精品解析：宁夏六盘山高级中学2025-2026学年高一第二学期第二次月考测试数学试题

宁夏六盘山高级中学 2025-2026学年第二学期高一第二次月考测试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 复数（ ） A. B. 25 C. D. 5 2. 某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（　　） A. 40，32 B. 42，30 C. 44，28 D. 46，26 3. 已知一组数据为：26，28，32，38，38，40，48，则这组数据的80%分位数为（   ） A. 40 B. 38 C. 37 D. 35 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知中，AB=AC=3，，则（ ） A. 3 B. −3 C. D. 6 6. 进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（ ） A. B. C. D. 8. 连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生､政史地､物化地､物化政､生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ ） A. 该校高一学生总数为800 B. 该校高一学生中选考物化政组合的人数为96 C. 该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多 D. 用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取6人 10. 已知直线，平面，则下列说法错误的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 11. 在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为6”，则（ ） A. 事件与事件为互斥事件 B. C. 事件与事件相互独立 D. 12. 对非零向量，定义变换，得到一个新的向量，关于该变化，下列说法正确的是 （ ） A. B. 若，则 C. 设为线段的中点，则 D. 设为坐标原点，且点构成等腰三角形，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量．若，则______________． 14. 已知一场足球比赛中，队员甲进球的概率为0.4，队员乙进球的概率为0.3，这两名队员是否进球相互独立，则同一场比赛中他们两人至少有一人进球的概率为____________． 15. 在中，则________. 16. 在三棱锥中，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________. 四、解答题：本题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． （1）求圆柱的底面半径； （2）求三棱柱的体积． 18. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按，，，，，分成6组，并整理得到如图所示频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）该市决定表彰知识竞赛成绩排名前的市民，某市民知识竞赛的成绩是78，请估计该市民能否得到表彰. 五、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 正方体如图所示 （1）求证:平面. （2）平面平面. 20. 某商场做促销活动，顾客每购满100元可抽奖一次．在一个口袋内装有除颜色外其余完全相同的5个小球，其中3个红球、1个黑球、1个黄球．某顾客购满100元，可抽奖一次． （1）若从中依次不放回地取出2个球，取出的球中有黄球，则送一件价值10元的礼品，求这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率； （2）若从口袋中连续取两次球，每次取1个球后放回，当取出的2个球中没有红球时，送一件价值50元的礼品，问这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性会超过20%吗？ 21. 甲、乙两位同学独立地参加某高校的入学面试，入学面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对每道题目的概率依次为，，，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立. （1）求乙3道题都回答且通过面试的概率； （2）求甲没有通过面试的概率； （3）求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 22. 克罗狄斯托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号如图，半圆O的直径为4cm，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，且三角形为正三角形. （1）当时，求四边形的周长； （2）当多大时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值； （3）若与相交于点D，则当线段的长取最大值时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏六盘山高级中学 2025-2026学年第二学期高一第二次月考测试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 复数（ ） A. B. 25 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数的乘法化简求值. 【详解】. 故选：B 2. 某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（　　） A. 40，32 B. 42，30 C. 44，28 D. 46，26 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样原理求出抽取的人数． 【详解】根据分层抽样原理知，，， 所以抽取男生40人，女生32人． 故选：A. 3. 已知一组数据为：26，28，32，38，38，40，48，则这组数据的80%分位数为（   ） A. 40 B. 38 C. 37 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式求解即可. 【详解】由于，所以这组数据的80%分位数为第6个数40. 故选：A. 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解. 【详解】因为，由正弦定理可得，即， 又，所以. 故选：B 5. 已知中，AB=AC=3，，则（ ） A. 3 B. −3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】 如图，建立平面直角坐标系，然后可把此题的向量用坐标表示出来，从而可求出结果. 【详解】如图，以A点为坐标原点，方向分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(3，0)，C(0，3)，因为，所以D(2，1)，所以(2，1)·(3，0)=6， 故选：D. 【点睛】此题考查的是平面向量的运算，有直角时可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，属于基础题. 6. 进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】查出20个随机数中表示今后3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数的个数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有： 116 812 730 217 109 361 284 147 318 027共10个， 故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是， 故选：B 7. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，结合正方体的结构特征及平行公理推、情感教练的判定定理逐项分析判断. 【详解】对于A，如图，，四点共面，A不是； 对于B，如图，，四点共面，B不是； 对于C，如图，，四点共面，C不是； 对于D，如图，平面，平面，平面，直线， 则与是异面直线，D是. 故选：D 8. 连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得出，计算出基本事件的总数以及事件所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】，，即， 事件“”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个， 所有的基本事件数为，因此，事件“”的概率为. 故选：C. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是求出总的基本事件数和所求事件所包含的基本事件数，考查计算能力，属于中等题. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生､政史地､物化地､物化政､生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ ） A. 该校高一学生总数为800 B. 该校高一学生中选考物化政组合的人数为96 C. 该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多 D. 用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取6人 【答案】AC 【解析】 【分析】根据政史地的人数和占比即能得到A；先求物化生的人数为人，物化地和物化政组合的人数相等，就能得到物化政组合人数，即B；物理440，历史360，C对；利用分层抽样的特点就能得到D. 【详解】对于A，选科为政史地的人数为200人，占比为.该校高一学生共有人，A正确； 对于B：选科为物化生的人数为人，选科为物化政的人数为B错误； 对于C，选考历史的人数有人，选考物理的人数有人， 选考物理的人数比选考历史的人数多，C正确； 对于D，选科为生史地的学生人数占比为， 采用分层抽样抽取20人，生史地组合应抽取人，D错误. 故选：AC. 10. 已知直线，平面，则下列说法错误的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线面之间的基本关系判断A，根据面面平行的判定定理判断BCD. 【详解】选项A中，可能在内，也可能与平行，故A错误； 选项B中，与也可能相交，故B错误； 选项C中，与也可能相交，故C错误； 选项D中，依据面面平行的判定定理可知，故D正确． 故选：ABC． 11. 在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为6”，则（ ） A. 事件与事件为互斥事件 B. C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出从中依次不放回摸出两张卡牌样本空间，及求出事件、事件包含样本点可判断A；求出可判断B；检验是否相等可判断C；利用可判断D. 【详解】从中依次不放回摸出两张卡牌，样本空间为 共12个样本点. 对于A，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，样本点有， 事件“摸出的两张卡牌的编号之和为6”，样本点有， 所以事件与事件为互斥事件，，故A正确； 对于B，其中事件“摸出的两张卡牌的编号之和为6”，样本点有共2种， 所以，故B错误； 对于C，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”样本点有， ，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，包含的基本事件有 共4种，，包含的基本事件有， ，因为，所以事件与事件相互独立， 故C正确； 对于D，由C事件与事件相互独立，， ，， ，故D正确. 故选：ACD. 12. 对非零向量，定义变换，得到一个新的向量，关于该变化，下列说法正确的是 （ ） A. B. 若，则 C. 设为线段的中点，则 D. 设为坐标原点，且点构成等腰三角形，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据定义的变换代入计算即可，对B，可设，在代入定义变换运算法则即可判断；对C，先求点，然后得出，代入定义变换直接计算即可；对D，先计算，再得，再利用点构成等腰三角形，列出方程再解方程即可. 【详解】，，A正确； 若，不妨记，由A选项，，∴，B正确； 为线段的中点，，C错误； ，，， ，，， ∴构成等腰三角形，只可能，联立可解，D正确; 故选：ABD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量．若，则______________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由题意知：，解得. 故答案为：. 14. 已知一场足球比赛中，队员甲进球的概率为0.4，队员乙进球的概率为0.3，这两名队员是否进球相互独立，则同一场比赛中他们两人至少有一人进球的概率为____________． 【答案】0.58 【解析】 【分析】利用独立事件与对立事件的概率公式求解即可. 【详解】解：一场足球比赛中，队员甲进球的概率为0.4，队员乙进球的概率为0.3，这两名队员是否进球相互独立， 同一场比赛中他们两人至少有一人进球的对立事件是他们两人同时不进球， ∴同一场比赛中他们两人至少有一人进球的概率为：． 故答案为：0.58． 15. 在中，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】 根据，利用三角形面积公式和余弦定理整理得到，求得角C，然后再由利用余弦定理求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 又 由余弦定理得：， ， 解得， 故答案为：1 【点睛】本题主要考查余弦定理和三角形面积公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16. 在三棱锥中，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由三棱锥三条侧棱相等可知三棱锥的外接球球心在正三棱锥的高上且点在底面的射影即为的外心,可先由正弦定理求得外接圆半径，再由勾股定理求得外接球半径,即可求得球的表面积. 【详解】因为，所以点在平面上的射影为的外心， 如下图，又，所以的外接圆的半径， 从而三棱锥的高为. 设该三棱锥外接球的半径为，则，即，解得， 故球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． （1）求圆柱的底面半径； （2）求三棱柱的体积． 【答案】（1）2； （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用圆柱的体积公式列出方程求解. （2）由（1）的结论，求出圆的内接正三角形的边长，再利用柱体体积公式求解. 【小问1详解】 设圆柱的底面圆直径为，则该圆柱的高为，其体积，解得， 所以圆柱的底面半径为2. 【小问2详解】 由（1）知，正外接圆半径为2，则边长， 所以三棱柱的体积. 18. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按，，，，，分成6组，并整理得到如图所示频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）该市决定表彰知识竞赛成绩排名前的市民，某市民知识竞赛的成绩是78，请估计该市民能否得到表彰. 【答案】（1） （2） （3）估计该市民能得到表彰 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质列方程求即可. （2）根据平均数的计算公式，即可求得答案； （3）根据频率分布直方图计算样本的第70 百分位数，与78比较，即可得结论. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 所以， 【小问2详解】 （1）100份样本数据的平均值为． 【小问3详解】 成绩低于70分的频率为0.45，成绩低于80分的频率为0.77， 则被表彰的最低成绩为第70%分位数：， 因为， 所以估计该市民能得到表彰． 五、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 正方体如图所示 （1）求证:平面. （2）平面平面. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）先证明平行四边形得出线线平行，再结合线面平行判定定理证明； （2）先证明线面平行，再应用面面平行判定定理证明. 【小问1详解】 由题设得：，， ∴四边形为平行四边形. ∴. 又∵平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 ，， ∴四边形为平行四边形. ∴. 又∵平面，平面， ∴平面.平面. 又平面， ∴平面平面.． 20. 某商场做促销活动，顾客每购满100元可抽奖一次．在一个口袋内装有除颜色外其余完全相同的5个小球，其中3个红球、1个黑球、1个黄球．某顾客购满100元，可抽奖一次． （1）若从中依次不放回地取出2个球，取出的球中有黄球，则送一件价值10元的礼品，求这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率； （2）若从口袋中连续取两次球，每次取1个球后放回，当取出的2个球中没有红球时，送一件价值50元的礼品，问这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性会超过20%吗？ 【答案】（1） （2）不会超过20% 【解析】 【分析】（1）设3个红球的编号为1,2,3，黑球为，黄球为，写出一次性摸出2个球的所有可能，结合古典概型公式即可求解. （2）写出从袋中连续取两次球，每次取一球后放回，则所有包含的基本事件，结合古典概型概率公式，从而可求出取出的两个球中没有红球，即可判断. 【小问1详解】 3个红球的分别记为1，2，3，1个黑球记为a，1个黄球记为b． 从袋中依次不放回地取出2个球，所包含的样本点为（1，2），（1，3），（2，3），（1，a），（2，a），（3，a），（1，b），（2，b），（3，b），（a，b），（2，1），（3，1），（3，2），（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），共20个， 有黄球的样本点为（1，b），（2，b），（3，b），（a，b），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），共8个，所以这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率为． 【小问2详解】 从袋中连续取两次球，每次取1球后放回，所包含的样本点为（1，1），（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，1），（2，2），（2，3），（2，a），（2，b），（3，1），（3，2），（3，3），（3，a），（3，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，a），（a，b），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），（b，b），共25个， 取出的2个球中没有红球的样本点为（a，a），（a，b），（b，a），（b，b），共4个， 所以这位顾客能获得一件价值50元的礼品的概率为， 所以这位顾客获得一件价值50元的商品的可能性不会超过20%． 21. 甲、乙两位同学独立地参加某高校的入学面试，入学面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对每道题目的概率依次为，，，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立. （1）求乙3道题都回答且通过面试的概率； （2）求甲没有通过面试的概率； （3）求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件概率公式及独立事件公式公式计算即可； （2）利用对立事件概率公式及独立事件公式公式计算即得；. （3）利用互斥事件概率公式及独立事件概率公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得，乙3道题都回答且通过面试的概率为 . 【小问2详解】 设事件表示“甲最终通过面试”， 则， ∴甲没有通过面试的概率为， 【小问3详解】 设事件表示“乙最终通过面试”， 则， 设事件表示“甲、乙两人恰有一人通过面试”，则， ∵与为互斥事件，与，与相互独立， ∴ ， ∴甲、乙两人恰有一人通过面试的概率为. 22. 克罗狄斯托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号如图，半圆O的直径为4cm，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，且三角形为正三角形. （1）当时，求四边形的周长； （2）当多大时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值； （3）若与相交于点D，则当线段的长取最大值时，求的值. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）依题意由余弦定理求出的长，即可求得正三角形的边长，进一步可求得四边形的周长. （2）设，由余弦定理表示出，再表示出四边形的面积，由三角函数性质即可求解. （3）解法一：依题意求得的最大值及取最大值时的条件，再由余弦定理求得的长，即可求得，的大小，由角平分线性质求得，的长，进一步求得，即可求得的值； 解法二：依题意求得的最大值及取最大值时的条件，再由余弦定理求得的长，即可求得，的大小，由角平分线性质求得，的长，由平分得，利用向量运算得，从而利用数量积的运算律求解即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得 ， 所以. 所以四边形的周长为. 【小问2详解】 设，在中，由余弦定理得， 四边形的面积为 ， 当即时，四边形的面积取到最大值为. 【小问3详解】 解法一：由题意，且为正三角形， ，，，即的最大值为6，取等号时，，则. 不妨设，则，得，即，故， 在中，由余弦定理得，故为的角平分线， 由角平分线性质可得，，故，. 下证角平分线性质： 已知中，是的角平分线，交于，求证：. 证明：在中， ，在中，， 因为是的角平分线，所以， 又，所以. 由，A，C，B四点共圆，由相交弦定理，得，或（舍去）. 在中，， 所以. 解法二：由题意，且为正三角形， ，，，即的最大值为6，取等号时，，则. 不妨设，则，得，即，故， 在中，由余弦定理得，故为的角平分线， 由角平分线性质可得，，故，. 由A，O，B，C四点共圆知，平分， 所以，故. 于是 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $