山西太原市山西大学附属中学校2026年高一数学暑假作业20空间垂直

**基本信息** 聚焦空间垂直关系的系统性训练，通过多题型整合线线、线面、面面垂直的判定与性质，强化空间观念与逻辑推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-3|命题真假判断|线线、线面垂直判定定理的准确应用| |几何模型|单选4-6、多选7-8|结合圆锥、四面体、四棱台等几何体|从具体模型中抽象垂直关系，深化线面垂直向面面垂直的转化| |计算与证明|填空9-10、解答11-12|动态探究与定量计算|垂直性质的逆向应用，培养空间几何量计算的推理严谨性|

暑假作业20 答案 一、单选题 1．【详解】对于A，若，则β与γ可能相交，所以选项A错误; 对于B和C，若，则b与c可能平行，也可能是异面直线，也可能是相交直线，所以选项B，C都错误; 对于D，若，由平行于同一平面的两平面平行，可得，所以选项D正确. 2．【详解】因为平面，平面， 所以，，，故D正确； 因为为正方形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以，故B正确； 假设， 则由平面，得平面， 因为平面，所以，显然不成立，故假设不成立，故C错误. 3．【详解】对于选项A：当，时，，所以本选项不符合题意； 对于选项B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； 对于选项C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； 对于选项D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 4．【详解】为圆锥底面直径,且，则是圆锥底面的圆心. 是圆锥的高，即圆锥底面，因此在底面的射影为， 所以与圆锥底面所成角为. 由题设，且，则是等腰直角三角形， 可得，即与圆锥底面所成角为 5．【详解】因为，，又，所以平面， 又平面，所以平面平面， 因此在平面内的射影必在平面与平面的交线上． 6．【详解】 设的中点为，因为是边长为2的等边三角形， 故且，同理且， 故为的平面角，而平面平面， 故，故. 二、多选题 7．【详解】选项A：因为垂直于圆所在的平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面，故选项A正确； 选项B：因为平面，平面， 所以， 因为是圆的直径，且为圆周上不与点，重合的点， 所以，即， 因为，平面， 所以平面，故选项B正确； 选项C：因为平面，平面， 所以， 因为于点，，平面， 所以平面，因为平面， 所以， 因为于点，，平面， 所以平面，故选项C正确； 选项D：平面平面，平面，于点， 假设平面平面，则必有平面， 因为平面，则必有， 因为平面，平面，则有， 因为平面，则必有， 因为垂直于圆所在的平面，， 所以，因为于点， 所以为的中点，由，则为的中点， 又于点，则， 因为是圆的直径， 且为圆周上不与点，重合的点，，推出矛盾. 故假设错误， 选项D错误. 8．【详解】对于A：因为底面为正方形，所以，因为平面， 平面，所以，又，平面， 所以平面，故A正确； 对于B：该四棱台的体积为，故B正确； 对于C：因为平面，平面，所以， 又因为，平面，，所以平面， 因为平面，所以，又因为，所以二面角的平面角即为， 因为，所以，故C错误； 对于D：因为平面，底面为正方形，所以四棱锥的外接球的球心在过正方形的中心且垂直于平面的直线上， 同时也在过的外心且垂直于平面的直线上，易知是以为直角的直角三角形， 则两直线的交点为的中点，所以四棱锥的外接球的球心即为的中点，故D正确． 三、填空题 9．【详解】连接，因为平面，平面， 所以，又，， 所以平面，又平面，则， 由矩形可知. 因为， 所以,解得， 则， 故答案为：. 10． 【详解】如下图所示，以、为邻边作正方形，连接， 则，又因为，，， 故二面角的平面角为， 因为四边形为正方形，则， 所以在中，， 则， 因为，，所以， 又因为，，平面， 故平面， 因为平面，则， 故， 因为，所以就是异面直线与所成角或其补角， 由于， 故异面直线与所成角的余弦值为， 故答案为：. 四、解答题 11．【答案】(1)如图，连接，交于点，连接．    在长方体中，四边形是矩形， 因为对角线与交于点，所以为的中点， 又点是棱的中点，所以 ， 又平面 平面，所以平面． (2)连接． 在长方体中，四边形是矩形，所以 ， 因为点分别是棱的中点，， 所以 ，所以四边形是正方形，． 在长方体中，平面， 又平面，所以． 因为 平面， 所以平面． 12．【详解】（1）连接，交于，在面内过作，交于， 由面，面，则面， 故与重合时，满足题设要求， 根据长方体的性质，易知是的中点，故，即所求是中点， 所以； （2）存在，且，理由如下， 要使恒成立，只需垂直于所在平面即可， 当面，而面，故， 此时，即， 所以，则，可得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学暑假作业20 垂直 一、单选题 1．已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．如图，平面，为正方形，下列结论不正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A．， B．， C．， D．，， 4．如图，为圆锥底面直径，，若，则与圆锥底面所成角为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在四面体中，已知，，那么顶点在平面内的射影必在（   ） A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部 6．如图，在三棱锥中，和是边长为2的等边三角形，平面平面，则（   ） A． B．2 C． D． 二、多选题 7．如图，是圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（     ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 8．如图，在四棱台中，，平面，底面为正方形，则（   ） A．BD⊥平面 B．该四棱台的体积为 C．二面角的大小为 D．四棱锥的外接球的球心在上 三、填空题 9．在矩形中，，，平面，且，E为上一点，，则的长为______________． 10．已知在大小为的二面角中，于点于点，且，则直线与所成角的余弦值为___________． 四、解答题 11．如图，在长方体中，，点，分别是棱，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 12．在长方体中，，，E为棱上一动点， (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $