对等角得出相等角，最后利用角的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分垂直平分， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．(1)见解析； (2)，证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，解题的关键是正确构造全等三角形． （1）先证明，再证明即可； （2）过点P作，交的延长线于点G，与相交于点H．先证明，再证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 平分， ∴， 又， ∴， ∴． 则． （2）解：． 证明：过点P作，交的延长线于点G，与相交于点H． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ 在与中， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴． 25．(1)，理由见解析 (2)①成立，理由见解析；②，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质定理，准确作出辅助线为解题关键 （1）作于点D，根据角平分线的性质结合题意证明，即可得出结论； （2）①同（1）的方法证明即可；②先证明，得到得到，，结合题意利用含30度角的直角三角形性质得到，，进而推出结论 【详解】（1），理由如下： 如图，作于点D， ∵点P在的角平分线上，且于C， ， ， ， ， 又， 在和中， ， ； （2）①（1）中的结论还成立，理由如下： 如图，作于点D， ∵点P在的角平分线上，且于C， ， ， ， ， 又， 在和中， ， ． ②∵点P在的角平分线上，， ， ， ， ，， ， , ， 又，， ，即 26．(1)见解析 (2)全等，见解析 (3)，与的夹角为，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）利用已知求得，进而证明； （2）根据题意证明，进而即可证明； （3）根据题意证明，证明，进而证明，从而得到，进而求解； 【详解】（1）解：（1），， ，， 又， ， ， 在和中，， （2）和全等，理由如下： ， ，且， ， 在和中，， （3），与所成夹角为，理由如下： ， ，且， ， 和均为等边三角形， ， 在和中，， ， ，， 又在等边和等边中， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 综上所述：，与的夹角为． 学科网（北京）股份有限公司 $