2.2.1 简单随机事件的概率（第1课时）（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 聚焦概率概念理解与应用，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层递进设计，实现从单一知识点到跨学科综合的巩固路径，培养数学抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|概率意义、事件分类、等可能判断|以选择辨析为主，结合生活情境（如种植成活率、抽奖）强化概念理解| |技能应用层|概率大小比较、列举事件、公式计算与数量求解|通过转盘游戏、摸球实验等情境，训练概率公式直接应用与逆向思维| |综合拓展层|概率与方程、函数、统计等知识融合|设计扫雷游戏、七巧板概率等复杂问题，培养数据观念与综合应用能力|

2.2.1 简单事件的概率（第1课时） 题型一：概率意义的理解 1．（25-26九年级上·山东威海·期末）下列说法正确的是（    ） A．不太可能发生的事，可以看作不可能事件 B．投掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为质数的概率是 C．买一张彩票的中奖概率为，说明买一张彩票中奖的可能性很小 D．如果摸到红球的概率是，那么摸球5次，一定有2次会摸到红球 2．（2026·内蒙古·中考真题）阿拉善盟是内蒙古乃至全国防沙治沙的主阵地，截至2024年底，勤劳的阿拉善人累计人工种植梭梭（一种防风固沙植物）万亩，成活率已经达到．下列说法正确的是（   ） A．种植10棵梭梭，一定有9棵成活 B．种植9棵梭梭，一定有1棵成活 C．种植1棵梭梭，一定不能成活 D．种植1棵梭梭，不一定能成活 3．（25-26九年级上·辽宁·期中）下列说法正确的是（     ） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B．“汽车累计行驶10000 km，从未出现故障”是随机事件 C．“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件 D．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 4．（2026·广东汕头·三模）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为，下列说法正确的是（     ） A．小星定点投篮次，不一定能投中 B．小星定点投篮次，一定可以投中 C．小星定点投篮次，一定投中次 D．小星定点投篮次，一定投中次 5．（2026·湖北咸宁·模拟预测）下列说法中，正确的是（     ） A．“打开电视，CCTV1正在播放《新闻联播》”是必然事件 B．“天气预报说咸宁明天的降水概率为”意味着咸宁明天有半天都在降雨 C．甲、乙两人的10次数学测试成绩，方差越大的成绩越好 D．“掷一次质地均匀的正方体骰子，向上的一面的数字是2”是随机事件 题型二：判断几个事件概率的大小关系 1．估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．⑤④③②① C．⑤④②③① D．④⑤③②① 2．（25-26九年级上·云南昆明·期末）某超市在一个不透明盒子中装了个小球，其中个小球上写着过桥米线，个小球上写着鲜花饼，个小球上写着普洱茶，个小球上写着宣威火腿，每个小球除文字外其它完全相同．凡是在该超市消费满元的客户就可以从盒中随机摸出一个小球，根据小球上的文字，免费领取一盒对应的礼品．小智摸出一个球后，最有可能领取的礼品是（    ） A．过桥米线 B．普洱茶 C．宣威火腿 D．鲜花饼 3.（25-26八年级上·北京昌平·期末）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．：出现点数为偶数的可能性；：出现点数为1的可能性；：出现点数不大于4的可能性，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）事件：买体育彩票中一等奖；事件：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件：在标准大气压下，温度低于时冰融化．3个事件的概率分别记为、、，则、、的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 5．班级联欢会上举行抽奖活动：把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生25名，女生23名，老师从中随机抽出1张，若抽到男生的概率为，抽到女生的概率为，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，一个圆形转盘被等分成八个扇形区域，转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向标有“”所在区域的可能性________指针指向标有“”所在区域的可能性．（填“大于”“等于”或“小于”） 题型三：列举随机事件的所有可能 1．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）从数字1，2，3，4，5，6中选3个不同数字组成三位数，要求百位、十位、个位从左到右依次增大．这样的三位数有___个． 2．一个总体中有编号为1、2、3、4、5的5个个体．用简单随机抽样的方法从中抽取1个容量为2的样本，这样的样本共有________个，所有可能的样本为_________________． 3．（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）现有五个乒乓球和五个盒子，它们分别标号、、、、，小明同学打算将所有的小球都放入到盒子中，但要求：（1）每个盒子只能放一个小球；（2）小球号码与盒子号码均不相同．根据上述信息，小明同学一共有______种不同的放法． 4．（24-25九年级上·江苏常州·期中）有张数字卡片（如下图），倒扣着混放在一起，每次反过来张，记下数字后再放回去和其他卡片混合． （1）每次翻开的数字有______种可能．    （2）如果翻开的数字大于，翻开的卡片有______种可能，可能是______．    （3）翻开的数字卡片大于和小于的可能性______． 5．（2025·贵州遵义·模拟预测）在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有________种张开方式． 题型四：判断实验的结果是否等可能 1．将一枚图钉抛起，落地后会出现“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种情况．有人认为这两种情况是等可能的，因此“钉尖朝上”的概率是．请判断该观点是否正确，并说明理由． 2．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）一个不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同． (1)小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？ (2)任意摸出一个球，摸到白球和摸到红球的概率各是多少？ (3)任意摸出一个球，摸到黄球的概率呢？ 3．（2024·福建福州·一模）一个不透明的袋中有个球，分别标有，，，，这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球． (1)会出现哪些可能的结果？ (2)每个结果出现的可能性相同吗？猜猜它们的概率分别是多少？ 4．小明所在的班有名同学，从中选出一名同学为家长会做准备工作．请你设计一种方案，使每一名同学被选中的概率都相同． 5．一个袋中装有个红球和个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，摸到红球和摸到白球的概率相等吗？如果不相等，请通过改变袋中红球或白球的数量，使摸到红球和摸到白球的概率相等． 题型五：根据概率公式计算概率 1．（25-26九年级上·山东济南·期末）已知三角形的两边长分别为3和5，随机从“2，4，6，8，10”中选出一个数作为第三边的长度，则能构成三角形的概率是__________． 2．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）随着人工智能技术的迅猛发展，某班级从“DeepSeek”“ChatGPT”“纳米AI”和“微云人工智能”四个主流AI大模型中随机选取一个进行专题学习，恰好选中“DeepSeek”模型的概率为__________． 3．（25-26九年级上·山西运城·期末）班级开展趣味数学抽奖活动，准备了五张完全相同的卡片，正面分别写有数字：，，0，1，2，背面朝上打乱放在桌面上．每位同学从中随机抽取一张卡片，若抽到的数字是非负数，即可获得小奖品．某同学抽到奖品的概率是__________． 4．（25-26九年级上·四川成都·期末）从，0，1，3，5这五个数中，随机抽取一个数记为，则数使关于的分式方程有正数解的概率是______． 5．（2026·安徽安庆·三模）如图展示的是商场里的一组创意吊灯，若这组吊灯清洗时每次只能取下一个吊灯，且取下吊灯B前必须先取下吊灯C，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时吊灯B第三个被取下的概率是______． 6．（25-26九年级上·山东青岛·期末）“六一儿童节”是七年级学生最后一个儿童节，班主任在儿童节庆祝活动中设计了一个转盘游戏．游戏规则：转动如图所示的转盘（转盘被等分成份），若指针指向紫色、红色、蓝色区域可分别获得一、二、三等奖，指向空白区域则不得奖（指向分界线则重新转动转盘），在这个游戏中学生获奖的概率是________． 题型六：根据概率公式求数量 1．（2026·河南平顶山·一模）掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有“你”“我”“他”中的一个字），若向上一面出现“你”的概率为，出现“我”的概率为，则该木块六个面上的字分别是______． 2．（2026·江苏扬州·二模）小刚有若干外形相同的中性笔，其中4支黑色，若干支红色和2支蓝色，小刚随机从中抽取一支，若他拿出红色笔的概率为，则小刚一共有中性笔_________支． 3．（25-26九年级上·山西·期中）2026年是中国航天事业创建70周年．为普及航天知识，山西省实验中学科技节举办“航天知识大闯关”活动．在其中一个抽奖环节中，一个不透明的抽奖箱里装有10个印有“神舟飞船”标志的红球和若干个印有“天宫空间站”标志的白球．这些球除颜色和标志外完全相同．参与者随机摸出一个球、如果摸到红球，即可获得一份纪念品．已知每位参与者获得纪念品的概率为，则抽奖箱中白球的数量为____个． 4．（2026·黑龙江佳木斯·一模）一个袋子中装有除颜色外都相同的小球，其中4个白球，若干个黑球，如果从中任摸一球，摸到白球的概率为 ，那么黑球有______________个 5．（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有4个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是，则盒中白色棋子的个数是______个． 6．如图所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成了12个相同的扇形，其中____________个扇形涂上红色，____________个扇形涂上蓝色，可以使得转动的转盘自由停止时，指针指向红、蓝两色扇形的概率分别为，． 题型七：概率公式的综合解答题 1．（25-26九年级上·山东威海·期末）小明和小颖用标有数字1，2，3，4，5的五张卡片做游戏，这五张卡片除数字外完全相同．将五张卡片数字朝下分别放在桌面上，小明从中任意抽出一张（不放回），小颖从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到的数字大谁就获胜． (1)若小明抽到的数字为2，则小明获胜的概率为__________，小颖获胜的概率为__________； (2)若小明抽到的数字为5，则小明获胜的概率为__________，小颖获胜的概率为__________； (3)若小明抽完卡片后小明和小颖获胜的概率相同，则小明抽到的数字是__________． 2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”． (1)小明如果点中个小方格的任意一个小方格，则点中“地雷”的概率是________； (2)游戏时小明第一步先点中一个小方格，显示数字3，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着3颗“地雷”． ①若小明第二步点中A区域内其他任意一个小方格，则他点中“地雷”的概率是________； ②若小明第二步点中A区域外任意一个小方格，则他点中“地雷”的概率是________． 3．（25-26九年级上·重庆大渡口·期末）为了丰富校园文化生活，激发学生学习数学的兴趣，某校推出了“鲁班锁”、“华容道”、“幻方”、“扫雷”这四项益智游戏．为了解学生的喜爱程度，随机抽取部分学生进行统计调查（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，“鲁班锁”、“华容道”、“幻方”、“扫雷”这四项游戏分别记作A，B，C，D． 根据图中信息，解答下列问题： (1)这次参与调查的共有_________人，_________，补全条形统计图； (2)从喜爱D项游戏的4名学生（3名男生1名女生）中随机选取1人接受访谈，则恰好选中一名男生的概率为多少？ (3)若某校共有3000人，请你估计喜欢C项游戏的有多少人？ 4．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）如图①是一个质地均匀的正六面体骰子，如图②正六边形顶点处各有一个圆圈．小星和小红进行一个跳圈游戏，规则如下：游戏者投掷骰子一次，根据骰子正面朝上的点数，沿正六边形的边按逆时针方向连续跳圈．请回答下列问题： (1)若小星从圆圈起跳，则他仅投掷一次骰子，就能跳回到圈的概率 ； (2)若小红从圆圈起跳，则她也只投掷一次骰子就跳到圈的概率与（1）中小星的概率相同吗？说明理由． 题型一：概率公式与其他知识点综合 1．（25-26九年级上·四川成都·期末）从，，，，，，这个数中任选一个数作为的值，则关于的方程的解为非正数的概率是_________． 2．（2026·浙江·模拟预测）若从，，1，2，3这五个数中随机抽取一个数，作为一次函数中系数k的值，则使该函数图象不经过第二象限的概率为__________． 3．（2026·山东枣庄·模拟预测）从，0，1，2这4个数中任意选择一个数作为a的值，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为_______． 4．（2026·广东深圳·三模）从、0、1、2四个数中任取一个数作为k的值，则使得关于x一元二次方程有实数根的概率为________． 5．（2026·四川成都·三模）从，，0，1，2，3中随机选取一个数作为k，则关于x的分式方程无解的概率为______． 6．（2026·安徽淮南·三模）四张完全相同的卡片上分别写有函数从中随机抽取一张，则所得卡片上函数的图象在第一象限内随的增大而增大的概率是_____． 7．（2026·四川成都·三模）从数，，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，则关于x的分式方程有整数解的概率为________． 8．（2026·安徽阜阳·二模）能表示为两个不同正整数的平方和的数称为“希望数”，如：，则称13为“希望数”．在3，5，9，10这四个数中，随机选取两个数，这两个数均为“希望数”的概率是_____． 题型二：概率公式求参数 1．（25-26九年级上·山西晋中·期末）2026年作为“十五五”开局之年，“民生福利”迎来密集落地，每个群体都能感受到政策温度．就业方面，针对高校毕业生的“1131”实名服务全面推行，让求职不再盲目；农民工群体则有近2500个劳务品牌背书，就业更有保障．医疗领域，职工医保个人账户实现全国跨省共济，异地看病买药不用再跑腿．现有正面分别写有“民”“生”“福”“利”的卡片共20张，这些卡片的大小、形状、背面完全相同．已知写有“民”字的卡片有8张，“生”字卡片有4张，“福”字卡片有3张，其余卡片写有“利”字，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． (1)事件“随机抽取4张，全是写有‘福’字的卡片”为________事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） (2)随机抽取一张，求抽到写有“利”字卡片的概率； (3)从这些卡片中取出m张写有“民”字的卡片，再放入m张写有“生”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“生”字卡片的概率为，求m的值． 2．（25-26九年级上·福建宁德·期末）某乒乓球机器人训练系统将标准球台虚拟划分为个面积相等的小方格，其中：刁钻落点区占个小方格，常规落点区占个小方格，易接落点区占个小方格．机器人发球时可选择不同模式． (1)教练为新手小明设置“全台不定点”模式：每次发球的落点随机分布在球台上，且落在每个小方格的可能性相同．求一次发球落在刁钻落点区的概率． (2)教练为高手小强设置“个性化训练”模式：发球落点非均匀分布．小强在训练中前个球落在刁钻落点区，第个球落在常规落点区，问第个球落在刁钻落点区的可能性是否一定比落在常规落点区大？请说明理由． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）在一个不透明的袋子中装有18个红球和12个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．请解答下列问题： (1)求摸出的球是红球的概率； (2)现再向袋子里放进红、黄两种颜色的球共12个并摇匀，这些球的大小、材质与原来袋子中的球完全一样，从中随机摸出一球，若摸出红球的概率是摸出黄球概率的2倍，请求出这12个球中红球和黄球的数量分别是多少？ 4．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）为迎接陕西省第十八届运动会，渭南全城加速蝶变，天更蓝、路更畅、城更美．现有正面分别写有“最”“美”“渭”“南”的不透明卡片共20张，这些卡片除正面所写文字不同外，其余完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“渭”字的卡片有4张，写有“南”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． (1)事件“随机抽取3张，全是写有“南”字”的卡片为____________事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） (2)从这些卡片中随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； (3)从这些卡片中取出张写有“最”字的卡片，再放入张写有“渭”字的卡片（与上述卡片相同），混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“渭”字卡片的概率为，求的值． 5．（25-26九年级上·四川成都·期末）一个不透明的口袋中装有个白球和个红球，每个球除颜色外都相同． (1)“从口袋里随机摸出一个球是黑球”这一事件是______事件；“一次性随机摸出7个球，摸到的球中至少有一个红球”这一事件是______事件；（填必然，不可能或者随机） (2)从口袋里随机摸出一个球是白球，求这一事件的概率； (3)从口袋里取走个白球后，再放入个红球，并充分摇匀，如果随机摸出一个球是红球的概率是，求的值． 6．（25-26九年级上·陕西西安·期末）在一个不透明的盒子里放20颗巧克力糖，所有的巧克力包装、质量均一样，其中8颗为牛奶味巧克力，7颗为香草味巧克力，5颗为荔枝味巧克力． (1)若从盒子里随机取一颗巧克力，则取到牛奶味巧克力的概率为_________． (2)现在小张从盒子里取走颗香草味巧克力和1颗荔枝味巧克力，发现此时再随机从盒子中取一颗巧克力为香草味巧克力的概率为，则的值为多少？ 7．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）在一个不透明的袋中装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外都相同． (1)任意摸出一球，摸到红球是______事件，摸到黄球是______事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） (2)从袋中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是多少？ (3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率是，请求出后来放入袋中的黑球的个数． 8．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）为迎端午，某超市举办了促销抽奖活动，并设置了一、二、三等奖．在不透明的抽奖箱里放有4个白球，8个黄球，12个红球和36个蓝球，每个球除颜色外完全相同，顾客摸到白球则商品打七折，摸到黄球则商品打八折，摸到红球则商品打九折，摸到蓝球则商品不打折． (1)活动第一天共抽奖120次，其中抽到商品打九折共18次，则在这120次抽奖中，抽到商品打九折的频率是________； (2)顾客从抽奖箱中任意摸出1个球，抽到商品打折的概率是多少？ (3)若向抽奖箱中再放入4个白球和若干个黄球，此时从抽奖箱中任意摸出1个球，商品打八折的概率是，求放入了多少个黄球？ 1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）下列说法正确的是（     ） A．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 B．某彩票的中奖概率是5%，因此买100张彩票一定会有5张中奖 C．射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种结果，所以它们发生的概率都是 D．小明掷一枚质地均匀的硬币，掷了3次，其中2次正面朝上，1次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率还是 2．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）投掷一枚普通的正方体骰子，有下列事件： ①掷得的点数是6 ；②掷得的点数是奇数 ；③掷得的点数不大于4；④掷得的点数不小于2；这些事件发生的可能性由大到小排列正确的是（　　） A．①②③④ B．④③②① C．③④②① D．③②④① 3．（25-26九年级下·福建厦门·阶段检测）飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 4．（2026·江西抚州·模拟预测）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，，是正方形网格上的两个格点，在余下的格点中任意取一点，构成的不是等腰三角形的概率是__________． 6．第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为__________ ． 7．（25-26九年级上·广东梅州·期中）某密码锁的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成． (1)若知道密码的个位数字是8，则有多少种可能密码？若两位数字都不知道，则共有多少种可能密码？ (2)在两位数字都不知道的情况下，小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？ 8．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）一个袋中装有3个红球和5个白球，每个球除颜色外都相同． (1)从中任意摸出一个球，求摸到红球的概率； (2)若先从袋中取出个红球，再从中任意摸出一个球，此时“摸到白球”为必然事件，则________； (3)若往袋中再加入个红球，使摸到白球的概率为，求的值． 9．（25-26九年级上·山东烟台·期中）在一个不透明的袋中装有3个白球、4个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同． (1)将袋中的球摇匀后，从袋中随机摸出一个球是黑球的概率为 ； (2)若现在从口袋中取出若干红球，并放入相同数量的白球，搅拌均匀后，使从口袋中摸出一个球是白球的概率为，请问取出了多少个红球？ (3)若将若干个黑球放入袋中，与原来的12个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是黑球的概率是，直接写出放入口袋中的黑球的个数． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1 简单事件的概率（第1课时） 题型一：概率意义的理解 1．（25-26九年级上·山东威海·期末）下列说法正确的是（    ） A．不太可能发生的事，可以看作不可能事件 B．投掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为质数的概率是 C．买一张彩票的中奖概率为，说明买一张彩票中奖的可能性很小 D．如果摸到红球的概率是，那么摸球5次，一定有2次会摸到红球 【答案】C 【详解】解：对于选项A，∵不太可能发生的事是概率很小的随机事件，不可能事件是一定不发生的事件，二者概念不同，∴A错误． 对于选项B，∵投掷质地均匀的骰子共6种等可能结果，点数中质数为2，3，5共3种，∴掷出点数为质数的概率为，∴B错误． 对于选项C，∵中奖概率为，概率值很小，说明中奖的可能性很小，符合概率的意义，∴C正确． 对于选项D，∵概率表示事件发生的可能性大小，不代表多次试验中一定会发生对应次数，∴摸5次不一定有2次摸到红球，∴D错误． 2．（2026·内蒙古·中考真题）阿拉善盟是内蒙古乃至全国防沙治沙的主阵地，截至2024年底，勤劳的阿拉善人累计人工种植梭梭（一种防风固沙植物）万亩，成活率已经达到．下列说法正确的是（   ） A．种植10棵梭梭，一定有9棵成活 B．种植9棵梭梭，一定有1棵成活 C．种植1棵梭梭，一定不能成活 D．种植1棵梭梭，不一定能成活 【答案】D 【分析】考查概率的意义．概率表示事件发生的可能性大小，不代表确定性结果．成活率意味着成活的可能性很大，但具体到每一次种植，结果是不确定的． 【详解】解：成活率表示在大量重复试验中，成活的可能性为，属于随机事件，并非必然事件或不可能事件 ．种植棵梭梭，不一定有棵成活，故A错误； 种植棵梭梭，成活数量不确定，故B错误； 种植棵梭梭，可能成活也可能不成活，故C错误，D正确． 3．（25-26九年级上·辽宁·期中）下列说法正确的是（     ） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B．“汽车累计行驶10000 km，从未出现故障”是随机事件 C．“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件 D．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 【答案】B 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，结合概率的概念逐一判断选项即可． 【详解】解：A，中奖率为的奖券10张，仍有可能不中奖，“中奖”是随机事件，不是必然事件，故A错误，不符合题意； B，汽车累计行驶，可能从未出现故障，也可能出现故障，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，故B正确，符合题意； C，200件产品中只有5件次品，任意抽取6件，最多有5件次品，因此至少1件正品一定发生，是必然事件，不是不可能事件，故C错误，不符合题意； D，明天降水概率为，指明天降水的可能性为，不是的时间下雨，故D错误，不符合题意． 4．（2026·广东汕头·三模）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为，下列说法正确的是（     ） A．小星定点投篮次，不一定能投中 B．小星定点投篮次，一定可以投中 C．小星定点投篮次，一定投中次 D．小星定点投篮次，一定投中次 【答案】A 【分析】本题考查了概率的意义，概率仅反映事件发生机会的大小，不代表事件一定发生或一定不发生，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：已知用频率估计得小星投中的概率为，根据概率的意义可得： ∵投中概率为只表示投篮次投中的可能性为，不一定投中，也不一定不投中， ∴选项正确，选项错误； ∵概率反映的是大量重复试验下的规律性，有限次投篮的结果是不确定的， ∴投篮次不一定恰好投中次，投篮次也不一定恰好投中次，因此选项错误； 综上，答案选． 5．（2026·湖北咸宁·模拟预测）下列说法中，正确的是（     ） A．“打开电视，CCTV1正在播放《新闻联播》”是必然事件 B．“天气预报说咸宁明天的降水概率为”意味着咸宁明天有半天都在降雨 C．甲、乙两人的10次数学测试成绩，方差越大的成绩越好 D．“掷一次质地均匀的正方体骰子，向上的一面的数字是2”是随机事件 【答案】D 【详解】解：对于选项A：“打开电视，CCTV1正在播放《新闻联播》”可能发生也可能不发生，是随机事件，故A错误； 对于选项B：降水概率为，表示咸宁明天有的可能性降雨，不是半天降雨，故B错误； 对于选项C：方差越大，说明成绩波动越大，成绩越不稳定，不能说明方差越大成绩越好，故C错误； 对于选项D：掷一次质地均匀的正方体骰子，向上一面的数字可能是2也可能不是2，因此“向上一面的数字是2”是随机事件，故D正确． 题型二：判断几个事件概率的大小关系 1．估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．⑤④③②① C．⑤④②③① D．④⑤③②① 【答案】C 【分析】本题主要考查了按事件类型确定概率，掌握事件类型的判断与概率计算是解题的关键． 先判断每个事件的类型（必然事件、不可能事件、随机事件），再确定或估计其发生的可能性大小，最后按从大到小排序。 【详解】解：①袋子中没有白球，则摸出白球是不可能事件，发生的可能性为0， ②抛掷质地均匀的骰子，点数为偶数的有2、4、6共3种，总共有6种等可能结果，则发生的可能性为， ③每4年有1个闰年，则顾客闰年出生的可能性约为， ④当前青年基本都接受过九年制义务教育，则发生的可能性接近1， ⑤在地面抛掷石块，石块落下是必然事件，则发生的可能性为1， ∴事件发生的可能性从大到小的顺序为⑤④②③①． 故选：C． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期末）某超市在一个不透明盒子中装了个小球，其中个小球上写着过桥米线，个小球上写着鲜花饼，个小球上写着普洱茶，个小球上写着宣威火腿，每个小球除文字外其它完全相同．凡是在该超市消费满元的客户就可以从盒中随机摸出一个小球，根据小球上的文字，免费领取一盒对应的礼品．小智摸出一个球后，最有可能领取的礼品是（    ） A．过桥米线 B．普洱茶 C．宣威火腿 D．鲜花饼 【答案】A 【分析】本题主要考查概率的基本意义，通过比较不同礼品对应小球的数量，最有可能领取的礼品对应小球数量最多的那种，因为概率与数量成正比． 【详解】解：∵小球总数为，过桥米线小球数为，鲜花饼为，普洱茶为，宣威火腿为， ∴过桥米线的小球数量最多，概率最大，为． 故选：A． 3.（25-26八年级上·北京昌平·期末）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．：出现点数为偶数的可能性；：出现点数为1的可能性；：出现点数不大于4的可能性，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单概率的计算，熟练掌握概率的意义和计算，是解题的关键． 骰子六个面出现向上的机会相同，求出骰子向上一面的点数为偶数有几种情况，向上一面的点数为1有几种情况，向上一面的点数不大于4有几种情况； 接下来直接应用等可能事件概率公式求解即可．通过计算每个事件的概率并比较大小即可得出答案． 【详解】∵ 骰子质地均匀，每个点数出现的概率均为， 表示点数为偶数，偶数点有2、4、6共3个， ∴， 表示点数为1，只有1个点， ∴， 表示点数不大于4，有1、2、3、4共4个点， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）事件：买体育彩票中一等奖；事件：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件：在标准大气压下，温度低于时冰融化．3个事件的概率分别记为、、，则、、的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类，判断几个事件概率的大小关系，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据所给的事件判断事件类型，再比较概率大小． 【详解】解：∵事件A：买体育彩票中一等奖，是随机事件， ∴． ∵事件B：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7（骰子点数最大为6）， ∴事件B是必然事件， ∴． ∵事件C：在标准大气压下，温度低于时冰融化， ∴事件C是不可能事件， ∴． ∴， 故选：B． 5．班级联欢会上举行抽奖活动：把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生25名，女生23名，老师从中随机抽出1张，若抽到男生的概率为，抽到女生的概率为，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率，难度适中．本题用男生和女生人数除以学生总数即为所求的概率，然后比较大小即可． 【详解】解：根据班上25名男生，23名女生，全班共有48位学生， 抽到写有男生名字的纸条的概率是：． 抽到写有女生名字的纸条的概率是：． ， ∴． 故选：A． 6．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，一个圆形转盘被等分成八个扇形区域，转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向标有“”所在区域的可能性________指针指向标有“”所在区域的可能性．（填“大于”“等于”或“小于”） 【答案】 大于 【分析】先统计出转盘上标有数字“”和“”的扇形区域个数，再根据几何概率的意义确定各区域的可能性大小，即可得解． 【详解】观察图形可知，转盘被等分成个扇形区域， 其中标有数字“”的扇形区域有个， 标有数字“”的扇形区域有个， 当转盘停止转动时，指针指向标有“”所在区域的可能性为；指针指向标有“”所在区域的可能性为； ， 当转盘停止转动时，指针指向标有“”所在区域的可能性大于指针指向标有“”所在区域的可能性． 题型三：列举随机事件的所有可能 1．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）从数字1，2，3，4，5，6中选3个不同数字组成三位数，要求百位、十位、个位从左到右依次增大．这样的三位数有___个． 【答案】 【分析】根据题意，选出3个不同数字后，按百位、十位、个位从左到右依次增大的要求排列，仅有唯一一种排列方式．因此所求三位数的个数等于从6个数字中任选3个不同数字的选法总数． 【详解】解：由题意，要得到满足条件的三位数，只需从个数字中选出个不同数字，选出的数字按从小到大排列后对应唯一满足条件的三位数分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20个． 2．一个总体中有编号为1、2、3、4、5的5个个体．用简单随机抽样的方法从中抽取1个容量为2的样本，这样的样本共有________个，所有可能的样本为_________________． 【答案】 10 1和2、1和3、1和4、1和5、2和3、2和4、2和5、3和4、3和5、4和5 【分析】本题主要考查了总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 从5个不同个体中随机抽取2个组成样本，样本容量为2，所有不重复的配对即为可能样本，通过列举可得总数． 【详解】解：所有可能的样本为：1和2、1和3、1和4、1和5、2和3、2和4、2和5、3和4、3和5、4和5，共10个． 故答案为：10；1和2、1和3、1和4、1和5、2和3、2和4、2和5、3和4、3和5、4和5． 3．（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）现有五个乒乓球和五个盒子，它们分别标号、、、、，小明同学打算将所有的小球都放入到盒子中，但要求：（1）每个盒子只能放一个小球；（2）小球号码与盒子号码均不相同．根据上述信息，小明同学一共有______种不同的放法． 【答案】44 【分析】本题考查排列、组合的应用，考查学生分析转化问题的能力，每个小球都不放入相同号码的盒子中，对于5个元素，错位排列即可． 【详解】解：∵每个盒子只能放一个小球；小球号码与盒子号码均不相同， ∴第一个盒子放2的放法有21453；21534；23154；23451；23514；24153；24513；24531；25134；25413；25431，共11种； 第一个盒子放3的放法有31254；31452；31524；34152；34251；34512；34521；35124；35214；35421；35412，共11种； 第一个盒子放4的放法有41253；41532；41523；43152；43251；43512；43521；45123；45132；45213；45231，共11种； 第一个盒子放5的放法有51234；51423；51432；53124；53214；53412；53421；54123；54132；54213；54231，共11种； ∴一共有种 故答案为：44． 4．（24-25九年级上·江苏常州·期中）有张数字卡片（如下图），倒扣着混放在一起，每次反过来张，记下数字后再放回去和其他卡片混合． （1）每次翻开的数字有______种可能．    （2）如果翻开的数字大于，翻开的卡片有______种可能，可能是______．    （3）翻开的数字卡片大于和小于的可能性______． 【答案】 或 相等 【分析】本题考查了判断事件发生的可能性的大小,根据事件发生的可能性进行分析即可,熟练掌握判断事件发生的可能性的大小是解题的关键． 【详解】解：（）每次翻开的数字有种可能；   （）如果翻开的数字大于，翻开的卡片有种可能，可能是或； （）翻开的数字卡片大于和小于的可能性相等； 故答案为：，，或，相等． 5．（2025·贵州遵义·模拟预测）在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有________种张开方式． 【答案】10 【分析】此题考查了列举法求可能的情况，设5指分别为1，2，3，4，5，根据题意列举出所有可能得情况即可求解． 【详解】解：设5指分别为1，2，3，4，5 根据题意得，可能的情况有： ①1，2，3；②1，2，4；③1，2，5；④1，3，4；⑤1，3，5；⑥1，4，5； ⑦2，3，4；⑧2，3，5；⑨2，4，5；⑩3，4，5． ∴一共有10种张开方式． 故答案为：10． 题型四：判断实验的结果是否等可能 1．将一枚图钉抛起，落地后会出现“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种情况．有人认为这两种情况是等可能的，因此“钉尖朝上”的概率是．请判断该观点是否正确，并说明理由． 【答案】不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查概率的意义，判断实验所得结果是不是等可能的，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据概率的意义及判断“钉尖朝上”和“钉帽朝上”所得结果不是等可能的进行解答即可． 【详解】解：该观点不正确，理由如下： 因为图钉的构造不是对称的，其重心偏向一侧，所以落地时“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种结果发生的可能性不相等，因此“钉尖朝上”的概率不是，故该观点不正确． 2．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）一个不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同． (1)小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？ (2)任意摸出一个球，摸到白球和摸到红球的概率各是多少？ (3)任意摸出一个球，摸到黄球的概率呢？ 【答案】(1)不同意，理由见详解； (2)，； (3)0． 【分析】（1）根据白球和红球的个数即可判断； （2）分别用白球和红球的个数除以球的总个数即可得出答案； （3）摸到黄球是不可能事件，据此可得答案． 【详解】（1）不同意，因为白球的个数比红球的个数多，所以摸到白球的可能性大； （2）摸到白球的概率为，红球的概率为； （3）任意摸出一个球，摸到黄球的概率为0． 【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 3．（2024·福建福州·一模）一个不透明的袋中有个球，分别标有，，，，这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球． (1)会出现哪些可能的结果？ (2)每个结果出现的可能性相同吗？猜猜它们的概率分别是多少？ 【答案】(1)摸到号球或号球或号球或号球或号球 (2)可能性相同，它们的概率分别是 【分析】本题主要考查了列举随机实验的所有可能结果，判断实验所得结果是否是等可能的，判断事件的概率等知识点，深刻理解随机事件的概念是解题的关键． （1）列举出所有可能的结果即可； （2）判断每个结果出现的可能性是否相同，并估计它们的概率分别是多少． 【详解】（1）解：搅匀后任意摸出一个球，可能的结果有种：摸到号球或号球或号球或号球或号球； 答：会出现的可能结果有：摸到号球或号球或号球或号球或号球； （2）解：∵这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球， ∴每个结果出现的可能性相同，它们的概率分别是， 答：每个结果出现的可能性相同，它们的概率分别是． 4．小明所在的班有名同学，从中选出一名同学为家长会做准备工作．请你设计一种方案，使每一名同学被选中的概率都相同． 【答案】可利用抽签法设计方案，具体为：将名同学编号，在张完全相同的纸条上分别写上对应的编号，放入不透明容器中搅匀后随机抽取，抽到编号对应的同学即为选中，每名同学被选中的概率均为，符合要求． 【分析】根据公平性和操作合理性原则设计方案即可． 【详解】解：已知班级共有名同学，若要让每名同学被选中的概率相等，只要设计的方案能保证每个同学被选中的机会均等即可，如抽签法、摇号法、随机数法等． 5．一个袋中装有个红球和个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，摸到红球和摸到白球的概率相等吗？如果不相等，请通过改变袋中红球或白球的数量，使摸到红球和摸到白球的概率相等． 【答案】摸到红球和摸到白球的概率不相等，可采用如下调整方法：往袋中加入个红球（或取出袋中个白球）． 【分析】先计算摸出两种球的概率并对比大小，再依据“球数量相等则摸到概率相等”的原则设计方案． 【详解】解：已知袋中共有个球， 则任意摸出一个球，摸到红球的概率为， 则任意摸出一个球，摸到白球的概率为， 可知摸到红球和摸到白球的概率不相等， 若要使摸到红球和摸到白球的概率相等，只需让红球和白球的数量相等即可， 可采用如下调整方法：往袋中加入个红球（或取出袋中个白球）． 题型五：根据概率公式计算概率 1．（25-26九年级上·山东济南·期末）已知三角形的两边长分别为3和5，随机从“2，4，6，8，10”中选出一个数作为第三边的长度，则能构成三角形的概率是__________． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再找出范围内符合条件的数的个数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：设三角形第三边的长为， 根据三角形三边关系可得：，即， 给出的数为，共种等可能的结果，其中满足的数为，共种符合条件的结果， 因此能构成三角形的概率为． 2．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）随着人工智能技术的迅猛发展，某班级从“DeepSeek”“ChatGPT”“纳米AI”和“微云人工智能”四个主流AI大模型中随机选取一个进行专题学习，恰好选中“DeepSeek”模型的概率为__________． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定所求事件包含的结果数，代入概率公式计算即可．. 【详解】解：∵从四个大模型中随机选取一个，所有等可能的结果共有种，而恰好选中“DeepSeek”模型的结果只有种， ∴恰好选中“DeepSeek”模型的概率：． 3．（25-26九年级上·山西运城·期末）班级开展趣味数学抽奖活动，准备了五张完全相同的卡片，正面分别写有数字：，，0，1，2，背面朝上打乱放在桌面上．每位同学从中随机抽取一张卡片，若抽到的数字是非负数，即可获得小奖品．某同学抽到奖品的概率是__________． 【答案】/0.6 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再找出满足“抽到数字是非负数”的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，可得所有等可能的结果共种， 数字，，，，中的非负数为，，，共种满足条件的结果， ∴某同学抽到奖品的概率是． 4．（25-26九年级上·四川成都·期末）从，0，1，3，5这五个数中，随机抽取一个数记为，则数使关于的分式方程有正数解的概率是______． 【答案】 / 【分析】先解分式方程得到关于的表达式，再根据分式方程有正数解的条件得到的取值范围，找出符合条件的的个数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：对分式方程变形，得 ， 方程两边同乘，得 ， 整理得， 解得， ∵分式方程有正数解， ∴，且， 解得，且， 在这五个数中，满足条件的为，共个， ∴所求概率为 ． 5．（2026·安徽安庆·三模）如图展示的是商场里的一组创意吊灯，若这组吊灯清洗时每次只能取下一个吊灯，且取下吊灯B前必须先取下吊灯C，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时吊灯B第三个被取下的概率是______． 【答案】 【分析】先列举出所有满足取下吊灯前必须先取下吊灯这一条件的可能情况，然后找出吊灯第三个被取下的情况数，最后根据概率公式进行计算即可 【详解】解：由题意可知，取下吊灯前必须先取下吊灯， 所有可能的取下顺序为，共种等可能的结果， 其中吊灯第三个被取下的情况有，共种， 清洗时吊灯第三个被取下的概率是 ． 6．（25-26九年级上·山东青岛·期末）“六一儿童节”是七年级学生最后一个儿童节，班主任在儿童节庆祝活动中设计了一个转盘游戏．游戏规则：转动如图所示的转盘（转盘被等分成份），若指针指向紫色、红色、蓝色区域可分别获得一、二、三等奖，指向空白区域则不得奖（指向分界线则重新转动转盘），在这个游戏中学生获奖的概率是________． 【答案】 【分析】由图可知转盘被平均分成了8个面积相等的区域，找出获奖所占区域，然后利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵转盘被平均分成了8个面积相等的区域，获奖有6个区域， ∴这个游戏中学生获奖的概率是． 题型六：根据概率公式求数量 1．（2026·河南平顶山·一模）掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有“你”“我”“他”中的一个字），若向上一面出现“你”的概率为，出现“我”的概率为，则该木块六个面上的字分别是______． 【答案】三个“你”，两个“我”，一个“他” 【分析】根据概率公式，结合总面数为6，分别计算出“你”“我”“他”三个字的数量，即可得到结果． 【详解】解：质地均匀的正方体木块共有6个面， 根据概率公式可得，“你”字的个数为 ， “我”字的个数为 ， “他”字的个数为 ． 2．（2026·江苏扬州·二模）小刚有若干外形相同的中性笔，其中4支黑色，若干支红色和2支蓝色，小刚随机从中抽取一支，若他拿出红色笔的概率为，则小刚一共有中性笔_________支． 【答案】10 【分析】根据概率计算公式，设总中性笔数量为未知数，结合已知的红色笔概率列出方程，求解即可得到结果. 【详解】解：设小刚一共有中性笔支，则红色中性笔的数量为支， 由题意，得， 解得， 经检验是原方程的解. 3．（25-26九年级上·山西·期中）2026年是中国航天事业创建70周年．为普及航天知识，山西省实验中学科技节举办“航天知识大闯关”活动．在其中一个抽奖环节中，一个不透明的抽奖箱里装有10个印有“神舟飞船”标志的红球和若干个印有“天宫空间站”标志的白球．这些球除颜色和标志外完全相同．参与者随机摸出一个球、如果摸到红球，即可获得一份纪念品．已知每位参与者获得纪念品的概率为，则抽奖箱中白球的数量为____个． 【答案】20 【分析】设出白球数量，根据摸到红球的概率等于红球个数除以总球数，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解；设抽奖箱中白球的数量为个， 根据题意可得 ， 解得， ∴抽奖箱中白球的数量为20个． 4．（2026·黑龙江佳木斯·一模）一个袋子中装有除颜色外都相同的小球，其中4个白球，若干个黑球，如果从中任摸一球，摸到白球的概率为 ，那么黑球有______________个 【答案】5 【分析】本题考查概率公式的应用，思路是设出黑球的个数，根据摸到白球的概率结合概率公式列出方程，求解方程得到黑球个数． 【详解】解：设黑球有个，则袋子中球的总个数为个． 根据概率公式可得 解得 经检验是原方程的解． 5．（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有4个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是，则盒中白色棋子的个数是______个． 【答案】8 【分析】设盒中有个白色棋子，根据白色棋子的概率可列方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：设盒中有个白色棋子，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 所以，盒中有8个白色棋子． 6．如图所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成了12个相同的扇形，其中____________个扇形涂上红色，____________个扇形涂上蓝色，可以使得转动的转盘自由停止时，指针指向红、蓝两色扇形的概率分别为，． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率=所求情况数÷总情况数是解题的关键． 根据概率=所求情况数÷总情况数的公式，用总扇形数分别乘以红、蓝两种颜色对应的概率，计算出各自需要涂的扇形个数． 【详解】解：设个扇形涂上红色，个扇形涂上蓝色． 由P（指向红色扇形），P（指向蓝色扇形）， 得，， 解得，． 故答案为：4；3． 题型七：概率公式的综合解答题 1．（25-26九年级上·山东威海·期末）小明和小颖用标有数字1，2，3，4，5的五张卡片做游戏，这五张卡片除数字外完全相同．将五张卡片数字朝下分别放在桌面上，小明从中任意抽出一张（不放回），小颖从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到的数字大谁就获胜． (1)若小明抽到的数字为2，则小明获胜的概率为__________，小颖获胜的概率为__________； (2)若小明抽到的数字为5，则小明获胜的概率为__________，小颖获胜的概率为__________； (3)若小明抽完卡片后小明和小颖获胜的概率相同，则小明抽到的数字是__________． 【答案】(1)， (2)1，0 (3)3 【分析】（1）根据概率公式求解； （2）根据5是最大的数得到小颖抽到的数都小于5，可得小明一定获胜； （3）根据题意得到剩下的4张卡片中大于小明抽到的数的数量等于小于小明抽到的数的数量，据此求解即可． 【详解】（1）解：若小明抽到的数字为2，剩下的数字为1，3，4，5， ∴小颖抽到1的概率为，小颖抽到3，4，5的概率为， ∵谁抽到的数字大谁就获胜， ∴小明获胜的概率为，小颖获胜的概率为； （2）解：若小明抽到的数字为5，剩下的数字为1，2，3，4， ∴小颖抽到1，2，3，4的概率为1， ∵谁抽到的数字大谁就获胜， ∴小明获胜的概率为1，小颖获胜的概率为0； （3）解：∵小明和小颖获胜的概率相同，小明抽完后剩下4张卡片， ∴剩下的4张卡片中大于小明抽到的数的数量等于小于小明抽到的数的数量， ∴小明抽到的数字是3． 2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”． (1)小明如果点中个小方格的任意一个小方格，则点中“地雷”的概率是________； (2)游戏时小明第一步先点中一个小方格，显示数字3，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着3颗“地雷”． ①若小明第二步点中A区域内其他任意一个小方格，则他点中“地雷”的概率是________； ②若小明第二步点中A区域外任意一个小方格，则他点中“地雷”的概率是________． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为：． 【详解】（1）解：一共有种等可能的结果，其中“地雷”有10种，所以点中“地雷”的概率是； （2）①一共有8种等可能的结果，其中“地雷”有3种，所以点中“地雷”的概率是； ②一共有种等可能的结果，其中“地雷”有种，所以点中“地雷”的概率是． 3．（25-26九年级上·重庆大渡口·期末）为了丰富校园文化生活，激发学生学习数学的兴趣，某校推出了“鲁班锁”、“华容道”、“幻方”、“扫雷”这四项益智游戏．为了解学生的喜爱程度，随机抽取部分学生进行统计调查（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，“鲁班锁”、“华容道”、“幻方”、“扫雷”这四项游戏分别记作A，B，C，D． 根据图中信息，解答下列问题： (1)这次参与调查的共有_________人，_________，补全条形统计图； (2)从喜爱D项游戏的4名学生（3名男生1名女生）中随机选取1人接受访谈，则恰好选中一名男生的概率为多少？ (3)若某校共有3000人，请你估计喜欢C项游戏的有多少人？ 【答案】(1)；； (2) (3)人 【分析】（1）先由B项人数和对应百分比算出总人数，再用D项人数除以总人数得，最后用总人数减去A、B、D项人数，得到C项人数，据此补全条形图即可； （2）根据概率公式，用男生人数除以总人数即可； （3）先算出样本中C项的占比，再用全校总人数乘以该占比即可． 【详解】（1）解：总人数：人； ， ∴； C项人数：人，补全条形统计图如下： （2）解：共有4种等可能的结果，其中有3名男生，即P（恰好选中一名男生）； （3）解：（人）， 答：喜欢C项游戏的大约有900人． 4．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）如图①是一个质地均匀的正六面体骰子，如图②正六边形顶点处各有一个圆圈．小星和小红进行一个跳圈游戏，规则如下：游戏者投掷骰子一次，根据骰子正面朝上的点数，沿正六边形的边按逆时针方向连续跳圈．请回答下列问题： (1)若小星从圆圈起跳，则他仅投掷一次骰子，就能跳回到圈的概率 ； (2)若小红从圆圈起跳，则她也只投掷一次骰子就跳到圈的概率与（1）中小星的概率相同吗？说明理由． 【答案】(1) (2)相同， 理由：当投掷一次骰子时，小红从圈起跳，可能落在，，，，，，共有6种等可能情况，其中小红落在圈的情况1种， 所以，小红落在圈的概率为， 故小红和小星落在圈的概率相同． 【分析】（1）要从A逆时针跳回A，统计符合条件的骰子点数数量，再用概率公式计算即可． （2）要从B逆时针跳到A，统计符合条件的骰子点数数量，计算概率后和（1）的结果比较即可． 【详解】（1）解：小星从圆圈起跳，当投掷一次骰子时，可能落在，，，，，，共有6种等可能情况，其中小星跳回到圈的情况有1种， 所以，小星跳回到圈的概率为． （2）略 题型一：概率公式与其他知识点综合 1．（25-26九年级上·四川成都·期末）从，，，，，，这个数中任选一个数作为的值，则关于的方程的解为非正数的概率是_________． 【答案】 【分析】先确定的取值范围，再找出符合条件的的个数，最后根据概率公式求出概率即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得， ∵方程的解为非正数，且分式有意义时分母不为， ∴，且， 解得，且， 在，，，，，，这个数中，符合条件的共有个， 因此任选一个数，满足条件的概率为． 2．（2026·浙江·模拟预测）若从，，1，2，3这五个数中随机抽取一个数，作为一次函数中系数k的值，则使该函数图象不经过第二象限的概率为__________． 【答案】/0.6 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再根据一次函数的性质，找出使一次函数图象不经过第二象限的符合条件的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：由题意可知，从5个数中随机抽取一个数，共有5种等可能的结果， 对于一次函数，其与轴的交点为，交点在轴负半轴，若函数图象不经过第二象限，则需满足， 在，，1，2，3这五个数中，满足的数为1，2，3，共3种符合条件的结果， 则所求概率为． 3．（2026·山东枣庄·模拟预测）从，0，1，2这4个数中任意选择一个数作为a的值，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为_______． 【答案】/ 【分析】先将分式方程化为整式方程，求出方程的解，结合分式有意义的条件，筛选出满足方程有正整数解的的个数，再根据概率公式计算结果． 【详解】解： 解得， ∵方程有正整数解， 将分别代入得， 当时，，不是正整数，不符合； 当时，，是正整数，且，符合； 当时，，不是正整数，不符合； 当时，，使分母为0，是增根，不符合； ∴符合条件的有个，所有可能的结果共为种， ∴． 4．（2026·广东深圳·三模）从、0、1、2四个数中任取一个数作为k的值，则使得关于x一元二次方程有实数根的概率为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出使方程有实数根的的取值范围，找出符合条件的的个数，再根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式为 方程有实数根，则，即 整理得. 从四个数中任取一个数作为，共有种等可能的结果，其中满足的只有，共种符合条件的结果， 因此所求概率为． 5．（2026·四川成都·三模）从，，0，1，2，3中随机选取一个数作为k，则关于x的分式方程无解的概率为______． 【答案】 【分析】先确定总的等可能结果数，再根据分式方程无解的条件找出符合条件的的个数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：给定数共有个，因此随机选取一个数，共有种等可能的结果． 分式方程 两边同乘去分母得： 整理得： 分式方程无解分为两种情况： ①整式方程无解，此时一次项系数为， 即， 解得，符合选取要求． ②整式方程的解为分式方程的增根，该分式方程的增根为，将代入得： 解得，符合选取要求． 因此使分式方程无解的共有个， 根据概率公式可得，所求概率为． 6．（2026·安徽淮南·三模）四张完全相同的卡片上分别写有函数从中随机抽取一张，则所得卡片上函数的图象在第一象限内随的增大而增大的概率是_____． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质，找出符合“图象在第一象限内随的增大而增大”的结果个数，最后根据概率公式计算概率. 【详解】由题意可知，所有等可能的结果总数为. 逐一分析各函数的性质： 对于，它是正比例函数， ，在第一象限随的增大而增大，符合要求； 对于，它是反比例函数， ，第一象限内随的增大而减小，不符合要求； 对于，它是二次函数，开口向上，对称轴为直线，第一象限内随的增大而增大，符合要求； 对于，它是二次函数，开口向上，对称轴为直线，在第一象限内，当时随的增大而减小，不符合要求. 综上，符合要求的结果个数为，根据概率公式可得所求概率为. 7．（2026·四川成都·三模）从数，，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，则关于x的分式方程有整数解的概率为________． 【答案】 【分析】先解分式方程得到x关于a的表达式，再结合分式有意义的条件和方程有整数解的要求，找出符合条件的a的个数，最后利用概率公式计算概率． 【详解】解： ， 方程两边同乘最简公分母，得 ， 整理得 ， 解得 ， 分式方程有意义，则分母不为0，因此，即，得， ∴可能的a的取值为，共5种等可能结果，其中， 求方程有整数解，即x为整数，逐一判断： 由题意当时，方程无解； 当时，，不是整数，舍去； 当时，，是整数，符合条件； 当时，，不是整数，舍去； 当时，，是整数，符合条件； 因此符合条件的结果有2种，根据概率公式可得关于x的分式方程有整数解的概率为． 8．（2026·安徽阜阳·二模）能表示为两个不同正整数的平方和的数称为“希望数”，如：，则称13为“希望数”．在3，5，9，10这四个数中，随机选取两个数，这两个数均为“希望数”的概率是_____． 【答案】 【分析】先根据“希望数”的定义判断四个数中的“希望数”个数，再列举出随机选取两个数的所有等可能结果，最后根据概率公式计算所求概率． 【详解】解：根据定义判断各数是否为“希望数”： 无法写成两个不同正整数的平方和，不是“希望数”， ，能写成两个不同正整数的平方和，是“希望数”， 无法写成两个不同正整数的平方和，不是“希望数”， ，能写成两个不同正整数的平方和，是“希望数”， 因此中共有个“希望数”，随机从四个数中选取两个数，所有等可能的结果共种，其中两个数均为“希望数”的结果共种， 根据概率公式得：。 题型二：概率公式求参数 1．（25-26九年级上·山西晋中·期末）2026年作为“十五五”开局之年，“民生福利”迎来密集落地，每个群体都能感受到政策温度．就业方面，针对高校毕业生的“1131”实名服务全面推行，让求职不再盲目；农民工群体则有近2500个劳务品牌背书，就业更有保障．医疗领域，职工医保个人账户实现全国跨省共济，异地看病买药不用再跑腿．现有正面分别写有“民”“生”“福”“利”的卡片共20张，这些卡片的大小、形状、背面完全相同．已知写有“民”字的卡片有8张，“生”字卡片有4张，“福”字卡片有3张，其余卡片写有“利”字，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． (1)事件“随机抽取4张，全是写有‘福’字的卡片”为________事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） (2)随机抽取一张，求抽到写有“利”字卡片的概率； (3)从这些卡片中取出m张写有“民”字的卡片，再放入m张写有“生”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“生”字卡片的概率为，求m的值． 【答案】(1)不可能 (2) (3)m的值为4 【分析】（1）必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此进行判断即可． （2）求出写有“利”字的卡片的数量，再根据概率公式求解即可； （3）根据概率公式构造方程求解即可． 【详解】（1）解：∵写有“民”字的卡片有8张，“生”字卡片有4张，“福”字卡片有3张，其余卡片写有“利”字，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． ∴事件“随机抽取4张，全是写有‘福’字的卡片”为不可能事件； （2）∵现有正面分别写有“民”“生”“福”“利”的卡片共20张，写有“民”字的卡片有8张，“生”字卡片有4张，“福”字卡片有3张，其余卡片写有“利”字， ∴随机抽取一张，抽到写有“利”字卡片的概率为； （3）由概率公式得：，解得：， 答：m的值为4． 2．（25-26九年级上·福建宁德·期末）某乒乓球机器人训练系统将标准球台虚拟划分为个面积相等的小方格，其中：刁钻落点区占个小方格，常规落点区占个小方格，易接落点区占个小方格．机器人发球时可选择不同模式． (1)教练为新手小明设置“全台不定点”模式：每次发球的落点随机分布在球台上，且落在每个小方格的可能性相同．求一次发球落在刁钻落点区的概率． (2)教练为高手小强设置“个性化训练”模式：发球落点非均匀分布．小强在训练中前个球落在刁钻落点区，第个球落在常规落点区，问第个球落在刁钻落点区的可能性是否一定比落在常规落点区大？请说明理由． 【答案】(1) (2)不是（不一定）．理由是：仅根据前次极少的发球试验结果，无法反映事件发生的概率，因此第个球落在刁钻落点区的可能性不一定比常规落点区大 【分析】（1）根据等可能条件下概率公式，用刁钻落点小方格数量除以总方格数量，直接计算对应概率； （2）明确单次、少量试验得到的落点结果属于频率，频率不能代表事件发生的理论概率，据此判断可能性大小关系并说明理由． 【详解】（1）解：球台共划分个面积相等的小方格，乒乓球落在每个方格的可能性相同，其中刁钻落点区有个小方格， 所以（刁钻落点区）， 答：一次发球落在刁钻落点区的概率是． （2）略 3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）在一个不透明的袋子中装有18个红球和12个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．请解答下列问题： (1)求摸出的球是红球的概率； (2)现再向袋子里放进红、黄两种颜色的球共12个并摇匀，这些球的大小、材质与原来袋子中的球完全一样，从中随机摸出一球，若摸出红球的概率是摸出黄球概率的2倍，请求出这12个球中红球和黄球的数量分别是多少？ 【答案】(1) (2)这12个球中红球有10个，则黄球为2个． 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）设这12个球中红球有x个，则黄球为个，根据概率公式列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵袋子中装有18个红球和12个黄球， ∴将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球，摸出的球是红球的概率为； （2）解：设这12个球中红球有x个，则黄球为个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解 黄球个数为：（个）， 答：这12个球中红球有10个，则黄球为2个． 4．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）为迎接陕西省第十八届运动会，渭南全城加速蝶变，天更蓝、路更畅、城更美．现有正面分别写有“最”“美”“渭”“南”的不透明卡片共20张，这些卡片除正面所写文字不同外，其余完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“渭”字的卡片有4张，写有“南”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． (1)事件“随机抽取3张，全是写有“南”字”的卡片为____________事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） (2)从这些卡片中随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； (3)从这些卡片中取出张写有“最”字的卡片，再放入张写有“渭”字的卡片（与上述卡片相同），混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“渭”字卡片的概率为，求的值． 【答案】(1)随机 (2) (3) 【分析】（1）必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此进行判断即可． （2）求出写有“美”字的卡片的数量，再根据概率公式求解即可； （3）根据概率公式构造方程求解即可． 【详解】（1）解：“已知写有“南”字的卡片共有3张， 随机抽取3张卡片， 可能出现全是“南”字的情况， 也可能不出现； 故从这20张卡片中随机抽取3张，全是写有“南”字的卡片”为随机事件； （2）解：写有“美”字的卡片数量为：， 抽到写有“美”字卡片的概率为：； （3）解：∵ 取出m张写有“最”字的卡片， 放入m张写有“渭”字的卡片后， 总卡片数仍为20张， 此时写有“渭”字的卡片数量为张， 由题意知， 解得， ∴m的值为4． 5．（25-26九年级上·四川成都·期末）一个不透明的口袋中装有个白球和个红球，每个球除颜色外都相同． (1)“从口袋里随机摸出一个球是黑球”这一事件是______事件；“一次性随机摸出7个球，摸到的球中至少有一个红球”这一事件是______事件；（填必然，不可能或者随机） (2)从口袋里随机摸出一个球是白球，求这一事件的概率； (3)从口袋里取走个白球后，再放入个红球，并充分摇匀，如果随机摸出一个球是红球的概率是，求的值． 【答案】(1)不可能，必然 (2) (3) 【分析】（1）根据事件的分类解答即可； （2）根据概率公式计算概率即可； （3）口袋中现装有个红球和个白球，共有个球，再根据概率公式列方程即可解答． 【详解】（1）解：∵口袋中装有个白球和个红球，没有黑球， ∴“从口袋里随机摸出一个球是黑球”这一事件是不可能事件；“一次性随机摸出7个球，摸到的球中至少有一个红球”这一事件是必然事件． （2）解：∵不透明的口袋中装有个白球和个红球， ∴从口袋里随机摸出一个球是白球，这一事件的概率是． （3）解：∵从口袋里取走个白球后，再放入个红球， ∴口袋中现装有个红球和个白球， ∴袋中现共装有个球， ∵随机摸出一个球是红球的概率是， ∴， 解得：． 6．（25-26九年级上·陕西西安·期末）在一个不透明的盒子里放20颗巧克力糖，所有的巧克力包装、质量均一样，其中8颗为牛奶味巧克力，7颗为香草味巧克力，5颗为荔枝味巧克力． (1)若从盒子里随机取一颗巧克力，则取到牛奶味巧克力的概率为_________． (2)现在小张从盒子里取走颗香草味巧克力和1颗荔枝味巧克力，发现此时再随机从盒子中取一颗巧克力为香草味巧克力的概率为，则的值为多少？ 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据概率公式求解即可． （2）先表示出盒子里剩余的巧克力糖的数目，以及香草味巧克力糖的数目，结合概率为列式求解即可． 【详解】（1）解：不透明的盒子里放20颗巧克力糖，其中牛奶味的巧克力糖有8颗， 则从盒子里随机取一颗巧克力，则取到牛奶味巧克力的概率为． （2）解：∵小张从盒子里取走颗香草味巧克力和1颗荔枝味巧克力， ∴此时盒子里剩余颗巧克力糖，颗香草味巧克力糖， ∵此时再随机从盒子中取一颗巧克力为香草味巧克力的概率为， ∴，即， 可得， 解得， 经检验符合题意， ∴的值为1． 7．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）在一个不透明的袋中装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外都相同． (1)任意摸出一球，摸到红球是______事件，摸到黄球是______事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） (2)从袋中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是多少？ (3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率是，请求出后来放入袋中的黑球的个数． 【答案】(1)随机，不可能 (2) (3)18个 【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的定义即可得； （2）利用黑球的数量除以袋子中球的总数量即可得； （3）设后来放入袋中的黑球个数为个，则袋子中黑球的个数为个，球的总数量为个，利用概率公式建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：因为一个不透明的袋中装有2个白球，3个黑球，5个红球，每个球除颜色外都相同， 所以从中任意摸出一个球，摸到红球是随机事件，摸到黄球是不可能事件； （2）解：从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为； （3）解：设后来放入袋中的黑球个数为个，则袋子中黑球的个数为个，球的总数量为个， 由题意得：， 解得， 答：后来放入袋中的黑球个数为18个． 8．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）为迎端午，某超市举办了促销抽奖活动，并设置了一、二、三等奖．在不透明的抽奖箱里放有4个白球，8个黄球，12个红球和36个蓝球，每个球除颜色外完全相同，顾客摸到白球则商品打七折，摸到黄球则商品打八折，摸到红球则商品打九折，摸到蓝球则商品不打折． (1)活动第一天共抽奖120次，其中抽到商品打九折共18次，则在这120次抽奖中，抽到商品打九折的频率是________； (2)顾客从抽奖箱中任意摸出1个球，抽到商品打折的概率是多少？ (3)若向抽奖箱中再放入4个白球和若干个黄球，此时从抽奖箱中任意摸出1个球，商品打八折的概率是，求放入了多少个黄球？ 【答案】(1)0.15 (2) (3)放入了6个黄球 【分析】（1）频率频数总次数； （2）概率等于所求情况数与总情况数之比； （3）设放入了个黄球，根据题意列出方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：， 故在这120次抽奖中，抽到商品打九折的频率是； （2）解：从抽奖箱中任意摸出1个球，所有可能的结果有（种）． 因为每个球除颜色外完全相同， 所以每种结果出现的可能性相同． 因为摸到白球、黄球或红球的结果有（种）． 所以抽到商品打折的概率． （3）解：设放入了个黄球． 根据题意，得， 解得． 答：放入了6个黄球． 1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）下列说法正确的是（     ） A．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 B．某彩票的中奖概率是5%，因此买100张彩票一定会有5张中奖 C．射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种结果，所以它们发生的概率都是 D．小明掷一枚质地均匀的硬币，掷了3次，其中2次正面朝上，1次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率还是 【答案】D 【分析】结合不可能事件，随机事件的定义，逐一判断选项正误． 【详解】解：选项A、“汽车累计行驶，从未出现故障”是可能发生的事件，属于随机事件，不是不可能事件， 故A错误； 选项B、的中奖概率表示每张彩票中奖的可能性为，买张彩票是随机事件，不一定恰好有张中奖， 故B错误； 选项C、射击的“中靶”与“不中靶”不是等可能事件，二者概率不都是， 故 C错误； 选项Ｄ、质地均匀的硬币每次投掷的结果相互独立，正面朝上的概率固定为，与之前的投掷结果无关， 故 D正确． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）投掷一枚普通的正方体骰子，有下列事件： ①掷得的点数是6 ；②掷得的点数是奇数 ；③掷得的点数不大于4；④掷得的点数不小于2；这些事件发生的可能性由大到小排列正确的是（　　） A．①②③④ B．④③②① C．③④②① D．③②④① 【答案】B 【分析】根据题意得，①掷得的点数是6包含一种情况；②掷得的点数是奇数包括3种情况；③掷得的点数不大于4包括4种情况；④掷得的点数不小于2包括5种情况，分别比较情况数的大小即可选得答案. 【详解】根据题意，投掷一枚普通的六面体骰子，共6种情况； 而①掷得的点数是6包含1种情况；②掷得的点数是奇数包括3种情况；③掷得的点数不大于4包括4种情况；④掷得的点数不小于2包括5种情况 故发生的可能性由大到小的顺序排为④③②① 故选：B 【点睛】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等；解答本题时，根据题意，易得这些事件的总情况数目相同，只需比较其包含的情况数目. 3．（25-26九年级下·福建厦门·阶段检测）飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】根据题意列举即可． 【详解】解：根据题意，投掷一次6点， 投掷两次，， 综上共6种． 4．（2026·江西抚州·模拟预测）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据七巧板的结构特点，设最小的等腰直角三角形面积为，分别表示出七巧板的总面积和阴影部分（小猫头部）的面积，再利用几何概率公式计算即可． 【详解】解：设七巧板中最小的等腰直角三角形面积为， ∵七巧板由个小等腰直角三角形、个正方形、个平行四边形、个中等腰直角三角形和个大等腰直角三角形组成， ∴正方形面积为，平行四边形面积为，中等腰直角三角形面积为，大等腰直角三角形面积为， ∴七巧板拼成的小猫图案总面积为， ∵小猫头部（阴影部分）由个小等腰直角三角形和个正方形组成， ∴阴影部分的面积为， ∴小球停在阴影部分的概率． 5．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，，是正方形网格上的两个格点，在余下的格点中任意取一点，构成的不是等腰三角形的概率是__________． 【答案】 【分析】除了点A、点B以外，共有23个点，找出能与点A，点B构成等腰三角形的点C的个数，从而得出不能与点A，点B构成等腰三角形的点C的个数，然后由概率的定义可求出答案即可． 【详解】解：如图，一共有23个符合条件的点，其中能与点A，点B构成等腰三角形的点C有9个，则不能与点A，点B构成等腰三角形的点C有个， 所以构成的不是等腰三角形的概率是． 6．第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为__________ ． 【答案】12 【分析】本题考查列举法所有等可能情况，把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为，共有六种站法，再利用插空法即可求解，掌握例举法是解题的关键． 【详解】解：把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为， 则将三个吉祥物进行排列，有： ，，，，，， 共种站法， 再将甲乙进行插空，因为甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则有： ，， ，，， 共有种不同的站法， 故答案为：12． 7．（25-26九年级上·广东梅州·期中）某密码锁的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成． (1)若知道密码的个位数字是8，则有多少种可能密码？若两位数字都不知道，则共有多少种可能密码？ (2)在两位数字都不知道的情况下，小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？ 【答案】(1)9种，90种 (2) 【分析】（1）根据每个数位上的数字的可能取值计算出所有可能出现的结果； （2）正确的密码只有1个，再除以所有可能出现的结果数即可. 【详解】（1）解：∵密码的个位数字是8， ∴此时密码的十位数字可以是0，1，2，3，4，5，6，7，9中的任意一个，故有9种可能的密码； 这密码锁由两个不同数字组成，每个数位上的数字的可能性分别是10种、9种， 密码的可能性有：（种）； （2）解：在两位数字都不知道的情况下，小明随机输入一次，解锁成功的概率是. 8．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）一个袋中装有3个红球和5个白球，每个球除颜色外都相同． (1)从中任意摸出一个球，求摸到红球的概率； (2)若先从袋中取出个红球，再从中任意摸出一个球，此时“摸到白球”为必然事件，则________； (3)若往袋中再加入个红球，使摸到白球的概率为，求的值． 【答案】(1) (2)3 (3)17 【分析】（1）根据概率的定义进行分析，即可作答． （2）结合必然事件以及一个袋中装有3个红球和5个白球，进行分析，即可作答． （3）结合频数除以频率等于总数，再结合总球数为个，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：一共个球， ∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为； （2）解：“摸到白球”为必然事件说明袋中没有红球，只有白球， ∵一个袋中装有3个红球和5个白球， ∴， 即先从袋中取出个红球，再从中任意摸出一个球，此时“摸到白球”为必然事件； （3）解：∵往袋中再加入个红球，使摸到白球的概率为， ∴， 解得． 9．（25-26九年级上·山东烟台·期中）在一个不透明的袋中装有3个白球、4个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同． (1)将袋中的球摇匀后，从袋中随机摸出一个球是黑球的概率为 ； (2)若现在从口袋中取出若干红球，并放入相同数量的白球，搅拌均匀后，使从口袋中摸出一个球是白球的概率为，请问取出了多少个红球？ (3)若将若干个黑球放入袋中，与原来的12个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是黑球的概率是，直接写出放入口袋中的黑球的个数． 【答案】(1) (2)取出了3个红球 (3)放入口袋中的黑球的个数为12 【分析】（1）根据概率公式直接计算，即可求解； （2）设取出了个红球，依题意，总数不变，进而根据概率公式列出比例方程，解方程，即可求解． （3）设放入口袋中的黑球的个数为个，根据概率公式列出比例方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：摸到黑球的概率为， （2）解：设取出了个红球，根据题意得， 解得： 答：取出了3个红球 （3）解：设放入口袋中的黑球的个数为个，根据题意得， 解得： 经检验，是分式方程的解， 答：放入口袋中的黑球的个数为12 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $