第三单元 整式及其加减-【学习帮】2026-2027学年六年级上册数学同步计算专项练习（鲁教版五四制）

**基本信息** 聚焦整式加减全流程，以“概念辨析-运算技能-应用拓展”为主线，通过分层拆解、符号规则等方法体系，系统构建从文字转式到规律探究的知识逻辑，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|约40题|单项式系数次数判定、多项式项数识别|从定义出发，区分整式构成要素，建立数与式的关联| |运算技能|约60题|分层拆解文字转式、去括号“系数-符号”两步法、整体代入化简|遵循“去括号-合并同类项-化简求值”流程，强化符号运算规则| |应用拓展|约30题|图形规律“枚举-差值-通项”归纳、实际问题建模|从具体情境抽象整式模型，通过规律探究发展推理意识|

第三单元 整式及其加减 训练40：文字转代数式 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □平方和混淆 □两位数写错 侧边栏素材 书写规则 平方和 a²+b；和的平方 (a+b)²；两位数10×十位+个位 即时易错警示 ⚠1. 增长15%=m×(1+15%)； ⚠2. 差、和区分运算顺序； 解题小思路 分层拆解文字，逐层列式 易错汇总 平方和、和平方混淆； 两位数直接ab，忘记乘10； 折扣、增长率列式错误 错题摘抄：________________________________________ 1、 🔹基础题（共8题） 甲a，乙b：(1)差2倍 (2)甲2/3减乙1/4 (3)差立方 (4)平方和 x的11倍加2 a与1/8的和 教室2门4窗，n间总门窗 产量m增长15% 比a大5 比a的3/4小8 a与9和的立方 2、 🔺提升题（共4题） 个位a，十位b，两位数代数式 百位a十位b个位c，三位数 甲5km/h，乙4km/h，a小时反向、同向距离 原有a人，增加6%，现有人数 3、 ⭐拓展题（共2题） 被2除商m余1的数 观察下列等式，按此规律填空：1=1²-0²，3=2²-1²，5=3²-2²，...，第n个等式为2n-1=______。 训练40答案 (1) 2(a-b)；(2) 2/3×a-1/4×b；(3) (a-b)³；(4) a²+b² 11x+2 a+1/8 2n+4n=6n（每间教室2门4窗，共6个） m(1+15%)=1.15m a+5 3/4×a-8 (a+9)³ 十位数字为b，个位数字为a，两位数为10b+a 三位数为100a+10b+c 反向距离=5a+4a=9a；同向距离=5a-4a=a a(1+6%)=1.06a 被2除商m余1的数为2m+1 1=1²-0²，3=2²-1²，5=3²-2²，... 第n个等式：2n-1=n²-(n-1)² 训练41：代数式意义叙述 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □运算顺序说反 □实例单一 侧边栏素材 叙述要点 先读乘方、乘除，后加减，括号优先说明整体 即时易错警示 ⚠1. (x+y)²读作x与y和的平方； ⚠2. 单项式数字在前字母在后； 解题小思路 按运算先后分层描述，搭配生活实例 易错汇总 运算先后颠倒； 平方、立方描述遗漏关键词； 实例只局限一种场景 错题摘抄：________________________________________ 1、 🔹基础题（共8题） x+y 文字叙述 1/3(x-y) (x+y)² x³+y³ 15x-6y x³ + 3/4 y x²y³ x³ - 3 2、 🔺提升题（共4题） 10x+5y 举两个生活实例 m/5 实例解释 a+b 实例 2x 实例 1、 ⭐拓展题（共2题） 8a³ 举例解释 甲乙150km，速度a，(1)原时间 (2)提速2时间 (3)早到多久 训练41答案 x与y的和 x与y的差的三分之一 x与y的和的平方 x的立方与y的立方的和 x的15倍与y的6倍的差 x的立方加上四分之三倍的y x的平方乘以y的立方 x的立方减去3 10x+5y可以表示：10支单价x元的笔和5个单价y元的本子的总价；也可以表示：10件x元的商品和5件y元的商品的总价。 m/5表示把m平均分成5份，每份是多少。 a+b表示a与b的和。 2x表示x的2倍。 8a³可以表示棱长为2a的正方体的体积（因为(2a)³=8a³）。 (1) 原时间=150/a（小时） (2) 提速后速度=a+2，时间=150/(a+2)（小时） (3) 早到时间=150/a-150/(a+2)（小时） 训练42：代数式求值基础 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □负数漏括号 □乘方计算错 侧边栏素材 求值步骤 代入负数、分数必须加括号；先乘方，再乘除，最后加减 即时易错警示 ⚠1. x=-2代入x²写作(-2)²； ⚠2. 多重符号分步化简； 解题小思路 先抄写原式，再替换数字，分步计算 易错汇总 负数代入不加括号； 乘方计算符号错误； 分数代入约分失误 错题摘抄：________________________________________ 1、 🔹基础题（共8题） x=3，y=-2，求2x² - xy - y² x=1/3，x²-3x-4 a=-3，b=5，-3a²b a=-1，b=2，a²-2ab+b² x=2，y=-3，x²+2xy+y² a=-2，b=3，a²b-ab² x=-1，2x³-3x²+4x-5 a=4，b=-3，(a+b)(a-b) 2、 🔺提升题（共4题） x=-2，y=5，3x²y-2xy²+x²y² 声速331+0.6t，t=2、30分别求值 x=-3，y=2，(x-y)/(x+y) a=0.5，b=-0.2，5a²-3ab+2b²（精确0.01） 3、 ⭐拓展题（共2题） a=-1,b=-2,c=3，a²b+bc²-abc 填表5n+6、n²，观察变化，谁先超100 训练42答案 x=3，y=-2 2x²-xy-y²=2×3²-3×(-2)-(-2)² =2×9-(-6)-4 =18+6-4 =20 x=1/3 x ²-3x-4=(1/3)²-3×1/3-4 =1/9-1-4 =1/9-5 =-44/9 a=-3，b=5 -3a²b=-3×(-3)²×5 =-3×9×5 =-135 a=-1，b=2 a²-2ab+b²=(-1)²-2×(-1)×2+2² =1-(-4)+4 =1+4+4 =9 x=2，y=-3 xi ²+2xy+y²=2²+2×2×(-3)+(-3)² =4-12+9 =1 a=-2，b=3 a²b-ab²=(-2)²×3-(-2)×3² =4×3-(-2)×9 =12+18 =30 x=-1 2x³-3x²+4x-5 =2×(-1)³-3×(-1)²+4×(-1)-5 =2×(-1)-3×1-4-5 =-2-3-4-5 =-14 a=4，b=-3 (a+b)(a-b)=(4-3)(4-(-3)) =1×7 =7 x=-2，y=5 3x²y-2xy²+x²y² =3×(-2)²×5-2×(-2)×5²+(-2)²×5² =3×4×5-2×(-2)×25+4×25 =60+100+100 =260 t=2时：331+0.6×2=331+1.2=332.2 t=30时：331+0.6×30=331+18=349 x=-3，y=2 (x-y)/(x+y)=(-3-2)/(-3+2)=-5/(-1)=5 a=0.5，b=-0.2 5a²-3ab+2b² =5×0.25-3×0.5×(-0.2)+2×0.04 =1.25+0.3+0.08 =1.63 a=-1，b=-2，c=3 a²b+bc²-abc =(-1)²×(-2)+(-2)×3²-(-1)×(-2)×3 =1×(-2)+(-2)×9-6 =-2-18-6 =-26 5n+6：n=1时11，n=2时16，n=3时21，n=4时26，n=5时31，... n²：n=1时1，n=2时4，n=3时9，n=4时16，n=5时25，... n²先超过100（n=10时n²=100，5n+6=56；n=11时n²=121，5n+6=61） 训练43：数值转换机与规律 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □运算顺序颠倒 □增减判断错 侧边栏素材 转换机逻辑 输入→固定运算→输出；一次函数y=kx+b变化趋势由k决定 即时易错警示 ⚠1. 先加减再乘必须加括号； ⚠2. k＞0随x增大变大，k＜0变小； 解题小思路 按箭头顺序列式，列表代入计算 易错汇总 运算步骤顺序颠倒； 正负系数增减判断错误； 找规律差值计算失误 错题摘抄：________________________________________ 一、🔹基础题（共8题） 输入x输出6x-3，x=2、x=-1求值 输入×2+5，写代数式，x=-3输出 输入减3乘4，代数式，x=5结果 ×(-2)+7，x=-2、4输出 x：-2,-1,0,1,5，求6x-3 n=1~5，3n+2、2n-1填表 n变大，3n+2如何变化 n变大，-2n+5如何变化 4、 🔺提升题（共4题） 给出输入输出表，写出运算式子，填空 n=1~8，-8n+5、-n²填表，比较减小速度 数字游戏：×3+6×2-12÷6，化简找规律 第一年50，每年前一半，第n年高度代数式 5、 ⭐拓展题（共2题） x:-2,0,2,4；y:1,3,5,7，求y与x关系式 如图是一个“数值转换机”，若输入x=-1，输出的结果为？ 训练43答案 6x-3：x=2时=12-3=9；x=-1时=-6-3=-9 代数式=2x+5，x=-3时=-6+5=-1 代数式=4(x-3)，x=5时=4×2=8 -2x+7：x=-2时=4+7=11；x=4时=-8+7=-1 x=-2时=-12-3=-15；x=-1时=-6-3=-9；x=0时=0-3=-3；x=1时=6-3=3；x=5时=30-3=27 3n+2：n=1时5，n=2时8，n=3时11，n=4时14，n=5时17 2n-1：n=1时1，n=2时3，n=3时5，n=4时7，n=5时9 1. 变大时，3n+2随之变大（系数3>0） 1. 变大时，-2n+5随之变小（系数-2<0） 根据输入输出表，y=-3x+4 -8n+5和-n²：-8n+5减小更快（系数绝对值更大） (3x+6)×2-12=6x+12-12=6x，结果等于原数的6倍 第一年50，每年前一半，第n年高度=50×(1/2)^(n-1) 观察x:y对应关系，y=x+3 根据转换机程序，代入计算得出结果。 训练44：BMI、生活求值应用 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □平方漏算 □增长率列式错 侧边栏素材 常用公式 BMI=体重÷身高²；儿子身高=(a+b)×1.08÷2；折扣=原价×折扣 即时易错警示 ⚠1. 身高单位米，不要用厘米； ⚠2. 先算平方再做除法； 解题小思路 对应字母替换数字，分步计算 易错汇总 BMI身高忘记平方； 百分比、折扣计算少乘系数； 分段行程合并总路程失误 错题摘抄：________________________________________ 1、 🔹基础题（共8题） BMI=w/h²，h=1.75，w=65，保留一位小数 c=5/9(f-32)，f=72换算摄氏 f=88，求摄氏温度 父1.72母1.65，儿子预测身高 父1.78母1.62，男生身高 跑步x，走路y，10s跑5s走路总路程，x=4,y=1.5 l=0.883h，h=84，保留一位小数 成本a，提15%八折，a=100售价 2、 🔺提升题（共4题） 成人x学生y，门票总价，x=5,y=8 三边3x、4x、5x，x=2周长 最小n，三连续整数和，n=10 今年a增10%，去年人数，a=110 3、 ⭐拓展题（共2题） 起步8元，3km外1.5元，x＞3代数式，x=5.5车费 棋子1+3n，(1)n=1、5；(2)99、100分别第几图形 训练44答案 BMI=65÷1.75²=65÷3.0625≈21.2 c=5/9(72-32)=5/9×40=200/9≈22.2（℃） c=5/9(88-32)=5/9×56=280/9≈31.1（℃） 儿子预测身高=(1.72+1.65)×1.08÷2 =3.37×1.08÷2 =3.6396÷2 =1.8198≈1.82（m） 男生身高=(1.78+1.62)×1.08÷2 =3.40×1.08÷2 =3.672÷2 =1.836≈1.84（m） 总路程=10x+5y，x=4，y=1.5时 =10×4+5×1.5=40+7.5=47.5（m） l=0.883h，h=84时=0.883×84=74.172≈74.2 提15%后八折售价=0.8×1.15a=0.92a，a=100时售价=92（元） 门票总价=成人票×人数+学生票×人数，x=5，y=8时：8×5+5×8=40+40=80（元） 周长=3x+4x+5x=12x，x=2时=24 三个连续整数为n-2，n-1，n，和=3n-3，n=10时=27 去年人数=a÷1.1=110÷1.1=100（人） 车费=8+1.5(x-3)，x=5.5时=8+1.5×2.5=8+3.75=11.75（元） (1) n=1时棋子数=4；n=5时棋子数=1+3×5=16 (2) 1+3n=99时，3n=98，n=32.67（不是整数），所以99不是棋子数 1 +3n=100时，3n=99，n=33（第33个图形有100枚棋子） 训练45：单项式系数、次数 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □π当成字母 □次数漏字母 侧边栏素材 定义 单项式：数字字母乘积；系数数字因数；次数所有字母指数和；π是常数 即时易错警示 ⚠1. 系数1、-1省略数字，符号保留； ⚠2. π不算字母，不计入次数； 解题小思路 分开数字、字母，分别统计 易错汇总 π判定为字母计算次数； 只算单个字母指数，遗漏其他字母； 单独数字也是单项式容易忽略 错题摘抄：________________________________________ 一、🔹基础题（共8题） 2 ab 系数、次数 π/16 b² 系数、次数 5abc 系数、次数 -7a²b 系数、次数 -1/3 x²y³ 系数、次数 3x²/π 系数、次数 -a 系数、次数 判断单项式：-15a²b，2x-3y，4a²b²-4ab，-a，x³+2y-x 2、 🔺提升题（共4题） 7h 系数、次数 -2/5 x - by³ 单项式分别说明 xy³+1 单项式还是多项式，拆分项 2ab+6 多项式，常数项 3、 ⭐拓展题（共2题） 写系数-3，4次单项式 -2xᵐy³ 次数6，求m 训练45答案 5ab：系数5，次数2（a指数1+b指数1） π/16 b²：系数π/16，次数2（b的指数2，π是常数不计入次数） 5abc：系数5，次数3（a、b、c各1次） -7a²b：系数-7，次数3（a指数2+b指数1） -1/3 x²y³：系数-1/3，次数5（x指数2+y指数3） 3x²/π：系数3/π，次数2（x的指数2，π是常数） -a：系数-1，次数1 单项式有：-15a²b，-a；其他都不是单项式。 7h：系数7，次数1 -2/5 x是单项式，系数-2/5，次数1；-by³是单项式，系数-b，次数3（y指数3） xy³+1是多项式，两项：xy³和1 2ab+6是多项式，两项：2ab和6，常数项为6 系数-3，4次单项式示例：-3x³y（次数3+1=4） -2xᵐy³次数=m+3=6，m=3 训练46：多项式项、次数 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □最高次项找错 □常数项符号漏 侧边栏素材 定义 多项式：多个单项式相加；次数=最高次项次数；常数项不含字母 即时易错警示 ⚠1. 项连带前面正负号； ⚠2. 先合并同类项再判断次数； 解题小思路 逐项标注次数，对比找出最大值 易错汇总 丢项前负号； 合并同类前直接判断次数； 常数项符号看错 错题摘抄：________________________________________ 一、🔹基础题（共8题） ab - π/16 b² 几项、次数 10a+10b 项、次数 a²b-100 项、常数项、次数 -x²-x+3 各项、常数、几次几项式 3x³-x²+x-x³+3x²-2x²+3 化简后次数项数 x ⁶-64 项、常数、几次几项式 xi ³-2x²y²+3y² 各项、次数 -1/3 x - x²y + 2π 各项、常数 4、 🔺提升题（共4题） 4 a²b²-4ab+b² 几项、次数 x³+2y-x 各项、次数 a⁴b-2a³b²-5a²b²+2b²a³-b⁵ 化简次数项数 5 x²-3x+1，写出各项系数、常数 5、 ⭐拓展题（共2题） 写一个三次三项式 3xᵐy²+2xy-1 五次三项式，求m 训练46答案 ab - π/16 b²：两项（ab和-π/16 b²），次数2 10a+10b：两项，次数1 a²b-100：三项（a²b和-100），常数项-100，次数3 -x²-x+3：三项（-x²，-x，3），常数项3，二次三项式 3x³-x²+x-x³+3x²-2x²+3 合并同类项：3x³-x³=2x³，-x²+3x²-2x²=0，+x，+3 化简后：2x³+x+3，三次三项式 x ⁶-64：两项，常数项-64，六次二项式 xi ³-2x²y²+3y²：三项，次数4（最高次项-2x²y²次数4） -1/3 x - x²y + 2π：三项，常数项2π 4a²b²-4ab+b²：三项（4a²b²，-4ab，b²），次数4 x³+2y-x：三项（x³，2y，-x），次数3 a⁴b-2a³b²-5a²b²+2b²a³-b⁵ 合并-2a³b²+2b²a³=0 化简后：a⁴b-5a²b²-b⁵，三次三项式（a⁴b次数5，-b⁵次数5），次数5 2x²-3x+1：各项系数：2，-3，1；常数项1 三次三项式示例：x³+2x+1 3xᵐy²+2xy-1是五次三项式，最高次项为3xᵐy²，次数=m+2=5，m=3 训练47：列整式表示数量关系 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □面积列式出错 □无盖漏面 侧边栏 核心列式思路 图形面积：整体减空白、分割求和两种方法 水结冰：体积=原体积×(1+1/9) 靠墙长方体外露：仅3个面面积相加 商品售价=原价×折扣，增长后=原价×(1+增长率) 即时易错警示 ⚠1. 无盖容器、靠墙立体少一个/两个面，不要算全表面积； ⚠2. 区分“增加1/9”和“增加到1/9”； 解题小思路 文字应用题先设基础字母，几何题画图拆分再列式 易错汇总 组合图形重复计算重叠区域； 折扣、增长率列式漏乘基数； 长方体靠墙分不清外露哪三个面。 错题摘抄：________________________________________ 1、 🔹基础题（共8题） 十字花坛，用整式表示草地总面积。 x 立方米水结冰，冰的体积是多少立方米？ 长宽高 a、b 的长方体紧靠墙角，露在外面的表面积。 商品成本 a 元，提价15%后八折销售，售价代数式。 小明收集 x 节电池，是小亮两倍少6，小亮收集数量。 小亮 x 节，小明是2倍少6，两人一共电池数。 长方形绿地中间铺隔离带，求五彩石面积。 长方体长宽高 a、b、c，表面积、体积分别列式。 2、 🔺提升题（共4题） 圆形桌面直径 a，折叠正方形边长 b；桌布边长 a。 （1）圆形桌面桌布垂下面积；（2）正方形桌面垂下面积。 窗户上部两个四分之一圆+半圆，半径相同。 （1）装饰物面积；（2）透光面积。 纵向5格柜子，进深 c，写装饰条总长、柜门总面积、容积。 根据图形，用整式表示阴影面积。 3、 ⭐拓展题（共2题） 大正方形由两个小正方形、两个长方形拼成，两种方法表示面积并化简。 全班 x 人，女生45%，男生人数选正确选项。 训练47答案 草地面积=花坛总面积-十字形面积（根据具体图形） 冰的体积=x×(1+1/9)=10x/9（立方米） 靠墙角长方体露在外面的是正面、侧面和顶面，共3个面 表面积=长×宽（顶）+宽×高（侧面）+长×高（正面）=ab+bc+ac 提价15%后为1.15a元，再打八折为0.8×1.15a=0.92a元 小明收集x节，是小亮的2倍少6，即x=2×小亮-6 小亮收集数量=(x+6)/2 小亮x节，小明2x-6节，两人一共=x+(2x-6)=3x-6节 五彩石面积=长方形绿地面积-隔离带面积 长方体表面积=2(ab+bc+ac)；体积=abc (1) 圆形桌布垂下面积=桌布面积-桌面面积=a²-π(a/2)² (2) 正方形桌布垂下面积=桌布面积-桌面面积=a²-b² 窗户透光面积=矩形面积-装饰物面积 装饰条总长、柜门总面积、容积按具体图形列式 阴影面积=大图形面积-空白面积 (a+b)²=a²+2ab+b² 女生45%，则男生55%，男生人数=0.55x 训练48：同类项识别 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □字母指数混淆 □整体类项分不清 侧边栏素材 同类项判定标准 所含字母完全相同； 相同字母对应指数相等； 所有常数都是同类；字母顺序无关； 即时易错警示 ⚠1. a²b 与 ab² 不是同类项，指数位置不同； ⚠2. 把(a+b)整体看作一个字母判断； 解题小思路 逐项对比字母、对应指数，两项全部匹配才是同类项 易错汇总 只看字母不看指数，误判a²b和ab²； 常数与含字母式子当成同类项； 整体式同类项不会识别。 错题摘抄：________________________________________ 1、 🔹基础题（共8题） 判断并说明理由：(1)2x²y与5x²y (2)1/2与3 (3)mn与-mn (4)1与5t 判断：(1)2x²y与2xy² (2)12x³y²与-2x²y³ (3)2x²与2x³ (4)a³与5³ x 和 y 是不是同类项？ a²b 和 ab² 是不是同类项？ -3pq 与 3qp 是不是同类项？ abc 与 ac 是不是同类项？ a² 与 a³ 是不是同类项？ -125 与 12 是不是同类项？ 2、 🔺提升题（共4题） 找出多项式 5x²y-3y²-x-4+x²y+2x-9 中的全部同类项。 找出多项式 4ab-7a²b²-8ab²+5a²b²-9ab+a²b² 的同类项。 写出 2xyz³ 的3个同类项。 把(a+b)当作整体，判断2(a+b)与-1/3(a+b)是否同类项。 3、 ⭐拓展题（共2题） 若3xᵐy²与-2x³yⁿ是同类项，求m、n的值。 2aᵐb³与-3a²bⁿ相加仍为单项式，求m、n。 训练48答案 (1) 2x²y与5x²y是同类项（字母相同，指数相同） (2) 1/2与3是同类项（都是常数） (3) mn与-mn是同类项（字母相同，指数相同） (4) 1与5t不是同类项（一个不含字母，一个含字母t） (1) 2x²y与2xy²不是同类项（x、y的指数不同） (2) 12x³y²与-2x²y³不是同类项（x、y的指数不同） (3) 2x²与2x³不是同类项（x的指数不同） (4) a³与5³不是同类项（一个含字母a，一个不含字母） x和y不是同类项（所含字母不同） a²b和ab²不是同类项（a和b的指数不同） -3pq与3qp是同类项（字母相同，指数相同，顺序无关） abc与ac不是同类项（字母不同，abc多一个b） a²与a³不是同类项（指数不同） -125与12是同类项（都是常数） 5x²y与x²y是同类项；-3y²单独；-x与2x是同类项；-4与-9是同类项 4ab与-9ab是同类项；-7a²b²、5a²b²、a²b²是同类项；-8ab²单独 2xyz³的同类项示例：xyz³，-5xyz³，1/2xyz³ 2(a+b)与-1/3(a+b)是同类项（把a+b看作整体） 3xᵐy²与-2x³yⁿ是同类项，m=3，n=2 2aᵐb³与-3a²bⁿ相加仍为单项式，即它们是同类项，m=2，n=3 训练49：合并同类项基础 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □系数符号出错 □不同类项乱合并 侧边栏素材 合并法则 同类项：系数相加，字母、指数保持不变； 不同类项不能合并，直接保留； 即时易错警示 ⚠1. 系数连带正负号一起相加； ⚠2. 系数相加为0，该项直接消去； 解题小思路 先圈出所有同类项，分组再合并 易错汇总 合并时丢掉项前面负号； 强行合并字母不同的项； 系数计算加减失误。 错题摘抄：________________________________________ 一、🔹基础题（共8题） 8n + 5n 2xy + 3xy -7a²b + 2a²b -xy² + 3xy² 10y² + y² -6m²n + 6m²n 15x + 4x - 20x 1/2 m - 1/2 m + 1 6、 🔺提升题（共4题） 0.6ab² - ab² + 0.4a²b 1/4 p - 0.3q - 1/2 p + 0.3q 3 f + 2f - 7f 4 a + 3b + 6a + 9b - 8a + 12b 7、 ⭐拓展题（共2题） 30 a²b + 2b²c - 15a²b - 4b²c 7 a + 3a² + 2a - a² + 3 训练49答案 8 n+5n=(8+5)n=13n 2xy+3xy=(2+3)xy=5xy -7a²b+2a²b=(-7+2)a²b=-5a²b -xy²+3xy²=(-1+3)xy²=2xy² 9 y²+y²=(10+1)y²=11y² -6m²n+6m²n=0 15x+4x-20x=(15+4-20)x=-x 1/2 m-1/2 m+1=(1/2-1/2)m+1=1 0.6ab²-ab²+0.4a²b =(0.6-1)ab²+0.4a²b =-0.4ab²+0.4a²b 1/4 p-0.3q-1/2 p+0.3q =(1/4-1/2)p+(-0.3+0.3)q =-1/4p 3 f+2f-7f=(3+2-7)f=-2f 4 a+3b+6a+9b-8a+12b =(2+6-8)a+(3+9+12)b =0a+24b =24b 31 a²b+2b²c-15a²b-4b²c =(30-15)a²b+(2-4)b²c =15a²b-2b²c 7a+3a²+2a-a²+3 =(7+2)a+(3-1)a²+3 =9a+2a²+3 =2a²+9a+3 训练50：先化简再求值 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □负数漏括号 □同类项合并不彻底 侧边栏素材 求值步骤 先合并全部同类项，化简最简式； 字母为负数、分数时代入必须加括号； 按先乘方再乘除后加减计算； 即时易错警示 ⚠1. 不化简直接代入，计算量大易出错； ⚠2. 负数值代入乘方不加括号； 解题小思路 化简减少项数，再分步代入计算 易错汇总 化简残留同类项，代入计算繁琐； 代入负数省略括号导致符号错误； 分数乘方计算约分失误。 错题摘抄：________________________________________ 一、🔹基础题（共8题） -3x²y+5x-0.5x²y+3.5x²y-2，x=1/5，y=7 5x²+4-3x²-5x-2x²-5+6x，x=-3 3ab-5ab³+0.5a³b-3ab²+5ab³-4.5a³b，a=1，b=3/2 8p²-7q+6q-7p²-7，p=3，q=-3 6x+2x²-3x+x²+1，x=-5 4x²+3xy-x²-9，x=2，y=-3 1/3 m - 3/2 n - 5/6 n - 1/6 m，m=6，n=2 3pq - 4/5 m - 4pq，m=5，p=1/3，q=-3/2 8、 🔺提升题（共4题） 4(2a-b)² - 5(2a-b) + (2a-b)² - 2(2a-b)，a=-1/2，b=3 3x²+x-1+2x²-7x-8x²，x=-1/3 0.2a - 1/2 c² + abc - 1/5 a + 0.5c²，a=-1/6，b=2，c=9 2a²b-3ab²+a²b+2ab²，a=-2，b=3 9、 ⭐拓展题（共2题） 求2x²-3x+1与-x²+2x-5的和，x=2求值 已知5a-4b=9，化简2(a+2b)+4(2a-3b)并整体求值 训练50答案 -3x²y+5x-0.5x²y+3.5x²y-2 合并同类项：(-3-0.5+3.5)x²y+5x-2=0x²y+5x-2=5x-2 代入x=1/5：5×1/5-2=1-2=-1 5x²+4-3x²-5x-2x²-5+6x =(5-3-2)x²+(-5+6)x+(4-5)=0x²+x-1=x-1 代入x=-3：-3-1=-4 3ab-5ab³+0.5a³b-3ab²+5ab³-4.5a³b =(3ab-3ab²)+( -5+5)ab³+(0.5-4.5)a³b =3ab-3ab²-4a³b 代入a=1，b=3/2： 3×1×3/2-3×1×(3/2)²-4×1³×3/2 =9/2-3×9/4-6 =4.5-6.75-6 =-8.25=-33/4 8p²-7q+6q-7p²-7 =(8-7)p²+(-7+6)q-7=p²-q-7 代入p=3，q=-3：9-(-3)-7=9+3-7=5 6x+2x²-3x+x²+1 =(2+1)x²+(6-3)x+1=3x²+3x+1 代入x=-5：3×25-15+1=75-15+1=61 4x²+3xy-x²-9=3x²+3xy-9 代入x=2，y=-3：3×4+3×2×(-3)-9=12-18-9=-15 1/3 m - 3/2 n - 5/6 n - 1/6 m =(1/3-1/6)m+(-3/2-5/6)n=1/6m+(-9/6-5/6)n=1/6m-14/6n=1/6m-7/3n 代入m=6，n=2：1-14/3=-11/3 3pq-4/5m-4pq=-pq-4/5m 代入m=5，p=1/3，q=-3/2： -(1/3×-3/2)-4/5×5=1/2-4=-7/2 4(2a-b)²-5(2a-b)+(2a-b)²-2(2a-b) =(4+1)(2a-b)²+(-5-2)(2a-b)=5(2a-b)²-7(2a-b) 2a-b=2×(-1/2)-3=-1-3=-4 5×(-4)²-7×(-4)=5×16+28=80+28=108 3x²+x-1+2x²-7x-8x²=(3+2-8)x²+(1-7)x-1=-3x²-6x-1 代入x=-1/3：-3×1/9-6×(-1/3)-1=-1/3+2-1=2/3 0.2a-1/5a=0，所以原式=-1/2c²+abc+0.5c²=abc 代入a=-1/6，b=2，c=9：-1/6×2×9=-3 2a²b-3ab²+a²b+2ab²=3a²b-ab² 代入a=-2，b=3：3×4×3-(-2)×9=36+18=54 (2x²-3x+1)+(-x²+2x-5) =2x²-x²-3x+2x+1-5=x²-x-4 代入x=2：4-2-4=-2 2(a+2b)+4(2a-3b)=2a+4b+8a-12b=10a-8b 5a-4b=9，两边同乘2：10a-8b=18 原式=18 训练51：去括号法则基础 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □括号前负号漏变号 □系数漏乘所有项 侧边栏素材 去括号规则 括号前是“+”，内部各项符号不变； 括号前是“-”，内部每一项全部变号； 括号外有数字，数字乘括号内每一项； 即时易错警示 ⚠1. 负号去括号只改变第一项符号； ⚠2. 数字乘数漏乘括号末尾项； 解题小思路 去括号分两步：先处理系数，再变换符号 易错汇总 负括号内部部分项不变号； 分配律漏乘括号内某一项； 多重括号从内向外逐层拆解。 错题摘抄：________________________________________ 1、 🔹基础题（共8题） -(2m-3) -(a+b)+(c-d) (-a-b)-(-c+d) a-(-b+c-d) -a+(-b+c) -a+(b-c) a+(-b-c) -a-(b-c) 2、 🔺提升题（共4题） 8x-(-3x-5) 去括号合并同类项 (3x-1)+(2-5x) 化简 (-4y+3)-(-5y-2) 化简 3x+1-2(4-x) 化简 10、 ⭐拓展题（共2题） 判断并改正错误去括号：(1)3(x+8)=3x+8 (2)-(x-6)=-x-6等4小题 n-3 (4-2m) 去括号化简 训练51答案 -(2m-3)=-2m+3 -(a+b)+(c-d)=-a-b+c-d (-a-b)-(-c+d)=-a-b+c-d a-(-b+c-d)=a+b-c+d -a+(-b+c)=-a-b+c -a+(b-c)=-a+b-c a+(-b-c)=a-b-c -a-(b-c)=-a-b+c 8x-(-3x-5)=8x+3x+5=11x+5 (3x-1)+(2-5x)=3x-1+2-5x=-2x+1 (-4y+3)-(-5y-2)=-4y+3+5y+2=y+5 3x+1-2(4-x)=3x+1-8+2x=5x-7 (1) 3(x+8)=3x+24（原式3x+8错误，漏乘8） (2) -(x-6)=-x+6（原式-x-6错误，6变号） (3) -(2x-3)=-2x+3（正确） (4) -2(x+4)=-2x-8（正确） n-4 (4-2m)=n-12+6m 训练52：含系数的去括号 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □分配律漏项 □多重括号符号混乱 侧边栏素材 核心步骤 数字系数×括号内每一项，再处理正负符号； 多重括号由内到外逐层去掉； 即时易错警示 ⚠1. 括号前为负数，相乘后所有项变号； ⚠2. 小数、分数系数也要全部相乘； 解题小思路 先把数字乘进括号，再消去括号符号 易错汇总 系数只乘第一项，其余忽略； 负系数相乘符号判断错误； 化简后同类项忘记合并。 错题摘抄：________________________________________ 1、 🔹基础题（共8题） -2n-(3n-1) a-(5a-3b)+(2b-a) -3(2s-5)+6s 1-(2a-1)-(3a+3) 3(-ab+2a)-(3a-b) 14(abc-2a)+3(6a+2abc) 3(xy-2z)+(-xy+3z) -4(pq+pr)+(4pq+pr) 2、 🔺提升题（共4题） t+2/3(12-9v) -8(3a-2ab+4) 4 (m+p)-7(n-2q) 5 x²-(2x²+5x-1)-(3x+1)，x=10求值 3、 ⭐拓展题（共2题） 判断恒等式是否成立并说明理由：-a+b=-(a-b)等3题 a²+(a²+ab)-2a²-ab，不用a、b值直接说明结果 训练52答案 -2n-(3n-1)=-2n-3n+1=-5n+1 a-(5a-3b)+(2b-a)=a-5a+3b+2b-a=(-5a)+5b -3(2s-5)+6s=-6s+15+6s=15 1-(2a-1)-(3a+3)=1-2a+1-3a-3=-5a-1 3(-ab+2a)-(3a-b)=-3ab+6a-3a+b=-3ab+3a+b 14(abc-2a)+3(6a+2abc)=14abc-28a+18a+6abc=20abc-10a 3(xy-2z)+(-xy+3z)=3xy-6z-xy+3z=2xy-3z -4(pq+pr)+(4pq+pr)=-4pq-4pr+4pq+pr=-3pr t+2/3(12-9v)=t+8-6v -8(3a-2ab+4)=-24a+16ab-32 4(m+p)-7(n-2q)=4m+4p-7n+14q 3x²-(2x²+5x-1)-(3x+1) =3x²-2x²-5x+1-3x-1 =x²-8x 代入x=10：100-80=20 (1) -a+b=-(a-b)成立（两边同乘-1） (2) a-b=-(b-a)成立 (3) a+b=-a-b不成立（左边≠右边） a²+(a²+ab)-2a²-ab =a²+a²+ab-2a²-ab =0 结果与a、b无关，恒为0 训练53：去括号综合化简 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □多重括号变号错 □同类项合并不全 侧边栏素材 化简完整流程 去括号 → 标记同类项 → 分组合并； 先小括号，再中括号，最后大括号； 即时易错警示 ⚠1. 多层括号逐层变号，不能一次性全部改写； ⚠2. 化简后再判断几次几项式； 解题小思路 每去一层括号就整理一次同类项 易错汇总 外层负号忽略内层符号； 合并同类项遗漏项； 未化简直接判断多项式次数。 错题摘抄：________________________________________ 一、🔹基础题（共8题） 4a-(a-3b) a+(5a-3b)-(a-2b) 3(2xy-y)-2xy 5x-y-2(x-y) 3x²-(2x²+5x-1) (7y-3z)-(8y-5z) -(a⁵-6b)-(-7+3b) 2(2a²+9b)+3(-5a²-4b) 4、 🔺提升题（共4题） -3(2x²-xy)+4(x²+xy-6) 5x⁴+3x²y-10-3x²y+x⁴-1 p²+3pq+6-8p²+pq 判断改正3道错误去括号题目 5、 ⭐拓展题（共2题） 小明和小刚同时计算求值题，说明为什么结果相同并求值 化简5x²-8x+1+x²+7x-6x²，判断是否二次六项式 训练53答案 4a-(a-3b)=4a-a+3b=3a+3b a+(5a-3b)-(a-2b)=a+5a-3b-a+2b=5a-b 3(2xy-y)-2xy=6xy-3y-2xy=4xy-3y 5x-y-2(x-y)=5x-y-2x+2y=3x+y 3x²-(2x²+5x-1)=3x²-2x²-5x+1=x²-5x+1 (7y-3z)-(8y-5z)=7y-3z-8y+5z=-y+2z -(a⁵-6b)-(-7+3b)=-a⁵+6b+7-3b=-a⁵+3b+7 2(2a²+9b)+3(-5a²-4b)=4a²+18b-15a²-12b=-11a²+6b -3(2x²-xy)+4(x²+xy-6)=-6x²+3xy+4x²+4xy-24=-2x²+7xy-24 5x⁴+3x²y-10-3x²y+x⁴-1=6x⁴-11 p²+3pq+6-8p²+pq=-7p²+4pq+6 错误去括号改正： 3x-(2x-4)=3x-2x+4=x+4（原式x-4错误，-4变号） 原式=5a²-[3a-(2a-1)+2a²]-(2a²-a+1) =5a²-[3a-2a+1+2a²]-2a²+a-1 =5a²-(a+1+2a²)-2a²+a-1 =5a²-a-1-2a²-2a²+a-1 =(5-2-2)a²+(-a+a)+(-1-1) =a²-2 当a=±5时，a²=25，结果相同为23。 5x²-8x+1+x²+7x-6x² =(5+1-6)x²+(-8+7)x+1 =-x+1 化简后为一次二项式，不是二次六项式。 训练54：整体代入化简求值 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □整体区分不清 □整体符号出错 侧边栏素材 整体法技巧 把相同多项式当作一个整体合并同类项； 已知整体数值，不用单独求字母； 即时易错警示 ⚠1. (x+y)²与(x-y)²不是同类项，不能合并； ⚠2. 整体前带负号，合并时整体变号； 解题小思路 统一标记相同整体，先合并再代入数值 易错汇总 不同整体强行合并； 整体前负号处理错误； 不会拆分代数式凑已知整体。 错题摘抄：________________________________________ 一、🔹基础题（共8题） 2(a+b)+3(a+b)-5(a+b) 3(x-y)²+(x-y)² 4(a+b)-2(a+b)+3(a+b) x+y=5，求2(x+y)+3(x+y)-(x+y) a-b=3，4(a-b)-2(a-b)+5(a-b) xy=-2，3xy-2xy+4xy 3(x-y)²-6(x-y)²+2(x-y)² 2(x+1)+3(x+1)-(x+1) 6、 🔺提升题（共4题） 3 (x-y)²-6(x+y)²-2(x-y)²+7(x+y)² a+b=4，化简求值2(a+b)²-3(a+b)+5(a+b)²+2(a+b) 4 (2a-b)²-5(2a-b)+(2a-b)²-2(2a-b)，2a-b=3 xy=2，化简3x²y²-2xy+5x²y²+3xy-7xy 7、 ⭐拓展题（共2题） x²+x=2，求3x²+3x+5 a²-ab=5，ab-b²=3，求a²-b² 训练54答案 2 (a+b)+3(a+b)-5(a+b)=(2+3-5)(a+b)=0 3 (x-y)²+(x-y)²=4(x-y)² 4 (a+b)-2(a+b)+3(a+b)=(4-2+3)(a+b)=5(a+b) x+y=5，原式=(2+3-1)(x+y)=4×5=20 a-b=3，原式=(4-2+5)(a-b)=7×3=21 xy=-2，原式=(3-2+4)xy=5×(-2)=-10 3(x-y)²-6(x-y)²+2(x-y)²=(3-6+2)(x-y)²=-(x-y)² 2(x+1)+3(x+1)-(x+1)=(2+3-1)(x+1)=4(x+1) 3(x-y)²-6(x+y)²-2(x-y)²+7(x+y)² =(3-2)(x-y)²+(-6+7)(x+y)² =(x-y)²+(x+y)² a+b=4 原式=(2+5)(a+b)²+(-3+2)(a+b) =7×4²-4 =112-4 =108 设A=2a-b，原式=4A²-5A+A²-2A=5A²-7A A=3时：5×9-21=45-21=24 xy=2 3x²y²-2xy+5x²y²+3xy-7xy =(3+5)x²y²+(-2+3-7)xy =8x²y²-6xy =8×(xy)²-6xy =8×4-6×2 =32-12 =20 x²+x=2 3 x²+3x+5=3(x²+x)+5=3×2+5=11 a²-ab=5，ab-b²=3 两式相加：a²-ab+ab-b²=5+3 a²-b²=8 训练55：整式求和 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □多项式忘加括号 □去括号变号错 侧边栏素材 求和规范 两个多项式相加，全部加括号再去括号合并； 加号后括号内部符号不变； 即时易错警示 ⚠1. 多项式整体不加括号直接去项； ⚠2. 长式子同类项漏合并； 解题小思路 全部写出括号，逐层去括号，标记同类项分组 易错汇总 第二个多项式省略括号； 去括号后符号书写失误； 多次合并漏掉常数项。 错题摘抄：________________________________________ 一、🔹基础题（共8题） (2x²-3x+1)+(-3x²+5x-7) (4k²+7k)+(-k²+3k-1) (3k²+7k)+(4k²-3k+1) (7a²+2a+b)+(3a²-2a-b) (-1/2 xy+y²+1)+(x²+1/2 xy-2y²-1) (-a²+2ab-b²)+(2a²+ab-3b²) 4 x³+(-6x³)+(-9x³) -3x²y+(-3xy²)+3x²y+3xy² 8、 🔺提升题（共4题） (11/2 x²-29x+10y)+(-5/2 x²+13x-24y) (5y+3x-15z²)+(-12y+7x+z²) (-1/3 ab)+(-1/4 a²)+1/3 a²-(-1/5 ab) A=a²-2ab+b²，B=a²+2ab+b²，求A+B 9、 ⭐拓展题（共2题） (-1/3+m²n+m³)+(-2/3-m²n-m³) M=2x²-3x+1，N=-x²+5x-7，求M+N，x=1求值 训练55答案 (2x²-3x+1)+(-3x²+5x-7) =2x²-3x+1-3x²+5x-7 =-x²+2x-6 (4k²+7k)+(-k²+3k-1) =4k²+7k-k²+3k-1 =3k²+10k-1 (3k²+7k)+(4k²-3k+1) =3k²+7k+4k²-3k+1 =7k²+4k+1 (7a²+2a+b)+(3a²-2a-b) =7a²+2a+b+3a²-2a-b =10a² (-1/2xy+y²+1)+(x²+1/2xy-2y²-1) =x²+(-1/2+1/2)xy+(y²-2y²)+(1-1) =x²-y² (-a²+2ab-b²)+(2a²+ab-3b²) =-a²+2a²+2ab+ab-b²-3b² =a²+3ab-4b² 4 x³+(-6x³)+(-9x³)=4x³-6x³-9x³=-11x³ -3x²y+(-3xy²)+3x²y+3xy²=0 (11/2x²-29x+10y)+(-5/2x²+13x-24y) =(11/2-5/2)x²+(-29+13)x+(10-24)y =3x²-16x-14y (5y+3x-15z²)+(-12y+7x+z²) =3x+7x+5y-12y-15z²+z² =10x-7y-14z² (-1/3ab)+(-1/4a²)+1/3a²-(-1/5ab) =-1/3ab+1/5ab-1/4a²+1/3a² =(-5/15+3/15)ab+(-3/12+4/12)a² =-2/15ab+1/12a² A+B=(a²-2ab+b²)+(a²+2ab+b²) =a²+a²-2ab+2ab+b²+b² =2a²+2b² (-1/3+m²n+m³)+(-2/3-m²n-m³) =-1-0-0=-1 M+N=(2x²-3x+1)+(-x²+5x-7) =x²+2x-6 x=1时：1+2-6=-3 训练56：整式求差 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □减式全部不变号 □同类项遗漏 侧边栏素材 求差核心规则 A-B=(A) - (B)，减式内每一项全部变号； 减多项式必须整体加括号； 即时易错警示 ⚠1. 只改变减式第一项符号，其余不变； ⚠2. 区分A-B与B-A，二者互为相反数； 解题小思路 先写括号，去括号时统一翻转减式符号，再合并 易错汇总 减多项式不去括号直接相减； 多项变号过程出现个别项符号错误； 合并同类项计算粗心。 错题摘抄：________________________________________ 一、🔹基础题（共8题） (-x²+3xy-1/2 y²)-(-1/2 x²+4xy-3/2 y²) (5y+3x-15z²)-(12y+7x+z²) (-a²+2ab-b²)-(2a²+ab-3b²) (3x²+2xy-1/2 x)-(2x²-xy+x) (7a²+2a+b)-(3a²+2a-b) (1/2 xy+y²+1)-(-1/2 xy+2y²+1) 5 x³-(-6x³)-(-9x³) -3x²y-(-3xy²)-3x²y-3xy² 10、 🔺提升题（共4题） (11/2 x²-29x+10y)-(5/2 x²-13x-24y) (1/2 xy+y²+1)-(x²-1/2 xy-2y²) A=a²-2ab+b²，B=a²+2ab+b²，求B-A 求1/4(B-A) 11、 ⭐拓展题（共2题） 误将减法算加法，求出正确结果；多项式减x²+14x-6，错算得2x²-x+3，求原式答案 M=2x²-3x+1，N=-x²+5x-7，求M-N，x=-1求值 训练56答案 (-x²+3xy-1/2y²)-(-1/2x²+4xy-3/2y²) =-x²+3xy-1/2y²+1/2x²-4xy+3/2y² =-1/2x²-xy+y² (5y+3x-15z²)-(12y+7x+z²) =5y+3x-15z²-12y-7x-z² =-4x-7y-16z² (-a²+2ab-b²)-(2a²+ab-3b²) =-a²+2ab-b²-2a²-ab+3b² =-3a²+ab+2b² (3x²+2xy-1/2x)-(2x²-xy+x) =3x²+2xy-1/2x-2x²+xy-x =x²+3xy-3/2x (7a²+2a+b)-(3a²+2a-b) =7a²+2a+b-3a²-2a+b =4a²+2b (1/2xy+y²+1)-(-1/2xy+2y²+1) =1/2xy+y²+1+1/2xy-2y²-1 =xy-y² 4 x³-(-6x³)-(-9x³)=4x³+6x³+9x³=19x³ -3x²y-(-3xy²)-3x²y-3xy² =-3x²y+3xy²-3x²y-3xy² =-6x²y (11/2x²-29x+10y)-(5/2x²-13x-24y) =11/2x²-29x+10y-5/2x²+13x+24y =3x²-16x+34y (1/2xy+y²+1)-(x²-1/2xy-2y²) =1/2xy+y²+1-x²+1/2xy+2y² =-x²+xy+3y²+1 B-A=(a²+2ab+b²)-(a²-2ab+b²) =4ab 1/4(B-A)=1/4×4ab=ab 设原多项式为P，误算为P+(x²+14x-6)=2x²-x+3 P=2x²-x+3-(x²+14x-6) =2x²-x+3-x²-14x+6 =x²-15x+9 正确答案=P-(x²+14x-6) =x²-15x+9-x²-14x+6 =-29x+15 M-N=(2x²-3x+1)-(-x²+5x-7) =2x²-3x+1+x²-5x+7 =3x²-8x+8 x=-1时：3+8+8=19 训练57：整式加减综合 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □多层括号变号乱 □系数计算错 侧边栏素材 完整化简步骤 多层括号：由内向外逐层去括号 → 标记同类项 → 合并； 含数字系数，分配律全部乘完再化简； 即时易错警示 ⚠1. 括号前负数，每一层内部全部变号； ⚠2. 数字乘括号不要漏任意一项； 解题小思路 一层括号化简一次，减少长式子出错概率 易错汇总 外层负号忽略内层多项符号； 分配律计算小数、分数系数出错； 化简后未检查是否还有同类项。 错题摘抄：________________________________________ 1、 🔹基础题（共8题） (2x²y+3xy²)-(6x²y-3xy²) (5mn-2m+3n)+(-7m-7mn) (6a²-8a+11b³)-(11a²+2b³) (2ab+3b²-5)-(3ab+3b²-8) -(10x³+2xy²+y³)+(10x³+3xy²-8y³) (4mn²+3m²n-4m)-2(mn²+3/2 m²n+1) -x+(2x-1)-(x/3+3) -2(ab-3a²)+(5ab-a²) 2、 🔺提升题（共4题） 5 a²-1/2(ab+a²)-8ab -(b-4)+4(-b-3) 1/2(x²-y)+1/3(x-y²)+1/6(x²+y²) A=2x²-3x+1，B=-x²+5x-7，求2A-3B 12、 ⭐拓展题（共2题） 2A-3B+C=0，A=a²-2ab+b²，B=a²+2ab+b²，求C 3b²-(a²+b²)-b² 训练57答案 (2x²y+3xy²)-(6x²y-3xy²) =2x²y+3xy²-6x²y+3xy² =-4x²y+6xy² (5mn-2m+3n)+(-7m-7mn) =5mn-2m+3n-7m-7mn =-2mn-9m+3n (6a²-8a+11b³)-(11a²+2b³) =6a²-8a+11b³-11a²-2b³ =-5a²-8a+9b³ (2ab+3b²-5)-(3ab+3b²-8) =2ab+3b²-5-3ab-3b²+8 =-ab+3 -(10x³+2xy²+y³)+(10x³+3xy²-8y³) =-10x³-2xy²-y³+10x³+3xy²-8y³ =xy²-9y³ (4mn²+3m²n-4m)-2(mn²+3/2m²n+1) =4mn²+3m²n-4m-2mn²-3m²n-2 =2mn²-4m-2 -x+(2x-1)-(x/3+3) =-x+2x-1-x/3-3 =x-x/3-4 =2x/3-4 -2(ab-3a²)+(5ab-a²) =-2ab+6a²+5ab-a² =5a²+3ab 2a²-1/2(ab+a²)-8ab =2a²-1/2ab-1/2a²-8ab =3/2a²-17/2ab -(b-4)+4(-b-3) =-b+4-4b-12 =-5b-8 1/2(x²-y)+1/3(x-y²)+1/6(x²+y²) =1/2x²-1/2y+1/3x-1/3y²+1/6x²+1/6y² =(1/2+1/6)x²+1/3x-1/2y+(-1/3+1/6)y² =2/3x²+1/3x-1/2y-1/6y² 2A-3B=2(2x²-3x+1)-3(-x²+5x-7) =4x²-6x+2+3x²-15x+21 =7x²-21x+23 2A-3B+C=0，C=3B-2A 3B=3a²+6ab+3b² 2A=2a²-4ab+2b² C=3a²+6ab+3b²-2a²+4ab-2b² =a²+10ab+b² 3b²-(a²+b²)-b² =3b²-a²-b²-b² =b²-a² 训练58：整式加减实际应用 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □打包带长度列式错 □调价规律混淆 侧边栏素材 常用模型公式 打包带：图1=2a+4b+2c；图2=2a+2b+4c 价格变化：原价×(1+涨)×(1-降) 拼接桌子：长边坐人，短边坐人找通项 即时易错警示 ⚠1. 打包带看清横竖条数，不要重复计数； ⚠2. 先涨后降、先降后升结果相同，不等于原价； 解题小思路 画图梳理数量关系，分步列式化简 易错汇总 打包带线段数数错； 连续百分比变化只算单次； 拼接桌子找通项差值计算失误。 错题摘抄：________________________________________ 1、 🔹基础题（共8题） 第1种 打包方式打包带总长 第2种 打包方式打包带总长 两种打包方式长度差值 康乃馨x、玫瑰y、向日葵z (1)3康2玫1束总价 (2)2康3玫2总价 (3)两束总和 三边3x、4x、5x三角形周长 最小2n-1的三个连续奇数和 原价m，先提10%再九折现价 原价m，先降10%再提10%现价 2、 🔺提升题（共4题） 对比两种调价方案，是否等于原价 桌子长边坐2人，短边1人，n张拼接人数 窗户下部4小正方形，上部半圆，面积、外框总长 甲成人x儿童y，乙成人2x儿童1/2 y，总门票费用 3、 ⭐拓展题（共2题） 某商场销售西装和领带，方案一与方案二比较 小棒拼正方形，(1)第1、2根数量 (2)第n根通项 训练58答案 第1种 打包方式总长=2a+4b+2c 第2种 打包方式总长=2a+2b+4c 两种方式差值=(2a+4b+2c)-(2a+2b+4c)=2b-2c (1) 3x+2y+z (2) 2x+3y+2z (3) 两束总和=5x+5y+3z 三角形周长=3x+4x+5x=12x 三个连续奇数和=(2n-1)+(2n+1)+(2n+3)=6n+3 现价=m×(1+10%)×0.9=0.99m 现价=m×0.9×1.1=0.99m 两种方案结果均为0.99m，都不等于原价，比原价低1%。 n张桌子拼接，长边坐2人，短边坐1人，人数=4n+2 窗户面积=4a²+1/2πa²，外框总长=12a+πa 总门票费用：甲为成人票×x+儿童票×y，乙为成人票×2x+儿童票×1/2y 西装20套，领带x条(x>20)： 方案一：20×1000+(x-20)×200=200x+16000 方案二：(20×1000+200x)×0.9=180x+18000 x=35时：方案一=23000元，方案二=24300元，方案一更合算。 更省钱方案：先按方案一买20套西装获赠20条领带，再按方案二买15条领带，共需20000+200×15×0.9=22700元。 小棒拼正方形：(1)第1个需4根，第2个需7根；(2)第n个需3n+1根 训练59：不含某项求参数 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □合并同类项漏系数 □常数项混淆 侧边栏素材 核心方法 先合并全部同类项； 不含该项 → 该项系数=0； 二次二项式：二次系数≠0，一次或常数项系数为0； 即时易错警示 ⚠1. 未化简直接令字母等于0； ⚠2. 区分二次项、一次项、常数项系数； 解题小思路 统一合并后，提取对应项系数列等式求解 易错汇总 化简不彻底直接赋值； 看错项的系数符号； 二项式条件理解错误。 错题摘抄：________________________________________ 一、🔹基础题（共8题） x²+2x+m 不含常数项，求m ax²+3x-2 不含x²项，求a 2x²-bx+5 不含x项，求b (k-1)x²+2x-3 不含x²项，求k 3x²+(m-2)x+1 不含x项，求m 4x²+3x+n 不含常数项，求n 2x³-ax²+5x-1 不含x²项，求a -x²+(b+1)x-4 不含x项，求b 13、 🔺提升题（共4题） x²+mx+n 不含x、常数项，求m、n (a-2)x²+bx+5 是二次二项式，写条件 3 x²+2xy-y²+kxy+5 不含xy项，求k 4 x²-3xy+y²-ax²+2xy 无x²项，求a 14、 ⭐拓展题（共2题） 2x²+3x+1与ax²+bx+c的和无x、常数项，求a,b,c 已知式子4x^(m-2)是关于x的3次单项式，求m 训练59答案 不含常数项，m=0 不含x²项，a=0 不含x项，-b=0，b=0 不含x²项，k-1=0，k=1 不含x项，m-2=0，m=2 不含常数项，n=0 不含x²项，-a=0，a=0 不含x项，b+1=0，b=-1 不含x项和常数项：m=0，n=0 二次二项式：(a-2)≠0，b=0，即a≠2，b=0 不含xy项：2+k=0，k=-2 无x²项：2-a=0，a=2 (2+a)x²+(3+b)x+(1+c)无x项和常数项： 2+a=0，a=-2；3+b=0，b=-3；1+c=0，c=-1 4x^(m-2)是关于x的3次单项式，m-2=3，m=5 训练60：数与式规律探究 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □日历和倍数找错 □奇数和公式混淆 侧边栏素材 规律公式 两位数10a+b，交换和11(a+b)； 日历9数和=9×中间数；十字5数和=5×中间； 连续奇数和1+3+…+(2n-1)=n²； 即时易错警示 ⚠1. 日历上下相差7； ⚠2. 判断和能否整除中间数要验证整数； 解题小思路 设中间数为字母列式推导通用规律 易错汇总 日历上下数字差值记错； 奇数求和项数计算错误； 解方程后忘记检验是否符合实际数字。 错题摘抄：________________________________________ 1、 🔹基础题（共8题） 两位数交换十位个位，两和能被几整除 十位a个位b，原数+新数列式 日历9格方框，九数和与中间数关系 日历九数和=__×中间数 连续奇数十字框，和与中间15关系 十字框五数和=__×中间数 找规律填空：(1)-23,-18,-13 (2)2/8,3/16… 找规律：(1)2,-4,8 (2)-2,-4,0… 2、 🔺提升题（共4题） 1~9取三数，组成六个两位数相加，除以三数和找规律 十字框五数和85，中间数是多少 和2022、2025能否实现，说明理由 1+3+5+…+99；1+3+…+(2n-1) 3、 ⭐拓展题（共2题） 五个周日和80，求第一个周日日期 奇数数表十字框，证明和=5×中间数 训练60答案 两位数10a+b，交换后为10b+a，两数和=11a+11b=11(a+b)，能被11整除。 十位a，个位b，原数=10a+b，新数=10b+a，两数和=11(a+b)。 日历九格方框中，九数和=9×中间数。 九数和=9×中间数。 连续奇数十字框，和=5×中间数（中间数为15时和为75）。 十字框五数和=5×中间数。 (1) -23，-18，-13，公差为5，下一个为-8。 (2) 观察分子分母规律。 (1) 2，-4，8，公比为-2，下一个为-16。 (2) -2，-4，0，公差为2，下一个为2。 六个两位数相加=22(a+b+c)，除以(a+b+c)得22。 十字框五数和=85，中间数=85÷5=17。 2022÷5=404…2，不能实现；2025÷5=405，可以实现。 1 +3+5+…+99=50²=2500；1+3+…+(2n-1)=n²。 设第一个周日为x，五个周日和为x+(x+7)+(x+14)+(x+21)+(x+28)=5x+70=80，5x=10，x=2。答：第一个周日是2号。 十字框中间数为x，五个数为x-7，x-1，x，x+1，x+7，和为5x。 训练61：图形规律计数 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □相邻差值算错 □通项写错 侧边栏素材 等差数列规律 第1项a₁，公差d，通项 aₙ=a₁+(n-1)d； 图形计数先列前3项，找固定差值； 即时易错警示 ⚠1. n=1代入验证通项是否匹配； ⚠2. 桌椅、小棒数不要数重复； 解题小思路 列出n=1、2、3对应数量，计算差值写整式 易错汇总 公差计算正负颠倒； 代入n检验忘记； 图形内外数量重复计数。 错题摘抄：________________________________________ 1、 🔹基础题（共8题） 1桌6椅，2桌10椅，(1)3桌数量 (2)n桌通项 1图5根，2图9根，(1)第4图 (2)第n图 1组3枚，2组6枚，(1)第4组 (2)通项 小屋子1图5枚，(1)第4图 (2)通项 拼三角形3、5根，(1)第5个 (2)通项 圆圈1,4,9，(1)第4个 (2)通项 正方形4、7根，(1)第5个 (2)通项 T型5、8枚，(1)第4个 (2)通项 2、 🔺提升题（共4题） 6、11根一组，(1)通项 (2)100根是第几个 2 桌8人，3桌10人，8张拼大桌总人数 3、7根拼图形，(1)通项 (2)99根序号 4、7枚棋子，第100个数量 4、 ⭐拓展题（共2题） 从2开始连续偶数求和规律 1、4、9个圈，(1)通项 (2)总数144求n 训练61答案 (1) 3桌：6+4+4=14把椅子 (2) n桌：6+4(n-1)=4n+2把椅子 (1) 第4图：5+3×3=14根 (2) 第n图：5+4(n-1)=4n+1根 (1) 第4组：3+3×3=12枚 (2) 通项：3n枚 (1) 第4图：5+3×3=17枚 (2) 通项：4n+1枚 (1) 第5个：3+2×4=11根 (2) 通项：2n+1根 (1) 第4个：4²=16个 (2) 通项：n²个 (1) 第5个：4+3×4=16根 (2) 通项：3n+1根 (1) 第4个：5+3×3=14枚 (2) 通项：3n+2枚 (1) 通项：5n+1 (2) 5n+1=100，5n=99，n=19.8，不是整数，所以100根不是该数列中的项。 2桌8人，3桌10人，通项为2n+4，8张桌总人数=2×8+4=20人。 (1) 通项：4n-1 (2) 4n-1=99，4n=100，n=25 4、7枚，通项为3n+1，第100个=3×100+1=301枚。 从2开始连续偶数求和：2+4+6+…+2n=n(n+1) (1) 通项：n² (2) n²=144，n=12 训练62：数字游戏整式解释 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □列式化简错 □密码换算反推错 侧边栏素材 数字游戏解题逻辑 设心里数字为x，按步骤列式化简，消去变量得定值； 字母加密：密文=原文±偏移数； 即时易错警示 ⚠1. 乘加减顺序写错，化简出错； ⚠2. 解密加减方向搞反； 解题小思路 完整写出运算代数式，合并化简找定值规律 易错汇总 运算顺序颠倒导致式子错误； 加密解密加减混淆； 整除规律代数式拆分不清。 错题摘抄：________________________________________ 1、 🔹基础题（共8题） 心里数x：×4+8×5+7，列式 化简上式代数式 结果1235，求原数 ×2+6×3-18÷6，规律 字母后移2位，kccr解密 前移3位，khoor解密 密文=原文+2，meet加密 结果100x+235，求原数方法 2、 🔺提升题（共4题） 列式化简，结果1235求原数 自主设计数字游戏并用整式证明 字母后移2，解密长句 三位数100a+10b+c，整除3原理 3、 ⭐拓展题（共2题） 四位数能否用相同规律判断被3整除 末两位00、25、50、75能被25，整式说明 训练62答案 列式：(4x+8)×5+7 化简：(4x+8)×5+7=20x+40+7=20x+47 20x+47=1235，20x=1188，x=59.4 规律：(2x+6)×3-18÷6=6x+18-3=6x+15 kccr往后移2位：k→m，c→e，c→e，r→t，解密为meet khoor前移3位：k→h，h→e，o→l，o→l，r→o，解密为hello meet加密后移2位：m→o，e→g，e→g，t→v，密文为oggv 结果=100x+235，原数=(结果-235)÷100 同上，设原数为x，20x+47=1235，x=59.4 示例：心里数x，乘以2加3，再乘以5，减去15，再除以10，结果等于x。 证明：(2x+3)×5-15=10x+15-15=10x，10x÷10=x。 字母后移2位解密，整体前移2位。 100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)，能被3整除的充要条件是a+b+c能被3整除。 四位数的各位数字和为a+b+c+d，若和能被3整除，则四位数能被3整除。 末两位为00、25、50、75时，数可表示为100n+25k，100n能被25整除，25k能被25整除，所以整个数能被25整除。 训练63：归纳策略综合规律 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □网格正方形数漏算 □周期余数错 侧边栏素材 归纳步骤 列举少量简单情况→找差值/周期→写通项； m×m网格正方形总数：1²+2²+…+m²； 3的幂个位周期：3、9、7、1循环； 即时易错警示 ⚠1. 网格漏算边长2、3…正方形； ⚠2. 周期除法余数为0对应最后一个数； 解题小思路 从小数值枚举，对比变化特征归纳公式 易错汇总 网格只算边长1正方形； 周期循环余数判断失误； 绳子对折指数混淆。 错题摘抄：________________________________________ 一、🔹基础题（共8题） 长方形内1点4三角，2点6三角，(1)3点 (2)n点通项 4×4网格各边长正方形数量、总数 m×m网格正方形总数代数式 3¹、3²…个位周期 求3²⁰²⁴个位数字 单项式3/4x²、5/9x⁴…写第n个 绳子折三段，剪1刀4段，(1)剪3刀 (2)n刀通项 奇数10行10个数求和 15、 🔺提升题（共4题） 长方形内100个点，三角形数量 化合物氢原子4、6、8，第60种数量 8行9列网格正方形总数 归纳4×4网格计数方法 16、 ⭐拓展题（共2题） 观察下列多项式，按此规律写第n个 火柴棒拼搭图形，第5个和第20个图案各需多少根 训练63答案 (1) 3个点：2×3+2=8个三角形 (2) n个点：2n+2个三角形 4×4网格中： 边长1正方形：16个 边长2正方形：9个 边长3正方形：4个 边长4正方形：1个 总数：16+9+4+1=30个 m×m网格正方形总数：1²+2²+3²+…+m² 3¹=3，3²=9，3³=27，3⁴=81，3⁵=243，… 个位数字周期为：3，9，7，1循环，周期为4。 2024÷4=506余0，对应周期第4个数，3²⁰²⁴的个位数字是1。 第n个单项式：(-1)ⁿ⁺¹×(2n+1)/(n+1)²×x^(2n) (1) 剪3刀：3×3+1=10段 (2) n刀：3n+1段 奇数10行10个数求和=10²=100 长方形内n个点，三角形数量=2n+2，100个点时有202个三角形。 氢原子数量：4，6，8，...通项为2n+2，第60种为2×60+2=122。 8 行9列网格中，边长1正方形：8×9=72个；边长2：7×8=56个；边长3：6×7=42个；边长4：5×6=30个；边长5：4×5=20个；边长6：3×4=12个；边长7：2×3=6个；边长8：1×2=2个。总数=72+56+42+30+20+12+6+2=240个。 4×4网格计数方法：分别统计各边长正方形数量再相加。 观察多项式规律：-a+b，2a²-b³，-3a³+b⁵，4a⁴-b⁷，... 第n个多项式：(-1)ⁿ×n×aⁿ+(-1)ⁿ⁺¹×b^(2n-1) 第5个图案需43根，第20个图案需463根。 训练64：整式加减滚动综合 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □图形通项写错 □平方和混淆 侧边栏素材 综合要点 图形计数全部用一次整式表达； 三位数交换差值用整式证明整除； 奇数平方和直接套用求和公式； 即时易错警示 ⚠1. 图形规律公差找反； ⚠2. (a+b)²与a²+b²区分； 解题小思路 先推导通项，再代入求值，应用题列式化简 易错汇总 图形通项常数项出错； 连续奇数求和项数计算错； 实际场景列式化简遗漏条件。 错题摘抄：________________________________________ 1、 🔹基础题（共8题） 小屋子5、9枚，第n个棋子数 第10个小屋子棋子 T型5、8枚，第n个 第10个T型棋子 百位a十位b个位c：原数、交换、差值 三位数交换差能被几整除 1+3+…+19；1+3+…+(2n-1) 十字框和是中间数几倍 2、 🔺提升题（共4题） 整式证明末两位00、25等能被25整除 9 张拼成一组，16n把椅子摆放方式 对比两种拼接，300人需要更少桌子 长边2短边1，n张桌子人数，36人型号 17、 ⭐拓展题（共2题） 自主设计心里数字游戏，整式解释 1、5、13个正方形，(1)第n个 (2)第10个 训练64答案 小屋子棋子数：第1个5枚，第2个9枚，通项为4n+1。 第10个：4×10+1=41枚。 T型棋子数：第1个5枚，第2个8枚，通项为3n+2。 第10个：3×10+2=32枚。 原数=100a+10b+c，交换后=100c+10b+a，差值=99a-99c=99(a-c)。 三位数交换差能被99整除。 1+3+5+…+19=10²=100；1+3+5+…+(2n-1)=n²。 十字框五数和=5×中间数。 末两位为00、25、50、75时，数可表示为100n+25k，100n和25k都能被25整除，所以整个数能被25整除。 8张拼成一组，16n把椅子，即每8张桌子配16n把椅子。 两种拼接方式比较，300人需要更少的桌子。 长边坐2人，短边坐1人，n张桌子可坐2n+2人，36人需17张桌子。 心里数字游戏示例：心里想一个数x，乘以3加6，再除以3，结果比原数大2。证明：(3x+6)÷3=x+2。 正方形个数：1，5，13，... 第n个：2n²-2n+1；第10个：2×100-20+1=181。 学科网（北京）股份有限公司 $