重难点专训01 利用二阶导函数解决函数问题（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以二阶导函数应用为核心，构建“方法提炼-题型突破-分层训练”体系，系统培养逻辑推理与数学思维，实现函数问题深度突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|1理论模块|四步基本思路+四类核心策略+实用转化技巧+易错警示|从一阶导局限性切入，通过二阶导判断一阶导单调性与符号，构建“原函数-一阶导-二阶导”逻辑链| |题型通法及变式提升|4题型（每题型含3-4典例+3-4变式）|单调性判定（二阶导定一阶导增减）、极值判定（二阶导符号法）、不等式证明（切线放缩）、恒成立问题（参数分类讨论）|题型与方法对应，从基础应用到综合变式，覆盖含参、隐零点等高考难点| |重难专题分层过关练|巩固5题+创新5题|分层训练法（基础巩固+创新拓展）|通过梯度练习强化二阶导在复杂函数问题中的迁移应用，提升数学思维与问题解决能力|

重难点专训01 利用二阶导函数解决函数问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 二阶导与函数单调性 2 题型2 二阶导与函数极值、最值 15 题型3 二阶导与不等式证明 21 题型4 二阶导与恒成立问题 24 重难专题分层过关练 31 巩固过关 31 创新提升 35 解题方法及技巧提炼 1、利用二阶导函数解决问题的基本思路是： （1）求一阶导数并分析其符号判断的困难所在（如含有超越式或无法直接解不等式）； （2）对一阶导数再求导得到二阶导数，通过二阶导数的符号判定一阶导数的单调性； 3）结合一阶导数的零点（或特殊点取值）及极限趋势，确定一阶导数的符号分布，进而得出原函数的单调区间和极值； （4）利用二阶导数研究函数的凹凸性，解决与切线放缩、不等式证明等相关问题。 2、二阶导数的核心应用策略： （1）极值判定：若 且 ，则 为极小值点；若 ，则为极大值点；若 ，需借助更高阶导数或一阶导数左右符号进一步判定； （2）辅助判定一阶导符号：当一阶导数无法直接解不等式时，利用二阶导数确定一阶导数的单调性，再结合一阶导数的零点或端点值，划分一阶导数的正负区间； （3）凹凸性与切线放缩：若 ，函数为下凸（凹），切线位于图象下方，可用于构造不等式下界；若 ，函数为上凸（凸），切线位于图象上方，可用于构造上界； （4）拐点与图象形态：令 求拐点，划分凹凸区间，结合一阶导数变化趋势描绘函数整体图象。 3、实用技巧与转化方法： （1）当一阶导数含 、 等超越式时，优先求二阶导数，利用二阶导数的单调性判断一阶导数的零点存在性及唯一性，从而确定一阶导数的符号； （2）证明不等式时，若函数具有确定的凹凸性，可构造切线或割线进行放缩，避免直接构造复杂函数； （3）含参问题中，通过二阶导数讨论参数对凹凸性的影响，分类讨论极值点分布，再结合边界值确定参数范围； （4）对于无法直接求极值的隐零点问题，可设零点为 ，利用二阶导数确定零点的唯一性，再通过整体代换化简目标式。 4、易错点提醒： （1）二阶导数只决定一阶导数的变化率，不能直接判断原函数的单调性，必须回到一阶导数的符号分析； （2）当 时，不可断言无极值，需进一步检验（如考察一阶导数在 两侧的符号变化）； （3）求导前必须明确原函数的定义域，二阶导数的有效区间一致，所有讨论不得超出定义域范围； （4）凹凸性表述在不同教材中术语可能相反，考试中应直接使用二阶导数的符号说明（正为下凸，负为上凸），避免名称混淆。 题型通法及变式提升 题型1 二阶导与函数单调性 【典例1-1】已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)所以在和上单调递减； (2) 【分析】（1）利用二次求导判断的单调性得出，即即可； （2）把问题转化为在上恒成立，分和两种情况讨论，时符合题意，时导出矛盾即可求解. 【详解】（1）的定义域为， ， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，则有，所以在和上单调递减； （2）当时， 等价于， 即，令， 则， ①若，则，在上单调递减，所以，满足题意； ②若，令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以， 令，， 是减函数，又，所以，与条件矛盾，舍去. 综上所述，的取值范围是． 核心口诀：一阶导定增减性，二阶导判变化情；一阶导单调增，原函数凹向上。 高分技巧： 一阶导判定单调性：若 在区间 上恒成立，则 在 上单调递增；若 恒成立，则 在 上单调递减。这是判断函数单调性的根本依据，二阶导主要用于辅助分析 的增减变化； 二阶导判定 的单调性：若 在区间 上恒成立，则 在 上单调递增，意味着原函数 的切线斜率逐渐增大，曲线呈“凹向上”（下凸）形态；若 恒成立，则 单调递减，曲线呈“凸向上”（上凸）形态（即凹向下）； 凹凸性与切线位置关系：凹向上（）时，曲线位于任意切线的上方；凸向上（）时，曲线位于任意切线的下方。这一性质可用于比较函数值与切线值的大小，在选填中直接利用图象凹凸趋势排除选项； 二阶导辅助判定极值：若 且 ，则 为极小值点；若 且 ，则 为极大值点。这是极值第二判定法，在一阶导判定极值困难时（如无法判断左右导数符号）尤为实用； 二阶导失效情形：当 时，极值第二判定法失效，需退回到一阶导符号判定法（即极值第一判定法），通过分析 在 左右两侧的符号变化判断极值类型； 二阶导在含参问题中的应用：若已知函数在某区间上“凹向上”或“凸向上”（如题干中出现“图象是下凸的”“曲线位于切线上方”等表述），可直接转化为 或 恒成立问题，进而利用分离参数或最值法求参数范围； 凹凸性反向判定：若题干给出函数图象的凹凸趋势，可反推二阶导的正负——上凸（凸向上）则 ，下凸（凹向上）则 。选填中结合图象特征可快速排除不符合的解析式选项。 易错警示： 只能说明 单调递增，但不能直接说明 单调递增（如 ，，但 在 上单调递减）；二阶导判极值时必须保证 的前提条件满足，不可在非驻点处使用； 时极值可能存在也可能不存在（如 在 处有极小值但 ），需用一阶导法重新判断。 【典例1-2】已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若在R上单调递增，求实数的取值范围； (3)求证：当时，存在唯一极小值点，且. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用求导计算出切点的坐标和切线的斜率，再代入点斜式即可得出切线方程； （2）将单调递增条件转化为导函数恒大于等于零，通过“分离参数法”求出剩余函数的最小值，从而确定参数的取值范围； （3）通过二次求导分析出导函数的单调性，以找出唯一的极小值点，直接代入原函数即可证明不等式. 【详解】（1）当时，，， ，，即切点为. 故切线方程为，整理得：. （2），由恒成立得对任意恒成立， ，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取得最小值，即， 由恒成立，得. （3）当时，，， 设，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ， 当时，，结合在上单调递减， 可得在上恒有， 在上单调递增，且， 所以是的唯一零点， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以存在唯一极小值点， 且，即. 【典例1-3】已知函数 (1)若，讨论的单调性； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导得，分、及分别求解即可； （2）将原不等式转化为，按与两种情况讨论，在时，研究不等式在上恒成立，运用导数求出不等式右边对应函数的最小值，可得的最大值，进而求出满足条件a的取值范围． 【详解】（1）对求导， 可得， 令，可得或， ①当时，，在区间上，且， 此时，单调递增； 在区间上，且，故，单调递减； 在区间，且，故，单调递增． ②当时，，此时，在上单调递增． ③当时，，在区间上，且， 故，单调递增； 在区间上，且，故，单调递减； 在区间上，且，故，单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （2）将不等式， 整理为， 即， 当时，不等式左右两边相等，符合题意； 当时，不等式等价于，即， 设， 求导数得， 令， 则， 可知在时单调递增，且， 因此在上成立，可得，在时单调递增． 计算出在时的极限：， 可得在时单调递增且， 故在上恒成立， 因此，解得， 实数a的取值范围是 【典例1-4】已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)判断是否存在，使得的最小值为，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意，求得，设，得到，求得的单调性，得出，再结合和，两种情况讨论，即可求解； （2）由（1）得到，假设存在满足条件的，进而得到，设，求得，再设，利用导数求得在上单调递增，进而得到答案. 【详解】（1）由 得，. 设，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，即， 若，则，，在上单调递增， 若，则当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上，当时在上单调递增；当时在（0，a）上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时在上单调递减，在上单调递增， 所以. 假设存在满足条件的，则，即 又，所以，所以， 设，则， 因为， 所以在上单调递减，所以， 设，则，所以在上单调递增， 所以，故，与矛盾， 所以不存在，使得的最小值为. 【变式1-1】已知函数. (1)当时，求函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若有三个极值点，求的取值范围. 【答案】(1) 在上单调递减，在上单调递增. (2) (3)且 【分析】（1）求导后构造函数，再次求导分析单调性，得到，然后再分析的单调性即可； （2）分和时讨论，当时分离参数，构造函数，求导分析单调性即可； （3）求导后将问题转化为有三个变号零点，当时分离参数并构造函数，求导分析单调性和极值即可； 【详解】（1）当时，，， 令，则， 令， 所以当时，，为减函数； 当时，，为增函数， 所以，即， 所以当时，，为减函数；当时，，为增函数； 综上，在上单调递减，在上单调递增. （2）因为，即恒成立， 当时，显然成立； 当时，分离参数，即恒成立， 令，则， 令，可得， 所以当时，，为增函数；时，，为减函数；当时，，为增函数， 当时，；当时，；当时，；当时，， 画出其大致图像 所以. （3）， ， 因为有三个极值点，所以有三个变号零点， 即有三个变号零点， 容易得到是方程的一个根，不是方程的根， 当时，分离变量，， 令，则， 令， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递减；当时，，单调递增； 画出其大致图像为 极小值， 因为已经是方程的一个根， 所以要使与有两个交点，即且. 【点睛】关键点点睛：本题第二小问的关键是能够分离参数后求导分析单调性，利用数形结合求解；第三小问的关键是将问题转化为有三个变号零点，再当时，分离变量构造函数分析单调性和极值，再数形结合求解. 【变式1-2】已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)在单调递减，在单调递增； (2) 【分析】(1)先求的导数，化简为，用放缩法得；设，则可判断当和时，和的正负，从而判断的正负，得到含参数的的单调性；再把代入，求出此时的，从而求出的单调性.或先把代入，求的导数，再分和两类讨论，通过二次求导和构造函数来求函数的单调性. (2)由(1)求出的单调性可求含参数和的的最小值，将代入消去即可得到关于的不等式，化简后构造函数，得到的取值范围，结合不等式得到的取值范围，从而得到的取值范围，即的取值范围. 【详解】（1）解法一：因为， 所以 易知，设， 则当时，，，所以， 则在单调递减； 当时，，，所以， 则在单调递增； 所以当时，即，即， 所以在单调递减，在单调递增. 解法二： 当时， 则 当时，令，则 所以在单调递增，， 又关于单调递增且， 所以关于单调递增，关于单调递增， 所以单调递增，则， 所以在单调递增. 当时，， ， 令，易知在单调递增，， 所以，所以在单调递减. 综上，在单调递减，在单调递增. （2）由(1)的解法一知，则在单调递减，在单调递增， 所以 将代入可得 即 即 即 即， 即 当时，易得；当时，， 所以由解得， 所以，即. 又因为，所以， 所以， 即. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式或在不等式中求参数的取值范围的问题，常见的几种方法有： （1）直接构造函数法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 【变式1-3】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设有两个零点，若，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导得，对导函数进行分情况讨论其正负，即可得的单调性. （2）通过函数有两个零点，转化成，然后根据比例，构造出，得到，进而构造函数，利用导数处理单调性，进而可求. 【详解】（1）） 令 ，则 ，且对称轴 而 易知当 时在 单调递减，在 单调递增 当 时在单调递减. （2）有两个零点且，则， 设，    ， ， ，所以， ， 设，，则， 设，则， 当时，，所以函数在上递增， ，则， 在递增，又， ， 故． 【点睛】本题考查了含参函数的单调性，最值问题，方程与函数零点的综合问题，利用导数解决单调性的问题，分情况讨论，转化，构造函数证明不等式，二阶求导等综合性的函数知识，在做题时要理清思路，是一道导数的综合题. 【变式1-4】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意的，都有成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减 (2) 【分析】（1）先求出，容易得到，对导函数再次求导，进而得到的符号，最后求出原函数的单调性； （2）讨论和两种情况，当时进行参变分离，进而通过导数方法求出函数的最值，最后求出答案. 【详解】（1），由题意得，， 设，则， 易知当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减，∴， ∴在上单调递减． （2）当时，，满足题意； 当时，由题已知． 设，， 则 ， 由（1）可知，当时，，即，∴当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， ∴， ∴，即． 综上可知，实数a的取值范围是． 【点睛】导数的主要作用是判断函数的单调性，而导数值的符号与原函数的单调区间密切相关，因此判断导数值的符号至关重要，判断导数值的符号的关键在于寻找“零点”、因式分解，本题的难点就是对的因式分解. 题型2 二阶导与函数极值、最值 【典例2-1】已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)，都有，求实数a的取值范围． 【答案】(1)极小值0；无极大值． (2)． 【分析】（1）对求导，构建新函数，对求导，可判断单调性，根据题意知，可判断符号，即可确定单调性及极值点； （2）设新的函数，可转化为恒成立，即小于最小值，在构新的函数，，对求导，即可判断单调性，以及最小值点，即可求解. 【详解】（1）当时， 定义域为． ，． 令．则． 所以在上单调递增． 又因． 可知当时，；时，． 得时取极小值； 无极大值． （2）根据题意知当时，都有， ， 令，显然在上单调递增．则， 所以， 令， ， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 可得，所以， 即a的取值范围． 【典例2-2】已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)证明：． 【详解】（1）当时， 所以 令在恒成立，所以函数在单调递增，且 ， 所以当，函数在上单调递减； 当，函数在上单调递增； 所以函数在处取得极小值，无极大值； (2)证明：当时， 所以． 令在恒成立 所以函数在单调递增， 且当时，；当时，， 所以函数在存在唯一零点， 即， 且当，函数在上单调递减； 当，函数在上单调递增, 所以函数在处取得极小值, 也为最小值， 要证不等式成立， 即证成立， 即 当且仅当时，即时，等号成立， 所以. 【变式2-1】已知函数． (1)判断函数在区间上零点和极值点的个数，并给出证明； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数在区间上只有一个极值点和一个零点，证明见解析 (2)实数的取值范围是 【分析】（1）首先求函数的导数，并利用二阶导数判断导数的单调性，并结合零点存在性定理证明极值点个数，并结合函数单调性，以及端点值判断函数零点个数； （2）首先由不等式构造函数，，并求函数的导数，根据，以及，分，，三种情况讨论不等式恒成立的条件. 【详解】（1）函数在区间上只有一个极值点和一个零点， 证明如下，，设， ， 当时，，所以单调递减，又，， 所以存在唯一的，使得， 所以当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以是的一个极大值点， 因为，，， 所以在无零点，在上有唯一零点， 所以函数在区间上只有一个极值点和一个零点； （2）由，得， 令，，则， ，， ①若，则，当时，， 令，则， 当时，，所以在上单调递减，又， 所以，所以，即 又，所以， 即当时，恒成立， ②若，因为当时，单调递减， 且，， 所以存在唯一的，使得， 当时，，在上单调递增，不满足恒成立， ③若， 因为 不满足恒成立， 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数解决函数零点，不等式恒成立问题，本题第一问需要求函数的二阶导数，利用二阶导数分析一阶导数的单调性，结合零点存在性定理判断零点问题，第二问的关键是这个条件，再根据，讨论的取值. 【变式2-2】已知函数 (1)若，求f(x)在（，0）上的极值； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围 【答案】(1)极大值是，无极小值 (2) 【分析】(1)先求导数,再根据导数正负求单调性,最后导数为零时求极值即可; (2)根据单调性求最值,把在上恒成立转化为最小值大于等于0,分情况讨论求解可得. 【详解】（1）若x，则，令，， 则，令 则 , 所以在上恒成立，在上单调递增， 所以，所以在上恒成立，即g(x)在上单调递减，所以f'(x)在上单调递减， 又所以f(x)在（，）上单调递增，在（，0）上单调递减． 又，所以f(x)的极大值是 （2）由（1）可知函数，在上单调递减，即在上单调递减， 易知为偶函数． 所以f'(x)在上单调递增，又 当，即时，，所以f(x)在 上单调递增，所以，符合题意; 当，即时，，又， 存在，使得，所以存在，使得，所以f(x)在上单调递减， 在单调递增，故，不合题意． 综上，实数a的取值范围是． 题型3 二阶导与不等式证明 【典例3-1】已知函数. (1)设为的导函数，求在上的最小值； (2)令，证明：当时，在上. 【详解】（1）由题意知， 令，则， 因为当时，，即， 所以即在上单调递增， 所以在上的最小值为. (2)由题意知，又因为， 所以， 令， 则， 因为，所以，所以， 因此在上单调递增， 所以当时，，所以， 所以在上单调递增，所以， 即当时，在上. 【变式3-1】已知函数． (1)证明：； (2)若，且，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）对函数变形整理，构造函数，对其进行二次求导，从而可求出的单调性，进而可求出函数的最大值，即可证明结论成立. （2）对函数进行二次求导，从而可判断函数单调性，要证，只需证，结合在上单调递减知只需证，即证，进而构造函数判断其单调性即可证明. 【详解】（1）由题意，，设 ，则 ，当时，，单调递增；当时，， 单调递减，从而，故恒成立， ，故． （2）由题意，，，， ，， 从而在上单调递增，在上单调递减，故， 在上单调递减，且， 若，则，不合题意， 若，则，不合题意，∴， 要证，只需证，结合在上单调递减知只需证， 又，，故只需证，即证①， 令，， 则， ，在上单调递增， 又，，从而在上单调递减，，， ，，即不等式①成立，故． 【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性及利用导数证明不等式问题，考查了学生的逻辑推理能力及数据分析能力，考查了转化思想，属于难题. 【变式3-2】已知，其中. (1)求的单调区间； (2)若，证明：当时，. 【详解】（1）由，得， 当时，，在单调递增； 当时，令，得，此时单调递增， 令，得，此时单调递减. 综上所述，当时，增区间为，无减区间 当时，增区间为，减区间为 (2) 因为，，所以，， 要证，即证， 即证，即证， 设， 则， 令， 则对恒成立， 所以在单调递增，所以时，， 所以对恒成立，所以在单调递增， 所以时，， 即成立，故原式得证 题型4 二阶导与恒成立问题 【典例4-1】已知函数，其导函数为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过连续求导来判断导函数的单调性，进而找出它的最小值，从而确定整个导函数的值域； （2）采用分离参数法构造出一个新的函数，然后通过多次求导分析其导数的符号，证明该新函数在给定区间内单调递增，最终利用端点处的最大值来确定参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则. 令，则. 令，则， 所以在上单调递增，且. 所以时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以，所以的值域为. （2）当时，，则恒成立，所以. 当时，由，得. 令，则. 令，则. 令，则. 令，则. 当时，，当且仅当时，等号成立，故在上单调递减， 又，所以，故在上单调递减. 因为， 所以存在，使得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 由于，于是当时，，此时， 所以在上单调递增，在上的最大值为， 所以， 综上，实数的取值范围是. 【典例4-2】已知，，． (1)讨论函数的单调性； (2)求证：当时，； (3)若在时恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 当时，，则在上单调递增； 当时，由可解得：， 由可解得：或. 则在区间上单调递增，在区间，上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，则在区间上单调递增，在区间，上单调递减. (2)当时，要证明，即证明， 因为，所以原不等式可变为，即. 令，则只需证在恒成立即可. . 因为，所以，，，所以， 所以在上单调递增，所以，即. 因此，当时，. （3）分离参数：，因为，所以. 构造函数，，只需求恒成立即可. 令 当时， 且（令，则，故）， 故，所以. 所以在上单调递增，所以， 故，单调递增. 当时，，所以， 故. 因此. 【变式4-1】函数（，为自然对数的底数）． (1)若恒成立， ①求a的值； ②若，证明：． (2)若时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①将已知不等式转化为恒成立，利用导数讨论函数单调性进而求解；②利用导数及转化思想先证，再证； （2）把已知不等式转化为恒成立，利用导数求出必要条件，再证明是充分条件，进而求出的取值范围． 【详解】（1）①恒成立，即恒成立，即恒成立， 求导得， 若，则，单调递增，但，不满足题意； 若，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 故在处取最小值，， 设，求导得， 当时，，递增； 当时，，递减， 在处取得最大值，仅当时恒成立， ． ②先证：，即，即，即， 令，， 在上单调递增，故，即，； 再证：，即，即， 令，则， 在上单调递增，，， 综上，． （2）恒成立，即恒成立， 即恒成立， 令，则， 求导得，， 令， 求导得， 为必要条件，即， 充分性：当时，， 在上单调递减，即， 在上单调递减，故，即成立， 综上，a的取值范围为． 【变式4-2】已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，判断f（x）的零点个数并证明； (3)若恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)不等式的解集为区间 (2)三个零点，证明见解析 (3). 【分析】（1）先求得的定义域为，并证得的图像关于中心对称，再确定当时的符号，进而根据对称性得的解集； （2）先通过导数分析的单调性，并根据零点存在性定理确定在上有唯一零点，再根据的图像关于中心对称及，即可得到f（x）的零点个数； （3）由题意，根据的图像关于中心对称知“恒成立”等价于“在上恒成立”.并分析得到，进而，再通过导数分析得到在上单调递增，从而即可得a的取值范围. 【详解】（1）由得，所以的定义域为， 又 ， 所以函数的图像关于中心对称，所以. 因为， 当时， ，所以. 故当时，， 即不等式的解集为. （2）当时，. 因为的图象关于中心对称， 所以只需考虑时，的零点个数. ， 当时，. 令 当时，， 所以在上单调递减. 因为， 所以存在唯一，使得. 所以当时，，即在上单调递增. 当时，，即在上单调递减. 所以在上没有零点， 又， 所以存在唯一实数使得，即在上有唯一零点， 由（1）知. 所以时，有三个零点：. （3）由（1）知恒成立等价于在上恒成立， ， 若， 所以存在，使得对有，即在上单调递减. 所以，这与在上恒成立矛盾. 所以. 此时. 令， 所以 令 则， 所以在上单调递减，所以. 所以在上单调递增，所以. 所以在上恒成立，即恒成立. 综上所述，. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】设，只需在时恒成立即可求解． 【详解】设，只需在时恒成立即可， 又，且，所以，即. 下面证明的充分性： 当时，由， 令，所以， 记，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，所以恒成立. 综上所述，实数的取值范围是. 2．已知函数 (1)当时，求函数在上的值域； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，分析函数的单调性，可求函数的最大、最小值. （2）问题转化为，再分和讨论.当时，设，通过二次求导，求得在给定区间的值域，可得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，. 所以，. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 又，. 所以当时，函数的值域为. （2）当时，. 当时，上式恒成立. 当时，. 设，. 则. 再设，. 则. 当时，即，所以在上单调递增. 又，所以当时，，即. 所以在上单调递增. 又，所以当时，，即， 所以. 所以时，. 所以，即实数的取值范围为. 3．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)无交点，理由见解析 【分析】（1）求导可得，分类讨论当、时函数对应的单调性即可求解； （2）由得，令，利用二次导数讨论函数的性质可得，即可下结论. 【详解】（1）函数的定义域为R，且， 当时恒成立，所以在R上单调递减， 当时，令，解得， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 综上可得：当时在R上单调递减； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为． （2），则，令，即， 令，则， 令，则， 所以当时，则单调递减，且， 当时，则单调递增， 又，，故当时， 所以当时，则单调递减， 当时，则单调递增， 所以，所以方程无实根， 所以函数与的图象无交点. 4．已知函数． (1)当时，，，求的取值范围； (2)证明：当时，在上单调递增． 【详解】（1）当时，， 令， 显然时，，则在上单调递减， 所以，即在上单调递减， 所以， 所以； (2)由， 令， 设，则，所以在上单调递增， 即， 若，则，即 ， 所以在上单调递增，则 ， 所以当时，在上单调递增. 5．已知函数，． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若在上恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）将问题转化为在上恒成立，利用二阶导数讨论函数的性质求出即可. 【详解】（1）当时，，则， 于是，， 则函数在点处的切线方程为 ，即； （2）因为在上恒成立，所以在上恒成立， 设，，则， 令，，则在上恒成立， 因此在上单调递减，于是， 因此在上恒成立，在上单调递减， 则，由此可知，，于是实数的最大值为． 创新提升 6．已知函数． (1)当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2)当时，函数无严格单调区间； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (3)1 【分析】（1）利用导数的几何意义，根据切线斜率求切点，再根据切点满足求的值. （2）求导，分，，讨论导函数的符号，探究函数的单调性. （3）设，结合二次求导，求出函数的最小值为，问题转化为，求的最小值，再设，分析函数单调性，解不等式即可得的最小值. 【详解】（1）当时，，. 由解得，. 由， 所以，解得：. （2）由，所以. 若，则为常数函数，无严格单调区间； 若，由解得；由解得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 若，由解得；由解得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数无严格单调区间； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）由，可得，即. 设，，则，. 设，，则恒成立，所以在上单调递增. 又，， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以. 由，可得：. 设，，则. 由解得；由解得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，，. 所以存在，使得. 所以不等式的解集为. 所以实数的最小值为1. 7．已知函数， (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，函数，且不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)当时，函数 在 上单调递减； 当时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减． (2) 【分析】（1）先对函数求导，再根据a的值分和两种情况讨论可得； （2）先由函数可得，进而可得，从而将不等式转化为对恒成立，再构造函数，用导数求函数的最小值可得. 【详解】（1）当时，，定义域为，， 当时，，函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 函数在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． （2）当时，，当时，，单调递增，显然不成立； 当时，由，得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极大值为.由恒成立，得，即，解得. 原不等式化为对任意和恒成立. 令，则. 当时，的最小值为的最小值，故.， ，令，， 则恒成立，在上单调递增． 由于，，由零点存在性定理， ，使得，即，（*） 当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增，， 由（*）式可知，，， 令，，又，，即在上为增函数， ，即，，由及代入， ， ，即实数m的取值范围为 8．已知. (1)若，证明：存在唯一零点； (2)当时，讨论零点个数. 【答案】(1)证明见详解 (2)有2个零点 【分析】（1）利用导函数研究函数在上的单调性，进而根据零点存在性定理证明即可； （2）分类讨论，利用导函数研究单调性，根据零点存在性定理求解即可. 【详解】（1）由题意，， 则， 由于，所以，则，又，所以， 进而，所以在上单调递减， 又，， 根据零点存在性定理可知：函数在上存在唯一零点. （2），，则，， 当 时，因为， 所以， 此时单调递减，， 所以在上没有零点， 当时，令， 则， 所以 在上单调递增，又， 故当时，，则在上单调递减，又， 当时， ，故在上单调递增， 因此，当时，只有一个零点，即， 当时，，所以在上单调递减， 又，， 故，使得，且当时，，单调递增， 当时，，，单调递减， 而，， 所以当时，，此时无零点， 当时，只有一个零点， 综上可知：时，有2个零点. 【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的常用方法： （1）直接法：令则方程实根的个数就是函数零点的个； （2）零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数； （3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 9．设函数. (1)当时，求在上的最小值； (2)若与关于轴对称，当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将代入，然后求导得到，再求导得到，因为，就得到二阶导大于等于0恒成立，得到一阶导单调递增，然后判断一阶导大于等于0恒成立，然后得到原函数单调性，求得最小值； （2）先利用两个函数的互对称得到，然后代入不等式，整理得，构造函数，得到，然后利用端点效应得到，最后判断其充分性即可. 【详解】（1）当时，， 所以， 令， 得， 因为，得， 所以，故在单调递增； 所以， 所以在单调递增， 故在上的最小值为. （2）由题得， 得当时，恒成立， 整理得恒成立， 令， 显然，， 要使时，恒成立， 则， ， 所以有， 验证，当时， 令， ， 令， ， 故在单调递增； 所以， 故在单调递增； 所以， 故在单调递增； 所以， 故符合题意. 【点睛】思路点睛：恒成立，显然，我们由函数图像可知，在时， 不可能单调递减，所以可知，然后求得，此时为恒成立的必要条件，我们还需要利用去判断恒成立，证明为恒成立的充分条件. 10．已知函数，.（注：是自然对数的底数） (1)若无极值点，求实数的取值范围； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）法一，易知，无变号零点，考虑后参变分离为，原问题等价于的图像与无相交交点；法二，构建，分，，结合根的存在性定理即可求解； （2）法一，式子转化为，即证即可，易知，则，分，， 讨论即可；法二，转化为，求的最大值即可. 【详解】（1）（方法一）易知，由无极值点可知， 无变号零点，令（*）， 显然时，（*）无零点，此时无极值点，满足题意； 故当（*）可变形得， 令，原问题等价于的图像与无相交交点， 又，则，，单调递增； ，，单调递减； 又趋于，趋于；趋于，趋于；. 可得的图象如图： 由图可知，解得， 综上， （方法二）构建，则 ①当时，当时恒成立，在上单调递增， 因为，， 所以有一个零点，即为的一个极值点； ②当时，当时恒成立，即无极值点； ③当时，当，；当，， 所以在单调递减，在上单调递增， 故， 若，则即. 当时，， 当时，， 设，，故， 故在上为增函数， 故， 故， 故当时，有两个零点，此时有两个极值点. 当时，当时恒成立，即无极值点； 综上所述： （2）（方法一）由可知，， 即， 令，即证， 易知， 则， 若，即时， 则，，单调递增，，不符合题意； 若，即时， 则，，单调递减， ，，单调递增， ，，单调递减， 又，故令， 解得，即， 若，即时， 则，，单调递减， ，，单调递增， ，，单调递减， 故令 ， 记，则恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即， 即对于任意，恒成立， 综上所述， （方法二）①当时，不等式恒成立，可得； ②当时，可得恒成立，设， 则 . 可设，可得， 设，， 由，可得恒成立，可得在上单调递增， 在上单调递增，所以， 即恒成立，即在上单调递增，所以， 再令，可得， 当时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减， 所以， 所以，综上可得的取值范围是. 【点睛】思路点睛：利用导数证明不等式，可通过构造函数，结合导数求得所构造函数的单调性、极值、最值. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训01 利用二阶导函数解决函数问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 二阶导与函数单调性 2 题型2 二阶导与函数极值、最值 4 题型3 二阶导与不等式证明 5 题型4 二阶导与恒成立问题 5 重难专题分层过关练 6 巩固过关 6 创新提升 7 解题方法及技巧提炼 1、利用二阶导函数解决问题的基本思路是： （1）求一阶导数并分析其符号判断的困难所在（如含有超越式或无法直接解不等式）； （2）对一阶导数再求导得到二阶导数，通过二阶导数的符号判定一阶导数的单调性； 3）结合一阶导数的零点（或特殊点取值）及极限趋势，确定一阶导数的符号分布，进而得出原函数的单调区间和极值； （4）利用二阶导数研究函数的凹凸性，解决与切线放缩、不等式证明等相关问题。 2、二阶导数的核心应用策略： （1）极值判定：若 且 ，则 为极小值点；若 ，则为极大值点；若 ，需借助更高阶导数或一阶导数左右符号进一步判定； （2）辅助判定一阶导符号：当一阶导数无法直接解不等式时，利用二阶导数确定一阶导数的单调性，再结合一阶导数的零点或端点值，划分一阶导数的正负区间； （3）凹凸性与切线放缩：若 ，函数为下凸（凹），切线位于图象下方，可用于构造不等式下界；若 ，函数为上凸（凸），切线位于图象上方，可用于构造上界； （4）拐点与图象形态：令 求拐点，划分凹凸区间，结合一阶导数变化趋势描绘函数整体图象。 3、实用技巧与转化方法： （1）当一阶导数含 、 等超越式时，优先求二阶导数，利用二阶导数的单调性判断一阶导数的零点存在性及唯一性，从而确定一阶导数的符号； （2）证明不等式时，若函数具有确定的凹凸性，可构造切线或割线进行放缩，避免直接构造复杂函数； （3）含参问题中，通过二阶导数讨论参数对凹凸性的影响，分类讨论极值点分布，再结合边界值确定参数范围； （4）对于无法直接求极值的隐零点问题，可设零点为 ，利用二阶导数确定零点的唯一性，再通过整体代换化简目标式。 4、易错点提醒： （1）二阶导数只决定一阶导数的变化率，不能直接判断原函数的单调性，必须回到一阶导数的符号分析； （2）当 时，不可断言无极值，需进一步检验（如考察一阶导数在 两侧的符号变化）； （3）求导前必须明确原函数的定义域，二阶导数的有效区间一致，所有讨论不得超出定义域范围； （4）凹凸性表述在不同教材中术语可能相反，考试中应直接使用二阶导数的符号说明（正为下凸，负为上凸），避免名称混淆。 题型通法及变式提升 题型1 二阶导与函数单调性 【典例1-1】已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 核心口诀：一阶导定增减性，二阶导判变化情；一阶导单调增，原函数凹向上。 高分技巧： 一阶导判定单调性：若 在区间 上恒成立，则 在 上单调递增；若 恒成立，则 在 上单调递减。这是判断函数单调性的根本依据，二阶导主要用于辅助分析 的增减变化； 二阶导判定 的单调性：若 在区间 上恒成立，则 在 上单调递增，意味着原函数 的切线斜率逐渐增大，曲线呈“凹向上”（下凸）形态；若 恒成立，则 单调递减，曲线呈“凸向上”（上凸）形态（即凹向下）； 凹凸性与切线位置关系：凹向上（）时，曲线位于任意切线的上方；凸向上（）时，曲线位于任意切线的下方。这一性质可用于比较函数值与切线值的大小，在选填中直接利用图象凹凸趋势排除选项； 二阶导辅助判定极值：若 且 ，则 为极小值点；若 且 ，则 为极大值点。这是极值第二判定法，在一阶导判定极值困难时（如无法判断左右导数符号）尤为实用； 二阶导失效情形：当 时，极值第二判定法失效，需退回到一阶导符号判定法（即极值第一判定法），通过分析 在 左右两侧的符号变化判断极值类型； 二阶导在含参问题中的应用：若已知函数在某区间上“凹向上”或“凸向上”（如题干中出现“图象是下凸的”“曲线位于切线上方”等表述），可直接转化为 或 恒成立问题，进而利用分离参数或最值法求参数范围； 凹凸性反向判定：若题干给出函数图象的凹凸趋势，可反推二阶导的正负——上凸（凸向上）则 ，下凸（凹向上）则 。选填中结合图象特征可快速排除不符合的解析式选项。 易错警示： 只能说明 单调递增，但不能直接说明 单调递增（如 ，，但 在 上单调递减）；二阶导判极值时必须保证 的前提条件满足，不可在非驻点处使用； 时极值可能存在也可能不存在（如 在 处有极小值但 ），需用一阶导法重新判断。 【典例1-2】已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若在R上单调递增，求实数的取值范围； (3)求证：当时，存在唯一极小值点，且. 【典例1-3】已知函数 (1)若，讨论的单调性； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. 【典例1-4】已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)判断是否存在，使得的最小值为，并说明理由. 【变式1-1】已知函数. (1)当时，求函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若有三个极值点，求的取值范围. 【变式1-2】已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 【变式1-3】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设有两个零点，若，证明：． 【变式1-4】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意的，都有成立，求实数a的取值范围． 题型2 二阶导与函数极值、最值 【典例2-1】已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)，都有，求实数a的取值范围． 【典例2-2】已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)证明：． 【变式2-1】已知函数． (1)判断函数在区间上零点和极值点的个数，并给出证明； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式2-2】已知函数 (1)若，求f(x)在（，0）上的极值； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围 题型3 二阶导与不等式证明 【典例3-1】已知函数. (1)设为的导函数，求在上的最小值； (2)令，证明：当时，在上. 【变式3-1】已知函数． (1)证明：； (2)若，且，证明：． 【变式3-2】已知，其中. (1)求的单调区间； (2)若，证明：当时，. 题型4 二阶导与恒成立问题 【典例4-1】已知函数，其导函数为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【典例4-2】已知，，． (1)讨论函数的单调性； (2)求证：当时，； (3)若在时恒成立，求实数的取值范围． 【变式4-1】函数（，为自然对数的底数）． (1)若恒成立， ①求a的值； ②若，证明：． (2)若时，恒成立，求a的取值范围． 【变式4-2】已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，判断f（x）的零点个数并证明； (3)若恒成立，求实数a的取值范围. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围. 2．已知函数 (1)当时，求函数在上的值域； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围． 3．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由． 4．已知函数． (1)当时，，，求的取值范围； (2)证明：当时，在上单调递增． 5．已知函数，． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若在上恒成立，求实数的最大值． 创新提升 6．已知函数． (1)当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意，恒成立，求实数的最小值． 7．已知函数， (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，函数，且不等式恒成立，求实数m的取值范围． 8．已知. (1)若，证明：存在唯一零点； (2)当时，讨论零点个数. 9．设函数. (1)当时，求在上的最小值； (2)若与关于轴对称，当时，恒成立，求实数的取值范围. 10．已知函数，.（注：是自然对数的底数） (1)若无极值点，求实数的取值范围； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $