广东仲元中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

**基本信息** 广东仲元中学高一期末数学卷，以向量、统计、立体几何等为核心，通过“刍童”外接球（文化传承）、心理疏导调查（现实应用）等创新题，考查数学眼光、思维与语言，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|向量投影、统计量、解三角形|第7题用随机化调查保护隐私，体现数据观念| |填空题|3/15|复数、旋转体表面积、二面角|第13题结合旋转体，考查空间观念| |解答题|5/77|三角函数性质、立体几何证明、统计与概率综合|18题频率分布直方图综合考查数据处理，19题锐角三角形问题融合推理能力与应用意识|

广东仲元中学2025-2026学年度第二学期高一年级期末考试数学试题 命题人：钟琳 审题人：霍子伟 班级：___________姓名：___________考号：___________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量与向量的夹角为，且，则（   ） A． B． C．2 D． 2．现有一组数据：1，3，4，4，4，6，6，若在这组数据中删去一个4，则发生变化的统计量是（     ） A．平均数 B．中位数 C．标准差 D．极差 3．在中，，，且则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知中，角的对边分别为，，，，则外接圆的面积为 A． B． C． D． 5．已知，则的值为（  ） A． B． C． D． 6．我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童”.已知棱台是一个所有侧棱的长相等，高为2的“刍童”，，，则该“刍童”外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．为了了解疫情期间的心理需求，心理健康辅导员设计了一份问卷调查，问卷有两个问题：①你的学号尾数是奇数吗？②你是否需要心理疏导？某校高三全体学生870人参加了该项问卷调查.被调查者在保密的情况下掷一枚质地均匀的骰子，当出现1点或2点时，回答问题①，否则回答问题②.由于不知道被调查者回答的是哪一个问题，因此，当他回答“是”时，别人无法知道他是否有心理问题，这种调查既保护了他的隐私，也能得到诚实的问卷反应.问卷调查结束后，发现该校高三学生中有155人回答“是”，由此可估计该校高三需要心理疏导的学生人数约为（    ） A．10 B．15 C．29 D．58 8．已知正方体中，棱长为2，点为线段上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C．4 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C． D． 10．已知函数向左平移个单位长度后得到一个偶函数，则关于的说法正确的是（   ） A．为函数的一个零点 B．函数的图象关于对称 C．方程在上有三个解 D．函数在上单调递减 11．在中，，，，为边上一动点，则（   ） A． B．当为角的角平分线时， C．当为边中点时， D．若点为内任一点，的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若复数z在复平面内的对应点为，则的虚部为______. 13．如图，等边三角形与直线在同一平面，垂直于，，则绕旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是______. 14．已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A，B两点，AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都与AB垂直.已知，，则______. 四、解答题；本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数满足： ①相邻两条对称轴的距离为；②在处取得最大值2． (1)求的解析式及其单调递增区间； (2)若，求满足的的值． 16．在正方体中，点， ， ，分别为棱，，，的中点． (1)点， ， ，是否共面？请说明理由； (2)证明：平面． 17．如图，已知满足，，、、是线段上的分点，且满足. (1)当时，求的值； (3)当时，若为线段上的动点，求的最小值. 18．为了解高一年级学生身体素质的基本情况，抽取部分高一年级学生开展体质健康能力测试，满分分.参加测试的学生共人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计全校高一年级体测成绩的分位数； (2)为提升同学们的身体素质，校方准备增设体育课的活动项目.现采用分层抽样的方法，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率； (3)现已知直方图中考核得分在内的平均数为，方差为，在）内的平均数为，方差为，求得分在内的平均数和方差. 19．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《广东仲元中学2025-2026学年度第二学期高一年级期末考试数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B A C B D BCD ACD 题号 11 12 13 答案 ABD B C 8．D【详解】因为平面，平面，所以，， 在正方形中，对角线平分直角，得， 将平面沿展开，与平面共面， 此时，且， 当三点共线时最小，此时， 由余弦定理可得， 开方得：，即的最小值为. 11．【详解】对于A中，在中，由余弦定理得 即，所以，所以A正确； 对于B中，当为角的角平分线时， 由等面积法得， 即，解得，所以B正确； 对于C中，由为边中点时，可得， 则， 所以，所以C错误； 对于D中，以为原点，以为轴，过A垂直的直线为轴， 建立平面直角坐标系，如图， 所以，设， 则，，， ， 因为，所以， 当且仅当时等号成立. 所以的最小值为.所以D正确. 12． 【分析】由题得，化简，即得复数的虚部. 【详解】由题得， 所以. 所以的虚部为. 13． 【分析】应用圆台和圆锥的表面积公式计算求解. 【详解】过点作，垂足为， 绕旋转一周形成的面所围成的几何体是圆台去掉同底圆锥， 几何体的表面积是底面半径分别为1,2，母线为2的圆台表面积去掉上底面再加上底面半径为1，母线为2的圆锥的侧面积， 则． 14． 【分析】以、为邻边作平行四边形，连接，计算出、的长，证明出，利用勾股定理可求得的长. 【详解】如下图所示，以、为邻边作平行四边形，连接， 因为，，则， 又因为，，， 故二面角的平面角为， 因为四边形为平行四边形，则，， 因为，故为等边三角形，则， ，则，， ，平面， 故平面， 因为平面，则， 故. 故答案为： 15．(1)，递增区间为； (2) 【分析】（1）由三角函数图像的性质可得振幅，周期，再将点代入运算，结合求解即可，应用正弦函数单调区间计算求解； （2）由可得，再结合，即可求得的值. 【详解】（1）由题意知，最大值，周期，∴，∴． 将点代入得：， 则，又，故， 故， 因为，所以, 所以的单调递增区间为 （2）因为， 所以，且. 则， 所以，所以. 16．(1)点， ， ，共面，理由如下： 连接 因为分别为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为分别为的中点， 所以， 所以， 则四点共面 (2)连接 因为底面为正方形， 所以， 因为平面，平面，则， ，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因，所以 因为底面为正方形，所以， 易得，，平面， 所以平面，又平面， 所以， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面. 【分析】（1）证明即可说明点， ， ，共面； （2）分别证明平面，平面，利用线面垂直的性质可得，，结合线面垂直的性质即可证明结论. 【详解】（1）点， ， ，共面 理由略 （2）略 17．(1) (2) 【分析】（1）结合向量的线性运算可得，故可求向量和的模； （2）设，利用向量的线性运算结合二次函数的性质可求的最小值. 【详解】（1），， 则，即， 故为等边三角形， 当时，、为边的三等分点， 设为中点，且， 所以， 故. （2）设， 当时，、、为边的四等分点， ， 设，其中，则， ， 所以 ， 当且仅当即时，取最小值. 18．(1)，分位数为 (2) (3)平均数为，方差为 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为，可求出的值，利用百分位数的概念可求出分位数； （2）分析可知，抽出的位同学中，得分在的有人，设为、，在的有人，设为、、，利用列举法结合古典概型的概率公式可求出所求事件的概率； （3）利用分层抽样的均值和方差公式可求得结果. 【详解】（1）由题意得：，解得， 抽取的样本中，设第百分位数为， 前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为，所以，， 则， 解得，因此高一年级体测成绩的的分位数为. （2）由题意知，抽出的位同学中，得分在的有人，设为、， 在的有人，设为、、. 则样本空间为， ， 设事件两人分别来自和， 则，则， 因此，所以两人得分分别来自和的概率为. （3）由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 记在区间的数据分别为、、、，平均分为，方差为， 在区间的数据分别为为、、、，平均分为，方差为； 这个数据的平均数为，方差为. 由题意，，，，， 且，，则. 由分层抽样方差公式可得： 故得分在内的平均数为，方差为. 19．(1) 由及正弦定理可得，即， 因为，则，所以，即， 由余弦定理可得，所以， 所以，由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，故，，所以， 又函数在上单调递增，且，故，即. (2)； (3). 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得出，结合正弦函数的单调性可证得结论成立； （2）由正弦定理及三角恒等变换化简得出，根据已知条件求出角的取值范围，结合余弦函数的基本性质和对勾函数的单调性可得出的取值范围； （3）利用正弦定理、三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数和反比例函数的基本性质可求得面积的取值范围. 【详解】（1）略 （2） ， 因为为锐角三角形，故，解得， 又因为，可得，故角的取值范围是， 所以，故， 令，， 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以函数在上为增函数，故， 故的取值范围是. （3）由正弦定理可得，所以，， 所以 ， 因为，所以， 令，函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数，所以，即， 因此，即面积的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $