山西太原市山西大学附属中学校2026年高一数学暑假作业12

**基本信息** 聚焦必修一函数核心内容，以幂函数、函数性质及应用为载体，构建从概念到综合应用的逻辑链条，强化抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|6题|结合单调性、奇偶性求最值、参数范围|从具体函数（幂函数）到抽象函数性质判断，形成性质应用逻辑链| |填空|2题|函数零点分布、图像参数求解|通过图像分析与方程思想，连接函数图像与代数表达| |解答|2题|解析式推导、恒成立及方程解问题|综合函数性质与不等式，体现模型意识与问题解决能力|

高一数学暑假作业 编号12 必修一综合 1、 单选题 1．已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 2．已知函数，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 3．已知函数.若，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 4．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数t的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．已知函数为偶函数，，且，若，则以下结论错误的是（ ）. A． B． C． D． 6．函数的零点个数为（    ）. A． B． C． D． 二、多选题 7．已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，.下列命题正确的是（    ） A． B．是周期为2的周期函数 C．直线与的图象有且仅有2个交点 D．的值域为 8．已知函数，给出下列四个结论，其中正确的有（    ） A．若，则函数至少有一个零点 B．存在实数，使得函数无零点 C．若，则不存在实数，使得函数有三个零点 D．对任意实数，总存在实数使得函数有两个零点 三、填空题 9．设函数，若方程有三个实数根，，，则的范围是___________，又，则的取值范围是___________． 10．已知函数（，，），其部分图象如图所示，其中为最高点，，，则______. 四、解答题 11．已知函数满足，函数． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； (3)若关于x的方程有四个不同的实数解．求实数m的取值范围． 12．已知定义在上的函数满足下列两个条件：①对任意、，都有；②对任意，.请解答下列问题： (1)判断的奇偶性及在定义域内的单调性，并证明； (2)解不等式：； (3)证明：对任意正整数，. 提示：①；②. 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $山西大学附中高中数学（必修一）暑假作业编号12 必修一综合 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 0 A C A B A AD ABD 1.D 【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数m的值，再利用“乘1法”结合基本不 1.2 等式求。+的最小值 【详解】因为（为幂函数，所以m-5m+7=1,解得m=2或m=3 因为四在0，+切）上单调递减，所以m-3<0,则m<3, 所以m=2,则2a+b=2,且a>0,b>0, 2+2 b4a=4 Vab 当且仅当名誓，则0克，=1时取等号，所以。云的被小值为4 b 4a 1 2 2.A 【分析】先求出 16 再将该值代入相应的解析式后可求函数值. 【详解】 6-6-4校6》=4=g,2-号. 故选：A 3.C 【分析】构造西数3()=(@)，根据80)的单调性和奇偶性解不等式米求得“的取 试卷第1页，共12页 值范围 【详解】由于+1+x>+x≥0，所以f四的定义域为R, 所以8()=f()-1=1og(F+1+x+2-2】 g(←)=og(1-+2-2, g(←-)+g()=og[F+1+x(2+1-x小=log,l=0, 所以8闪是奇函数， 由于y=F1+xy=2在R上单调道增，y=1gx在Q+)上单调造增， 所以g)=o:1+小2-子在R上单调造始， 由/a-+f(4a-4)<2得f(a-a)-1+f(4a-4)-1<0, 即8（女-a)+8(4a-4<0g(a-a小k-g(4a-4)=g4-4a) 所以-a<4-4a,a+3a-4=(a+40a-l)<0 解得4<a<1,所以“的取值范国是（←4， 故选：C 【点睛】判断函数的奇偶性时，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再根 据八)-f(或f)=f国 来确定函数的奇偶性求解含有函数符号的不等式时， 可以考虑利用函数的单调性、奇偶性等知识去掉函数符号，由此来对问题进行求解 4.A 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用，可得答案. 试卷第2页，共12页 2+3=1 【详解】由正实数x,y,2x+3y-y=0,则yx Vy x 6x_6y 当且仅当y=￥，即x=y=5时，等号成立，则1≤25' 故选：A. 5.B 【分析】首先由抽象函数判断函数的对称性，并根据条件，采用赋值法，判断AB选项， 再利用赋值，判断函数的周期性，再由对称性和周期性判断CD, 【详解】因为x+)是稠函数，所以孟数（四的图象关于直线=1对称，所以 f(0)=f(2) 在/(x+)=f()/(+2)中，令x=0,得f0=f(o)/(2)=[f(2°=2， 又(》0，所以②)=5，放A正确： ,用70=r0.n=e2,0=盟. 面③)=f0=2,故B特6 由己知得 则e.满沙高 (+2)=x+ 试卷第3页，共12页 +6)+3) 那么 所以函数f(x)是周期为6的周期函数， 故)=f5),故c正确： 因为数W调关于线=1划张.所付)-). 周为m散为6，前引=得.所付)》】 故D正确， 6.A 【分析】根据分段函数性质，分别求两段之内的零点即可。 【详解】当x≤0时，由(-1 ,无零点 当x>0时，f(x)=1og,x- x 白y=bg,x以及y=均在0，四)上单调选，可知f()=g,x-在@树)上单调 递增 0--1rey-e2-10, 根据零点存在定理可得，因在1,2上存在一个零点， 根据函数的单调性可知，f(~)=log,x-文在(0，+∞)上存在唯一零点 综上所述， f(x) 的零点个数为 7.AD 试卷第4页，共12页 【分析】由已知判断出x之0时，函数的周期，结合当x∈[0，)时的解析式，即可作出 x之0时图象，结合奇偶性，可得整个定义域上图象，由此利用周期性以及奇偶性求值， 判断A；结合图象，数形结合，可判断B,C,D. 【详解】由题意知当x≥0时，有f(x+)=-f(),则f(x+2)=-fc+I)=f(x), 即x≥0时，2为f()的周期，由f(x+)=-f),得f()=-fx-l), 当x∈L,2)时，x-1e0,),则f)=-f(x-l)=-1og,x 结合(x)为定义在R上的偶函数，可作出(x)的图象如图： =f(x) 对于A,f(2023)=f1011×2+1)=f0)=0, f(-2024)=f(2024)=f1012×2+0)=f(0)=0 故f(2023)+f(-2024)=0,A正确： 对于B,由以上分析可知x≥0时，2为(x)的周期， 结合图象，在整个定义域上()不是周期函数，B错误； 对于C,在同一坐标系再作出y=x的图象， 可知直线y=x与f(0)的图象有且仅有1个交点(0,0)，C错误； 试卷第5页，共12页 对于D,结合图象可知f()的值域为-l,),D正确， 故选：AD 8.ABD 【分析】同一坐标系中，作出函 y=2-d,y=a+3 的图象，结合图象，利用数形结 合法求解。 【详解】A中，当a=1时，函数()=2--c-3 令)=0，可得2-=+3 在同一坐标系中作出’=2-，y=c+3 的图象， 如图所示， 由图象及直线'=c+3过定点0,3)，可得函数（至少一个零点，故A正确， y=kx+3 y=2x-1川 B中，当a=4，k=0时，作出函数'=2+4y=3 的图象， 由图象知，函数) 没有零点，所以B正确： 试卷第6页，共12页 y=2x+4 =3 c中，当=6k=方时，在同-坐标系中，作出西数y=p,=方+前图象。 如图所示，由图象可得，此时函 f()有3个零点，所以C错误： V y=2x-6 D中，分别作出当a=0a>0,a<0时，函数'=-dy=c+3 的图象， 由图象知，对于任意实数“，总存在实数K使得函数 有两个零点，所以D正确 y=G+3 y=kx+3 y=kx+3 =2* v=2*+a y=2*+al a=0 a>0 a<0 故选：ABD. 试卷第7页，共12页 9. (0,1): 2e+,e2+2 e 【分析】由题意可得直线y=m与少=f( 的图象有三个交点，作出函数'=()的图 象，结合图象可得第一空答案：由愿意可得=06=，西= ,令 t-e",lE 则2 ，利用对勾函数的性质求解即 可 【详解】作出函数y=(x)的图象，如图所示： y=f(x) y=m Ox11x2e x3 因为方程(=m 有三个实数根， 即直线'=m与'=儿的图象有三个交点， 由图象可知0<m<1, 所以实数m的取值范围为0，)： 令2-lnr=0,得x=e2, 令nx=1,得x=。或x=e' 试卷第8页，共12页 又因为<长<5 所以e<x<1<x<e<x<e2 由恩意可得血xH恤=2-ns=m 即n=h,=2-ln=m 所以=e,=e,=e2 L+1+x=e+e"+e2",0<m<1 所以七2 则x2 w ）上单调递增， u0e(2e+c+2】 试卷第9页，共12页 1.1 +X3 即xx2 的取值范围是 -1-V3 10.2 【分析】先求出函数 ) 的周期，再找出函数 (四)的解析式，找出规律，最后求出 )+)+ 的值 【详解】由题意，过点B作x轴的垂线，垂足为C, BC 1 在直角aABC中， tan 0= 4C3, 4B=10 4C+BC=10 解得BC-1,4C=3,f)的最大值为4=1， 根据4C=37,解得f)的周期7=4 所以-42,则 试卷第10页，共12页 由图可符名+p=元，解行9-及 6 极据/⊙是周期为4的屑数。可得=/眉 是周期为12的周期函数， 所)1》+侣得)+) 因为))-.)片，))9， )).)得5.) 所u))+)+9）1 1.0/(x)=2-2x+1 (3)m 6 【分析】()由条件构适关于因和八)的方程组，即可求解： log2x+ 1-2-k1og2x≤ (2)首先不等式转化为 log2 x 在x∈[4,8]上恒成立，再通过换元， 并套安分长为21宁子-气什-，好，在Lm,转化为球微的 试卷第11页，共12页 最值问题； (3)根据函数8)的解析式，并将不等式转化为2血-(4m+6血+6m-5=0,并 利用换元，转化为二次函数零点分布问题，即可求解. 【详解】(1)因为)+2f(-x)-3x2+2x+3 ： 则fx+2f)=3x2-2x+ ②： 故联立上述方程，解得()=-2x+1 (②由4山知)=-2x+18)=f因-x+-2 因为不等式8og:)og:x≤0在*c上恒成立 1og,x+-2-k1og,x≤0 所 log2 x 在x∈[4,8]上恒成立， 设=1og,x,则1e2,3 所以+2-：≤0在1e2,3上恒成立， 所2+ 在te[2,3]上恒成立， 网4..商--5上底 11 故当3时， 信一-夜大·人为居旷号. 试卷第12页，共12页 所以≥ 9 4. 所以k的取值范围是g+0 g(Inx)+ 6m-7-4m-2=0 2-4+6m-7-4m-2=0 (3)方程 等价 2m对+ In x 即2血f-(4m+6n+6m-5=0对≠0 令h对1.时方程化为2-+6r+(6m-5)=0,>0)。 因为方 2e00-w-2 有四个不同的实数解，而t的每个值对应x的值有 2个， 所以2-(4m+6+(6m-5)=0,(40)有两个不同的正根、5， 记0=2r-(4m+6r+(6m-5) △=(4m+6)2-8(6m-5)>0 所以 h(0)=6m-5>0 ,解得 4m-6>0 m> 、-2×2 6 所以m 6· ss12.(1)奇函数，单调递减，证明见解析 2(-2,-V2) (3)证明见解析 试卷第13页，共12页 【分折】（山令）0可得世0)-0，月今维合奇高数的定义正符西数 内为有医意，瓷1长<51.可得-心=/任)。求 0<-龙<1 1-xx,,结合题干条件以及函数单调性的定义可证得结论成立： f(x+)> (2)将所求不等式变形为 根据函数∫()的定义域与单调性可得出 关于x的不等式组，即可解得所求不等式的解集； >0 (3)推导出 (n+2 ,求得 w)-m)-13 利用裂项求和 法以及不等式的基本性质可证得结论成立， 【详解】(1)令x=y=0,则(0)+/0)=f0,解得(0)=0， 令y=-,则f=f)fo)=0 所以（四闪为定义在-1）上的奇函数， 设-15<5<1.则-5ee.防+f)=f臣】 1-2>0 因为1<<x<1,所以<1，则1-书>0,1-西， 试卷第14页，共12页 -为-1=5--1+5=任-玉+<00<=3<1 又1-xx2 1-xx2 1-xx2 ,所以1-x2, 当0.<0，型产若}0 所以)+f(-)K0,即f()f()<0,所以f()在-1，)上是减函数 2南+fn+小f) -1<x+1<1 -1<1,<1 因为 定义域为 且在 上是减函数，所以x-1 f(x) (-1,1)(-1,1) x+1<1 1x-i 解得2<x<5,故原不等式的解集为2，) 1 11 3因为T+3n+0a+2-11-a+00a*2 1 1 (n+1)(n+2) -=n+1n+2 1(n+l)0n+2 因%n(1,2e-0, 1 2 (n+1)(n+2) + 试卷第15页，共12页 =))得*2 =)-42. 因为2@)所2小0，到》0 )(+)小) 做得份++》 试卷第16页，共12页