2.2.2 简单随机事件的概率（第2课时）（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 本同步练习以简单事件的概率为核心，通过基础判断、方法应用到综合拓展的三层设计，构建从单一知识点到跨学科综合的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|概率判断、简单几何概率|以选择填空为主，如摸球游戏公平性判断，培养数据意识| |提升层|列举法、列表法、树状图求概率|结合生活情境（四大发明、文旅IP），发展推理能力| |综合层|概率与统计、几何、方程综合|含解答题及参数问题，如赵爽弦图概率计算，体现模型意识|

2.2.2 简单事件的概率（第2课时） 题型一：利用概率作为判断依据 1．一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 【答案】A 【分析】此题考查游戏公平性，解题关键在于利用概率进行分析． 三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 【详解】解：∵一个箱子中放有红、黄、黑三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回， ∴三个人摸到每种球的概率均相等， ∴这个游戏是公平的． 故选：A． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知地球的表面陆地与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则（    ） A．落在陆地上的可能性大 B．落在陆地和海洋的可能性大小一样 C．落在海洋的可能性大 D．这种事件不能判定 【答案】C 【分析】分别求出陨石落在地球的表面陆地和落在海洋的概率，判断即可． 【详解】解：∵地球的表面陆地与海洋面积的比约为， ∴宇宙中飞来一块陨石落在地球的表面陆地的概率为；落在海洋的概率为； ∵， ∴落在海洋的可能性大； 故选C． 【点睛】本题考查几何概率，利用概率判断可能性大小．解题的关键是掌握几何概率的计算方法，求出概率． 3．（25-26九年级上·四川达州·期末）用6个球设计一个摸球的游戏，小明想出了下面四个方案，你认为不能成功的是（　　） A．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是 B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是 C．摸到黄球、红球、白球的概率是 D．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是 【答案】B 【分析】 由概率公式求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】 解：A、摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，概率和为1，可以成功； B、摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是，概率和为，肯定不能成功； C、摸到黄球、红球、白球的概率是，概率和为1，可以成功； D、摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，概率和为1，可以成功． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查对于概率的理解，一件事情发生所有情况的概率和为1，掌握相关基础知识是解题的关键． 4．（25-26九年级上·广西河池·期末）在一个不透明的袋子里装有1个红球、2个白球、3个黄球、6个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后任意摸出一个球，则下列事件中发生的可能性的最大的是（    ） A．摸到红球 B．摸到黄球 C．摸到白球 D．摸到蓝球 【答案】D 【分析】分别求出各选项事件的概率，即可作答． 【详解】总计有球：（个）， 则摸到红球的概率为：， 则摸到白球的概率为：， 则摸到黄球的概率为：， 则摸到蓝球的概率为：， 经过比较，可知：摸到蓝球，是所有事件中发生的可能性最大， 故选：D． 【点睛】本题考查了可能性的大小，解题的关键是分别求得各个选项中事件发生的概率． 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）在一个不透明的箱子中放有10张除地名外完全相同的卡片，卡片数量如表．从箱子中抽出一张卡片，卡片上的地名最有可能是_____． 地名 卡片数量 岳麓山 5张 铜官窑 2张 橘子洲头 3张 【答案】岳麓山 【分析】根据概率的定义，分别计算抽到各地名卡片的概率，比较概率大小，概率最大的就是最有可能抽出的地名. 【详解】解：总共有10张等可能的卡片， 抽到岳麓山的概率为， 抽到铜官窑的概率为， 抽到橘子洲头的概率为， 比较大小得，抽到岳麓山的概率最大，因此卡片上的地名最有可能是岳麓山. 题型二：几何中的概率问题 1．（25-26九年级上·山东威海·期末）转动如图所示的转盘，指针落在红色区域的概率为__________． 【答案】 【详解】解：由图可得：红色区域所对的圆心角为 ， ∴指针落在红色区域的概率为 ． 2．（25-26九年级上·山东淄博·期末）汉末三国初数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，且每个直角三角形的两条直角边的比都为．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 【答案】/ 【分析】设两直角边分别为，，表示出大正方形的面积和小正方形面积，根据针尖落在阴影区域的概率就是小正方形的面积与大正方形面积的比求解． 【详解】解：∵四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为， ∴设两直角边分别为，， ∴大正方形的面积为，小正方形的边长为， ∴小正方形面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图是一个七巧板形状的飞镖靶盘，将一支飞镖任意投掷在靶盘上，恰好落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【分析】设大正方形的面积为，根据七巧板的特点可以得到7块图形各自的面积，进而求出阴影部分的面积，再根据几何概率公式可得答案． 【详解】解：设大正方形的面积为， 七巧板由块图形组成，其中包括个大等腰直角三角形，个中等腰直角三角形，个小等腰直角三角形，个正方形，个平行四边形， 其中每个大等腰直角三角形的面积为，中等腰直角三角形的面积为，每个小等腰直角三角形的面积为，正方形的面积为，平行四边形的面积为， 观察图形可知，阴影部分由2个小等腰直角三角形，个正方形和个平行四边形组成， ∴ 阴影部分的面积为 ， ∴飞镖恰好落在阴影部分的概率为． 4．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，学校在教学楼走廊铺设4×4的正方形防滑方格地砖，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，部分地砖区域做了黑色阴影涂鸦．课间开展抛沙包小游戏：将沙包随机抛落在地砖面上（落在地砖缝隙、地砖外则重新投掷），随机抛掷沙包一次，求沙包落在阴影部分的概率是___________． 【答案】 【分析】地板由16个相同的小正方形组成，沙包随机落在地板上，落在阴影部分的概率等于阴影部分面积与地板总面积之比，每个阴影三角形的面积恰好为一个小正方形面积，求出阴影面积，再求比值即可求解． 【详解】解：地板由个相同的小正方形组成， 设每个小正方形的面积为，则地板总面积为16， 观察图形，含有阴影三角形的小正方形共4个， 每个阴影三角形的面积为， 阴影部分的总面积， 沙包落在阴影部分的概率． 5．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样，假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次，则飞镖击中白色区域的概率是______． 【答案】 【分析】先根据网格结构计算出大正方形的总面积，再计算出白色区域（四个直角三角形）的面积，最后计算白色区域面积与总面积的比值即可． 【详解】解：设网格中小正方形的边长为， 则大正方形的总面积为 观察图形可知，白色区域分布在四个角，由个全等的直角三角形组成，每个直角三角形的两条直角边长分别为和， 白色区域的面积为 故飞镖击中白色区域的概率为． 6．（2026·四川成都·二模）如图，正方形纸片的边长为1，以各边为直径在正方形内作四个半圆，中间阴影部分形成了一朵花瓣的形状．小明利用这张纸片做“投针实验”：随机向这张纸片投掷一枚钢针，针尖扎在纸片上完成一次实验，未扎中则重投．钢针扎在花瓣上的概率为______． 【答案】 【分析】用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求得答案． 【详解】解：∵阴影部分可看作是以正方形边长为直径的两个圆的面积减去正方形的面积， ∴阴影部分的面积，正方形的面积为1， ∴随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为． 7．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）一块“太极八卦”图样的地砖可以抽象为图所示的中心重合的正八边形及圆形，已知“太极图”黑色部分与白色部分关于正八边形的中心成中心对称，向这块“太极八卦”地砖内扔一颗小石子，恰好落在黑色部分的概率为______． 【答案】 【分析】根据中心对称图形的性质，判断出黑色部分面积与白色部分面积相等，进而得出黑色部分面积占总面积的比例，利用几何概率公式求解即可． 【详解】解：由题意可知，“太极图”黑色部分与白色部分关于正八边形的中心成中心对称， ∴圆内黑色部分的面积等于白色部分的面积． 观察图形可知，正八边形内圆外的部分由4个黑色区域和4个白色区域组成，且它们关于中心成中心对称， ∴正八边形内圆外的黑色部分面积等于白色部分面积， ∴整个地砖中黑色部分的总面积等于白色部分的总面积， ∴黑色部分的面积占地砖总面积的， ∴向这块“太极八卦”地砖内扔一颗小石子，恰好落在黑色部分的概率为． 8．（2026·山东济南·二模）如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是____． 【答案】/ 【分析】先求得光伏吸收区的面积，再求得总面积，然后利用几何概率的求解方法求解即可． 【详解】解：由图可知，总面积为， 其中光伏吸收区的面积为， 小球最终停留在光伏吸收区的概率是． 题型三：利用列举法求概率 1．（25-26九年级上·山西晋中·期末）五一期间，某商场举行猜商品价格赢奖品的活动．王先生在事先不知道商品价格的前提下，主持人要求他从下图中的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是230，那么他一次就猜中的概率是__________． 【答案】 【分析】用列举法求出所有等可能的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：如果拿走标有“2”的卡片，则剩下3、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为330； 如果拿走左边标有“3”的卡片，则剩下2、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为230； 如果拿走右边标有“3”的卡片，则剩下2、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为230； 如果拿走标有“0”的卡片，则剩下2、3、3三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为233； 综上所述，共有四种情况．若商品的价格是230元，那么他一次就能猜中的概率是． 2．（2026·宁夏银川·三模）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响、小乐收集了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是_____． 【答案】 【分析】本题考查用列举法求概率，先找出抽取两张卡片的所有等可能结果，再统计出含“指南针”的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：将造纸术、印刷术、指南针、火药四张卡片分别记为，，，，从四张卡片中随机抽取两张，所有等可能的结果为：，，，，，，共种，其中两张卡片中含有“指南针”的结果为：，，，共种； ∴根据概率公式可得，所求概率为． 3．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率为_______． 【答案】 【分析】分析电路通路条件：因为电路是A、B并联部分与C、D并联部分串联，所以当A、B中至少闭合1个，且C、D中至少闭合1个时，灯泡发光，据此统计符合条件的情况数．用古典概型概率公式，将符合条件的情况数除以总情况数得到所求概率． 【详解】解：任意闭合4个开关中的2个，所有等可能的闭合情况为：、、、、、，共种． 由电路图可知，左侧A、B为并联，右侧C、D为并联，两部分串联；要让灯泡发光，需要一个开关在左侧、一个开关在右侧闭合，才能形成通路． 满足条件的情况为：、、、，共种． 所以灯泡发光的概率为． 4．（2026·山西朔州·三模）剪纸是我国传统文化中的一块瑰宝，春节来临之际，某校开展了“剪纸迎春”活动．现有两张“福”字剪纸和一张“春”字剪纸，将它们分别放入完全相同的三个信封中．小华从中随机抽取两个信封，则恰好抽到放有一张“福”字和一张“春”字的信封的概率为_________． 【答案】 【分析】先对三个信封内的剪纸进行标记，列举出随机抽取两个信封所有等可能的结果，找出符合要求的结果数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：将两张“福”字剪纸分别标记为，，将“春”字剪纸标记为 随机抽取两个信封，所有等可能的结果为：，，，共种，其中恰好抽到一张“福”字和一张“春”字的结果有种 根据概率公式可得，所求概率为． 5．（2026·湖北黄石·三模）“冰裂纹”“云头纹”“方胜纹”“浪花纹”是中国传统建筑常见的吉祥装饰纹样，寓意绵延不断、祥瑞圆满．现有工匠需要为一座亭子的栏杆雕刻纹饰，计划从这四种纹样中随机选用两种，其中包含“方胜纹”的概率为__________． 【答案】 /0.5 【分析】首先列举出从四种纹样中随机选用两种的所有等可能结果，再找出其中包含“方胜纹”的结果数，最后利用概率公式计算即可. 【详解】解：设“冰裂纹”为，“云头纹”为，“方胜纹”为，“浪花纹”为.从这四种纹样中随机选用两种，所有可能出现的结果如下：，，，，，.共有种等可能的结果.其中包含“方胜纹”的结果有，，，共种， 包含“方胜纹”的概率． 6．（2026·山东东营·二模）京剧、中医，国画，武术被称为中国四大国粹，是中华民族独有的、世代传承的文化瑰宝．县文化馆印刷了部分印有“四大国粹”图案的书签，除正面图案不同外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张，随机抽取的2张书签恰好是“京剧”和“国画”的概率是__________． 【答案】 【分析】先找出所有等可能的结果总数，再确定满足条件的结果数，最后根据概率公式计算即可. 【详解】解：将4张书签分别记为：（京剧），（中医），（国画），（武术）， 从中随机抽取2张，所有等可能的结果为：，共6种， 其中恰好抽到“京剧”和“国画”的结果有1种， 根据概率公式可得：. 7．（2026·湖北·模拟预测）中华文化，源远流长，在文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，小明准备在暑假期间随机选读其中两部，选到《西游记》和《三国演义》的概率是_________． 【答案】 【分析】先求出所有等可能的选取结果总数，再找出符合要求的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：记《西游记》为A，《三国演义》为B，《水浒传》为C，《红楼梦》为D， 随机选取两部所有等可能的结果为： ， 共种等可能的结果，其中选到《西游记》和《三国演义》的结果只有种， 则所求概率为． 题型四：利用列表法求概率 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，甲、乙两人选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是______． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】列表如下： 由表可知，一共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好都从同一入口进入的结果有3种， P（甲、乙两人恰好都从同一入口进入）=． 2．（25-26九年级下·重庆·期中）有四张完全一样正面写有数字3，4，5，6的卡片，将其背面向上并洗匀，随机抽取1张后，放回并洗匀，再随机抽取1张，那么第二张卡片上的数字能够整除第一张卡片上的数字的概率是______． 【答案】 【详解】解：列表如下： 3 4 5 6 3 3，3 3，4 3，5 3，6 4 4，3 4，4 4，5 4，6 5 5，3 5，4 5，5 5，6 6 6，3 6，4 6，5 6，6 共有16种等可能的结果，第二张卡片上的数字能够整除第一张卡片上的数字的情况有3，3；4，4；5，5；6，6；3，6，共5种情况， ∴． 3．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）随着人工智能时代的到来，某学校开设了涵盖人工智能技术的三门兴趣课程，分别为“音乐创作”“打印与虚拟仿真”“机器人编程与应用”，每位同学从这三门课程中随机选择一门课程，甲、乙两名同学都选择“音乐创作”的概率是__________． 【答案】 【分析】概率公式：概率符合要求的情况总数总情况数． 【详解】解：由题意得，设“音乐创作”、“ 打印与虚拟仿真”、“机器人编程与应用”分别为，，， 列表如下： 由表格可得，两人选课的所有等可能结果总数为种，甲乙两名同学都选择“音乐创作”的结果共有种， ∴甲、乙两名同学都选择“音乐创作”的概率是． 4．（2026·全国·二模）年，长沙市中小学全面实施“活力课间15分钟”行动，鼓励学生走出教室参与体育锻炼．某校在课间开设了花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目．甲、乙两位同学各自从这三项中随机选择一项参加，且两人选择相互独立．则他们恰好都选择花样跳绳的概率是________． 【答案】 【分析】先用列表法得出甲、乙选择运动项目所有等可能的结果总数，再找出两人恰好都选择花样跳绳的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：令花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目分别为A、B、C， A B C A B C 根据表格可得共有9种等可能的结果，其中两人恰好都选择花样跳绳的结果只有1种， 根据概率公式可得：． 5．（2026·安徽·二模）有4张背面完全相同的不透明卡片，正面图案分别是矩形、平行四边形(不是菱形和正方形)、正三角形、圆，洗均匀后，背面朝上放置，从中任意抽出2张，恰好抽出的两张既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是_____． 【答案】 【详解】解：由题可得，矩形和圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，记为，；平行四边形（不是菱形和正方形）和正三角形不符合要求，记为，， 从4张中任意抽取2张，所有等可能的结果为： 共12种等可能的结果，其中恰好两张既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种， 则概率为． 题型五：利用树状图求概率 1．（2026·浙江杭州·二模）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针分别落在数字1、2、3所示区域内．随机转动两次，则两次数字相同的概率为_______． 【答案】 【分析】先判断出随机转动后，指针落在数字1、2、3所示区域的可能性相同，再画树状图，根据概率公式计算即可． 【详解】解：由图可知数字的圆心角为， 即随机转动后，指针落在数字1、2、3所示区域的可能性相同， 画树状图如下： 可知共9种情况，其中两次数字相同的情况有3种， 即两次数字相同的概率为． 2．（2026·河南·中考真题）在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴键时，发出的声音构成二度音程．如图是钢琴键盘的一部分，从，，，四个白色琴键中随机选两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为_______． 【答案】 【分析】先画出树状图，然后求出概率． 【详解】解：画树状图如下： 等可能出现的情况共12种，符合题意的情况有6种， ∴发出的声音构成二度音程的概率为． 3．（2026·广东东莞·模拟预测）三星堆文创盲盒是三星堆博物馆以其独特的出土文物为原型，结合现代潮流玩偶设计理念，所开发的一系列创意产品．它成功地将古老神秘的三星堆文化与现代消费潮流相结合，成为“让文物活起来”的典范之作．如图，已知一箱祈福神官系列内有4个盲盒，包括A款青铜大立人，B款铜鸟，C款平头金面青铜人头像，D款青铜戴冠纵目面具，则随机抽取的2个盲盒中有A款青铜大立人的概率为______________． 【答案】/ 【分析】先算总共有多少种抽取2个的情况，然后再算含A的有多少种，根据概率公式 计算即可． 【详解】解：我们将4个盲盒分别记为A、B、C、D， 从4个盲盒中随机抽取2个， 所有等可能的组合共12种等可能结果，如图所示 其中包含A款的结果共6种符合条件的结果， ∴所求概率为 ． 4．（2025·湖北荆州·模拟预测）一个不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），其中两个球的编号为1，另两个球的编号为2．从中任意摸出两个球，这两个球的编号之积为偶数的概率是______． 【答案】 【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，两个球的编号之积为偶数的结果有10个．再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图： 共有12个等可能的结果，两个球的编号之积为偶数的结果有10个， ∴两个球的编号之积为偶数的概率为． 5．（2026·山东德州·中考真题）如图，甲、乙、丙、丁四个人选四个座位，已知甲选择了①号座位，剩下的座位由乙、丙、丁三人随机选择，则乙和丙邻座的概率是_______． 【答案】 【分析】根据题意画出树状图，求出总的结果数和满足题意的结果数，利用概率公式进行解答即可． 【详解】解： 画树状图如下： 由图可知共有6种等可能的结果，其中乙和丙邻座的结果有4种， ∴乙和丙邻座的概率为． 6．（2026·重庆·模拟预测）不透明的袋子中有四个小球，除上面分别印有“金”“榜”“题”“名”四个字外无其它差别，一次性从袋子中随机摸取个小球，则这两个小球上的字正好组成“题名”的概率是________． 【答案】 【分析】画树状图得到一次性摸出2个小球所有等可能的结果数，再找出两个小球正好组成“题名”的结果数，根据概率公式计算即可得到结果． 【详解】解：将印有“金”“榜”“题”“名”的四个小球分别标记为A、B、C、D， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两个小球上的字正好组成“题名”的结果有种， 根据概率公式，可得所求概率为． 7．（2026·山西阳泉·三模）2026年米兰-科尔蒂纳冬奥会，3位中国参赛选手分别参与了3个比赛项目，如图，比赛项目与参赛选手上下一一对应．小伟制作了6张卡片（除正面图案外完全相同），其中3张项目卡正面分别是“短道速滑”“花样滑冰”“自由式滑雪”；另外3张对应的选手卡正面分别是张楚桐、金博洋、谷爱凌的人物图片．他将卡片分为项目卡和选手卡两组，背面朝上分别洗匀，先从3张项目卡片中随机抽取一张，再从3张选手卡片中随机抽取一张，则抽到的项目卡片和选手卡片恰好对应匹配的概率是______． 【答案】 【详解】解：设“短道速滑”“花样滑冰”“自由式滑雪”的卡片对应为A、B、C， 对应选手张楚桐、金博洋、谷爱凌的卡片对应为D、E、F， 画树状图如下： 共有9种情况，符合题意的有3种， 故所求概率为． 8．（2026·广东揭阳·模拟预测）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．如图，某学习小组制作了四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．小夏从四张卡片中随机抽取两张，抽取两张卡片内容均为物理变化的概率是___________． 【答案】 【分析】画树状图可得出所有等可能的结果数以及小夏抽取两张卡片内容均为物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：四张卡片内容中是物理变化的有：，． 画树状图如下∶ 共有种等可能的结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为物理变化的结果共种， 小夏抽取两张卡片内容均为物理变化的概率为． 故答案为：． 题型六：概率的综合解答题 1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的实践活动。下面是随机抽取的全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：．下面给出了部分信息： 模型设计成绩的频数分布直方图模型设计成绩的扇形统计图 根据以上信息解决下列问题： (1)本次共抽取了_______名学生的模型设计成绩，补全直方图，在扇形统计图中C组对应圆心角的度数为_______； (2)请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； (3)现从C组中选出一男一女，D组中选出两男一女，然后从选出的两组人中各选一名做经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为一男一女的概率． 【答案】(1)50；； (2)720 (3)概率为 【分析】（1）因为D组人数为10且对应扇形占比，所以用D组人数除以对应占比得到总抽取人数；再用总人数减去A组C组D组的人数得到B组人数为人，再补全直方图即可；用C组人数除以总人数再乘，即可得对应圆心角度数； （2）因为样本中不低于80分的是C组和D组，所以先计算样本中C、D组人数和占总抽取人数的比，再乘全校总人数1200； （3）用列表列出所有等可能的结果，再统计出一男一女的结果数，根据概率公式计算概率． 【详解】（1）解：由题可知，总人数为（人）； ∴B组的人数为（人）， 补全直方图略； C组占比为， ∴C组对应圆心角的度数为； （2）解：成绩不低于80分对应C组和D组，总人数为（人）， 全校1200名学生中，估计人数为：（人）； （3）解：记C组：男生，女生；D组：两名男生，，女生， 列表如下： 由表可知，共有6种等可能的结果，其中“一男一女”的结果有3种， ∴． 2．（2026·山东烟台·中考真题）技术已广泛应用于社会各领域，某学校新建了一个智慧自习教室，引进了“数字人模型”和“助教模型”两种模型供学生使用．使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调查（每份问卷涉及两种模型，评分均为0~10的整数，单位：分），并随机抽取了20份调查问卷，对数据进行整理、分析，得到如下图表： 类别 平均数/分 中位数/分 众数/分 数字人模型 7 助教模型 8 8 请根据上述信息解答下列问题： (1)填空： __________， __________，__________， __________； (2)运营商准备对“助教模型”进行优化升级，已知所抽取的20份调查问卷中，有2名男生和1名女生对该模型的评分为6分，现从这3人中随机抽取2人进行座谈，请利用树状图或表格求出恰好抽到2名男生的概率． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）利用求平均数的公式求出，利用中位数和众数的定义求出分别求出，，先求出扇形统计图中分所占百分比，用整体1减去其他各部分的百分比即可求解； （2）用树状图列出所有可能性，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴； 一共个数据从小到大排列，第和个数据的平均数是中位数， 由柱状图知第和个数据都是， ∴中位数为， 即； 由扇形统计图可知“助教模型”中分出现次数最多， ∴； ∵扇形统计图中分占百分比为：， ∴， 即； （2）解： 共有六种等可能性的结果，其中恰好抽到两名男生的情况由种， ∴(抽到2名男生)． 3．（2026·江西·中考真题）如图，我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、巽（）、坎、离、艮（）、兑”八个卦象．每个卦象由三个爻（）组成，其中“”表示阳爻，“”表示阴爻． (1)若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是_________________； (2)现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦象至少有一个阳爻的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察图形，可得只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个，进而根据概率公式，即可求解； （2）记“乾、坤、震、巽”分别为， ，，，根据列表法或画树状图法求解即可． 【详解】（1）解： 共有八个卦象，只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个， ∴从中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是 （2）解：记“乾、坤、震、巽”分别为， ，，． 列表法： 第一卦象第二卦象 树状图： 由表或树状图可得，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 其中满足条件的结果有：，，，，，共6种． 所以所求概率为． 4．（2026·江苏连云港·中考真题）我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅IP形象．小明将关于地域特产的4个IP形象（A云雾茶、B豆丹、C沙光鱼、D东海水晶），制作成4个玩具盲盒，每个盲盒中只有1个IP形象玩具． (1)若从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是 （填序号）； ①必然事件    ②随机事件    ③不可能事件 (2)若从这4个盲盒中随机抽取2个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率． 【答案】(1)② (2) 【分析】（1）直接根据随机事件的概念可得答案； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是：随机事件； （2）解：树状图如图所示： 由图可以看出一共有12种等可能结果， 其中抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的结果有2种． （抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”）． 答：抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率是． 5．（2026·四川南充·中考真题）为落实五育并举，培养学生良好的审美情趣和艺术素养，某校举办了“庆五四”系列艺术展演活动．现对歌唱比赛成绩进行统计，将参赛的m名队员的成绩，分成以下五组 A组（），B组（），C组（），D组（），E组（）． 并绘制出了两幅不完整的统计图（如图）．根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______；m名队员比赛成绩的中位数能在_______组（选填组名）． (2)从E组的甲、乙、丙、丁四名队员中随机选择两名担任校园合唱队领唱，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名队员恰好被选中的概率． 【答案】(1)；C (2) 【分析】（1）用C组人数除以C组占比就可以求出总人数；根据中位数定义，该次比赛共20人，中位数是第位和第位队员的平均成绩，找出该两名的分组位置即可判断出中位数在哪一组； （2）列表统计出所有可能的结果计算即可． 【详解】（1）解：， 参赛队员人数是20人，所以比赛成绩的中位数是第10位和第11位队员的平均成绩，由直方图可知，成绩排名第10位和第11位队员均在C组， 所以m名队员比赛成绩的中位数能在C组． （2）解：根据题意，列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 甲乙 乙丙 乙丁 丙 甲丙 乙丙 丙丁 丁 甲丁 乙丁 丙丁 由上表可知，共有12种可能的结果，其中甲、乙两名队员恰好被选中的结果有2种， 所以甲、乙两名队员恰好被选中的概率：． 6．（2026·四川成都·模拟预测）某校为了了解学生每天参与体育锻炼的情况，从全校学生中随机抽取部分学生对每天参与体育锻炼的时长进行问卷调查，根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表． 组别 每天参与体育锻炼时长（小时） 人数（人） 请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)本次被调查的学生有_____人，表中______； (2)本次调查数据的中位数出现在_____组，扇形统计图中，组所在扇形的圆心角是_____度； (3)该校九年级（）班恰有名男生，名女生每天锻炼的时长超过小时，学校打算从这名同学中抽取名同学在升旗仪式时分享每天体育锻炼时间规划方案，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生参加分享的概率． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据本次被调查的学生总数 组人数 组在调查人数中所占的百分比，得到本次被调查的学生总数，再用总人数减其他组的人数求出组的人数即可. （2）根据中位数的概念，即可得到本次调查数据的中位数所处的位置，根据组在调查人数中所占的百分比乘即可得到组所在扇形的圆心角. （3）画出树状图展示所有种等可能的结果，找到恰好抽到一名男生和一名女生参加分享的次数，根据等可能事件的概率公式计算即可． 【详解】（1）解：本次被调查的学生有（人）， ∴（人）， 故答案为：；； （2）解：∵本次调查数据的中位数是第个数据和第个数据的平均数，且（人）， ∴本次调查数据的中位数出现在组， 扇形统计图中，组所在扇形的圆心角是， 故答案为：；； （3）解：根据题意画树状图如下： ∴共有种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生参加分享的结果有种， ∴恰好抽到一名男生和一名女生参加分享的概率为． 7．（2026·四川广元·中考真题）某校“人工智能”社团开展“AI模型设计”大赛，统计参赛学生成绩，并分成A、B、C、D、E五个等级，现对数据进行整理和分析，部分信息如下： 成绩频数分布表 等级 成绩（分） 频数 A B C D E 统计B等级测试成绩（单位：分）如下：80，81，83，83，83，83，85，85，86，86，87，88，88，88，88，89，89，89，请根据以上信息，解答下列问题： (1)参赛学生总人数为__________人，成绩频数分布表中__________，__________； (2)参赛学生此次成绩的中位数是__________； (3)若从A等级中抽取两名学生作经验分享，小佳和小亮恰好在其中，请用画树状图或列表的方法计算同时抽到小佳和小亮的概率． 【答案】(1)40，12，4 (2)82 (3) 【分析】（1）由B等级学生人数除以其占参赛总人数的百分比可求出参赛学生总人数，总人数乘以C等级的百分比求出m，总人数减去其他等级的人数求出n； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）画出树状图，根据树状图得到总的结果数与该事件的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：参赛学生总人数为人， ， ； （2）解：∵， ∴40个数据中的第20，21个数据分别为83，81， ∴参赛学生此次成绩的中位数是； （3）设另外两名学生分别为a，b，小佳用c表示，小亮用d表示， 列树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中同时抽到小佳和小亮的有2种， ∴同时抽到小佳和小亮的概率是 题型一：几何中复杂的概率问题 1．（2026·广西钦州·二模）如图，平行四边形中，对角线，交于点，直线过点，且与边，分别交于点，， ．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是_____________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质与几何概率的综合应用，解题核心是利用平行四边形的性质，结合线段比例关系，求出与平行四边形的面积比，即为所求概率． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ， 和同高， ， ， 点落在内的概率是． 2．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）小李向如图所示的圆形区域内投掷飞镖．已知是等边三角形，D点是弧的中点，则飞镖落在空白部分的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率及弓形面积的计算，解题的关键是理解阴影部分面积等于弓形的面积减去弓形的面积．由是等边三角形得 ，是弧中点得，分别计算两个弓形面积，相减得阴影面积，再用圆面积减去阴影面积得空白面积，最后求概率． 【详解】解：设圆的半径为R则圆的面积为， 是等边三角形， ， 是弧的中点， ， ， ， 令与交于点E，则， 在中，， ， ， ， 弓形的面积-扇形的面积的面积， ，， ， ， ， ， 弓形的面积-扇形的面积的面积， ， ， ， 故答案为：． 3．（2026·四川成都·一模）如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，三角形中位线定理以及中点四边形的性质．根据中点四边形的性质以及三角形中位线定理得出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中位线， ∴，， ∴， 同理， ∴， 同理， ∴， ∴， 同理，， ∴飞镖命中阴影区域的概率为． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图的“风车”图案（阴影部分）．若图中的四个直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，现随机向图大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 【答案】 【分析】此题考查了几何概率，根据题意易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可求解，求出阴影区域的面积是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ∴， ∴， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， ∴阴影部分的面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 题型二：利用概率求参数的值 1．（2025九年级下·北京·专题练习）设计一个摸球游戏，在一个袋子里装有一些颜色的球，使得摸到红球的机会为0.4，摸到黄球的机会为0.2，摸到白球的机会为0.4，则至少要有_____个黄球． 【答案】1 【分析】本题主要考查了概率公式的应用及概率与数量比的关系，熟练掌握根据概率确定各事件对应数量的最简整数比，再求出满足条件的最小正整数解是解题的关键．先根据各颜色球的概率求出它们的数量比，再找出满足数量比的最小正整数解，从而得到黄球的最少个数． 【详解】解：∵摸到红球、黄球、白球的概率分别为、、， ∴三种球的数量比为：红球黄球白球， 设黄球数量为，则红球数量，白球数量，总球数． 当时，，，， 此时，，，， 故答案为：1． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个红球的概率为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量，设红球的个数为x个，根据概率计算公式结合蓝球的概率建立方程求出x的值，进而求出摸出红球的概率即可． 【详解】解：设红球的个数为x个， 由题意得，， 解得 经检验，是原方程的根且符合题意， ∴红球的个数为3个， ∴随机摸出一个红球的概率为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）盒子中有x枚黑棋和30枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．往盒子中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，则x的值是________． 【答案】5 【分析】-此题考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．根据盒中有x枚黑棋和枚白棋，得出盒子中共有枚棋，往盒子中再放进10枚黑棋后，盒子中共有枚棋，其中黑棋有枚，再根据概率公式列出关系式，求出x的值即可． 【详解】解：∵盒子中有x枚黑棋和枚白棋， ∴盒子中共有个棋， 往盒子中再放进10个黑棋，盒子中共有枚棋，其中黑棋有枚， 根据取得黑棋的概率变为， 可得， 解得， 故答案为：5． 4．从长度为3，4，7，的四条线段中任选三条线段，可以成为一个三角形三边的概率是，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的构成条件，概率的应用． 先求出所有情况，可知共4种情况，，不能成为一个三角形三边，则、能成为一个三角形三边，根据三角形的构成条件计算即可． 【详解】从长度为3，4，7，的四条线段中任选三条线段，共有、、、共4种情况， ∵， ∴，不能成为一个三角形三边，从长度为3，4，7， ∵的四条线段中任选三条线段，可以成为一个三角形三边的概率是， ∴、能成为一个三角形三边， ∴、 ∴， 即 ∵， ∴， 故答案为： 5．（2025·福建南平·一模）一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球个．现在往袋中放入m个白球，使得摸到白球的概率为，则m的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查了简单的概率计算，解分式方程．熟练掌握简单的概率计算，解分式方程是解题的关键． 由题意知，，计算求出满足要求的解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，整理得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：2． 题型三：概率与其他知识点综合 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知一个口袋中装有四个除所标数字外其余均完全相同的小球，小球上分别标有，0，1，2四个数，搅匀后一次从中摸出两个小球，将小球上的数分别用a，b表示，将a、b代入方程组，则方程组有解的概率是___________． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果，再根据二元一次方程组有解的条件筛选出符合条件的结果，最后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：解方程组， 由第一个方程得， 将整理后的式子，代入第二个方程得， 整理得， 当即时，方程左边为， 此时由，可知， ∴右边，即方程右边与方程左边不相等，方程组无解， ∴方程组有解的概率，即抽取的两个小球上的数字之积不为的概率， 由题意，列表如下： a b 0 1 2 / 0 0 0 / 0 0 1 0 / 2 2 0 2 / 由表可知，共有12种等可能的情况，其中满足的情况共种，因此方程组有解的情况有种， ∴方程组有解的概率为． 2．（25-26九年级上·四川·期末）从这三个数中任取两个数分别作为的值则关于的一元二次方程有实数根的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及概率的计算，根据一元二次方程有实数根，得到判别式且，计算所有可能的组合数及满足条件的组合数，再求概率． 【详解】解：方程有实数根， 且， 从，，中任取两个数作为和，共有种可能结果：，，，，，， ：，符合题意； ：，符合题意； ：，不符合题意； ：，不符合题意； ：，不符合题意； ：，不符合题意； 故概率为． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则二次函数与x轴有两个不同交点的概率为______． 【答案】 【分析】二次函数与轴有两个不同交点的条件是判别式大于零，即，从1、2、3、4中随机选取两个不同的数作为和，考虑顺序，总共有12种可能结果，找出满足条件的有序对，计算概率即可． 本题主要考查了简单概率的计算，二次函数与轴的交点问题，熟练掌握“二次函数与轴有两个不同交点的条件是判别式大于零”是解题的关键． 【详解】解：由于选取顺序不同，和的有序对共有、、、、、、、、、、、共12种； 二次函数与轴有两个不同交点的条件是判别式， 即， 解得， 满足的有序对有、、、共4种， 则二次函数与轴有两个不同交点的概率为； 故答案为：． 4．现有四张正面分别标有数，，0，1的不透明卡片，它们除数外其余完全相同．将卡片背面朝上洗匀后，随机抽取两张，记上面的数分别为m，n，则使得代数式无意义的概率为________． 【答案】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 通过列表得出所有等可能结果，从中找到使代数式 无意义（即 ）的结果数，再根据概率公式求解． 【详解】解：列表如下： -2 -1 0 1 -2 —— -1 —— 0 —— 1 —— 由表知，共有种等可能结果，其中 的结果有：、、、、、、、，有种结果， 故使得代数式 无意义的概率为 ， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取两张，将两张卡片上的数字之和记为，则使关于的分式方程无解的概率为____． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求解概率，分式方程的无解问题，先求出分式方程无解时的取值，再利用树状图法表示出洗匀后从中任取两张时出现的所有情况，然后利用概率公式即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘得， 整理，得， 当，即时，整式方程无解，则分式方程也无解； 当，即时， ∵原分式方程无解， ∴原分式方程有增根， ∴当或当时原分式方程无解， ∴当或时，原分式方程无解； 若，那么，解得， 若，那么，解得； 综上所述，当或或时，分式方程无解； 画树状图如图所示： 由树状图可知，共有个等可能的结果，使关于的分式方程无解的结果有个， 使关于的分式方程无解的概率为； 故答案为：． 1．（2026·河北张家口·一模）不透明袋子中有红球、绿球和蓝球共个，这些球除颜色外无其他差别，若从袋子中随机取出1个球，取出红球的概率是，取出绿球的概率是．嘉嘉从中拿出一个红球后，再从剩下的球中随机取出个球，这个球是蓝球的概率是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据概率公式求出三种颜色球的个数，再计算拿出1个红球后剩余球的总数和蓝球个数，最后根据概率公式求解取出蓝球的概率． 【详解】解：∵袋子中共有个球，取出红球的概率为，取出绿球的概率为， ∴红球个数为（个），绿球个数为（个）， ∴蓝球个数为（个）， ∵拿出个红球后，剩余球的总个数为（个），蓝球个数仍为个， ∴再随机取出个球是蓝球的概率为． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）分别向如图所示的四个区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可能性最大的是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别确定石子落在阴影部分的可能性，然后比较大小即可． 【详解】解：A、此选项中石子落在阴影部分可能性为； B、此选项中石子落在阴影部分可能性为； C、此选项中石子落在阴影部分可能性为； D、此选项中石子落在阴影部分可能性为； 所以石子落在阴影部分可能性最大的是B选项所示图形， 3．（2026·河北唐山·模拟预测）如图，一个简易飞镖盘的盘面被分为8个大小相同的扇形，每个扇形区域标有一个数字，随机投掷一枚飞镖（飞镖落在盘外或分隔线上时重新投掷），若要使得飞镖落在数字5所在扇形的概率大于落在数字6所在扇形的概率，则m，n的值可能为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据几何概率的意义，飞镖落在某数字所在扇形的概率等于该数字所在扇形的个数除以总扇形个数．题目要求，即数字5所在的扇形个数需多于数字6所在的扇形个数．统计图中已有的数字个数，结合选项判断m，n的取值即可． 【详解】解：∵盘面被分为8个大小相同的扇形， ∴飞镖落在每个扇形的概率相等，概率大小取决于对应数字所在扇形的个数 ∵图中已有的数字中，5出现了2次，6出现了2次， ∴若要使得飞镖落在数字5所在扇形的概率大于落在数字6所在扇形的概率，即， ∴m，n中数字5的个数必须多于数字6的个数． A、若，，则数字5共2个，数字6共2个，不满足数字5的个数多于数字6的个数，不合题意； B、，，则数字5共2个，数字6共3个，不满足数字5的个数多于数字6的个数，不合题意； C、，，则数字5共3个，数字6共3个，不满足数字5的个数多于数字6的个数，不合题意； D、，，则数字5共3个，数字6共2个，满足数字5的个数多于数字6的个数，符合题意． 4．（2026·河南南阳·模拟预测）在数学活动课上，老师将4种生活图案制成如图所示的无差别卡片，将卡片置于暗箱中摇匀后随机抽取2张，抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据物理变化的定义判断出4种图案中属于物理变化的有2种，然后列出所有等可能的结果，找出抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的结果数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵镁条燃烧生成氧化镁，面包发霉生成新物质，均属于化学变化；玻璃破碎、钢条折弯只是形状改变，均属于物理变化， ∴4张卡片中，属于化学变化的有2张，属于物理变化的有2张，设2张化学变化的卡片分别为，2张物理变化的卡片分别为 ， 从4张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果有：共6种， 其中抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的结果只有这1种， ∴抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的概率． 5．（2026·河北邯郸·一模）小颖设计了两个可自由转动的如图所示的转盘A，B，用来做“配绿色”游戏（其中一个指针指向蓝色，另一个指针指向黄色即可配成绿色），同时转动两个转盘各一次，配得绿色的概率为__________． 【答案】 【分析】先根据圆心角确定两个转盘各颜色区域的占比，将转盘A视为2等份（蓝、红各1份），转盘B视为3等份（黄、蓝、红各1份）；再用列表法列出所有等可能的结果，统计出“一个蓝、一个黄”的结果数，最后用概率公式计算配得绿色的概率． 【详解】解：由图可知：转盘A中蓝色、红色区域的圆心角均为，各占，可视为2等份（蓝、红）；转盘B中黄色、蓝色、红色区域的圆心角均为，各占，可视为3等份（黄、蓝、红）． 列表如下： 转盘A \ 转盘B 黄 蓝 红 蓝 （蓝， 黄） （蓝， 蓝） （蓝， 红） 红 （红， 黄） （红， 蓝） （红， 红） 由表可知，共有种等可能的结果， 其中能配成绿色（一个指针指向蓝色，另一个指针指向黄色）的结果有种，即蓝黄（蓝，黄）． ∴． 6．（2026·四川甘孜·中考真题）某设备的电路图如图所示，随机闭合三个开关，，中的两个，则灯泡亮的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查了利用树状图法或列表法求概率，正确分析电路图得出灯泡发光的条件是解题的关键，先画出树状图展示所有等可能的结果，再确定使灯泡发光的结果数，最后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图，如图， 一共有种等可能的结果，分别为，，，，， 由电路图可知，开关在干路上，灯泡也在干路上，要使灯泡亮，必须闭合开关，且与中至少闭合一个 符合条件的结果有，，，，共种 灯泡亮的概率是． 7．（2026·辽宁锦州·模拟预测）为了了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某校举行了“垃圾分类，人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为及格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的测试成绩为：，，，，、，，，，，，，，，，，，，，． 七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如表所示： 年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 七年级 八年级    根据以上信息，解答下列问题： (1)在上述表格中：________；________； (2)根据上述数据，请写出掌握垃圾分类知识的情况较好的年级并给出理由（写出一条理由即可）； (3)该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市现场垃圾分类知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有乙同学参加比赛的概率． 【答案】(1)，； (2)八年级掌握垃圾分类知识的情况较好，理由：八年级测试成绩的众数为8，高于七年级的众数答案不唯一，合理即可)； (3) 【分析】（1）根据众数的定义，找出七年级成绩中出现次数最多的数即可得到；根据中位数的定义，将八年级成绩从小到大排列后，取中间两个数的平均数得到． （2）从众数、中位数、8分及以上人数占比等统计量入手，比较两个年级的数值大小，选择一个合理的统计量作为理由说明八年级情况更好． （3）利用列表法列出所有等可能的抽取结果，再找出包含乙同学的结果数，根据概率公式计算概率． 【详解】（1）解：∵七年级名学生的测试成绩中，7分出现的次数最多， ∴七年级成绩的众数； 对于八年级的成绩，将名学生的成绩从小到大排列后，第个数是7，第个数是8， ∴八年级成绩的中位数． （2）略 （3）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 (甲，乙) (甲，丙) (甲，丁) 乙 (乙，甲) (乙，丙) (乙，丁) 丙 (丙，甲) (丙，乙) (丙，丁) 丁 (丁，甲) (丁，乙) (丁，丙) 由表格可知，所有等可能的结果共有种，其中必有乙同学参加比赛的结果有6种； ∴必有乙同学参加比赛的概率为． 8．（2026·广东深圳·三模）2026年，我国“双碳”目标推进取得阶段性成果，新能源汽车渗透率持续提升．某校为普及新能源汽车与低碳出行知识，举办了“新能源汽车与绿色未来”知识竞赛．现从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均高于60分，用x表示，共分四组：A、 ，B、 ，C、 ，D、），下面给出了部分信息： 七年级10名学生竞赛成绩是：62、72、74、80、81、82、82、90、91、96． 八年级10名学生竞赛成绩是：67、68、70、74、75、85、90、90、95、96． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81 81 中位数 80 众数 82 90 方差 90 117 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________． (2)结合上述信息和所学的数学知识，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由． (3)现要将八年级的甲、乙、丙、丁四位同学分成两组，每组两人一起合作进行比赛，并随机抽签决定分组．请用树状图或列表法来说明甲、乙两位同学分到同一组的概率． 【答案】(1)，； (2)七年级更好；理由：七年级和八年级平均数都是81分，但七年级的竞赛成绩的中位数比八年级高，且七年级的方差小于八年级的方差，则七年级的竞赛成绩稳定性高于八年级竞赛成绩的稳定性． (3) 【分析】（1）根据中位数的定义求出a的值，得出位于七年级A组的人数，用A组的人数除以总人数即可求出m的值． （2）利用中位数和方差作决策即可． （3）列出表格求解即可． 【详解】（1）解：七年级10名学生竞赛成绩从小到大排列为：62、72、74、80、81、82、82、90、91、96． ∴中位数为， 在A组之间的人数有3人， ∴， ∴ （2）解：略： （3）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ∴共有12种等可能的结果，其中甲、乙两位同学分到同一组有2种结果， ∴甲、乙两位同学分到同一组的概率为：． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.2 简单事件的概率（第2课时） 题型一：利用概率作为判断依据 1．一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知地球的表面陆地与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则（    ） A．落在陆地上的可能性大 B．落在陆地和海洋的可能性大小一样 C．落在海洋的可能性大 D．这种事件不能判定 3．（25-26九年级上·四川达州·期末）用6个球设计一个摸球的游戏，小明想出了下面四个方案，你认为不能成功的是（　　） A．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是 B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是 C．摸到黄球、红球、白球的概率是 D．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是 4．（25-26九年级上·广西河池·期末）在一个不透明的袋子里装有1个红球、2个白球、3个黄球、6个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后任意摸出一个球，则下列事件中发生的可能性的最大的是（    ） A．摸到红球 B．摸到黄球 C．摸到白球 D．摸到蓝球 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）在一个不透明的箱子中放有10张除地名外完全相同的卡片，卡片数量如表．从箱子中抽出一张卡片，卡片上的地名最有可能是_____． 地名 卡片数量 岳麓山 5张 铜官窑 2张 橘子洲头 3张 题型二：几何中的概率问题 1．（25-26九年级上·山东威海·期末）转动如图所示的转盘，指针落在红色区域的概率为__________． 2．（25-26九年级上·山东淄博·期末）汉末三国初数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，且每个直角三角形的两条直角边的比都为．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图是一个七巧板形状的飞镖靶盘，将一支飞镖任意投掷在靶盘上，恰好落在阴影部分的概率是______． 4．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，学校在教学楼走廊铺设4×4的正方形防滑方格地砖，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，部分地砖区域做了黑色阴影涂鸦．课间开展抛沙包小游戏：将沙包随机抛落在地砖面上（落在地砖缝隙、地砖外则重新投掷），随机抛掷沙包一次，求沙包落在阴影部分的概率是___________． 5．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样，假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次，则飞镖击中白色区域的概率是______． 6．（2026·四川成都·二模）如图，正方形纸片的边长为1，以各边为直径在正方形内作四个半圆，中间阴影部分形成了一朵花瓣的形状．小明利用这张纸片做“投针实验”：随机向这张纸片投掷一枚钢针，针尖扎在纸片上完成一次实验，未扎中则重投．钢针扎在花瓣上的概率为______． 7．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）一块“太极八卦”图样的地砖可以抽象为图所示的中心重合的正八边形及圆形，已知“太极图”黑色部分与白色部分关于正八边形的中心成中心对称，向这块“太极八卦”地砖内扔一颗小石子，恰好落在黑色部分的概率为______． 8．（2026·山东济南·二模）如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是____． 题型三：利用列举法求概率 1．（25-26九年级上·山西晋中·期末）五一期间，某商场举行猜商品价格赢奖品的活动．王先生在事先不知道商品价格的前提下，主持人要求他从下图中的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是230，那么他一次就猜中的概率是__________． 2．（2026·宁夏银川·三模）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响、小乐收集了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是_____． 3．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率为_______． 4．（2026·山西朔州·三模）剪纸是我国传统文化中的一块瑰宝，春节来临之际，某校开展了“剪纸迎春”活动．现有两张“福”字剪纸和一张“春”字剪纸，将它们分别放入完全相同的三个信封中．小华从中随机抽取两个信封，则恰好抽到放有一张“福”字和一张“春”字的信封的概率为_________． 5．（2026·湖北黄石·三模）“冰裂纹”“云头纹”“方胜纹”“浪花纹”是中国传统建筑常见的吉祥装饰纹样，寓意绵延不断、祥瑞圆满．现有工匠需要为一座亭子的栏杆雕刻纹饰，计划从这四种纹样中随机选用两种，其中包含“方胜纹”的概率为__________． 6．（2026·山东东营·二模）京剧、中医，国画，武术被称为中国四大国粹，是中华民族独有的、世代传承的文化瑰宝．县文化馆印刷了部分印有“四大国粹”图案的书签，除正面图案不同外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张，随机抽取的2张书签恰好是“京剧”和“国画”的概率是__________． 7．（2026·湖北·模拟预测）中华文化，源远流长，在文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，小明准备在暑假期间随机选读其中两部，选到《西游记》和《三国演义》的概率是_________． 题型四：利用列表法求概率 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，甲、乙两人选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是______． 由表可知，一共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好都从同一入口进入的结果有3种， 2．（25-26九年级下·重庆·期中）有四张完全一样正面写有数字3，4，5，6的卡片，将其背面向上并洗匀，随机抽取1张后，放回并洗匀，再随机抽取1张，那么第二张卡片上的数字能够整除第一张卡片上的数字的概率是______． 3 4 5 6 3 3，3 3，4 3，5 3，6 4 4，3 4，4 4，5 4，6 5 5，3 5，4 5，5 5，6 6 6，3 6，4 6，5 6，6 3．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）随着人工智能时代的到来，某学校开设了涵盖人工智能技术的三门兴趣课程，分别为“音乐创作”“打印与虚拟仿真”“机器人编程与应用”，每位同学从这三门课程中随机选择一门课程，甲、乙两名同学都选择“音乐创作”的概率是__________． 4．（2026·全国·二模）年，长沙市中小学全面实施“活力课间15分钟”行动，鼓励学生走出教室参与体育锻炼．某校在课间开设了花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目．甲、乙两位同学各自从这三项中随机选择一项参加，且两人选择相互独立．则他们恰好都选择花样跳绳的概率是________． A B C A B C 5．（2026·安徽·二模）有4张背面完全相同的不透明卡片，正面图案分别是矩形、平行四边形(不是菱形和正方形)、正三角形、圆，洗均匀后，背面朝上放置，从中任意抽出2张，恰好抽出的两张既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是_____． 题型五：利用树状图求概率 1．（2026·浙江杭州·二模）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针分别落在数字1、2、3所示区域内．随机转动两次，则两次数字相同的概率为_______． 2．（2026·河南·中考真题）在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴键时，发出的声音构成二度音程．如图是钢琴键盘的一部分，从，，，四个白色琴键中随机选两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为_______． 3．（2026·广东东莞·模拟预测）三星堆文创盲盒是三星堆博物馆以其独特的出土文物为原型，结合现代潮流玩偶设计理念，所开发的一系列创意产品．它成功地将古老神秘的三星堆文化与现代消费潮流相结合，成为“让文物活起来”的典范之作．如图，已知一箱祈福神官系列内有4个盲盒，包括A款青铜大立人，B款铜鸟，C款平头金面青铜人头像，D款青铜戴冠纵目面具，则随机抽取的2个盲盒中有A款青铜大立人的概率为______________． 4．（2025·湖北荆州·模拟预测）一个不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），其中两个球的编号为1，另两个球的编号为2．从中任意摸出两个球，这两个球的编号之积为偶数的概率是______． 5．（2026·山东德州·中考真题）如图，甲、乙、丙、丁四个人选四个座位，已知甲选择了①号座位，剩下的座位由乙、丙、丁三人随机选择，则乙和丙邻座的概率是_______． 6．（2026·重庆·模拟预测）不透明的袋子中有四个小球，除上面分别印有“金”“榜”“题”“名”四个字外无其它差别，一次性从袋子中随机摸取个小球，则这两个小球上的字正好组成“题名”的概率是________． 7．（2026·山西阳泉·三模）2026年米兰-科尔蒂纳冬奥会，3位中国参赛选手分别参与了3个比赛项目，如图，比赛项目与参赛选手上下一一对应．小伟制作了6张卡片（除正面图案外完全相同），其中3张项目卡正面分别是“短道速滑”“花样滑冰”“自由式滑雪”；另外3张对应的选手卡正面分别是张楚桐、金博洋、谷爱凌的人物图片．他将卡片分为项目卡和选手卡两组，背面朝上分别洗匀，先从3张项目卡片中随机抽取一张，再从3张选手卡片中随机抽取一张，则抽到的项目卡片和选手卡片恰好对应匹配的概率是______． 8．（2026·广东揭阳·模拟预测）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．如图，某学习小组制作了四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．小夏从四张卡片中随机抽取两张，抽取两张卡片内容均为物理变化的概率是___________． 题型六：概率的综合解答题 1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的实践活动。下面是随机抽取的全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：．下面给出了部分信息： 模型设计成绩的频数分布直方图模型设计成绩的扇形统计图 根据以上信息解决下列问题： (1)本次共抽取了_______名学生的模型设计成绩，补全直方图，在扇形统计图中C组对应圆心角的度数为_______； (2)请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； (3)现从C组中选出一男一女，D组中选出两男一女，然后从选出的两组人中各选一名做经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为一男一女的概率． 2．（2026·山东烟台·中考真题）技术已广泛应用于社会各领域，某学校新建了一个智慧自习教室，引进了“数字人模型”和“助教模型”两种模型供学生使用．使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调查（每份问卷涉及两种模型，评分均为0~10的整数，单位：分），并随机抽取了20份调查问卷，对数据进行整理、分析，得到如下图表： 类别 平均数/分 中位数/分 众数/分 数字人模型 7 助教模型 8 8 请根据上述信息解答下列问题： (1)填空： __________， __________，__________， __________； (2)运营商准备对“助教模型”进行优化升级，已知所抽取的20份调查问卷中，有2名男生和1名女生对该模型的评分为6分，现从这3人中随机抽取2人进行座谈，请利用树状图或表格求出恰好抽到2名男生的概率． 3．（2026·江西·中考真题）如图，我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、巽（）、坎、离、艮（）、兑”八个卦象．每个卦象由三个爻（）组成，其中“”表示阳爻，“”表示阴爻． (1)若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是_________________； (2)现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦象至少有一个阳爻的概率． 第一卦象第二卦象 4．（2026·江苏连云港·中考真题）我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅IP形象．小明将关于地域特产的4个IP形象（A云雾茶、B豆丹、C沙光鱼、D东海水晶），制作成4个玩具盲盒，每个盲盒中只有1个IP形象玩具． (1)若从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是 （填序号）； ①必然事件    ②随机事件    ③不可能事件 (2)若从这4个盲盒中随机抽取2个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率． 5．（2026·四川南充·中考真题）为落实五育并举，培养学生良好的审美情趣和艺术素养，某校举办了“庆五四”系列艺术展演活动．现对歌唱比赛成绩进行统计，将参赛的m名队员的成绩，分成以下五组 A组（），B组（），C组（），D组（），E组（）． 并绘制出了两幅不完整的统计图（如图）．根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______；m名队员比赛成绩的中位数能在_______组（选填组名）． (2)从E组的甲、乙、丙、丁四名队员中随机选择两名担任校园合唱队领唱，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名队员恰好被选中的概率． 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 甲乙 乙丙 乙丁 丙 甲丙 乙丙 丙丁 丁 甲丁 乙丁 丙丁 6．（2026·四川成都·模拟预测）某校为了了解学生每天参与体育锻炼的情况，从全校学生中随机抽取部分学生对每天参与体育锻炼的时长进行问卷调查，根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表． 组别 每天参与体育锻炼时长（小时） 人数（人） 请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)本次被调查的学生有_____人，表中______； (2)本次调查数据的中位数出现在_____组，扇形统计图中，组所在扇形的圆心角是_____度； (3)该校九年级（）班恰有名男生，名女生每天锻炼的时长超过小时，学校打算从这名同学中抽取名同学在升旗仪式时分享每天体育锻炼时间规划方案，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生参加分享的概率． 7．（2026·四川广元·中考真题）某校“人工智能”社团开展“AI模型设计”大赛，统计参赛学生成绩，并分成A、B、C、D、E五个等级，现对数据进行整理和分析，部分信息如下： 成绩频数分布表 等级 成绩（分） 频数 A B C D E 统计B等级测试成绩（单位：分）如下：80，81，83，83，83，83，85，85，86，86，87，88，88，88，88，89，89，89，请根据以上信息，解答下列问题： (1)参赛学生总人数为__________人，成绩频数分布表中__________，__________； (2)参赛学生此次成绩的中位数是__________； (3)若从A等级中抽取两名学生作经验分享，小佳和小亮恰好在其中，请用画树状图或列表的方法计算同时抽到小佳和小亮的概率． 题型一：几何中复杂的概率问题 1．（2026·广西钦州·二模）如图，平行四边形中，对角线，交于点，直线过点，且与边，分别交于点，， ．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是_____________． 2．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）小李向如图所示的圆形区域内投掷飞镖．已知是等边三角形，D点是弧的中点，则飞镖落在空白部分的概率为_____． 3．（2026·四川成都·一模）如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____． 4．（24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图的“风车”图案（阴影部分）．若图中的四个直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，现随机向图大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 题型二：利用概率求参数的值 1．（2025九年级下·北京·专题练习）设计一个摸球游戏，在一个袋子里装有一些颜色的球，使得摸到红球的机会为0.4，摸到黄球的机会为0.2，摸到白球的机会为0.4，则至少要有_____个黄球． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个红球的概率为______． 3．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）盒子中有x枚黑棋和30枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．往盒子中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，则x的值是________． 4．从长度为3，4，7，的四条线段中任选三条线段，可以成为一个三角形三边的概率是，则的取值范围是___________． 5．（2025·福建南平·一模）一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球个．现在往袋中放入m个白球，使得摸到白球的概率为，则m的值为________． 题型三：概率与其他知识点综合 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知一个口袋中装有四个除所标数字外其余均完全相同的小球，小球上分别标有，0，1，2四个数，搅匀后一次从中摸出两个小球，将小球上的数分别用a，b表示，将a、b代入方程组，则方程组有解的概率是___________． a b 0 1 2 / 0 0 0 / 0 0 1 0 / 2 2 0 2 / 2．（25-26九年级上·四川·期末）从这三个数中任取两个数分别作为的值则关于的一元二次方程有实数根的概率为______． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则二次函数与x轴有两个不同交点的概率为______． 4．现有四张正面分别标有数，，0，1的不透明卡片，它们除数外其余完全相同．将卡片背面朝上洗匀后，随机抽取两张，记上面的数分别为m，n，则使得代数式无意义的概率为________． -2 -1 0 1 -2 —— -1 —— 0 —— 1 —— 5．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取两张，将两张卡片上的数字之和记为，则使关于的分式方程无解的概率为____． 1．（2026·河北张家口·一模）不透明袋子中有红球、绿球和蓝球共个，这些球除颜色外无其他差别，若从袋子中随机取出1个球，取出红球的概率是，取出绿球的概率是．嘉嘉从中拿出一个红球后，再从剩下的球中随机取出个球，这个球是蓝球的概率是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）分别向如图所示的四个区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可能性最大的是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河北唐山·模拟预测）如图，一个简易飞镖盘的盘面被分为8个大小相同的扇形，每个扇形区域标有一个数字，随机投掷一枚飞镖（飞镖落在盘外或分隔线上时重新投掷），若要使得飞镖落在数字5所在扇形的概率大于落在数字6所在扇形的概率，则m，n的值可能为（     ） A．， B．， C．， D．， 4．（2026·河南南阳·模拟预测）在数学活动课上，老师将4种生活图案制成如图所示的无差别卡片，将卡片置于暗箱中摇匀后随机抽取2张，抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的概率为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·河北邯郸·一模）小颖设计了两个可自由转动的如图所示的转盘A，B，用来做“配绿色”游戏（其中一个指针指向蓝色，另一个指针指向黄色即可配成绿色），同时转动两个转盘各一次，配得绿色的概率为__________． 转盘A \ 转盘B 黄 蓝 红 蓝 （蓝， 黄） （蓝， 蓝） （蓝， 红） 红 （红， 黄） （红， 蓝） （红， 红） 6．（2026·四川甘孜·中考真题）某设备的电路图如图所示，随机闭合三个开关，，中的两个，则灯泡亮的概率为______． 7．（2026·辽宁锦州·模拟预测）为了了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某校举行了“垃圾分类，人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为及格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的测试成绩为：，，，，、，，，，，，，，，，，，，，． 七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如表所示： 年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 七年级 八年级    根据以上信息，解答下列问题： (1)在上述表格中：________；________； (2)根据上述数据，请写出掌握垃圾分类知识的情况较好的年级并给出理由（写出一条理由即可）； (3)该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市现场垃圾分类知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有乙同学参加比赛的概率． 甲 乙 丙 丁 甲 (甲，乙) (甲，丙) (甲，丁) 乙 (乙，甲) (乙，丙) (乙，丁) 丙 (丙，甲) (丙，乙) (丙，丁) 丁 (丁，甲) (丁，乙) (丁，丙) 8．（2026·广东深圳·三模）2026年，我国“双碳”目标推进取得阶段性成果，新能源汽车渗透率持续提升．某校为普及新能源汽车与低碳出行知识，举办了“新能源汽车与绿色未来”知识竞赛．现从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均高于60分，用x表示，共分四组：A、 ，B、 ，C、 ，D、），下面给出了部分信息： 七年级10名学生竞赛成绩是：62、72、74、80、81、82、82、90、91、96． 八年级10名学生竞赛成绩是：67、68、70、74、75、85、90、90、95、96． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81 81 中位数 80 众数 82 90 方差 90 117 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________． (2)结合上述信息和所学的数学知识，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由． (3)现要将八年级的甲、乙、丙、丁四位同学分成两组，每组两人一起合作进行比赛，并随机抽签决定分组．请用树状图或列表法来说明甲、乙两位同学分到同一组的概率． 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $