第一单元 丰富的图形世界-【学习帮】2026-2027学年六年级上册数学同步计算专项练习（鲁教版五四制）

**基本信息** 以公式速记与易错警示为核心，构建从棱柱基础计算到旋转体综合应用的递进式训练体系，强化空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |棱柱棱顶点面计算|8基础+4提升+2拓展|n棱柱公式（顶点2n/棱3n/面n+2）及互化方法|从具体棱柱到n棱柱代数式，构建空间图形数量关系认知| |侧面积与表面积|8基础+4提升+2拓展|直棱柱侧面积=底面周长×侧棱长，表面积=侧面积+2底面积|由侧面积到表面积，强化平面与立体转化的几何直观| |展开图计算|8基础+4提升+2拓展|正方体11种展开图规律，剪开棱=总棱-（面数-1）|通过展开图与立体图形互化，培养空间观念与推理意识| |旋转体与粮仓容积|8基础+4提升+2拓展|圆柱圆锥公式，旋转半径判断口诀，粮仓容积分算求和|从平面图形旋转到组合体计算，提升综合应用与模型意识|

第一单元 丰富的图形世界 训练1：棱柱的棱、顶点、面数量计算 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □少量公式记错 □列式计算失误 侧边栏素材 核心公式（速记口诀） n棱柱通用： 顶点数 = 2n，棱数 = 3n，面数 = n+2 口诀：上下各 n 个顶点，三边（上下底 + 侧棱）共 3n 条，两面加 n 个侧面 即时易错警示 ⚠1. 六棱柱 n=6，别误把棱数算成 6； ⚠2. 面包含上下 2 个底面，不止侧面； 解题小思路 已知顶点求 n：n = 顶点 ÷2；已知棱求 n：n = 棱 ÷3；已知面求 n = 面- 2 易错汇总 混淆侧棱和全部棱，侧棱仅 n 条，总棱 3n； 展开剪开棱：总棱 -（面数 - 1）= 剪开数量； n≥3，不存在二棱柱 错题摘抄：________________________________________ 1、 🔹基础题（共 8 题） 三棱柱有____个顶点，____条棱，____个面。 四棱柱有____个顶点，____条棱，____个面。 五棱柱有____个顶点，____条棱，____个面。 六棱柱有____个顶点，____条棱，____个面。 一个棱柱共 12 个顶点，它是____棱柱，棱____条，面____个。 一个棱柱共 21 条棱，它是____棱柱，顶点____个，面____个。 一个棱柱共 9 个面，它是____棱柱，顶点____个，棱____条。 六棱柱底面为____边形，侧面共____个，侧棱____条。 2、 🔺提升题（共 4 题） 若某棱柱棱数是面数的 3 倍，判断是否存在该棱柱，说明理由。 七棱柱顶点、面、棱各多少条？展开成平面至少剪开几条棱？ 是否存在顶点数为棱数一半的棱柱？说明理由。 底面为正八边形棱柱，侧棱长 6cm，底面边长 3cm，求全部侧面积和。 3、 ⭐拓展题（共 2 题） 用含 n 的代数式表示 n 棱柱：（1）顶点数（2）棱数（3）面数 某棱柱顶点 + 棱 + 面总和 = 32，判断是几棱柱。 训练1答案 三棱柱：顶点6，棱9，面5 解析：n=3，顶点=2×3=6，棱=3×3=9，面=3+2=5 四棱柱：顶点8，棱12，面6 解析：n=4，2×4=8，3×4=12，4+2=6 五棱柱：顶点10，棱15，面7 解析：n=5，2×5=10，3×5=15，5+2=7 六棱柱：顶点12，棱18，面8 解析：n=6，2×6=12，3×6=18，6+2=8 12个顶点：n=12÷2=6，六棱柱；棱=3×6=18，面=6+2=8 21条棱：n=21÷3=7，七棱柱；顶点=2×7=14，面=7+2=9 9个面：n=9-2=7，七棱柱；顶点=2×7=14，棱=3×7=21 六棱柱底面为六边形，侧面6个，侧棱6条 解：设n棱柱，棱=3n，面=n+2 由题意3n=3(n+2)，则3n=3n+6，等式不成立，无解 答：不存在该棱柱。 七棱柱n=7 顶点：2×7=14（个） 面：7+2=9（个） 棱：3×7=21（条） 展开保留棱=面数-1=9-1=8（条） 剪开棱=总棱-保留棱=21-8=13（条） 答：七棱柱有14个顶点、9个面、21条棱，展开成平面至少剪开13条棱。 顶点=2n，棱=3n 若顶点数为棱数的一半，则2n=(1/2)×3n 2n=1.5n 0.5n=0 n=0，无意义 答：不存在这样的棱柱。 正八边形n=8，底面周长=3×8=24（cm） 侧面积=底面周长×侧棱长=24×6=144（cm²） 答：全部侧面积和为144 cm²。 (1) 顶点数=2n；(2) 棱数=3n；(3) 面数=n+2 设n棱柱，顶点+棱+面=2n+3n+(n+2)=32 6n+2=32 6n=30 n=5 答：是五棱柱。 训练2：棱柱侧面积与表面积计算 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □表面积漏面 □代数式写错 侧边栏素材 核心公式速记 直棱柱侧面积=底面周长×侧棱长 长方体表面积=2(ab+bc+ac) 正方体表面积=6a² 无盖长方体：少一个顶面 即时易错警示 ⚠1. 侧面积不含上下底面，表面积要加两个底面； ⚠2. 正棱柱周长=边长×边数； 解题小思路 已知侧面积反求边长：边长=侧面积÷侧棱长÷底面边数 易错汇总 求表面积时漏算/多算底面； 无盖容器计算直接减去一个正方形面积； 比例类几何体先设未知数再列式。 错题摘抄：________________________________________ 1、 🔹基础题（共8题） 正六棱柱底面边长4cm，侧棱5cm，侧面积总和____cm²。 正五棱柱底面边长3cm，侧棱7cm，侧面积总和____cm²。 三棱柱三边3、4、5cm，侧棱6cm，侧面积总和____cm²。 长方体长5、宽3、高4cm，表面积____cm²。 正方体棱长a，表面积代数式：____。 正方体表面积216cm²，棱长____cm。 棱柱侧面展开长方形长20宽8，底面周长____，侧棱____。 正三棱柱底面边长a，侧棱h，侧面积代数式：____。 2、 🔺提升题（共4题） 正五棱柱底面边长6，侧棱10：（1）一共几个面（2）侧面积总和？ 正六棱柱侧棱8，侧面积288cm²，求底面边长。 长方体长宽高比3:2:1，表面积88cm²，求长宽高。 根据棱柱展开图尺寸，计算完整表面积。 3、 ⭐拓展题（共2题） n棱柱底面正n边形，边长a，侧棱h：（1）侧面积代数式（2）n=8,a=3,h=5求值 边长20cm正方形四角剪去x小正方形折无盖盒：（1）底面积（2）x=3求容积 训练2答案 底面周长=4×6=24（cm），侧面积=24×5=120（cm²） 底面周长=3×5=15（cm），侧面积=15×7=105（cm²） 底面周长=3+4+5=12（cm），侧面积=12×6=72（cm²） 长方体表面积=2×(5×3+5×4+3×4)=2×(15+20+12)=2×47=94（cm²） 正方体表面积=6a² 6 a²=216，a²=36，a=6（cm） 侧面展开图的长=底面周长=20，宽=侧棱=8 正三棱柱底面周长=3a，侧面积=3a×h=3ah (1) 面数=5+2=7（个） (2) 底面周长=6×5=30，侧面积=30×10=300（cm²） 设底面边长为x，正六棱柱底面周长=6x 侧面积=底面周长×侧棱长=6x×8=288 48x=288 x=6（cm） 答：底面边长为6cm。 设长宽高分别为3x、2x、x 表面积=2(3x·2x+3x·x+2x·x)=88 7 (6x²+3x²+2x²)=88 2×11x²=88 22x²=88 x²=4 x=2 长=3×2=6（cm），宽=2×2=4（cm），高=1×2=2（cm） 完整表面积=2个底面积+侧面积（根据具体展开图尺寸计算） (1) 侧面积=底面周长×侧棱长=n×a×h=nah (2) n=8，a=3，h=5时，侧面积=8×3×5=120（cm²） (1) 底面积=(20-2x)×(20-2x)=(20-2x)² (2) x=3时，底边=20-2×3=14（cm），底面积=14×14=196（cm²） 容积=底面积×高=196×3=588（cm³） 训练3：展开图棱长与面积计算 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □相对面判断错 □剪开棱公式混淆 侧边栏素材 核心规律速记 正方体11种展开图：一四一、二三一、二二二、三三； 相对面：同行隔一个，异行隔一列； 未剪开棱=面数-1，剪开棱=总棱-未剪开棱 即时易错警示 ⚠1. “田字、凹字”无法折正方体； ⚠2. 展开图最大线段为立体空间对角线； 解题小思路 求剪开棱数量：先数立体总棱，再用面数-1求保留棱 易错汇总 分不清相邻面、相对面； 剪开棱公式易记反； 展开图面积=立体表面积，无需增减。 错题摘抄：________________________________________ 1、 🔹基础题（共8题） 下列图形不能折正方体的是（A/B/C/D） 正方体展开图，与A相对的面为____。 展开图中数字1相对的数字是？ 正方体棱长4，展开图总面积____cm²。 等边三角形底3，侧面长方形长5，三棱柱表面积____。 棱长2正方体展开图最长线段____cm。 长方体长宽高5、3、2，展开图周长____cm。 正方体展开未剪开棱共____条。 2、 🔺提升题（共4题） 展开图标字母，写出F的相对面。 正方体相对面和为7，填写展开图数字1-6。 长方体a>b>c，展开最大长方形面积代数式。 长30宽20纸板剪x折无盖盒：（1）底面积（2）容积代数式。 3、 ⭐拓展题（共2题） 无盖正方体有多少种平面展开图？简单描述形态。 正方体12条棱，展开需要剪开几条？说明理由。 训练3答案 田字、凹字形不能折成正方体，选对应选项。 在正方体展开图中，同行或同列隔一个的方格是相对面（根据具体图形判断）。 同列隔一个为对面（根据具体图形判断）。 展开图总面积=正方体表面积=6×4²=6×16=96（cm²） 等边三角形面积计算需用公式，三棱柱表面积=2个三角形面积+3个长方形面积。 等边三角形面积=1/2×3×(3×√3/2)= (9√3)/4 2个三角形面积= (9√3)/2 3个长方形面积=3×5×3=45 表面积= (9√3)/2+45（cm²） 展开图中最长线段为跨三个面的对角线，长度为√(2²+2²+2²)=√12=2√3（cm） 长方体展开图外围周长=2×(长+宽)×2+2×(宽+高)=2×8×2+2×5=42（cm） 正方体展开后保留5条未剪开的棱。 同行隔一个为对面（根据具体字母图判断）。 相对面和为7，则1对6，2对5，3对4，按间隔填写。 最大长方形面积=(a+b)×c。 (1) 底面积=(30-2x)(20-2x) (2) 容积=(30-2x)(20-2x)×x 无盖正方体展开图共有8种：一四一型5种，一三二型2种，三三型1种。 正方体共有12条棱，展开后需保持连通，至少保留5条棱不剪开。 剪开棱数=12-5=7（条） 答：需要剪开7条棱。 训练4：旋转体侧面积与粮仓容积 建议用时：15 分钟｜自评打卡 □全对 □忘记1/3 □旋转半径搞反 侧边栏素材 核心公式速记 圆柱侧面积=2πrh 圆柱体积=πr²h 圆锥体积=1/3πr²h 粮仓容积=圆柱+圆锥体积 口诀：绕长转宽为半径，绕宽转长为半径 即时易错警示 ⚠1. 圆锥体积必须乘1/3，极易遗漏； ⚠2. 区分旋转轴（高）和旋转半径； 解题小思路 组合粮仓分开算圆柱、圆锥再相加 易错汇总 圆锥体积漏乘1/3； 旋转时半径、高搞反； 单位换算：千克转吨÷1000。 错题摘抄：________________________________________ 1、 🔹基础题（共8题） 长方形长6宽4：（1）绕长旋转r=__ h=（2）绕宽旋转r= h=__ 长方形长a宽b，分别旋转圆柱侧面积代数式，对比是否相等。 直角边3、4，绕短边旋转，底面半径__，高__。 r=3 h=5圆柱侧面积、体积（π=3.14） r=2 h=6圆锥体积（π=3.14） 圆柱r=2 h=3，圆锥h=2，粮仓总容积。 圆柱侧面积62.8，r=2，求高。 AB=5 BC=3，以AB旋转，几何体名称、侧面积。 2、 🔺提升题（共4题） 长a宽b两种旋转：侧面积、体积代数式；a=8 b=5求比值。 圆柱圆锥粮仓：求容积、换算粮食吨数。 等底等高圆柱圆锥，圆柱60cm³，圆锥体积。 长18.84宽10围圆柱，两种围法半径、体积对比。 3、 ⭐拓展题（共2题） 长方形旋转侧面积=长方形面积2倍，求长宽之比。 粮仓r、圆柱高h1、圆锥高h2：（1）容积代数式（2）代入求值（3）圆锥高翻倍求增量 训练4答案 (1) 绕长旋转：r=4，h=6；(2) 绕宽旋转：r=6，h=4 (1) 绕长旋转侧面积=2π×b×a=2πab (2) 绕宽旋转侧面积=2π×a×b=2πab (3) 两种旋转侧面积相等，均为2πab 绕短边（3）旋转：底面半径=4，高=3 侧面积=2πrh=2×3.14×3×5=94.2 体积=πr²h=3.14×9×5=141.3 圆锥体积=1/3×πr²h=1/3×3.14×4×6=25.12 圆柱体积=πr²h=3.14×4×3=37.68 圆锥体积=1/3×πr²h=1/3×3.14×4×2≈8.37 粮仓总容积=37.68+8.37=46.05（m³） 侧面积=2πrh，62.8=2×3.14×2×h 62.8=12.56h，h=5（cm） 以AB为轴旋转，得到圆柱，r=3，h=5 侧面积=2πrh=2×3.14×3×5=94.2（cm²） (1) 绕长旋转：S=2πab，绕宽旋转：S=2πab，侧面积相等。 (2) 绕长旋转：V=πb²a，绕宽旋转：V=πa²b (3) a=8，b=5时，侧面积比=1:1；体积比=(π×25×8):(π×64×5)=200:320=5:8 粮仓容积=圆柱体积+圆锥体积=πr²h₁+1/3πr²h₂ 质量=总容积×750÷1000（吨） 等底等高的圆锥体积是圆柱体积的1/3，圆锥体积=60×1/3=20（cm³） (1) 以长为底面周长：18.84÷(2×3.14)=3，r=3，h=10 体积=3.14×9×10=282.6 (2) 以宽为底面周长：10÷6.28≈1.59，h=18.84 体积≈3.14×1.59²×18.84≈149.2 (3) 以长作底面周长时体积更大。 设长a，宽b，侧面积=2πab；长方形面积=ab 若2πab=2ab，则π=2，矛盾。 答：不存在这样的长方形。 (1) 粮仓容积=πr²h₁+1/3πr²h₂ (2) r=3，h₁=4，h₂=3时： 圆柱体积=3.14×9×4=113.04 圆锥体积=1/3×3.14×9×3=28.26 总容积=113.04+28.26=141.3（m³） (3) h₂翻倍为6时，圆锥体积增加=1/3×3.14×9×3=28.26（m³） 学科网（北京）股份有限公司 $