专项突破5 三角形的有关证明与计算-【全程复习大考卷】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版·新教材）

专项突破五」 三角形的有关证明与计算 类型一 直接运用全等三角形的判定与性质 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,连接BD,点E在BD上，连接CE,若∠1=∠2，AB=ED。 (1)求证：BD=CD; (2)若∠A=135°，∠BCE=55°，求∠DBC的度数。 叩 2.新素养〔应用意识〕数学兴趣小组来到大明湖畔与美丽的花灯合影。如图2，小荷和小柳在花灯围栏 旁的点B处拍了一张照片。小荷设计了一个方案测量花灯的边缘点A与点B的距离。小荷先沿AB 方向走2.5米至点C,又沿着与BC垂直的方向走了3米至点D并放置了一个标记物，接着往前再走 与点C到点D相同的距离至点E,最后从点E处向左沿着与EC垂直的方向走了一定距离至点F。 此时，她看到标记物正好遮住了花灯边缘的点A处，经过测量，EF=4米，请你帮小荷求出AB的长。 9 围档 D A 花灯 B 围栏 图2 类型二截长法构造全等三角形 3.如图，已知AC=BC,点D是BC上一点，∠ADE=∠C。 (1)如图1，若∠C=90°，∠DBE=135°，求证：①∠EDB=∠A;②DA=DE; (2)如图2，请写出∠DBE与∠C之间满足什么数量关系时，总有DA=DE成立，说明理由。 D B 图1 图2 拼 类型三作垂线构造全等三角形 4.新考法〔拓展探究〕(1)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE, 且有AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E,猜想AD,BE与DE之间满足的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE,过点A作AD⊥CE 于点D,过点B作BE⊥CE于点E,AD=11,BE=5,则DE的长为 ； (3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线AF 交于点G。若BC=28,AF=19,求△ADG的面积。 D B c B 图1 图2 图3 类型四直接运用等腰（边）三角形的判定与性质 5.如图，已知点D,E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF,若AF∥BC。 (1)求证：△ABC是等腰三角形； D (2)作∠ACE的平分线交AF于点G,若∠B=40°，求∠AGC的度数。 6.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB,∠EDF=60°，其两边分别交边 AB,AC于点E,F。 (1)求证：△ABD是等边三角形； (2)求证：BE=AF。 ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 ·37· 7.在△ABC中，AB=AC。 (1)AD是BC上的高，AD=AE。 ①如图1，若LBAD=20°，则LEDC=一°； ②如图2，若ㄥBAD=50°，则∠EDC=°； (2)思考：通过以上两小题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示 (3)如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE,(2)中关系是否仍成立？如有，请你写出来，并说明 理由。 B D 图1 图2 图3 类型五作平行线构造等边三角形 8.新情境〔项目式学习〕已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC。 (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB(填“>”“<”或“=”)。 (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB;(填“>”“<”或“=”) 理由如下：过点E作EF∥BC,交AC于点F。(请你完成理由的过程) (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC,若△ABC的 边长为1，AE=2,求CD的长。（请你画出相应图形，并直接写出结果) E c D B 图1 图2 ·38· ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 类型六连接线段的两端，运用线段垂直平分线性质与判定 9.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB,BC于点M,D,边AC的垂直平分线分别交AC,BC 于点N,E,MD,NE的延长线交于点O,连接AD,AE。 (1)若BC=12,求△ADE的周长； (2)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由。 ⊙ D 郑 类型七作垂线，运用角平分线的性质与判定 10.如图，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E,过E作EG⊥BA交BA的延长线于点G,EF⊥AC交AC于 点F。 (1)求证：EG=EF; (2)连接AE,求证：∠AEG=∠AEF。 A D 11.如图，点E在∠BAC的平分线上，过点E作EF⊥AB于点F,EG⊥CD于点G,且EF=EG。 (1)求证：CE是∠ACD的平分线； D (2)求证：AC=AF+CG。专项突破五三角形的有关证明与计算 ∠A=∠BDE, 1.(1)证明：AB∥CD, AF=DB ∴.∠ABD=∠BDCO ∠AFD=∠DBE, 在△ABD和△EDC中， ∴.△AFD≌△DBE(ASA)O ∠1=∠2， .DA=DE。 ∠ABD=∠EDC, 1 AB=ED, (2)解：当LDBE=90°+2∠C时，总有DA=DE成立。 ∴.△ABD≌△EDC(AAS)。 理由如下： .BD=CD。 如图2，在AC上截取CM=CD,连接MD, (2)解：.△ABD≌△EDC,∠A=135°， ·.∠CED=∠A=135°。 ∠BCE=55°， .∴.∠DBC=∠CED-∠BCE=80°。 D B 图2 2.解：依题意，得CD=DE=3米，EF=4米，BC=2.5米， ∠C=∠E=90°，点A,D,F在同一条直线上， AC=BC 在△ACD和△FED中， .AM=BD。 r∠C=∠E=90°， .'∠ADB=∠A+∠C,∠ADB=∠ADE+∠BDE,LADE=∠C, CD=ED, .∠A=∠BDE。 L∠ADC=∠FDE, :∠cwD=LcDM-180°2C=90-3∠c, 2 ∴.△ACD≌△FED(ASA). ∴.AC=EF=4米。 ÷LAMD=180-∠CMD=90°+号∠C。 ∴.AB=AC-BC=4-2.5=1.5(米)。 答：AB的长是1.5米。 当LDBE=90°+2∠C时，∠DBE=LAMD, 3.(1)证明：①.∠ADE=∠C=90°， .△AMD≌△DBE(ASA)。 ∴.∠EDB+∠ADC=90°，∠A+∠ADC=90°。 .DA=DE。 ∴.∠EDB=∠A。 4.解：(1)AD+BE=DE。理由如下： ②如图1，在AC上截取CF=CD,连接FD, 如图1， D 图1 图1 ∠C=90°， 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC, .∠CFD=∠CDF=45°。 .∠1+∠3=90°。 ∴.∠AFD=135°=∠DBE。 AD⊥DE,BE⊥DE, .AC=BC, .∠D=∠E=90°。 ∴.AC-CF=BC-CD,即AF=BD。 ∴.∠1+∠2=90°。 由①知，∠A=∠BDE, .∠2=∠3。 在△AFD和△DBE中， 在△ACD和△CBE中， ∠D=∠E=90°， .·BC⊥AF,EH⊥FG, ∠2=∠3 ∴.∠AFC=∠H=90°。 AC=CB, ∴.∠HEA+∠HAE=90°。 ∴.△ACD≌△CBE(AAS). ∴.∠FAC=∠HEA。 .AD=CE,CD=BE。 在△FAC和△HEA中， ∴.AD+BE=CE+CD=DE。 ,∠AFC=∠H=90°， (2)6【解析】如图2， ∠FAC=∠HEA, B AC=EA、 .△FAC≌△HEA(AAS)。 .AF=EH=19,CF=AH=28-a 同理证明△FAB≌△PDA(AAS), 图2 .BF=AP=a,AF=DP=19。 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC, .DP=EH=19。 .∠1+∠ACD=90°。 DP⊥FG,EH⊥FG, AD⊥CE,BE⊥CE, .∠DPG=∠H=90°。 .∠ADC=∠E=90°。 在△DPG和△EHG中， .∠2+∠ACD=90°。 ,∠DPG=∠H=90°， .∠2=∠1。 ∠DGP=∠EGH, 在△ACD和△CBE中， DP EH, ,∠ADC=∠E=90°， .△DPG≌△EHG(AAS)。 ∠2=∠1， .PG=HG。 AC=CB, .PH=2PG。 ∴.△ACD≌△CBE(AAS). .AH=AP+PH=a+2PG=28-a, ∴.AD=CE=11,CD=BE=5。 ..PG=14-ao ∴.DE=CE-CD=11-5=6。 .AG=AP+PG=a+14-a=14。 (3)过点D作DP⊥FG于点P,过点E作EH⊥FG于点 ax=24.Dp=2×14x19=13。 H,如图3。 5.(1)证明：·AF平分∠DAC, ∴.∠DAF=∠CAF。 AF∥BC, .∠DAF=∠B,∠CAF=∠ACB。 .∠B=∠ACB。 图3 ∴.△ABC是等腰三角形。 设BF=a, (2)解：.'AB=AC,∠B=40°， BC=28,AF=19, ∴.∠ACB=∠B=40°。 .CF=BC-BF=28-a .∠BAC=100°。 .:∠CAE=90°，AC=AE, ∴.∠ACE=∠BAC+∠B=140°。 ∴.∠FAC+∠HAE=90°。 ,CG平分∠ACE, ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 ·61· LACG=7∠ACB=70。 AD是BC上的高， ∴.∠EDC=90°-∠ADE=25°。 AF∥BC, .∠AGC=180°-∠BCG=180°-40°-70°=70°。 (2)∠BDC=分LBMD 6.(1)证明：AB=AC,AD1BC, (3)仍成立。理由如下： ∠B=∠DAC=3∠BMC。 AD=AE,.∠ADE=∠AED。 ∴.∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+ .∠BAC=120° ∠EDC=(LEDC+∠C)+∠EDC=2LEDC+∠C。 六∠BAD=∠DAC=2×120°=60°。 又.AB=AC,.∠B=∠C。 AD=AB, :LBMD=2LEDC,即∠EDC=3∠BAD. ∴△ABD是等边三角形。 8.解：(1)= (2)证明：△ABD是等边三角形， (2)=补全理由的过程如下：过点E作EF∥BC,交 ∴.∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD。 AC于点F, :∠EDF=60°， ,△ABC为等边三角形， .∠ADB=∠EDF。 ∴.△AEF为等边三角形。 ∴.∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE。 ..AE=EF,BE=CF。 .∠BDE=∠ADF。 ED =EC, 在△BDE与△ADF中， ..∠D=∠ECD。 ∠DBE=∠DAF=6O°， .∠DEB=60°-∠D,∠ECF=60°-∠ECD, BD=AD, ∠DEB=LECF。 ∠BDE=∠ADF, 在△DBE和△EFC中， ∴.△BDE≌△ADF(ASA)。 .DE=EC, BE=AF。 ∠DEB=∠ECF 7.解：(1)①10【解析】在△ABC中，AB=AC,AD是BC BE=FC, 上的高， ∴.△DBE≌△EFC(SAS)。 ∴∠BAD=∠CAD。 .DB=EF。.AE=DB。 ,∠BAD=20°， (3)点E在AB延长线上时，作EF∥AC,则△EFB为等 .∠BAD=∠CAD=20°。 边三角形， .AD =AE, 如图所示，同理可得△DBE≌△CFE。 ∴.∠ADE=∠AED=80°。 AD是BC上的高， .∠EDC=90°-∠ADE=10°。 ②25【解析】在△ABC中，AB=AC,AD是BC上的高， ∴.∠BAD=∠CAD。 .∠BAD=50°， AB=1,AE=2, ∠BAD=∠CAD=50°。 .BE=1。 .AD =AE, DB=FC=FB+BC=2, .∠ADE=∠AED=65°。 .CD=BC+DB=3。 ·62· ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 9.解：(1)AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E, EF=EG,∴.EM=EG。 ∴.AD=BD,AE=CE。 EM⊥AC,EG⊥CD, .AD +DE +AE BD+DE CE=BC=12 .点E在∠ACD的平分线上。 ∴.△ADE的周长为12。 .CE是∠ACD的平分线。 (2)点O在边BC的垂直平分线上。理由如下： (2)在Rt△EAF和Rt△EAM中， 如图，连接A0,B0,C0, TEA =EA, EF EM, M ∴.Rt△EAF≌Rt△EAM(HL)。 .AF=AM。 B E--- 同理证明Rt△ECG≌Rt△ECM(HL), .CG=CM。 OM,ON分别是AB,AC的垂直平分线， ∴.OA=0B,0A=0C。 .AC=AM+CM=AF+CG。 .∴.OB=OC。 专项突破六易错题专练 ∴.点O在边BC的垂直平分线上。 易错典例一D 10.证明：(1)如图，过点E作EH⊥BD于点H, 变式练习1.①②⑤ 易错典例二 2x-y=5,① 解：(1) 5x+2y=8,② 由①，得y=2x-5,③ C D 把③代入②，得 :BE平分∠ABC,EG⊥BA,EH⊥BD, 5x+2(2x-5)=8, .EG=EH。 解得x=2, CE平分∠ACD,EF⊥AC,EH⊥CD, 将x=2代人③，得y=2×2-5, .EF=EH。∴.EG=EF。 解得y=-1。 (2)EG⊥BA,EF⊥AC, x=2, 故原方程组的解为 ∴.∠AGE=90°=∠AFE。 y=-1。 在Rt△AEG和Rt△AEF中， 5x+y=36,① (2)原方程组可化为{ [AE =AE, .-x+9y=2,② LEG=EF, ②×5+①，得46y=46, ∴.Rt△AEG≌Rt△AEF(HL)。 解得y=1, .∴.∠AEG=∠AEF。 把y=1代入①，得x=7。 11.证明：(1)如图，过点E作EM LAC于点M, x=7, 故原方程组的解为 D ly=1. 变式练习 r3x+4y=16,① 1.解：(1) 5x-6y=33,② 点E在∠BAC的平分线上，EF⊥AB, ①×3，得9x+12y=48,③ .EF=EM。 ②×2，得10x-12y=66,④