精品解析：宁夏六盘山高级中学2025-2026学年第二学期高一期末测试数学试卷

宁夏六盘山高级中学 2025－2026学年第二学期高一期末测试卷 试卷类型：A、B卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：李小刚 A卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以且，所以. 2. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以. 3. 下列条件可以唯一确定一个平面的是（ ） A. 空间中的三个点 B. 空间中的两条直线 C. 空间中垂直的两条直线 D. 空间中相交的两条直线 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，如果三点共线，则无法确定一个平面，故A错误； 对于B，如果两条直线为异面直线，则无法确定一个平面，故B错误； 对于C，如果两条直线是异面垂直，则无法确定一个平面，故C错误； 对于D，由平面的基本性质，两条相交直线可以确定唯一的一个平面，故D正确. 4. 已知随机事件，若，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【详解】因为，且， 所以. 5. 已知在正方体中，为的中点，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】连接，设正方体的棱长为2， 因为，所以是直线与直线的夹角. 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，, 所以直线与直线夹角的余弦值为. 6. 一批瓶装纯净水，每瓶标注的净含量是，现从中随机抽取10瓶，测得各瓶的净含量为（单位：）： 542 548 549 551 549 550 551 555 550 557 若用频率分布估计总体分布，则该批纯净水每瓶净含量在之间的概率估计为（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 【答案】D 【解析】 【分析】抽取10瓶水中净含量在之间的瓶数，借助于频率与频数的关系计算频率，用频率估计概率，即可求解. 【详解】从数据可知，在随机抽取的10瓶水中，净含量在之间的瓶数为7，频率为， 由频率分布估计总体分布，可知该批纯净水中，净含量在之间的概率为. 故选：D 7. 5张分别写有的卡片中不放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是偶数的概率为（ ） A. 0.7 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.2 【答案】A 【解析】 【详解】从5张卡片中任抽2张的样本空间，共个样本点， 抽到的2张卡片上的数字之积是偶数的事件，共个样本点， 所以抽到的2张卡片上的数字之积是偶数的概率为. 8. 已知三棱锥中，若平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，连接， 则平面. 因为平面，所以， 作，连接，又， 所以四边形是矩形，所以，又， 则，即. 设外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为. 因为，所以是正三角形， 由正弦定理得，可得， 所以， 则外接球的表面积为. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设2名全是男生，2名全是女生，恰有一名男生，至少有一名男生，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，故，，故A，C正确； 事件B与D是互斥事件，故，故B正确； 表示的是2名全是男生或2名全是女生， 表示2名全是女生或至少有一名男生，故，D错误. 10. 为了贯彻“双减”政策，实现德、智、体、美、劳全面发展的育人目标，某校制订了一套五育并举的量化评价标准，如图是该校甲，乙两个班在评比时的得分（各项满分10分，得分越高，成绩越好）折线图，则下列说法正确的（ ） A. 甲班五项评比得分的极差为1.7 B. 甲班五项评比得分的平均数小于乙班五项评比得分的平均数 C. 甲班五项评比得分的中位数大于乙班五项评比得分的中位数 D. 甲班五项评比得分的方差大于乙班五项评比得分的方差 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由极差的定义判断即可；对于B，计算甲班五项得分平均数，乙班五项得分平均数判断即可；对于C，利用中位数定义进行计算即可；对于D，利用方差公式进行计算即可. 【详解】对于A，甲班五项得分的极差为9.8-8.1=1.7，选项A正确； 对于B，计算甲班五项得分的平均数为， 乙班五项得分的平均数为 所以甲班五项得分的平均数等于乙班五项得分的平均数，选项B错误； 对于C，甲班五项得分的中位数是9.5， 乙班五项得分的中位数是9.2， 所以甲班五项得分的中位数大于乙班五项得分的中位数，选项C正确； 对于D，计算甲班五项得分的方差为， 乙班五项得分的方差为 所以甲班五项得分的方差大于乙班五项得分的方差，选项D正确. 故选：ACD. 11. 设是两条不同的直线，是平面，不在内，下列结论中正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，如图长方体中，过作平面交于直线，因为，则， 又，,则，所以，故A正确； 对于B，因为垂直于同一个平面的两直线互相平行，故B正确； 对于C，由上图长方体中，满足，但，故C错误； 对于D，如下图所示，满足，但，故D错误. 12. 如图，四边形为正方形，平面，，，记三棱锥的体积分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【详解】连接交于O，连接， 设，则， 由于平面，，则平面， 所以，， 因为平面，所以平面，所以， 又四边形为正方形，则， 又，平面，所以平面， 又，可得， 空间几何体的体积， 所以， 所以，，，，故AB错误，CD正确. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 如图，某四边形的直观图是上底为1，下底为2，高为的梯形，则原四边形的面积为________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用直观图画出原图形，确定其为直角梯形，且，，利用梯形面积公式进行求解. 【详解】过点作的垂线，垂足分别为， 因为是梯形，且，,， 所以， 因为，所以， 画出原图形如下： 由直观图和原图形知：，原来图形为直角梯形，且， 所以原来图形的面积. 故答案为:6. 14. 如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的体积为______． 【答案】 【解析】 【详解】作出圆台的示意图如图所示： 两个圆弧、所在圆的半径分别是3和9， 则，解得，同理求得， 又圆台母线长，所以圆台的高， 所以该圆台的体积为. 15. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对边的长，已知，，，则边AB的长是______． 【答案】8 【解析】 【分析】由得，由得，在中使用正弦定理求出AB. 【详解】因为，，所以，， 又因为，所以， 又因为，在中由正弦定理得. 故答案为：8. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，是正三角形，平面平面，且，则与平面所成角的正切值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，结合面面垂直性质定理证明平面，根据锥体体积公式求得，再由面面垂直性质定理证明平面，可得为与平面所成的角，求解即可. 【详解】取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 设，则，，又， 所以矩形的面积， 所以四棱锥的体积， 所以，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，所以， 由平面，所以为与平面所成的角， 在中，，， 所以， 所以与平面所成角的正切值为. 四、解答题：本题共2小题，每题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 某单位为了了解退休职工生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查，满分100分，并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下： 分数 77 79 81 84 88 92 93 人数 1 1 1 3 2 1 1 试回答以下问题： （1）求抽取的10名退休职工问卷得分的分位数： （2）求抽取的10名退休职工问卷得分的平均数和方差． 【答案】（1）86分 （2）85分，25 【解析】 【分析】（1）依题意可得职工问卷得分的分位数为第个与第个数据的平均数，从而计算可得； （2）根据平均数、方差公式计算可得. 【小问1详解】 ∵， ∴抽取的10名退休职工问卷得分的分位数为第个与第个数据的平均数， 即， 故抽取的10名退休职工问卷得分的分位数为86分. 【小问2详解】 抽取的10名退休职工问卷得分的平均数为分. 抽取的10名退休职工问卷得分的方差 18. 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它由矩形ABCD的边AB所在的直线为旋转轴旋转得到的，. （1） 求这个几何体的体积； （2） 这个几何体的表面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出矩形旋转一周所得圆柱的体积，根据几何体与圆柱体积比求其体积即可； （2）分别求出几何体外侧曲面、上下底面、两个矩形的面积，进而加总即可得结果. 【小问1详解】 由题设，若将矩形旋转一周所得圆柱的体积为， 其中为底面积，且，故， 因为几何体是矩形旋转得到，故几何体体积为. 【小问2详解】 由题设，则几何体外侧曲面的面积为， 上下底面的面积和为，矩形的面积和为， 综上，几何体的表面积为. B卷 五、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果，算甲赢，否则算乙赢． （1）求的概率； （2）这种游戏规则公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）这种游戏规则不公平，理由详见解析 【解析】 【分析】(1)列出摸球结果（a，b）全部可能的结果，再找出满足的结果，最后根据古典概型的概率计算公式可得； (2) 设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件，再分别计算和，就可判断. 【小问1详解】 摸球结果（a，b）全部可能的结果是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种， 其中的结果为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种，故由古典概型的概率计算公式可得； 【小问2详解】 这种游戏规则不公平，理由如下： 设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件， 由题意事件A包含的基本事件（1，5），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共15个， 由古典概型的概率计算公式可得，∴， ∵，故这种游戏规则不公平． 20. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是与的交点，平面是的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1）连接，在平行四边形中， 因为为与的交点， 所以为的中点， 又为的中点，所以. 因为平面平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形的中位线定理可得，利用线面平行的判定定理可得结论； （2）过作的垂线，垂足为，连接，可证平面，则为二面角的平面角，求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 过作的垂线，垂足为，连接， 因为平面，所以平面，所以， 又，又平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，所以是等边三角形，所以， 所以平行四边形是菱形，所以，， 所以，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 21. 随着城镇化的不断发展，老旧小区的改造及管理已经引起了某市政府的高度重视，为了了解本市甲、乙两个物业公司分别管理的A、B两区住户对其服务的满意程度，现从他们所服务的A、B两区中各随机选择了40个住户，根据住户对其服务的满意度评分，得到A区住户满意度评分的频率分布直方图（如图1）和B区住户满意度评分的频率分布表 B区住户满意度评分的频率分布表： 满意度评分分组 频率 0.10 0.15 0.25 0.30 0.20 （1）在图2中作出B区住户满意度评分的频率分布直方图； （2）计算A区住户满意度评分的平均值； （3）根据住户满意度评分，将满意度分为三个等级：满意度评分低于70分，评定为不满意；满意度评分在之间，评定为满意：满意度评分不低于90分，评定为非常满意，用频率估计概率，现从A、B两小区各选一人对各自小区物业满意度评分，两人评分相互独立，求甲公司满意度等级高于乙公司满意度等级的概率． 【答案】（1） （2）67.5 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出每组的频率除以组距的值（频率分布直方图中的高），作出频率分布直方图即可， （2）在频率分布直方图中，每组组中值与该组频率之积的和即为平均值的近似值； （3）利用独立事件同时发生的概率公式和互斥事件概率加法公式求解即可. 【小问1详解】 根据频率分布直方图中的高为每组的频率除以组距， 作出的B区住户满意度评分的频率分布直方图如图所示： 【小问2详解】 根据A区住户满意度评分的频率分布直方图中的数据得，平均值为 ； 【小问3详解】 用事件分别表示区人员对甲小区物业满意度评分为“不满意”，“满意”，“非常满意”， 用事件分别表示区人员对乙小区物业满意度评分为“不满意”，“满意”，“非常满意”， 则： 设事件表示甲满意度评定高于乙满意度评定 22. 如图，正三棱柱中，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为为正三角形，点为的中点，所以， 又因为，平面，所以平面； （2）在棱上存在点，使得平面； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，利用线面垂直的判定定理可证结论； （2）根据给定条件，证明平面平面，过点作交于点，利用面面垂直的性质可求得结论. （3）利用（2）的结论，把所求距离转化为点到平面的距离求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知平面，又平面， 所以平面平面， 在平面内过点作交于点， 又平面平面，所以平面， 于是点即为所要找的点，又，所以， 即有，于是，所以， 所以. 【小问3详解】 取的中点，连接，因为点为的中点， 则，， 于是为平行四边形，即，而平面， 平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离, 又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半， 而由（2）知，当时，平面，， 设，则， 所以点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏六盘山高级中学 2025－2026学年第二学期高一期末测试卷 试卷类型：A、B卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：李小刚 A卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 下列条件可以唯一确定一个平面的是（ ） A. 空间中的三个点 B. 空间中的两条直线 C. 空间中垂直的两条直线 D. 空间中相交的两条直线 4. 已知随机事件，若，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 5. 已知在正方体中，为的中点，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 一批瓶装纯净水，每瓶标注的净含量是，现从中随机抽取10瓶，测得各瓶的净含量为（单位：）： 542 548 549 551 549 550 551 555 550 557 若用频率分布估计总体分布，则该批纯净水每瓶净含量在之间的概率估计为（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 7. 5张分别写有的卡片中不放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是偶数的概率为（ ） A. 0.7 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.2 8. 已知三棱锥中，若平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设2名全是男生，2名全是女生，恰有一名男生，至少有一名男生，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 为了贯彻“双减”政策，实现德、智、体、美、劳全面发展的育人目标，某校制订了一套五育并举的量化评价标准，如图是该校甲，乙两个班在评比时的得分（各项满分10分，得分越高，成绩越好）折线图，则下列说法正确的（ ） A. 甲班五项评比得分的极差为1.7 B. 甲班五项评比得分的平均数小于乙班五项评比得分的平均数 C. 甲班五项评比得分的中位数大于乙班五项评比得分的中位数 D. 甲班五项评比得分的方差大于乙班五项评比得分的方差 11. 设是两条不同的直线，是平面，不在内，下列结论中正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 12. 如图，四边形为正方形，平面，，，记三棱锥的体积分别为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 如图，某四边形的直观图是上底为1，下底为2，高为的梯形，则原四边形的面积为________． 14. 如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的体积为______． 15. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对边的长，已知，，，则边AB的长是______． 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，是正三角形，平面平面，且，则与平面所成角的正切值为______． 四、解答题：本题共2小题，每题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 某单位为了了解退休职工生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查，满分100分，并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下： 分数 77 79 81 84 88 92 93 人数 1 1 1 3 2 1 1 试回答以下问题： （1）求抽取的10名退休职工问卷得分的分位数： （2）求抽取的10名退休职工问卷得分的平均数和方差． 18. 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它由矩形ABCD的边AB所在的直线为旋转轴旋转得到的，. （1） 求这个几何体的体积； （2） 这个几何体的表面积. B卷 五、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果，算甲赢，否则算乙赢． （1）求的概率； （2）这种游戏规则公平吗？请说明理由． 20. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是与的交点，平面是的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值． 21. 随着城镇化的不断发展，老旧小区的改造及管理已经引起了某市政府的高度重视，为了了解本市甲、乙两个物业公司分别管理的A、B两区住户对其服务的满意程度，现从他们所服务的A、B两区中各随机选择了40个住户，根据住户对其服务的满意度评分，得到A区住户满意度评分的频率分布直方图（如图1）和B区住户满意度评分的频率分布表 B区住户满意度评分的频率分布表： 满意度评分分组 频率 0.10 0.15 0.25 0.30 0.20 （1）在图2中作出B区住户满意度评分的频率分布直方图； （2）计算A区住户满意度评分的平均值； （3）根据住户满意度评分，将满意度分为三个等级：满意度评分低于70分，评定为不满意；满意度评分在之间，评定为满意：满意度评分不低于90分，评定为非常满意，用频率估计概率，现从A、B两小区各选一人对各自小区物业满意度评分，两人评分相互独立，求甲公司满意度等级高于乙公司满意度等级的概率． 22. 如图，正三棱柱中，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）求点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $