暑假作业07 解三角形解答题专练（巩固培优,8知识9题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高一数学人教A版

**基本信息** 该专项系统整合解三角形核心定理、实际应用及综合拓展，通过分类题型与方法提炼，培养数学眼光下的问题抽象与数学思维的逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|8大模块（含射影定理等拓展）|定理适用范围、边角互化、解的个数分类、实际问题建模流程|从基础定理到面积计算，再到解的判断，形成“概念-原理-应用”逻辑链| |题型突破|9类题型（含各地模拟题）|正余弦定理应用、面积公式选择、综合问题转化技巧|从单一计算到形状判断、综合拓展，体现“基础-综合-应用”递进关系|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业07 解三角形解答题专练   【知识点1 正弦定理】 1.定理内容：2R（为 ） 2.边角互化：（1）a=，b= ， ； (2)sin A＝ ,sin B＝ ，sin C＝ ； (3)a∶b∶c＝ . 3.正弦定理适用范围 0. 已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 0. 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 （3）在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者的齐次式，可以考虑用正弦定理. 【知识点2 余弦定理】 1.定理内容： ，b2= ，c2= 2.推论（求角）：cosA= ，cosB= ，cosC= 3.余弦定理适用范围 （1）已知两边及它们的夹角，求第三边，可用余弦定理求解 （2）已知三边，求三角形的三个角.可用余弦定理.由于余弦函数在)上单调，所以得到的角的大小是唯一的. 【知识点3 三角形的面积公式】 核心公式： 拓展公式：，为内切圆半径） 【知识点4 三角形解的个数】 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时： 若A为直角或者钝角时： 【知识点5 测量中的几个有关术语】 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫作仰角，目标视线在水平视线下方的叫作俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫作方位角.方位角θ的范围是0°≤θ＜360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α (1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 【知识点6 解三角形的实际应用】 解决与三角形有关的实际问题的解题思路. 在解决实际问题时，如果涉及三角形问题，可以把它抽象为解三角形问题进行解答，然后再还原为实际问题，这个过程可以用如下流程图表示. 解三角形 三角形内角和定理及其他三角和几何知识 正弦定理 余弦定理 实际问题的解 数学模型的解 实际问题 数学模型 抽象概括 还原 推理 运算 【知识点7三角形中的射影定理（拓展）】 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝ ；c＝ 【知识点8 三角形中的中线与角平分线的相关结论（拓展）】 1.中线 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， ①向量形式： 结论： ②角形式： 在中有：; 在中有：; 2.角平分线 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， ①内角平分线定理： 或 ②等面积法 ③角形式： 在中有：; 在中有：; 【题型1 利用正、余弦定理解三角形】 1．（25-26高一下·北京平谷·阶段检测）在中，角的对边分别为，若， (1)求的值和 (2)求的值． 2．（25-26高一下·天津蓟州·期中）已知三角形的角的对边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值． 3．（2026·山东济南·模拟预测）在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，为的中点，设． (1)求； (2)求的值． 4．（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，角､，的对边分别为，，，已知，.在下列三个条件中选择能使三角形存在的一个条件，补充在下面的问题中，并求解. （1）请写出你的选择，并求出； （2）在（1）的结论下，已知点在线段上，且，求长. ①；②；③. (若选择多个条件分别作答，按第一个计分.) 【题型2 利用正、余弦定理判定三角形形状】 1．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)已知，证明：是等腰三角形． 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且满足，． (1)若，求的值； (2)求角的最大值，并判断此时的形状． 3．（24-25高一下·重庆南岸·期中）的内角的对边分别为，已知 (1)求角的大小； (2)若，，判断三角形形状． 4．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)设的面积为，，判断的形状． 【题型3 三角形的面积问题】 1．（25-26高一下·北京·期中）在中，． (1)求的值； (2)求的面积． 2．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角； (2)若，求边长和的面积. 3．（23-24高一下·北京·期末）在中，角A．B．C的对边分别为a，b，c，已知． (1)问：中是否必有一个内角为钝角，说明理由； (2)从下列四个条件中选取三个，使得存在，并求出的面积． ①；②；③；④． 4．（2026·山东威海·二模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)如图，已知为外一点，，，，求平面四边形面积的最大值． 【题型4 三角形的周长问题】 1．（2026高一·黑龙江佳木斯·期中）记的内角的对边分别为且. (1)求； (2)若，的面积为求的周长. 2．（2026高一·河北石家庄·期中）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，，求的周长． 4．（25-26高一下·全国·期末）在中，内角的对边分别是. (1)求的值； (2)若，求周长的最大值. 【题型5 三角形的边长问题】 1．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）记的内角的对边分别为．已知，，且为锐角三角形． (1)求； (2)求的取值范围． 2．（2026·山东临沂·二模）已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求角C； (2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． 3．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)若D在边上且，，求的最大值． 4．（2026·江西·模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)当时，的面积为，周长为，求的取值范围． 5．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若，当的周长最小时，求的值． 【题型6 三角形的角度问题】 1．（2026·北京大兴·三模）在中，. (1)证明：为等腰三角形； (2)若AC边上的高与BC边上的高之比为1:3，求. 2．（25-26高三上·重庆·阶段检测）在 中，角的对边分别为， (1)证明：； (2)若，求. 3．（2026·安徽·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：； (2)求的取值范围． 4．（2026·新疆·二模）如图，四边形为圆内接四边形，，，． (1)求； (2)若，求的面积． 5．（25-26高二下·贵州遵义·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，且． (1)证明：； (2)求的取值范围． 6．（2026·河北保定·模拟预测）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且 . (1)证明: ； (2)若是锐角三角形，求 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【题型7 解三角形与三角函数综合】 1．记的内角，，的对边分别为，，. (1)求证：“”是“”的充要条件； 2．（25-26高一下·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)若，的周长等于6，求a，b． (2)若为锐角三角形，且的面积满足. （ⅰ）求； （ⅱ）求面积的取值范围． 3．（25-26高一下·天津静海·阶段检测）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知，求周长的取值范围． 4．（2026·安徽合肥·三模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 5．（25-26高一下·湖南·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，. (1)求角B； (2)若的面积为，求的值； (3)若为锐角三角形，求面积的取值范围. 【题型8 解三角形与平面向量综合】 1．（25-26高三上·河南信阳·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 2．（2026·江苏盐城·模拟预测）中，角所对的边分别为．为边上的中线，点，分别为边上动点，交于．已知，且． (1)求； (2)设，若，求； 3．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知的内角所对的边分别为，且，点为三角形内部一点，且满足. (1)求. (2)若，求的值. 4．（25-26高一下·吉林长春·期中）在中，已知a，b，c分别三个内角A，B，C的对边，且，点D为边AB上一点． (1)求角C； (2)已知D是边AB上一点，． ①若，求的最小值； ②若存在，使得，且，求的周长． 【题型9 解三角形的实际应用】 1．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）如图，某斜面上有两根垂直于水平面放置的标杆，杆长均为1m，阳光可视为平行光.其中一根标杆竖直立于水平地面，影子落在水平面上，影长为；另一根标杆竖直立于斜面上，影子完全投射在斜面上，影长为． (1)求平行阳光与水平面所成锐角的正弦值； (2)求的值. 2．（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，其中A，C均为锐角． (1)求索道AB的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 3．（25-26高一下·上海·期中）如图，有一位于处的观测站，某时刻发现其北偏东且与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶，分钟后又测得该船位于观测站北偏东（其中，），且与观测站相距海里的处． (1)求的值； (2)求该船的行驶速度（海里/小时）； (3)在离观测站的正南方海里的处有一半径为3海里的警戒区域，并且要求进入警戒区域的船只不得停留在该区域超过分钟．如果货船不改变航向和速度继续前行，则该货船是否会进入警戒区域？若进入警戒区域，是否能按规定时间离开该区域？请说明理由． 4．（25-26高一下·吉林长春·阶段检测）我校西门有一条长600米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），路的一侧划有120个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，我校科技创新小组的同学们提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中．按照同学们的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 1．（2026·福建漳州·三模）在中，角所对的边分别为，已知． (1)判断的形状； (2)若边上的两条中线相交于点，求． 2．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）在中，． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：的周长为； 条件②：； 条件③：． 3．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上．    (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 4．（25-26高一下·广西百色·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，的面积为，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 5．（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知的内角所对的边分别为，且，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． 1．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角； (2)若D为线段BC延长线上一点，且，，求． 2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积，求边的长； (3)如图，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求边的最大值． 3．（25-26高一下·江苏·期中）如图，在半径为、圆心角为的扇形的半径上任取一点，过且平行于半径的直线与弧交于点． (1)若为的中点，证明：不是弧的中点； (2)求周长的最大值； (3)作，垂足为，求四边形面积的最大值． 4．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，在中，，D为边AC上一点，且，．    (1)若． （ⅰ）求； （ⅱ）求的面积； (2)若，求的取值范围． 5．边长为1的正方形分别为边上的点，若. (1)求出的长度（用表示）； (2)的周长是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由； (3)求四边形面积的最大值. 9 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业07 解三角形解答题专练   【知识点1 正弦定理】 1.定理内容：2R（为外接圆半径） 2.边角互化：（1），b=， (2)sin A＝,sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 3.正弦定理适用范围 0. 已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 0. 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 （3）在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者的齐次式，可以考虑用正弦定理. 【知识点2 余弦定理】 1.定理内容：，b2=，c2= 2.推论（求角）：cosA=，cosB=，cosC= 3.余弦定理适用范围 （1）已知两边及它们的夹角，求第三边，可用余弦定理求解 （2）已知三边，求三角形的三个角.可用余弦定理.由于余弦函数在)上单调，所以得到的角的大小是唯一的. 【知识点3 三角形的面积公式】 核心公式： 拓展公式：，为内切圆半径） 【知识点4 三角形解的个数】 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时： 若A为直角或者钝角时： 【知识点5 测量中的几个有关术语】 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫作仰角，目标视线在水平视线下方的叫作俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫作方位角.方位角θ的范围是0°≤θ＜360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α (1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 【知识点6 解三角形的实际应用】 解决与三角形有关的实际问题的解题思路. 在解决实际问题时，如果涉及三角形问题，可以把它抽象为解三角形问题进行解答，然后再还原为实际问题，这个过程可以用如下流程图表示. 解三角形 三角形内角和定理及其他三角和几何知识 正弦定理 余弦定理 实际问题的解 数学模型的解 实际问题 数学模型 抽象概括 还原 推理 运算 【知识点7三角形中的射影定理（拓展）】 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 【知识点8 三角形中的中线与角平分线的相关结论（拓展）】 1.中线 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， ①向量形式： 结论： ②角形式： 在中有：; 在中有：; 2.角平分线 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， ①内角平分线定理： 或 ②等面积法 ③角形式： 在中有：; 在中有：; 【题型1 利用正、余弦定理解三角形】 1．（25-26高一下·北京平谷·阶段检测）在中，角的对边分别为，若， (1)求的值和 (2)求的值． 【解析】（1）因为在中， 所以， 所以. 由余弦定理可得，，所以. ； （2）由（1）可知， 所以. 2．（25-26高一下·天津蓟州·期中）已知三角形的角的对边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值． 【解析】（1）因为，，， 所以， 又，所以； （2）由（1）知， 利用正弦定理可得； （3）由（1）知，， 由，可得，可得为锐角， 故， 可得. 3．（2026·山东济南·模拟预测）在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，为的中点，设． (1)求； (2)求的值． 【解析】（1）解：在中，由余弦定理知， 所以， 在中，由正弦定理知， 所以； （2）因为，所以， 在中，，， 由正弦定理知， 所以． 4．（20-21高三上·北京·阶段检测）在中，角､，的对边分别为，，，已知，.在下列三个条件中选择能使三角形存在的一个条件，补充在下面的问题中，并求解. （1）请写出你的选择，并求出； （2）在（1）的结论下，已知点在线段上，且，求长. ①；②；③. (若选择多个条件分别作答，按第一个计分.) 【解析】（1）若选择①，由得，不符合题意； 若选择②，，由余弦定理得， 化简得，则，不符合题意； 若选择③，，由余弦定理得， 即，，，则可得； （2）由余弦定理， ， ，， 则在中，由正弦定理可得， . 【题型2 利用正、余弦定理判定三角形形状】 1．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)已知，证明：是等腰三角形． 【解析】（1）在中，由及正弦定理，得， 整理得，由余弦定理得，而， 所以. （2）由及正弦定理，得，由（1）知， 因此，即，所以是等腰三角形. 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且满足，． (1)若，求的值； (2)求角的最大值，并判断此时的形状． 【解析】（1）中，由正弦定理得， ，． （2）中，由余弦定理得， 当且仅当时，等号成立， 的最大值为，此时上式等号成立， 即，所以为等腰直角三角形． 3．（24-25高一下·重庆南岸·期中）的内角的对边分别为，已知 (1)求角的大小； (2)若，，判断三角形形状． 【解析】（1）已知，由正弦定理将边化为角可得， 即， 可得， 因为，所以，则， 那么， 因为是三角形内角，所以，等式两边同时除以可得， 即， 又因为，所以； （2）已知，由余弦定理，代入可得：，即， 化简得，所以，又，则，   由余弦定理，已知，，， 则，所以， 因为，且，所以是等腰直角三角形. 4．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)设的面积为，，判断的形状． 【解析】（1）由题意可得，，根据正弦定理可得， 即， 所以，由，可得， 因为，所以，可得. （2）因为的面积为，所以，所以，因为，， 所以，解得或，所以或， 当，时，根据余弦定理，即， 同理当，时，解得， 因为，可得为钝角三角形. 【题型3 三角形的面积问题】 1．（25-26高一下·北京·期中）在中，． (1)求的值； (2)求的面积． 【解析】（1）由题可知，又，所以 因为， 所以． （2）在中，由正弦定理，得． 所以． 2．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角； (2)若，求边长和的面积. 【解析】（1）已知，由余弦定理得：， 所以，化简可得：． 又，故． （2）， 由正弦定理，代入； 所以． 因为， 所以． 3．（23-24高一下·北京·期末）在中，角A．B．C的对边分别为a，b，c，已知． (1)问：中是否必有一个内角为钝角，说明理由； (2)从下列四个条件中选取三个，使得存在，并求出的面积． ①；②；③；④． 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 在中，， ， 所以不等式整理为， 即，因为， 所以，所以B为钝角； （2）若满足①②，由B为钝角，则A，C为锐角， 及，可得， 所以不符合B为钝角，故①②不同时成立， 所以③④两个条件必选， 由③④可知，所以，所以②不成立，因此选①③④： 由正弦定理可得， 即，所以，又，所以，在三角形中，， 所以或，而由（Ⅰ）可得， 所以可得； 所以； 所以． 4．（2026·山东威海·二模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)如图，已知为外一点，，，，求平面四边形面积的最大值． 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 所以， 可得， 因为，所以， 因为，所以． （2）设，平面四边形ABCD的面积为S， 在中，由余弦定理得， 所以 ， 因为，所以， 当，即时，平面四边形ABCD面积的最大值为14． 【题型4 三角形的周长问题】 1．（2026高一·黑龙江佳木斯·期中）记的内角的对边分别为且. (1)求； (2)若，的面积为求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，得到，即可求解； （2）利用三角形的面积公式，结合题意，求得，再由余弦定理，求得，进而得到的周长. 【详解】（1）解：由 ， 因为，可得， 因为，可得，所以，所以. （2）解：由（1）知：， 因为且，可得，解得， 又由余弦定理得 ， 所以，所以的周长为. 2．（2026高一·河北石家庄·期中）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，，求的周长． 【解析】（1）展开已知等式，得： ， 移项化简得. 设外接圆的半径为R，由正弦定理可将上式中的角化边，得：. 根据余弦定理可得，代入得. 又，故. （2）将，，代入余弦定理得： ，即，解得. 则， 由得， 故的周长为. 3．（25-26高一下·全国·期末）在中，内角的对边分别是. (1)求的值； (2)若，求周长的最大值. 【解析】（1）因为，由正弦定理得，所以，所以； （2）因为， 所以， ， ， ， 解得， 因为，所以， 所以， 则， 因为， 所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时，取等号， 所以周长的最大值为. 【题型5 三角形的边长问题】 1．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）记的内角的对边分别为．已知，，且为锐角三角形． (1)求； (2)求的取值范围． 【解析】（1）由，代入 ， 得 ， 即 得 ，即 ， 因为是三角形内角，所以， 所以 （2）由（1），三角形内角和得：，即， 因为为锐角三角形， 三个内角均小于： ， 由正弦定理，， 得： ， 展开 ， 代入化简得： 因此，则 则， 所以的取值范围为 . 2．（2026·山东临沂·二模）已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求角C； (2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． 【解析】（1）∵，∴， ∴，∴， ∴，∴，解得或（舍去）， ∴，∴． （2）∵，，∴， ∴，，∴， ∵为锐角三角形，∴， ∴， 又由，得，∴，∴． 3．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)若D在边上且，，求的最大值． 【解析】（1）因为， 根据正弦定理得：， 且， 可得， 即，又因为，则， 可得，整理可得， 又，则，可得，解得. （2）由得，又，， 则由余弦定理得，即， 即， 由基本不等式得， 所以，所以， 当且仅当时取等，所以的最大值为. 4．（2026·江西·模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)当时，的面积为，周长为，求的取值范围． 【解析】（1） 且， ，整理得 即． 或． ，， ．，． （2） 由余弦定理可得， 即． ，即． ， 由正弦定理可得， 则 ， ，． 5．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若，当的周长最小时，求的值． 【解析】（1），由正弦定理可得， 因为， 所以代入可得， 即， 因为，所以， 化简可得，即， 解得，因为，所以， 因此，即. （2）由余弦定理可得， 因为，代入可得，化简可得， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 因此当的周长最小时，的值为． 【题型6 三角形的角度问题】 1．（2026·北京大兴·三模）在中，. (1)证明：为等腰三角形； (2)若AC边上的高与BC边上的高之比为1:3，求. 【解析】（1）(1)因为，所以， 所以， 所以，即， 又因为，所以， 所以，即， 所以为等腰三角形. （2）设AC边上的高为边上的高为，则， 因为，所以， 所以， 由余弦定理可知. 2．（25-26高三上·重庆·阶段检测）在 中，角的对边分别为， (1)证明：； (2)若，求. 【解析】（1）根据余弦定理，有 ，根据正弦定理，该式可化为， 又因为在中，，故可化为，得证. （2）由，可知与同号. 若均小于0，则两个角均为钝角，在三角形中不可能，因此均为锐角，故有. 由（1）中的，可得，即，两边同除， 得，代入，得： ，解得或（舍去）， 故. 因此. 3．（2026·安徽·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：； (2)求的取值范围． 【解析】（1）因为， 则代入得， 所以，即， 由余弦定理可得， 所以，所以， 因为正弦定理 （ 为外接圆半径）， 则，，，代入上式： 所以． （2）由（1）知，所以， 由余弦定理得， 由基本不等式 （当且仅当 ，即 时取等号）， 得：， 又因为当时，代入，得，解得， 则满足三角形三边关系，故等号成立， 由，可知为最大边，且，故为钝角， 因此，即，故， 又由基本不等式得， 所以的取值范围为． 4．（2026·新疆·二模）如图，四边形为圆内接四边形，，，． (1)求； (2)若，求的面积． 【解析】（1）是的内角，，， . 在中，由余弦定理得 ， 代入，，，得 ， 整理得 ，解得（不符合边长要求，舍去）. 由正弦定理得 ， . （2） 四边形为圆内接四边形，， ，. 在中，由余弦定理得 ， 代入，，，得 ， 整理得 ，解得（不符合边长要求，舍去）. 的面积 . 5．（25-26高二下·贵州遵义·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，且． (1)证明：； (2)求的取值范围． 【解析】（1）由正弦定理可得，即， 所以或， 因为，若，则，不符合题意， 所以； （2）因为，所以， 因为，且， 所以， 则 ， 当时，， 由正弦函数性质可知，， 所以的取值范围. 6．（2026·河北保定·模拟预测）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且 . (1)证明: ； (2)若是锐角三角形，求 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）选①，由可得，即， 因为，所以， 化简可得，即， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 所以或（舍去）， 所以； 选②，由可得， 即， 因为，所以， 即， 因为在上单调递减，所以； 选③，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，所以， 化简可得，即， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 所以或（舍去）， 所以； （2）是锐角三角形， 则，所以， ， 令，则， 因为在区间单调递增，在区间单调递增， 所以在区间上单调递增， 所以，即. 【题型7 解三角形与三角函数综合】 1．记的内角，，的对边分别为，，. (1)求证：“”是“”的充要条件； 【解析】(1)由正弦定理，得，. 若，因为，， 若，在单调递增，故； 若，则，， 因此，即，得，充分性成立， 反之，若，由余弦定理得， ，，，，； ，即； ，，在上单调递减，. 综上所述，“”是“”的充要条件. 2．（25-26高一下·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)若，的周长等于6，求a，b． (2)若为锐角三角形，且的面积满足. （ⅰ）求； （ⅱ）求面积的取值范围． 【解析】（1）因为，且的周长等于6，所以， 因为，由余弦定理得， 将代入上式解得，所以， 则. （2）（ⅰ）因为，所以，所以， 又是锐角三角形，所以，所以， 所以，又，所以； （ⅱ）因为，所以， 又，所以， 所以. 由，解得，所以， 所以， 所以面积的取值范围是. 3．（25-26高一下·天津静海·阶段检测）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知，求周长的取值范围． 【解析】（1）由正弦定理，得， 代入原式，化简得， 交叉整理，变形为. 若，化简得，与三角形内角范围矛盾，舍去； 若，则，结合，得，即. （2）由，，，得. ，， ， ，则，所以， 所以. 周长，即. 4．（2026·安徽合肥·三模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【解析】（1）由正弦定理， 为外接圆半径. 因为，所以， 即，化简为， 即，因为，所以． （2）因为，所以， 又， 所以． 又是锐角三角形，则，解得， 所以，. 所以的取值范围为． 5．（25-26高一下·湖南·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，. (1)求角B； (2)若的面积为，求的值； (3)若为锐角三角形，求面积的取值范围. 【解析】（1）由正弦定理得， 由及，得， 即， 因为， 所以， 所以，因为,， 所以，所以， 因为，所以； （2）由余弦定理得，即，所以. 又的面积为，所以. 所以，所以； （3）由（1）知，，则， 所以，，所以 由，得， 所以，所以，所以， 所以面积的取值范围是. 【题型8 解三角形与平面向量综合】 1．（25-26高三上·河南信阳·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. （2）因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 2．（2026·江苏盐城·模拟预测）中，角所对的边分别为．为边上的中线，点，分别为边上动点，交于．已知，且． (1)求； (2)设，若，求； 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理， 由余弦定理 因为，所以． （2）因为为中点，所以， 所以 所以， 即， 解得或， 又，所以，所以的余弦值为． 3．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知的内角所对的边分别为，且，点为三角形内部一点，且满足. (1)求. (2)若，求的值. 【解析】（1）由余弦定理得，， 代入得， 化简得 通分整理得 展开得 因为，所以，即 由余弦定理，又，故. （2）设，，，由， 所以，，. 所以原式. 由，， 而，， ，， 故，得. 因此原式. 4．（25-26高一下·吉林长春·期中）在中，已知a，b，c分别三个内角A，B，C的对边，且，点D为边AB上一点． (1)求角C； (2)已知D是边AB上一点，． ①若，求的最小值； ②若存在，使得，且，求的周长． 【解析】（1）由正弦定理得， 即有，又三角形内角和为，所以， 即有，因为，所以，即. （2）①由余弦定理得， 又基本不等式得，故有，当且仅当时取等， 由得， 即， 所以的最小值是2； ②由已知得， 即，即， 即，即，又，所以可知三角形边AB上的高为2， 由等面积法得，即，即， 由①知，所以有，即， 所以，因此三角形的周长为． 【题型9 解三角形的实际应用】 1．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）如图，某斜面上有两根垂直于水平面放置的标杆，杆长均为1m，阳光可视为平行光.其中一根标杆竖直立于水平地面，影子落在水平面上，影长为；另一根标杆竖直立于斜面上，影子完全投射在斜面上，影长为． (1)求平行阳光与水平面所成锐角的正弦值； (2)求的值. 【解析】（1）如图，分别为杆，为平行的光线，分别为杆的影子， 设光线与水平面所成角为，则，故， 则. （2）由（1），，， 在中，由正弦定理可得 即，故，则， 则， ， 故. 2．（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，其中A，C均为锐角． (1)求索道AB的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【解析】（1）在中，因为，， 所以，，从而： ， 由正弦定理，得． （2）设乙在D处时，与E处的甲距离最近： 假设乙出发后，甲、乙两游客距离为， 此时，甲行走了，乙走了， 所以由余弦定理得： ， 即， 因为乙还在缆车上，故，即， 故当时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理，得． 乙从出发时，甲已走了，还需走710才能到达． 设乙步行的速度为，由题意得， 即，解得， 所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过， 乙步行的速度应控制在（单位：）范围内． 3．（25-26高一下·上海·期中）如图，有一位于处的观测站，某时刻发现其北偏东且与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶，分钟后又测得该船位于观测站北偏东（其中，），且与观测站相距海里的处． (1)求的值； (2)求该船的行驶速度（海里/小时）； (3)在离观测站的正南方海里的处有一半径为3海里的警戒区域，并且要求进入警戒区域的船只不得停留在该区域超过分钟．如果货船不改变航向和速度继续前行，则该货船是否会进入警戒区域？若进入警戒区域，是否能按规定时间离开该区域？请说明理由． 【解析】（1）由题意：，，， ，，则，解得， ． （2）由余弦定理得： ， 即， 航行时间为20分钟，即小时， 该船的行驶速度为海里/小时． （3）在中，根据余弦定理得，则， 设延长线交于点，则，， 则， ， 在中，由正弦定理可得：， 解得海里， 过点作垂直于点， 在中，，，， 显然，，故货船会进入警戒区域； 则货船进入警戒区域的时间为小时， 而， 货船可以在规定时间之内离开警戒区域． 4．（25-26高一下·吉林长春·阶段检测）我校西门有一条长600米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），路的一侧划有120个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，我校科技创新小组的同学们提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中．按照同学们的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 【解析】停车位相对道路倾斜的角度， 由题意得， 所以， 又，所以， 化简整理得， 又，所以， 所以， 设改造后停车位数量最大值为，过停车位顶点作射线的垂线，垂足为，如图， 则顶点到线段的距离， 由各矩形停车位大小相等，得， 所以，又， 所以，又， 所以，由， 所以，即改造后最大停车位数量为， 所以改造后的停车位比改造前增加个. 1．（2026·福建漳州·三模）在中，角所对的边分别为，已知． (1)判断的形状； (2)若边上的两条中线相交于点，求． 【解析】（1）解法一：由，得， 由正弦定理得， 即，即， 因为，所以， 所以根据的图象可得，或，或， 所以，或，或， 又，所以，或， 所以是等腰三角形或直角三角形； 解法二：由，得， 由余弦定理得， 即， 化简得， 从而，或， 所以是等腰三角形或直角三角形； （2）解法一：①若，则，则，不满足三角形三边关系，舍去； ②若，则， 以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系， 则， 所以， 所以 . 解法二：①若，则，则，不满足三角形三边关系，舍去； ②若，则， ， ， 因为边上的两条中线相交于点，所以为的重心， 所以， 所以． 解法三：①若，则，不满足三角形三边关系，舍去； ②若，则，所以， ，所以． 又，所以， 在中，， 所以 ． 2．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）在中，． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：的周长为； 条件②：； 条件③：． 【解析】（1）在中，， 由正弦定理可得， 整理得， 因为，，所以，即， 因为，所以. （2）选择条件①：因为的周长为， ，则， 由余弦定理，得，又， 所以，即，又， 解得，所以的面积； 选择条件②：因为，， 所以，因为， 由正弦定理，可得， 又，， 所以， 所以的面积； 选择条件③：因为， 满足，所以角不唯一，与条件矛盾，故条件③不成立． 3．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上．    (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即， 因为，则，故，则为锐角， 所以， 因为，则， 在中，由正弦定理得， 所以，解得． （2），则 由，得，. 由余弦定理可得： . 在中，由正弦定理可得， 故， 在中，由正弦定理可得， 故， 因为， 所以． 4．（25-26高一下·广西百色·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，的面积为，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【解析】（1）由正弦定理得，展开并整理得. 结合余弦定理，可得，又，故. （2）由三角形面积公式，代入、，得，解得. 由，得. 结合余弦定理，代入得，故（负值舍去）. （3）由正弦定理，，故，. 由，得. 因为锐角三角形，故，解得. 则，展开并化简得. 由，得，故，因此. 5．（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知的内角所对的边分别为，且，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． 【解析】（1），且. 整理得 由正弦和角公式：， 由正弦定理，代入得 两边除以得 整理得 即，即 因为，所以， 故，得. （2）已知面积，且，. 由面积公式 故，得. 由余弦定理 代入，： 整理得 而， 因为，故. 因此周长为 （3）由正弦定理：， 故，. 又，，故，其中. 因为，所以， 则， 故. 1．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角； (2)若D为线段BC延长线上一点，且，，求． 【解析】（1）在中，由条件及正弦定理可得：， 即， 故，则有， 又，，故有， 或（舍去），或（舍去）， 则，又，所以； （2）设，在和中， 由正弦定理可得，， 于是，又， 则，， ． 2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积，求边的长； (3)如图，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求边的最大值． 【解析】（1）因为 由正弦定理可得，整理可得， 根据余弦定理可得，因为，即. （2）因为，则， 由正弦定理可得，即， 可得，即，所以. （3）设，则，， 在中，由正弦定理可得， 则， 在中，由正弦定理可得， 则 ， 当时，即时，可得的最大值是． 3．（25-26高一下·江苏·期中）如图，在半径为、圆心角为的扇形的半径上任取一点，过且平行于半径的直线与弧交于点． (1)若为的中点，证明：不是弧的中点； (2)求周长的最大值； (3)作，垂足为，求四边形面积的最大值． 【解析】（1）证明：已知扇形半径，，，故. 设，则，在中由正弦定理， 代入得. 若为中点，则，得. 若是弧中点，则，此时，矛盾. 因此不是弧的中点. （2）由正弦定理得，周长， 代入得， 化简，， 故，的最大值为（当时取到）. 因此周长最大值为. （3）设，，，故，，.四边形为直角梯形， 由梯形面积公式得， 化简得， 利用三角恒等变换， 由辅助角公式得的最大值为， 因此面积最大值为. 4．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，在中，，D为边AC上一点，且，．    (1)若． （ⅰ）求； （ⅱ）求的面积； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）（ⅰ）在中，，，， 由余弦定理得：，即， 所以是等腰三角形，即． 所以，即； （ⅱ），即是等腰三角形，所以， 所以； （2）因为，即，即． 设，则，则， 所以， 又因为，因为， 所以，即， 又因为，令，则， 所以，，因为函数在上单调递增， 所以． 5．边长为1的正方形分别为边上的点，若. (1)求出的长度（用表示）； (2)的周长是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由； (3)求四边形面积的最大值. 【解析】（1）在中，因，则 故 在中，因，则，故. （2）在中， 解得 又由（1）可知，， 则的周长为 即的周长为定值. （3）. 则 因，， 则，当且仅当时，即时等号成立， 则， 即四边形面积的最大值为. 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $