第16讲：对数【六大题型】-【初升高暑假衔接】2025-2026学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第16讲：对数 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　对数的有关概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 常用对数与自然对数： 通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数， log10N可简记为lg N， logeN简记为ln N. 知识点二　对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x. 对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)． 知识点三　对数的性质 1．1的对数为零．2．底的对数为1.3．零和负数没有对数． 知识点四　对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 知识点五　换底公式 1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论： (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)； (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 【例题详解】 题型一、指数式与对数式的互化 1．（24-25高一上·四川南充·阶段练习）（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，，则 . 3．（24-25高一上·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 题型二、对数的运算 4．（2026高三·全国·专题练习）计算：（   ） A．10 B．1 C．2 D． 5．（24-25高三上·天津·阶段练习）计算式子的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·吉林长春·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三、对数运算性质的应用 7．（24-25高二下·宁夏银川·期末）若，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 8．（24-25高二下·山东德州·期末）已知，若，则（   ） A． B． C． D．36 9．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 题型四、对数换底公式的应用 10．（24-25高一下·江苏盐城·期末）设，，则（ ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·全国·课前预习） . 12．（24-25高一上·全国·课前预习）计算： (1)； (2). 题型五、运用换底公式证明恒等式 13．（23-24高一·上海·课堂例题）设a、b是两个不等于1的正数，求证：. 14．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知：，求证：． 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 题型六、对数的综合应用 16．（24-25高二下·北京昌平·期末）某城市甲区域的人口总数约为，乙区域的人口总数约为：则下列各数中与最接近的是（   ）（参考数据：，） A．0.5 B．1 C． D．10 17．（24-25高一上·全国·周测）求下列各式中的的值. (1)； (2). 18．（19-20高一·全国·课后作业）计算：（1）已知，试用表示； （2）. 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·周测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·北京·期末）已知，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（2025·云南丽江·三模）已知函数，则的值为（    ） A．24 B．4 C．12 D．8 5．（24-25高一下·河北保定·期末）已知，则的最小值是（    ） A． B． C．e D． 6．（2025·山东临沂·二模）已知实数满足，则（    ） A．11 B．12 C．16 D．17 7．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知 ，且 ，则 （   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·山东日照·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·陕西安康·期末）已知函数，则（   ） A． B．1 C．2026 D． 10．（24-25高一下·河南新乡·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D．2 11．（24-25高二上·广东广州·期末）根据有关资料，国王与国际象棋发明者在棋盘放米的故事中，最后一个格子需放米粒的数量为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·北京·期末）荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步.假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%.而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么从学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍到3倍，至少经过了（    ） （参考数据：，，） A．41天 B．70天 C．111天 D．181天 二、多选题 13．（24-25高一上·全国·课前预习）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 14．（24-25高二下·吉林长春·期末）下列表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（24-25高一上·湖北·期末）计算： . 16．（25-26高三上·山东青岛·开学考试） ． 17．（24-25高二下·江西新余·期末） ． 18．（2024·上海·三模）若正实数、满足，则的最小值为 ． 19．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数，则的值等于 ． 20．（2025·江西萍乡·三模）已知，则 . 21．（24-25高一上·天津·阶段练习），则用和表示的结果为 四、解答题 22．（24-25高三下·山东·强基计划）已知，有，，，求的值. 23．（24-25高一上·全国·周测）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 24．（24-25高一上·全国·课前预习）计算： (1)； (2) 25．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 26．（24-25高一上·吉林长春·期末）（1）求值：； （2）设，求的值； 27．（24-25高一上·天津河北·期末）已知指数函数，且的图象过点. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求不等式的解集. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲：对数 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　对数的有关概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 常用对数与自然对数： 通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数， log10N可简记为lg N， logeN简记为ln N. 知识点二　对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x. 对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)． 知识点三　对数的性质 1．1的对数为零．2．底的对数为1.3．零和负数没有对数． 知识点四　对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 知识点五　换底公式 1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论： (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)； (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 【例题详解】 题型一、指数式与对数式的互化 1．（24-25高一上·四川南充·阶段练习）（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABD 【分析】利用指数式与对数式互化关系，逐项确定得答案. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，由，得，D正确； 故选：ABD 2．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，，则 . 【答案】 【分析】利用对数式与指数式的互化得出，再利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则， 又因为，则. 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可. 【详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 题型二、对数的运算 4．（2026高三·全国·专题练习）计算：（   ） A．10 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据对数运算性质即可得到答案. 【详解】原式. 故选：B. 5．（24-25高三上·天津·阶段练习）计算式子的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对数运算求得答案. 【详解】. 故选：A 6．（24-25高二下·吉林长春·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用根式性质，指数幂性质和对数性质化简计算即可. 【详解】对于A，，故A错误     对于B， ，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 题型三、对数运算性质的应用 7．（24-25高二下·宁夏银川·期末）若，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由对数的运算性质即可求解. 【详解】若，则， 则. 故选：C. 8．（24-25高二下·山东德州·期末）已知，若，则（   ） A． B． C． D．36 【答案】B 【分析】利用指数、对数运算法则计算即可得出结果. 【详解】由可得, 由可得； 所以. 故选：B 9．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由且结合分段函数，依次判断代入求值. 【详解】由且， 得. 故选：A 题型四、对数换底公式的应用 10．（24-25高一下·江苏盐城·期末）设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换底公式可得，然后运用对数运算法则即可求解. 【详解】. 故选：D. 11．（24-25高一上·全国·课前预习） . 【答案】3 【分析】利用换底公式结合对数的运算性质求解即可. 【详解】由换底公式得 . 故答案为：3. 12．（24-25高一上·全国·课前预习）计算： (1)； (2). 【答案】(1)2 (2)13 【分析】（1）（2）利用对数的运算性质求解即可. 【详解】（1） . （2） . 题型五、运用换底公式证明恒等式 13．（23-24高一·上海·课堂例题）设a、b是两个不等于1的正数，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用换底公式转化、化简即得证. 【详解】因a、b是两个不等于1的正数，则， 即. 14．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知：，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【详解】设，显然， 则，可得， 所以. 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析； 【分析】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可； （2）利用换底公式证明即可； （3）利用换底公式证明即可. 【详解】解答：（1）证明： 设，则，化为， 又，所以； （2）解：； （3）证明： ． 所以． 题型六、对数的综合应用 16．（24-25高二下·北京昌平·期末）某城市甲区域的人口总数约为，乙区域的人口总数约为：则下列各数中与最接近的是（   ）（参考数据：，） A．0.5 B．1 C． D．10 【答案】C 【分析】由对数运算法则求出，然后与选项中的各数的对数值比较可得. 【详解】，则， 又，所以与最接近， 故选：C. 17．（24-25高一上·全国·周测）求下列各式中的的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用对数的定义以及指对互化即可求出； （2）化简，再利用对数的定义即可. 【详解】（1）因为，所以，所以. （2）因，所以， 所以. 18．（19-20高一·全国·课后作业）计算：（1）已知，试用表示； （2）. 【答案】（1） ；（2）3 【分析】（1）由题设可得，，由换底公式及对数的性质可得，从而可用表示. （2）利用对数的运算性质及对数的性质可将原式化为，利用可得所求的值. 【详解】（1）由，得 由得， . （2）原式 . 【点睛】对数的性质、运算规则可分成三大类： ①； ； ②； ③． 解题中注意根据题设中对数的形式选择合适的计算方法. 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先指数对数互化，再根据指数幂运算法则将进行变形，再结合已知条件进行计算. 【详解】根据指数幂运算法则，可得. 再根据指数幂运算法则，对进行变形可得，所以. 已知，根据对数与指数的关系，可得. 同理，因为，所以. 将和代入中计算结果 把，代入可得：. 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·周测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 3．（24-25高一下·北京·期末）已知，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】由指数、对数运算即可求解. 【详解】已知，则. 故选：A. 4．（2025·云南丽江·三模）已知函数，则的值为（    ） A．24 B．4 C．12 D．8 【答案】A 【分析】由，则，从而可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：A. 5．（24-25高一下·河北保定·期末）已知，则的最小值是（    ） A． B． C．e D． 【答案】A 【分析】由对数运算化简可得，再由基本不等式可得的最小值. 【详解】由题意，，则，且， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值是. 故选：A. 6．（2025·山东临沂·二模）已知实数满足，则（    ） A．11 B．12 C．16 D．17 【答案】D 【分析】由指对互化公式即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 7．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知 ，且 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指对互化，结合换底公式即可求解. 【详解】设，则， 由得， 因此，故. 故选：D. 8．（24-25高二下·山东日照·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据指数式和对数式互换得出；再根据对数的运算法则及换底公式可求解. 【详解】由可得：. 则 . 故选：C 9．（24-25高一下·陕西安康·期末）已知函数，则（   ） A． B．1 C．2026 D． 【答案】A 【分析】先求，再求即可. 【详解】由题意可得， 故. 故选：A. 10．（24-25高一下·河南新乡·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据函数为奇函数，得到，代入求解即可. 【详解】由题意得， 所以． 故选：A 11．（24-25高二上·广东广州·期末）根据有关资料，国王与国际象棋发明者在棋盘放米的故事中，最后一个格子需放米粒的数量为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的性质可得：，代入将也化为10为底的指数形式，进而可得结果. 【详解】由题意：，， 根据对数性质有：， ， ，与A选项最接近， 故选：A 12．（24-25高二下·北京·期末）荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步.假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%.而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么从学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍到3倍，至少经过了（    ） （参考数据：，，） A．41天 B．70天 C．111天 D．181天 【答案】B 【分析】设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为a，根据题意结合增长率列出相应方程，利用对数近似计算，即得答案. 【详解】设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为a，设当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了x天， 由题意得,即,所以 由于,故 所以,解得： 从学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍到3倍至少经过了：天. 故选：B 二、多选题 13．（24-25高一上·全国·课前预习）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【分析】利用指数式和对数式的互化关系逐个选项判断求解即可. 【详解】首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于A，可化为，故A正确， 对于B，可化为，故B错误， 对于C，可化为，故C错误， 对于D，可化为，故D正确. 故选：AD 14．（24-25高二下·吉林长春·期末）下列表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由根式、有理数指数幂的运算判断A、B；由对数的运算性质判断C、D. 【详解】A：若时，，错； B：，对； C：，对； D：，对. 故选：BCD 三、填空题 15．（24-25高一上·湖北·期末）计算： . 【答案】3 【分析】直接利用分数指数幂与指对互化求解即可. 【详解】. 故答案为：3. 16．（25-26高三上·山东青岛·开学考试） ． 【答案】4 【分析】利用对数运算将目标式转化为关于的表达式，然后展开整理即可. 【详解】 . 故答案为：4 17．（24-25高二下·江西新余·期末） ． 【答案】1 【分析】把题目分解为多个部分分别计算，利用对数和指数的性质化简，最后合并结果. 【详解】计算： 根据对数的性质，，所以.代入指数表达式，. 计算： 利用对数的换底公式和幂的性质： ， 所以. 计算： 利用对数的减法法则和幂的性质： ， . 计算： . 把各部分结果代入原式： 故答案为：1. 18．（2024·上海·三模）若正实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据对数的运算公式，求出实数、满足的等量关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由题意得，可得， 由对数性质可知，根据基本不等式可知，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4. 故答案为：4. 19．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数，则的值等于 ． 【答案】1 【分析】根据分段函数，代入求值即可. 【详解】， 所以. 故答案为：1. 20．（2025·江西萍乡·三模）已知，则 . 【答案】 【分析】利用对数的运算法则计算即可求解. 【详解】依题意，，故. 故答案为：. 21．（24-25高一上·天津·阶段练习），则用和表示的结果为 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系、对数的换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 四、解答题 22．（24-25高三下·山东·强基计划）已知，有，，，求的值. 【答案】 【分析】利用对数式化为指数式，再化根式为整式，然后利用正整数的乘积问题来分析即可得解. 【详解】由已知得，，设，（，），得, 即，因为，所以有以下两种可能： ①，（舍去）； ②，，， 则，即， 故答案为：. 23．（24-25高一上·全国·周测）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）（2）根据对数运算的概念以及运算律，可得答案. 【详解】（1）由已知，，所以. （2）因为，所以，解得， 由，解得， 所以. 24．（24-25高一上·全国·课前预习）计算： (1)； (2) 【答案】(1)0 (2)1 【分析】（1）（2）利用换底公式结合对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 25．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将两边取对数化简即可得解； （2）由(1)解得，代入计算即可得解. 【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以. （2）由，得，. 所以，， 则，故. 26．（24-25高一上·吉林长春·期末）（1）求值：； （2）设，求的值； 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用对数的换底公式计算可得出所求代数式的值； （2）由指数式与对数式的互化可得出、的值，再利用对数的换底公式计算可得所求代数式的值. 【详解】（1）原式 ； （2）因为，则，，得， 所以，. 27．（24-25高一上·天津河北·期末）已知指数函数，且的图象过点. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由于函数过点，将点代入函数解析式即可求得a的值. （2）将分别代入函数中，分别求得，再用对数的运算性质求得的值. （3）将中的1代换成，再由函数的单调性即可求得不等式的解集. 【详解】（1）因为指数函数，且的图象过点， 所以，解得， 又因为， 所以的值为； （2）由（1）知， 因为，即， 所以， 故； （3）不等式， 因为，所以， 因为函数在上单调递减， 所以， 解得， 所以不等式的解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$