山西太原市山西大学附属中学校2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

**基本信息** 山西大学附中高一期末数学试卷聚焦统计与概率、立体几何核心知识，通过雨量器测量（题6）、校运会“民族团结”（题17）等真实情境，考查数据处理、空间想象及数学应用能力，梯度覆盖基础到创新。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集中趋势（题1）、线面关系（题4）、概率计算（题5）|基础概念辨析，如方差变换（题3）| |填空题|3/15|样本点计数（题12）、方差综合（题13）、空间距离（题14）|跨知识综合，如视力数据方差（题13）| |解答题|5/77|频率分布直方图（题15）、立体几何证明（题16）、概率应用（题17）、新定义（题19）|情境创新，如离散曲率（题19）；文化融入，如“民族团结”主题（题17）|

山西大学附中 2025~2026学年第二学期高一期末考试 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.下列特征量中，刻画一组数据的集中趋势的是（) A.平均数 B.频数 C.方差 D.极差 【答案】A 2.气象局预报，今天小店区的降雨概率是80%，迎泽区的降雨概率是20%，下列说法正 确的是() A.小店区今天一定降雨，而迎泽区一定不降雨 B.小店区今天可能降雨，而迎泽区可能没有降雨 C.小店区和迎泽区都会降雨 D.迎泽区降雨的可能性比小店区大 【答案】B 3.已知五个数，x,53,x4,x的极差为4，方差为2，则 3x+5,3x3+5,3x3+5,3x4+5,3x+5的() A.极差为12，方差为18 B.极差为9，方差为6 C.极差为12，方差为6 D.极差为9，方差为18 【答案】A 4.已知m,n表示两条不同直线，，B表示平面，下列说法正确的是() A.若∥a,n/∥a,则∥n B.若∥a,m⊥n,则n⊥o C.若m⊥，n⊥B,a⊥B,则m⊥n D.若m⊥，a⊥B,则m/IB 【答案】C 5.设O为正方形ABCD的中心，在O,A,B,C,D中任取3点，则取到的3点共线 的概率为( 4} 2 B. c. 4 D. 5 2 5 【答案】A 【解析】O,A,B,C,D中任取3点，共有OAB,OAC,OAD,OBC,OBD,OCD, ABC,ABD,ACD,BCD十种，其中共线为A,O,C和B,O,D两种， p=21 故取到的3点共线的概率为105，故选：A. 6.某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚 的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm).24h降雨量的等级划分如下： 等级 24h降雨量（精确到0.1） ←200mm→ 小雨 0.19.9 中雨 10.0~24.9 300mm 大雨 25.049.9 雨 150mm 暴雨 50.099.9 …… 在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm,高为300mm的圆锥形雨量器. 若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm(如图所示)，则这24h降雨 量的等级是() A.小雨 B.中雨 C. 大雨 D.暴雨 【答案】B 【详解】因为圆锥的底面直径为200m,高为300m, 雨水高度是150mm, =1x200 22 =50mm 所以水面的半径为 1 ×元×502×150=125000元(wm2) 所以水的体积为3 125000r=12.5mm 所以24h降雨量的等级是100π 对照表格等级为中雨， 7.如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A'B'CD,已知AB'=4,CD'=2, 则下列说法正确的是() y A.AB=2 D B.A'D=2V2 C.四边形ABCD的周长为4+2W2+2W3 O'(A B D.四边形ABCD的面积为6√2 【答案】D 【详解】如图过D'作DB⊥OB', y D2 E O'(A) 由等腰梯形A'B'CD可得：△A'DE是等腰直角三角形， 即AD=√5AE=x(4-2)×5=2,即B错误： 还原平面图为下图， O(A) F B 即AB=4=2CD,AD=2W2,即A错误： 过C作CF L AB,由勾股定理得CB=2W3, 故四边形ABCD的周长为：4+2+2√2+2√3=6+2√2+2√5，即C错误； 四边形ABCD的面积为： 2×(4+2)×22=62,即D正确 故选：D 8.如图，圆锥的轴截面PAB是等边三角形，C是底面圆周上一动点，D是PA的中点，则 直线CD与PB所成角的余弦值的取值范围是() D AB,] cD.1) 【答案】C 二、选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求的全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知两组样本数据x,x2,,x和x1,x2,,x,y,其中y是x1,x2,,x的平均数， 1,x2,,不全相同，则这两组样本数据的() A.平均数一定相等 B.中位数一定相等 C.标准差一定不相等 D.第80百分位数可能相等 【答案】ACD 【详解】不纺设≤x≤≤y≤5，则y=之6小， 对于A:第二组数据的平均数为当+…++y=y+=y,故A正确： 6 6 对于B:第一组数据的中位数为5，第二组数据为中间两数的平均值，不一定等于5，故 B错误； 对于c:记第一组数据的标准差为=【旷++（飞门 则第二组数据的标准差为 s-旷++s-)】 故C正确： 对于D:第一组数据第80百分位数为4+ 第二组数据第80百分位数为第5个数据，两者可能相等，故D正确. 10.一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签， 每次取一张.事件A=“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B=“第二次取到标号为5 的号签”，事件C=“两张号签标号之和为5”，则() A.A与B独立 B.B与C对立 C.KAC)=2 5 D.KA+B)=13 25 【答案】ACD 【详解】选项AP)-号，P(B)-写，且PaB)- 2×12 5x525' 因为P(AB)=P(A)·P(B),所以A与B独立. 选项e.因为PC)=PL4到+P2,3HP2)P1名PB+PC1,所以s与 C不对立. 造项c(4C=14-2)-写兮号云 选项D,P(A+B)=P(A+P(B)-P(AB)=2+2=13 552525 11.如图，正三棱台ABC-ABC1的上下底面边长分别为3和6，侧棱长为3，则下列结论 中正确的有() A.过AC的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小值为 B 6W3+6 的正四面体可以在该枝合 C.直径为√6的球可以整体放入该三棱台内（含与某面相切） D.该三棱台可以整体放入直径为43的球内 【答案】ACD 【分析】延长正三棱台侧棱相交于点P,分析可知三棱锥P-ABC为正四面体，根据正四 面体的高以及棱台的性质分析求解判断A:转化为判断正四面体的外接球在正三棱台的内 判断B;运用等体积法求内切球半径可判断C；根据三棱台的各点都在以底面外心为球心， 底面圆半径为球的半径内部判断D. 【都】延长正三校台国楼相文于点：，在中，因为卧沿品司 所以PA=|PB=3,同理PB=|PC=3,所以PA=PB=|PC, 可知三棱锥P-ABC为正四面体， 由正棱台的性质可知，过AC的平面截与平面AB,C1相交时，该三棱台所得截面为梯形， 过AC的平面截与侧棱BB相交时，该三棱台所得截面为三角形，因为B,为PB的中点， 所以AB,为△PAB的高即A到BB,的最短距离，同理CB,为C到BB,的最短距离， 所以截面三角形周长的最小值为△ABC的周长|AB,+CB,+4C=3W3+35+6=65+6, 故A正确： E 由题意知，在等腰梯形ABBA中，过A作AM⊥AB,如图所示， B M B 则4M-子BM-号，又因为-3，所以4M=3。 由题意知，A、B、C、O分别为PA、PB、PC、PO的中点， 又A0=A=2W5,所以P0=PA-A0-26, 又网为5分66如写.及号3m肾-25 34 PO-POl,即Sa8c=4S4pA, 所以a3 s.wcIPOl--}4.4×2P0-8x334PO=4a 所an-人e图956-8 4 设正三棱台的内切球球心为O,则由等体积法可知'sc-4S='oABc+Vo-4PG,+yo-4P, 4-5.则84-方6-0：525 2 4 所以片x9w5R+×5R+3xx25R-65,解得R- 34 34 4 2 所以内切球的直径为2R=√6， 所以直径为√6的球可以整体放入该三棱台内（含与某面相切），故C正确： 先证在正四面体S-ABC中，棱长BC=a(Q>0),则其外接球的半径为R- -a: 取BC的中点E,连接AE,设顶点S在底面ABC的射影为D,则D是底面△ABC的重心， 连接SD,则外接球的球心在SD上，设为O,连接AO, E B 3 所以OD=SD-50=6。-R,在直角△40D中，40=AD+0D, -95小- 0 4 对于选项B,棱长为的正四面体的外接球半径为6a-V6,5_55 428 其直径为5>00-6，故棱长为的正四面体不可以在该校台内随意转动，故B错 误； 对于选项D,因为△ABC的外接圆半径为OA=2V3, 且o4=4+p.of=3+(6=3k25, 所以正三棱台ABC-ABC可以放置在以O为球心，半径为OA=2W3的球内， 即该三棱台可以整体放入直径为4W3的球内，正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.同时掷两枚大小相同的骰子，用x,y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事 件A包含的样本点的个数为 【答案】6 13.某次视力检测中，甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1：乙班8个人的 视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.5，则这20个人的视力的方差为 【答案】0.86 【详解】设甲班12个人视力检测数据分别为5,1=L2,,12), 乙班8个人的视力检测数据分别为片，(i=1,2,8)」 12 12 x=12∑(x-1)-12 由题意知： 8 g=815=12. (g-1.52=8× i=1 0.5=4, 碳个人台的为+字手 2=1「 8 -1.2}2+立g-1.2 方差为 20台 卡)2区102+zg-15+0y i=1 1「 12 202（k--2x022-112024+空-15j+2x0空159803 =1 =1 F2012-0+048+4+0+0.72)=0.86 1 14.在长方体ABCD-ABCD中，其中ABCD是正方形，已知AB=1,A4>1,设点A到 直线AC的距离和到平面DCBA的距离分别为d,d2,则dd2的取值范围是 【答案】（停V) 【详解】设A4=a,a>1, 在R△4,1C中，由等面积法得点A到直线4C的距离d=44AC-ax2 √2a AC Va2+2√a2+2 连接AD,过A作AE⊥AD, A D 因为CD1平面ADDA,AEC平面ADDA,所以CDL AF, B E 又CD∩AD=D,CD,ADC平面DCBA, D 所以AE⊥平面DCB,A,即AE是点A到平面DCBA的距离， 所以d4=AB=44ADa1=a 4DV0+1a2+1' 所以d1d2= 品后停网脚 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分)为了调查假期期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生 进行了数学测试.根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)， [70,80),[80,90),[90,100]分成6组，其频率分布直 方 图如图所示. 频率 T组距 0.03 (1)求图中a的值： (2)估计本次数学测试成绩的平均分，中位数和众 0.015 0.010 数.（每一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 0.005 0405060708090100分物 【详解】 (1)由频率分布直方图可知每组频率依次为：0.05,0.15,0.3,10a,0.15,0.1, …3分 则0.05+0.15+0.3+10a+0.15+0.1=1,解得a=0.025. …5分 (2)由(1)可知每组频率依次为：0.05,0.15,0.3,0.25,0.15,0.1， 估计本次数学测试成绩的平均分为 45×0.05+55×0.15+65×0.3+75×0.25+85×0.15+95×0.1=71（分)： …8分 因为0.05+015+0.3=0.5，所以估计本次数学测试成绩的中位数为70分. …11分 由频率分布直方图估计本次数学测试成绩的众数为65分. …13分 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD和△BAD均为正三角形，AD⊥DC,AD//BC,AB=2, M为PC上一点，设平面PAD与平面PBC的交线为I. (1)证明PB1AD: (2是否存在点M,使得PA1/平面DMB,若存在，求P4 的值： D CM 若不存在，说明理由。 A 【详解】(1)取AD中点E,连接PE,BE .·△PAD和△BAD均为正三角形，.PE⊥AD,BE⊥AD,…4分 D-t PE∩BE=E,PE,BEC面PEB,∴.ADI面PEB,6分 PBC面PEB,PB1AD.…7分 （2)存在点M.别=2…9分 连接AC交BD于点N,连接MN 在梯形ABCD中，：BCIAD,.△ADN~ACBN, CN CB 1 AN AD2' …11分 器-2.--2，HN…13分 MC CN 又：PA丈平面BDM,MN丈平面BDM, B ∴.PA∥平面BDM…15分 17.(本小题满分15分) 山大附中2026年春季校运会主题为“民族团结”，某班在筹备过程中指定4名同学依 次在分别写有“民”，“族”，“团”，“结”四字的四张卡牌中有放回地随机抽取一张并记录结果. (1)求最后的结果中同时有“民"“族”“团”“结"四字的概率： (2)求最后的结果中同时有“团"“结”两字的概率。 【详解】（1)设事件A=“同时有民族团结四字”， n(②)=442分 (A)=4×3×2×14分， P(40=A-4×3×2x13 1(2) 4432 .6分 设事件M=“有‘团’字”，事件N=“有‘结’字”， P(0=n、3 1n(2)44, 8分 P(N)=(N)3 n(2)44 …10分 ,P(MN)=MN2 n(2)-44 …12分 P(MIN)=1-P(MIN)=1-P(MUN)=1-[P(M)+P(N)-(MON)] …14分 PC0)-1-P()+P0V)-(7D8)1 256128 15分 18.(本小题满分17分) 如图一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等， 将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起， 得到一个新几何体. (1)求B-AC-D的余弦值； (2)证明DF//平面ABC; (3)过F,B,C的平面将该几何体分为两部分，它们的体积分别 B 是，>)求7 【答案】()-(2)见详解；3晓= (1)取AC中点M,连BM,DM, ,△ABC与△ACD均为等边三角形，∴.BM⊥AC,DM⊥AC ∴.∠BMD即为二面角B-AC-D的平面角 .3分 不妨设棱长为2x,则BM=DM=V3x,BD=2W2x,在ABMD中，由余弦定理 COSZBMD=BM+DM:-BD+3x-8x 1 2BM.DM 2.3x2 3 所以求B-AC-D的余弦值为-3 1 5分 (2)同理，取AD中点N,连FN,EN,AD⊥FN,AD⊥EN, ∴.∠NF即为二面角F-AD-E的平面角. COSZENF=EN+EN-EF3+3x-4x1 2EN.FN 2.3x2 3 所以求F-AD-E平面角的余弦值为 1 .7分 电对称性可知，三面角C-AD-卫平面角的余弦值为了 注意到F-AD-E平面角与C-AD-E平面角互补，∴.A,C,D,F四点共面.8分 又，AC=DF,CD=AF,∴.四边形ACDF为平行四边形， .9分 .DF/AC,.DF/I平面ABC. 11分 (3).DE//BC .DE/平面ABC 又，DE∩DF=F,∴.平面DEF/平面ABC. ..12分 同(2)可得，四边形ABEF为平行四边形，即几何体ABC-FED为三棱柱.14分 因此平面FBC将三棱柱分为三棱锥F-ABC与四棱锥F-BCDE. 设该三楼挂体积为P,88eA7,水}7号。 16分 3 72 .17分 19.(本小题满分17分) 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体T的一个顶点，定义多面体T在 点P处的离散自率为%1-品(<gPe+∠Q,P0+Q,20+2Q,Pg),其中 2(i=1,2,,k,k23)为多面体T的所有与点P相邻的项点，且平面9P9,平面22PO,…, 平面Q-1PO.和平面2.P9为多面体T的所有以P为公共点的面.己知三棱锥P-ABC如图 所示. (1)求三棱锥P-ABC在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=8,三棱锥P-ABC在顶点C处的离散曲率 为。术点A到平面P9C的距离： (3)在(2)的前提下，又知点9在棱PB上，过点Q作OG/PA交AB于点G,连接CG,若 cos∠GCQ=V42 求BQ的长度. 【答案】(1)2： (2)42: (3)BQ=2V15-25. 0 【详解】(1)由离散曲率的定义得 G m,=1-(∠APB+∠BPC+∠4PC), B 2π 94=1-1(∠PAB+∠BAC+∠PAC), 2π Q=1∠PBA+∠ABC+∠PBC 0-1-(nCA+∠BCA+∠PCB), 2兀 所以9+94+%+%=4-了 ×4π=2.…4分 2π (2)由PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,得PA⊥BC, 又AC⊥BC,ACOPA=A,AC,PAC平面PAC,则BC⊥平面PAC, 又PCc平面PAC,所以BCPC,即BcP=分…6分 又%=1-2PC1+☑sc4+∠PC),即g1 ∠PCA+匹+ 22 解得 8 2π ∠c4-年…7分 过点A作AM⊥PC于点M, 由BC⊥平面PAC,AMC平面PAC,得BC⊥AM, 又BCPC=C,BC,PCC平面PCB,则AM⊥平面PCB,…9分 因此点A到平面PCB的距离为线段AM的长， 在Ra4CM中，AM=ACsin.∠pCA-8xY5-4N5, 2 所以点A到平面PBC的距离为4√2.10分 (3)依题意，PA=8,AB=V82+8=&反，PB=82+(8V2=83, 则sinm∠PBA= PA -,coS∠PBA= AB√6 …12分 PB 3 PB 3 设B0=x(0<x≤8月，则QG=BQsin/PBA=5, X 3 BG=BQcos∠PBA=V6x 3 在△BCG中， CG=VBC2+BG-2BC.BGcos.∠CBG=1√64+ 3 图c/G0得sim2GcQ=-oGC09 tan/GC03n∠GcO 6 x 因此tan∠Gce=9c 3 CG V64+2x166 ,…16分 6 3 3 而x>0,解得x=2V15-2√3， 所以B0=2V15-2V3.…17分 山西大学附中 2025~2026 学年第二学期高一期末考试 数 学 试 题 考试时间：120 分钟 总分：150 分 一、选择题：本小题 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.下列特征量中，刻画一组数据的集中趋势的是 ( ) A ．平均数 B ．频数 C ．方差 D ．极差 2 ．气象局预报，今天小店区的降雨概率是 80% ，迎泽区的降雨概率是 20% ，下列说法正确的是 ( ) A ．小店区今天一定降雨，而迎泽区一定不降雨 B ．小店区今天可能降雨，而迎泽区可能没有降雨 C ．小店区和迎泽区都会降雨 D ．迎泽区降雨的可能性比小店区大 3 ．已知五个数x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的极差为 4 ，方差为 2 ，则 3x1 + 5,3x2 + 5,3x3 + 5,3x4 + 5,3x5 + 5 的 ( ) A ．极差为 12 ，方差为 18 B ．极差为 9 ，方差为 6 C ．极差为 12 ，方差为 6 D ．极差为 9 ，方差为 18 4 ．已知 m ，n 表示两条不同直线， α , β 表示平面，下列说法正确的是 ( ) A ．若m ∥ α , n ∥ α , 则m ∥ n B ．若m ∥ α , m 丄 n ，则n 丄 α C ．若m 丄 α , n 丄 β , α 丄 β , 则m 丄 n D ．若m 丄 α , α 丄 β , 则m / / β 5 ．设 O 为正方形 ABCD 的中心，在 O ， A ， B ， C ，D 中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概率为( ) 1 2 1 4 A ． B ． C ． D ． 5 5 2 5 6. 某一时间段内, 从天空降落到地面上的雨水, 未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度, 称为这个时段的降雨量(单位: mm ). 24h 降雨量的等级划分如下： 等级 24h 降雨量（精确到 0.1） …… …… 小雨 0.1~9.9 中雨 10.0~24.9 大雨 25.0~49.9 暴雨 50.0~99.9 …… …… 在综合实践活动中, 某小组自制了一个底面直径为 200mm, 高为 300mm 的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中, 该雨量器收集的 24h 的雨水高度是 150mm(如图所示), 则这 24h 降雨量的等级是 ( ) A ．小雨 B ．中雨 C ． 大雨 D ． 暴雨 7．如图，四边形ABCD 的斜二测画法直观图为等腰梯形 A’B’C’D’，已知 A’B’= 4，C’D’= 2，则下列说法正确的是 ( ) A. AB = 2 B. A’D’= C. 四边形 ABCD 的周长为4 + + D. 四边形 ABCD 的面积为 8 ．如图，圆锥的轴截面PAB 是等边三角形，C 是底面圆周上一动点，D 是PA 的中点，则直线 CD 与PB 所成角的余弦值的取值范围是 ( ) ( A. , 1 )B C. , D 二、选择题：本小题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知两组样本数据x1 , x2 , , x5 和x1 , x2 , , x5 , y ，其中y 是x1 , x2 , , x5 的平均数， x1 , x2 , , x5 不全相同，则这两组样本数据的 ( ) A ．平均数一定相等 B ．中位数一定相等 C ．标准差一定不相等 D ．第80 百分位数可能相等 10 ．一个盒子中装有标号为 1 ，2 ，3，4，5 的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件 A ＝“第一次取到标号为 1 或 2 的号签” ，事件 B ＝“第二次取到标号为 5的号签” ，事件 C ＝“两张号签标号之和为 5” ，则 ( ) A ．A 与 B 独立 B ．B 与 C 对立 11.如图，正三棱台ABC A1B1C1 的上下底面边长分别为 3 和 6 ，侧棱长为 3 ，则下列结论 中正确的有 ( ) A ．过 AC 的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小 值为 6 + 6 B ．棱长为 的正四面体可以在该棱台内随意转动2 C ．直径为 的球可以整体放入该三棱台内（含与某面相切） D ．该三棱台可以整体放入直径为 的球内 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12 ．同时掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记 A 为“所得点数之和小于 5” ，则事件 A 包含的样本点的个数为 13 ．某次视力检测中，甲班 12 个人视力检测数据的平均数是 1 ，方差为 1 ；乙班 8 个人的视力检测数据的平均数是 1.5 ，方差为 0.5 ，则这 20 个人的视力的方差为 14 ．在长方体 ABCD _ A1 B1 C1 D1 中，其中 ABCD 是正方形，已知AB = 1 ，AA1 > 1 ．设点 A 到直线 A1C 的距离和到平面DCB1A1 的距离分别为d1 ， d2 ，则 d1d2 的取值范围是 四、解答题：（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分 13 分）为了调查假期期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分 100 分），将所得数据按照[40, 50) ，[50, 60) ，[60, 70) ，[70, 80) ， [80, 90) ， [90, 100] 分成 6 组， 其频率分布直方图如图所示． (1)求图中a 的值； (2)估计本次数学测试成绩的平均分，中位数和众数（每一组中的数据用该组区间的中点值作代表) 16 ．（本小题满分 15 分） 如图，在四棱锥P ABCD 中，△PAD 和 BAD 均为正三角形，AD 丄 DC ，AD / /BC ， AB = 2， M 为PC 上一点，设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ． (1)证明PB 丄 AD； PM (2)是否存在点 M ，使得PA / / 平面DMB ，若存在，求 的值； CM 若不存在，说明理由。 17.（本小题满分 15 分） 山大附中 2026 年春季校运会主题为“ 民族团结 ”，某班在筹备过程中指定 4 名同学依次在分别写有“ 民”，“族”，“ 团”，“结” 四字的四张卡牌中有放回地随机抽取一张并记录结果. （1）求最后的结果中同时有“ 民”“族”“ 团”“结” 四字的概率； （2）求最后的结果中同时有“ 团”“结”两字的概率. 18.（本小题满分 17 分） 如图一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体. (1)求B- AC- D 的余弦值; (2)证明DF / /平面ABC ; (3)过F, B, C 的平面将该几何体分为两部分，它们的体积分别是 ,求 19 ．（本小题满分 17 分） 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P 为多面体 Γ 的一个顶点，定义多面体 Γ 在 点P 处的离散曲率为Q1PQ2 +Q2PQ3 + +Qk_1PQk + Qk PQ1) ，其中 Qi (i = 1, 2, , k, k ≥ 3)为多面体 Γ 的所有与点P 相邻的顶点，且平面Q1PQ2 ，平面Q2PQ3 ，… ,平面Qk_1PQk 和平面Qk PQ1 为多面体 Γ 的所有以P 为公共点的面. 已知三棱锥P ABC 如图所示. (1)求三棱锥P ABC 在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若PA 丄 平面 ABC ， AC 丄 BC ， AC = BC = 8 ，三棱锥P ABC 在顶点C 处的离散曲率 3 为 .求点 A 到平面PBC 的距离； 8 (3)在（2）的前提下，又知点Q 在棱PB 上，过点Q 作QG//PA 交 AB 于点G ，连接 CG ，若cosGCQ 求BQ 的长 1 学科网（北京）股份有限公司 $