山西太原市山西大学附属中学校2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

山西大学附中 2025~2026学年第二学期高一期末考试 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.下列特征量中，刻画一组数据的集中趋势的是（ ） A.平均数 B.频数 C.方差 D.极差 2.气象局预报，今天小店区的降雨概率是80%，迎泽区的降雨概率是20%，下列说法正确的是（ ） A.小店区今天一定降雨，而迎泽区一定不降雨 B.小店区今天可能降雨，而迎泽区可能没有降雨 C.小店区和迎泽区都会降雨 D.迎泽区降雨的可能性比小店区大 3.已知五个数，，，，的极差为4，方差为2，则，，，，的（ ） A.极差为12，方差为18 B.极差为9，方差为6 C.极差为12，方差为6 D.极差为9，方差为18 4.已知，表示两条不同直线，，表示平面，下列说法正确的是（ ） A.若，，则 B.若，，则 C.若，，，则 D.若，，则 5.设为正方形的中心，在，，，，中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ） A. B. C. D. 6.某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm）.24 h降雨量的等级划分如下： 等级 24 h降雨量（精确到0.1） …… …… 小雨 0.1~9.9 中雨 10.0~24.9 大雨 25.0~49.9 暴雨 50.0~99.9 …… …… 在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为，高为的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24 h的雨水高度是150 mm（如图所示），则这24 h降雨量的等级是（ ） A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨 7.如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C.四边形的周长为 D.四边形的面积为 8.如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知两组样本数据，，，和，，，，，其中是，，，的平均数，，，，不全相同，则这两组样本数据的（ ） A.平均数一定相等 B.中位数一定相等 C.标准差一定不相等 D.第80百分位数可能相等 10.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张.事件“第一次取到标号为1或2的号签”，事件“第二次取到标号为5的号签”，事件“两张号签标号之和为5”，则（ ） A.与独立 B.与对立 C. D. 11.如图，正三棱台的上下底面边长分别为3和6，侧棱长为3，则下列结论中正确的有（ ） A.过的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小值为 B.棱长为的正四面体可以在该棱台内随意转动2 C.直径为的球可以整体放入该三棱台内（含与某面相切） D.该三棱台可以整体放入直径为的球内 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.同时掷两枚大小相同的骰子，用表示结果，记为“所得点数之和小于5”，则事件包含的样本点的个数为__________ 13.某次视力检测中，甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1，乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.5，则这20个人的视力的方差为__________ 14.在长方体中，其中是正方形，已知，.设点到直线的距离和到平面的距离分别为，，则的取值范围是_________ 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分13分）为了调查假期期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试.根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组， 其频率分布直方图如图所示. （1）求图中的值； （2）估计本次数学测试成绩的平均分，中位数和众数 （每一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 16.（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为. （1）证明； （2）是否存在点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由。 17.（本小题满分15分） 山大附中2026年春季校运会主题为“民族团结”，某班在筹备过程中指定4名同学依次在分别写有“民”，“族”，“团”，“结”四字的四张卡牌中有放回地随机抽取一张并记录结果. （1）求最后的结果中同时有“民”“族”“团”“结”四字的概率； （2）求最后的结果中同时有“团”“结”两字的概率. 18.（本小题满分17分） 如图一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体. （1）求的余弦值； （2）证明平面； （3）过，，的平面将该几何体分为两部分，它们的体积分别是，，求. 19.（本小题满分17分） 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.已知三棱锥如图所示. （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为.求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在棱上，过点作交于点，连接，若，求的长度. 山西大学附中 2025~2026学年第二学期高一期末考试 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】A 4.【答案】C 5.【答案】A 【解析】，，，，中任取3点，共有，，，，，，，，，十种，其中共线为，，和，，两种， 故取到的3点共线的概率为，故选：A. 6.【答案】B 【详解】因为圆锥的底面直径为，高为，雨水高度是， 所以水面的半径为， 所以水的体积为， 所以降雨量的等级是，对照表格等级为中雨， 7.【答案】D 【详解】如图过作， 由等腰梯形可得：是等腰直角三角形， 即，即B错误； 还原平面图为下图， 即，，即A错误； 过作，由勾股定理得， 故四边形的周长为：，即C错误； 四边形的面积为：，即D正确. 故选：D. 8.【答案】C 二、选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】ACD 【详解】不妨设，则， 对于A：第二组数据的平均数为，故A正确； 对于B：第一组数据的中位数为，第二组数据为中间两数的平均值，不一定等于，故B错误； 对于C：记第一组数据的标准差为， 则第二组数据的标准差为，故C正确； 对于D：第一组数据第80百分位数为， 第二组数据第80百分位数为第5个数据，两者可能相等，故D正确. 10.【答案】ACD 【详解】选项A，，，且， 因为，所以与独立. 选项B，因为，，所以与不对立. 选项C，. 选项D，. 11.【答案】ACD 【分析】延长正三棱台侧棱相交于点，分析可知三棱锥为正四面体，根据正四面体的高以及棱台的性质分析求解判断A；转化为判断正四面体的外接球在正三棱台的内判断B；运用等体积法求内切球半径可判断C；根据三棱台的各点都在以底面外心为球心，底面圆半径为球的半径内部判断D. 【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，在中，因为， 所以，同理，所以， 可知三棱锥为正四面体. 由正棱台的性质可知，过的平面截与平面相交时，该三棱台所得截面为梯形，过的平面截与侧棱相交时，该三棱台所得截面为三角形，因为为的中点， 所以为的高即到的最短距离，同理为到的最短距离， 所以截面三角形周长的最小值为的周长，故A正确； 由题意知，在等腰梯形中，过作，如图所示， 则，，又因为，所以， 由题意知，、、、分别为、、、的中点， 又，所以， 又因为，， ，即， 所以， 所以. 设正三棱台的内切球球心为，则由等体积法可知， ，则， 所以，解得， 所以内切球的直径为， 所以直径为的球可以整体放入该三棱台内（含与某面相切），故C正确； 先证在正四面体中，棱长，则其外接球的半径为： 取的中点，连接，设顶点在底面的射影为，则是底面的重心，连接，则外接球的球心在上，设为，连接， 则，，则， 所以，在直角中，， 即，所以. 对于选项B，棱长为的正四面体的外接球半径为， 其直径为，故棱长为的正四面体不可以在该棱台内随意转动，故B错误； 对于选项D，因为的外接圆半径为， 且， 所以正三棱台可以放置在以为球心，半径为的球内， 即该三棱台可以整体放入直径为的球内，正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】6 13.【答案】0.86 【详解】设甲班12个人视力检测数据分别为，， 乙班8个人的视力检测数据分别为，， 由题意知：，， ，， 由题意20个人的视力的平均数为 方差为 14.【答案】 【详解】设，， 在Rt中，由等面积法得点到直线的距离， 连接，过作， 因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，即是点到平面的距离， 所以， 所以，其中. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.【详解】 （1）由频率分布直方图可知每组频率依次为：，，，，，，……3分 则，解得. ……5分 （2）由（1）可知每组频率依次为：0.05，0.15，0.3，0.25，0.15，0.1， 估计本次数学测试成绩的平均分为 （分）；……8分 因为，所以估计本次数学测试成绩的中位数为70分.……11分 由频率分布直方图估计本次数学测试成绩的众数为65分. ……13分 16.【详解】（1）取中点，连接， 和均为正三角形，，， ……4分 ，，面，面， ……6分 面，. ……7分 （2）存在点， ……9分 连接交于点，连接 在梯形中，，， ， ……11分 又，， ……13分 又平面，平面， 平面 ……15分 17.【详解】（1）设事件“同时有民族团结四字”， ……2分 ……4分 ……6分 设事件“有‘团’字”，事件“有‘结’字”， ， ……8分 ……10分 ……12分 ……14分 ……15分 18.【答案】（1）；（2）见详解；（3）. （1）取中点，连，， 与均为等边三角形，， 即为二面角的平面角. ……3分 不妨设棱长为，则，，在中，由余弦定理 所以求的余弦值为 ……5分 （2）同理，取中点，连，，，， 即为二面角的平面角. 所以求平面角的余弦值为 ……7分 由对称性可知，二面角平面角的余弦值为， 注意到平面角与平面角互补，，，，四点共面 ……8分 又，，四边形为平行四边形， ……9分 ，平面. ……11分 （3） 平面 又，平面平面. ……12分 同（2）可得，四边形为平行四边形，即几何体为三棱柱. ……14分 因此平面将三棱柱分为三棱锥与四棱锥. 设该三棱柱体积为，，， ……16分 ……17分 19.【答案】（1）2； （2）； （3）. 【详解】（1）由离散曲率的定义得 ， ， ， ， 所以. ……4分 （2）由平面，平面，得， 又，，，平面，则平面， 又平面，所以，即， ……6分 又，即，解得， ……7分 过点作于点， 由平面，平面，得， 又，，平面，则平面， ……9分 因此点到平面的距离为线段的长， 在中，， 所以点到平面的距离为 ……10分 （3）依题意，，，， 则，， ……12分 设，则， ， 在中， ， ……14分 由，得，， 因此， ……16分 而，解得， 所以. ……17分 学科网（北京）股份有限公司 $