精品解析：广东省汕尾市2024-2025学年高一下学期期末教学质量测试数学试题

汕尾市2024-2025学年度第二学期高中一年级教学质量监测 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 若，，若，则的值是（ ） A. B. C. -3 D. 3 3. 已知复数与互为共轭复数，则的值是（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 13 4. 如图，在中，是BC上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 已知，是第四象限角，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，若，则符合条件的一个集合B是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则的值是（ ） A. B. C. 2025 D. 2027 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 若为虚数，则 10. 声音是由于物体的振动产生，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.已知某个音是由三个纯音合成的，该音的数学模型为函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数是偶函数 B. 该函数的最小正周期为 C. 该函数的最大值为 D. 该函数的图象关于对称 11. 如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（ ） A. 动点F的轨迹是一条线段，线段长度为 B. 直线与的夹角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在半径为1的半圆中，挖去一个三角形ABC，其中，再将所得平面图形（如图）以线段AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为__________. 13. 已知平行四边形，对角线，，，则边__________. 14. 已知函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且当时，存在点M，N关于x轴对称的情况，则a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点. （1）证明：平面AOE； （2）证明：. 16. 已知，，，. （1）分别求，，的值； （2）求的值. 17. 如图，一艘巡逻船从小岛A出发，沿北偏东的方向航行c海里后到达小岛B，然后从小岛B出发，继续沿某一方向航行a海里后到达小岛C.小岛A与小岛C相距b海里.三个小岛构成.其中A，B，C分别为三角形在顶点A，B，C处的内角. （1）若满足关系式：，求巡逻船从小岛A直接航行到小岛C时应采用的方向（以北偏东角度表示）； （2）巡逻船从小岛A向小岛C直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻船在M点抛锚.若从小岛B直接前往救援，需行驶2海里到达M点.若满足关系式：，求的最大值. 18. 已知圆为单位圆，正方形的边长为. （1）如图1，求正方形中不与圆重叠部分的面积T； （2）将圆A沿边所在的直线向上翻折（以为轴）.动点位于翻折后的两个不同的半圆上（如图2所示），动点F在边上，动点G在边上，且四边形始终为矩形，求四棱锥的最大体积V. 19. 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对（）看作一个向量，记作，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，（），我们定义复向量运算法则：①加法：；②减法：；③数乘：；④数量积：；⑤模：. （1）设，，求和； （2）验证复向量结合律：是否成立； （3）设，集合，，求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汕尾市2024-2025学年度第二学期高中一年级教学质量监测 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逆用差角的正弦公式求解. 【详解】. 故选：B 2. 若，，若，则的值是（ ） A. B. C. -3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算可求解. 【详解】因为，所以，又因为，，所以， 解得. 故选：A. 3. 已知复数与互为共轭复数，则的值是（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】利用共轭复数的意义可求得，进而计算可求得. 【详解】因为复数与互为共轭复数，所以， 所以，，所以. 故选：D. 4. 如图，在中，是BC上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解. 【详解】由题意：. 故选：C 5. 已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线线，线面，面面的位置关系逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，，，，，若相交时，可得， 若不相交时，可能相交，故A错误； 对于B，若，，则或是异面直线或是相交直线，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，若，，则或，故D错误. 故选：C. 6. 已知，是第四象限角，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用诱导公式结合正弦的差角公式，求得，再利用平方关系，求出，再利用余弦的和角公式，即可求解. 【详解】由得， 即，所以 ∵是第四象限角，∴. 所以. 故选：D. 7. 已知集合，若，则符合条件的一个集合B是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性与根的存在性定理可得，解一元二次不等式可判断每个选项的正误. 【详解】函数在上单调递增， 又，， 所以存在，使得， 即， 对于A，由，得，解得或， 所以，故A错误； 对于B，由，得，解得， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以不是中元素，故C不符合题意； 对于D，因为，所以不是中元素，故D不符合题意. 故选：B. 8. 已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则的值是（ ） A. B. C. 2025 D. 2027 【答案】C 【解析】 【分析】由函数在定义域上是单调函数，且，知是一个常数，令，得，结合的单调性可求得，即可求出的解析式以及的值. 【详解】由函数在定义域上是单调函数，且， 知是一个常数，令，则， ∴， ∵在定义域上单调，且, ∴，即 ∴. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 若为虚数，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复数的除法法则求得，再逐项计算判断即可. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 若为虚数，则的虚部不等于，故D错误. 故选：BC. 10. 声音是由于物体的振动产生，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.已知某个音是由三个纯音合成的，该音的数学模型为函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数是偶函数 B. 该函数的最小正周期为 C. 该函数的最大值为 D. 该函数的图象关于对称 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正弦函数的奇偶性判断A；求函数周期判断B；利用正弦函数的值域判断C；根据与的关系判断D. 【详解】对A：因为. 所以函数为奇函数，故A错误； 对B：因为的最小正周期为，的最小正周期为，的最小正周期为， 且，，的最小公倍数为，所以的最小正周期为，故B正确； 对C：因为的最大值为1，的最大值为，的最大值为，且. 但是它们分别在，，，时取等号，所以不能同时取得最大值，故C错误； 对D：因为， ， 所以，所以该函数的图象关于对称，故D正确. 故选：BD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（ ） A. 动点F的轨迹是一条线段，线段长度为 B. 直线与的夹角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点H，G，连接，证明平面，，从而得到点F的轨迹长度判断A；由正方体的结构特征易知且为等边三角形，即可判断B；根据A得出平面，从而得到点F到平面的距离为定值，再结合的面积也为定值，即可判断C；设N为的中点，从而根据面面平行的性质定理得到截面即为面，利用等体积法可求线段长度最小值为. 【详解】对于A：如图分别取的中点H，G，连接， 由正方体的性质可得，平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 且，平面，所以平面， 而平面，所以平面，所以点F的轨迹为线段GH，又，故A正确； 对于B：由正方体的结构特征易知且为等边三角形， 所以直线与的夹角为，即直线与的夹角的为， 所以直线与的夹角的余弦值为，故B错误； 对于C：由A知，点F的轨迹为线段GH， 因为平面，则点F到平面的距离为定值， 同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上． 因为截面平面，截面平面， 平面平面，所以，同理， 所以截面为平行四边形，则点N为的中点． 因为Q为截面上一点，则线段长度最小值即为到平面的距离， 因为，， 所以， ，设到平面的距离为， 因为，所以， 所以，解得， 所以线段长度最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在半径为1的半圆中，挖去一个三角形ABC，其中，再将所得平面图形（如图）以线段AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆锥和球的体积公式求解. 【详解】旋转形成的几何体的体积是球的体积减去两个圆锥的体积. 球的体积为：. 圆锥的体积为：. 所以所得几何体的体积为：. 故答案为： 13. 已知平行四边形，对角线，，，则边__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用余弦定理解三角形可得的长度. 【详解】如图： 取与的交点为，则为平行四边形的对角线与的中点. 在中，由. 所以. 在中，， 所以. 故答案为：2 14. 已知函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且当时，存在点M，N关于x轴对称的情况，则a的取值范围是__________. 【答案】（或） 【解析】 【分析】由题意可得在上有解，令，求导，求得值域即可. 【详解】函数关于的对称函数的解析式为， 若存在点M，N关于x轴对称，则在上有解， 即在上有解，即在上有解， 令，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，所以. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点. （1）证明：平面AOE； （2）证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取中点G，连接，GF，，先证明四边形为平行四边形，可得，从而得出，从而结论得证. （2）方法一：证明为等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一”即得证. 方法二：根据正方形的性质，利用线面垂直的判断和性质可得证 方法三：利用正方形的性质结合是的中点，通过计算证明即得证 【小问1详解】 取的中点G，连接，GF， 因为G，F分别为，的中点，所以∥，， 又因为∥，，所以∥，， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 又因为E为的中点，的中点为G，所以∥，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 又因为平面AOE，平面AOE，所以平面AOE. 【小问2详解】 （法一）连接EC， 因为为正方体，所以， 故为等腰三角形. 因为O为AC的中点， 所以 （法二）因为为正方体， 故侧棱平面ABCD. 因为平面ABCD， 所以， 因为四边形ABCD为正方形，所以， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. （法三）设正方体的棱长为1， ∵是的中点，∴， ∴， ∵四边形ABCD为正方形，∴， ∵， ∴， ∴. 16. 已知，，，. （1）分别求，，的值； （2）求的值. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的余弦公式展开解方程组即可求解； （2）利用同角的平方关系求得，利用商数关系可求，展开运算即可. 【小问1详解】 因为，① ，② 由②①，得，由①②，得，故. 【小问2详解】 因为，，所以， 因为，所以，故， 原式， . 17. 如图，一艘巡逻船从小岛A出发，沿北偏东的方向航行c海里后到达小岛B，然后从小岛B出发，继续沿某一方向航行a海里后到达小岛C.小岛A与小岛C相距b海里.三个小岛构成.其中A，B，C分别为三角形在顶点A，B，C处的内角. （1）若满足关系式：，求巡逻船从小岛A直接航行到小岛C时应采用的方向（以北偏东角度表示）； （2）巡逻船从小岛A向小岛C直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻船在M点抛锚.若从小岛B直接前往救援，需行驶2海里到达M点.若满足关系式：，求的最大值. 【答案】（1）北偏东 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可求得，可求，可得结论； （2）利用正余弦定理可得，根据，结合余弦定理可得，利用配方法与基本不等可求得的最大值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理， 得， 即，即， 因为，故，解得， 因为，故， 故巡逻船从小岛直接航行到小岛时应采用北偏东的方向航行. 【小问2详解】 依题意，，由正弦定理及余弦定理，有，解得， 又因为， 化简得，， 因为， 即，故，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 18. 已知圆为单位圆，正方形的边长为. （1）如图1，求正方形中不与圆重叠部分的面积T； （2）将圆A沿边所在的直线向上翻折（以为轴）.动点位于翻折后的两个不同的半圆上（如图2所示），动点F在边上，动点G在边上，且四边形始终为矩形，求四棱锥的最大体积V. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一先求出重叠面积，再利用正方形面积减重叠面积得到非重叠部分面积，法二先求出正方形面积和圆的面积，再求出重叠部分的面积，最后求重叠部分面积即可. （2）法一先合理翻折，进而求出的最大值，再把用三角函数表示出来，再结合换元法与二次函数性质求出的最大值，最后利用棱锥的体积公式求解棱锥体积的最大值，法二利用线面垂直的性质得到，再把用三角函数表示出来，再结合换元法与二次函数性质求出的最大值，最后利用棱锥的体积公式求解棱锥体积的最大值即可. 【小问1详解】 法一：因为正方形中的顶点A为圆A的圆心， 故正方形中与圆A重叠部分的面积为， 得到正方形中不与圆A重叠部分的面积. 法二：正方形的面积为， 而圆A的面积为，由，故重叠部分的面积为， 则正方形中不与圆A重叠部分的面积. 【小问2详解】 法一：记四棱锥的高为h，底面积为. 现要使四棱锥的体积V达到最大，则需要h与均达到最大值. 单位圆A沿边AD所在的直线向上翻折（以AD为轴）， 当翻折后的两个半圆所在的两个平面相互垂直， 且点P在点A的正上方，此时达到最大值，， 如图，连接，设， 因为四边形为矩形，所以， 则，， 因为，，所以，， 则， 因为，所以令， 因为，所以结合辅助角公式得， 得到，， 结合二次函数性质可得，当时，取到最大值， 此时，且或， 故四棱锥的最大体积. 法二：动点P，E位于翻折后的两个不同的半圆上， 要使四棱锥的体积取到最大值， 则点到平面的高h要取得最大值， 且同时四棱锥的底面积S取得最大值. 如图，连接，并使翻折后的两个半圆所在的两个平面相互垂直， 即平面平面，且令， 因为平面，平面平面， 所以平面，， 连接，设，， 故，， 故四棱锥的底面积为， 令，，则， 故，， 故，故. 则四棱锥的最大体积. 19. 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对（）看作一个向量，记作，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，（），我们定义复向量运算法则：①加法：；②减法：；③数乘：；④数量积：；⑤模：. （1）设，，求和； （2）验证复向量结合律：是否成立； （3）设，集合，，求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的，. 【答案】（1）， （2）成立 （3）2，证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入公式④⑤即可求解； （2）法一：设，，，根据所给定义，以及向量的代数运算及数量积运算法则，即可求解；法二：设，，，，，，代入运算即可求解； （3）设满足条件的设，，法一：利用配方法可求得最小值，法二：利用不等式求得的最小值，设，根据所给条件计算取得最小值，再计算证明即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， ， . 【小问2详解】 （法一）设，，，，，，，， ，， 故. 又因为， 故， 所以有成立，即复向量结合律成立. （法二）设，，，，，， 所以， 故，， 因为，， 所以，则复向量结合律成立. 【小问3详解】 由，，不妨设， 则， . （法一）所以， 当且仅当时，等号成立.即的最小值为2. （法二）因为， 所以， ， 当且仅当时，等号成立. 令，则， 当，即时，等号成立，即的最小值为2. 此时，，， ， ， . 命题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $