2026-2027学年北师大版九年级数学上册预习手册18《第5章二次函数第2节二次函数的图像（一）y=ax²的图像和性质》预习讲义

本讲义聚焦二次函数y=ax²的图像和性质核心知识点，承接一次函数图像基础，通过描点法（列表对称取值、描点、连线）绘制图像，系统梳理抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性、最值等性质，为后续复杂二次函数学习搭建阶梯式支架。 该资料以数形结合为特色，通过对比y=x²与y=-x²图像培养几何直观（数学眼光），结合地方期末真题例题训练推理意识（数学思维），分层练习含实际问题（如正方形面积、涵洞问题）培养模型意识（数学语言）。课中辅助教师清晰授课，课后助力学生查漏补缺。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册18 《第5章二次函数第2节二次函数的图像（一）y=ax²的图像和性质》预习讲义 一．学习目标 ( 1.会用描点法画出二次函数y=ax 2 的图象，认识抛物线；掌握y= ax 2 的图像形状、开口方向、对称轴、顶点坐标。 2.通过列表、描点、画图，经历图像绘制全过程，能观察图像总结函数增减性、最值；初步建立数形结合思想。 3.能对比表格数据和图像，理解自变量x和函数值y的变化规律，能利用性质解决简单判断问题。 ) 二．重点难点 ( 1. 重点：画出 ax 2 的抛物线图像；掌握y= ax 2 的图像性质（对称轴、顶点、增减性、最值）。 2. 难点：理解抛物线的对称性；区分在对称轴左右两侧，y随x的增减变化规律；数形结合思想的运用。 ) 三．知识梳理 （一）用描点法画二次函数y=ax2的图像 画出函数y＝x2的图像． （1）列表列（自变量要均匀和对称！） x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=x² ... 9 4 1 0 1 4 9 ... （2）描点 （3）连线 画出y＝－x2图像 （1）列表列（自变量要均匀和对称！） x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=x² ... -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ... （2）描点 （3）连线 二次函数的图像叫做抛物线。（配图文字说明：抛物线开口向上，曲线平滑，向两侧无限延伸） 【归纳】画二次函数y=ax2的图像的步骤 步骤1：列表（取值） 原则：（1）x以0为中心，左右取互为相反数的数值； （2）一般取：x=-3;-2;-1;0;1;2;3； （3）代入解析式，算出对应的y值。 步骤2：描点 在平面直角坐标系里，标出表格内每一组(x,y)的对应点。 步骤3：连线 用平滑的曲线，从左到右把点依次连接，两端要向外延伸，不要画成折线。 【快速记忆口诀】 取值对称列表格， 坐标描点别忘掉； 平滑曲线连各点，开口宽窄看系数。 （二）观察y=ax2的抛物线，归纳性质 观察函数y＝x2图像，说出图像特征． 观察函数y＝-x2图像，说出图像特征． 【归纳】y=ax²的图像和性质 的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质 向上 轴 当x<0时,随的增大而减少， 当时,随的增大而增大; 向下 轴 当x<0时，随的增大而增大， 当时,随的增大而减少. 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线来说，越大，抛物线的开口越小 四．经典例题 例1.（2025-2026贵阳市云岩区九年级期末）抛物线y=-3x2的开口方向为（ ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【答案】：B 【解析】：对于y=ax2(a≠0)，a<0，抛物线开口向下；本题a=-3<0，开口向下。 例2.（2026年贵阳花溪区一模）在抛物线y=2x2上，顶点坐标是（） A．(2,0) B．(0,2) C．(0,0) D．(1,2) 【答案】：C 【解析】：y=ax2的顶点固定为坐标原点(0,0)，对称轴为y轴（直线x=0）。 例3.（2024-2025南明区期末）已知抛物线y=x2，当x>0时，y随x的增大变化规律是（ ） A．增大 B．减小 C．不变 D．先增大后减小 【答案】：A 【解析】：a=>0，开口向上；对称轴（x=0）右侧，即x>0时，y随x增大而增大。 例4．已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵由图像可知，开口向上，并且开口小于的开口，∴∵由图像可知，开口向下，并且开口小于的开口，∴又∴∴，故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意；故选：C． 例5.（2025-2026清镇市期末·第11题）若点(-2,m)在抛物线y=-x2上，则m=_____. 【答案】-4。 【解析】：将x=-2代入解析式，m=-(-2)2=-4。 例6.（2026年贵阳三模）对于抛物线y=-5x2，当x=_______时，y取得最大值。 【答案】0 【解析】：a=-5<0，抛物线开口向下，顶点(0,0)为最高点，x=0时，y最大=0。 例7.（2024-2025花溪区期末·第12题）已知抛物线y=ax2经过点(1,9)，则a=____。 【答案】9 【解析】：把(1,9)代入y=ax2，9=a×12，解得a=9。 例8．已知二次函数y＝x2的图象如图所示，线段AB∥x轴，交抛物线于A，B两点，且点A的横坐标为2，则△AOB的面积为________． 【答案】 【解析】由抛物线的对称性可知AB＝4，令x＝2，则y＝×22＝，所以S△AOB＝×4×＝. 例9.（2025-2026观山湖区期末）已知抛物线y=ax2经过点A(-3,18)。 (1)求抛物线解析式； (2)判断点B(2,8)是否在这条抛物线上。 解：(1)将A(-3,18)代入y=ax2，18=a×(-3)2，9a=18，解得a=2；解析式为y=2x2。 (2)当x=2时，y=2×22=8，与B点纵坐标相等，∴点B(2,8)在抛物线上。 例10．已知一个正方形的周长为C cm，面积为S cm2. (1)求S与C之间的函数表达式； (2)画出所求函数的图象； (3)求当S＝4时该正方形的周长． 解：(1)S＝C2. （2）如图所示 (3)当S＝4时，由S＝C2，得4＝C2，解得C＝8或C＝－8(不合题意，舍去)，∴C＝8， ∴该正方形的周长为8 cm. 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025-2026乌当区期末）下列抛物线中，开口向下的是（ ） A.y=4x2 B.y=x2 C.y=-2x2 D.y=0.2x2 【答案】：C 【解析】：只有C选项a=-2<0，抛物线开口向下，其余选项a>0，开口向上。 2.（2026年修文县一模）抛物线y=5x2的最小值是（ ） A．5 B．1 C．0 D．不存在 【答案】：C 【解析】：a=5>0，开口向上，顶点(0,0)为最低点，最小值为0。 3.（2024-2025开阳县期末·第7题）在抛物线y=-x2上，若x1<x2<0，则y1,y2大小关系为（ ） A．y1>y2 B．y1<y2 C．y1=y2 D．无法比较 【答案】：B 【解析】：a=-1<0，x<0时，y随x增大而增大；x1<x2<0， y1<y2。 4.（2026清镇市二模·第8题）抛物线y=ax2与抛物线y=7x2开口大小完全相同、开口方向相反，则a的值为（ ） A．7 B. C．-7 D．- 【答案】：C 【解析】：开口大小相同，则|a|=7；开口方向相反，a=-7。 5．若点都在二次函数图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，，∴对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，∵，∴．故选：A． 6．关于抛物线，下列说法正确的有（   ） ①与抛物线顶点相同，开口方向相反；②当时，随的增大而减小；③当时，；④若，是该抛物线上两点，则． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴是y轴，∴①与抛物线顶点相同，开口方向相反，说法正确；②当时，随的增大而减小，说法正确； ③当时，，原说法错误；④若，是该抛物线上两点，即两点关于y轴对称，则，说法正确；说法正确的为：①②④，故选：C． 7．已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】∴该函数图象开口向上，对称轴是直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大∴当时，；当时，∴当时，自变量的取值范围是或故答案选C 8．如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当抛物线经过（1，3）时，a=3，当抛物线经过（3，1）时，a=，观察图象可知≤a≤3，故选：A． （二）填空题 9.（2025-2026云岩区期末）抛物线y=-6x2的对称轴是直线______. 【答案】x=0。 【解析】：y=ax2的对称轴固定为y轴，即直线x=0。 10.（2024-2025南明区期末）抛物线y=ax2经过(3,27)，则a=_____。 【答案】3 【解析】：代入(3,27)，27=a×32，9a=27，a=3。 11.（2026观山湖区一模）若抛物线y=(m‑1)x2开口向上，则m取值范围______. 【答案】m>1。 【解析】：开口向上则a=m-1>0，解得m>1。 12.（2026修文县二模）点A(m,16)在抛物线y=4x2上，则m=______。 【答案】±2. 【解析】：16=4m2，m2=4，解得m=±2。 13．二次函数的图象经过原点，则的值为 ． 【答案】-2 【解析】已知二次函数 y=(k-2)x2+k2-4 经过原点 (0,0)，把 x=0,y=0 代入解析式： 0=(k-2)×02+k2-4，k2-4=0，k=±2，又因为是二次函数，二次项系数不能为0：k-2≠0 k≠2， 所以 k=-2。 14．如图，正方形的顶点B在抛物线的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线的长为 ． 【答案】 【解析】设点B的横坐标为m（m>0，第一象限），则纵坐标为2m。B(m,2m)在抛物线y=2x2上，代入：2m=2m2，2m2-2m=0，解得m=1（m=0舍去），所以B(1,2)。正方形的对角线OB和AC相等（正方形对角线相等），由两点间距离公式求OB：= 15．若抛物线y＝(2m－1)x2的开口向下，则m的取值范围是_______. 【答案】m< 【解析】∵抛物线的开口向下，∴2m－1<0，∴m<. 18．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数表达式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为_______. 【答案】20 m 【解析】根据题意知点B的纵坐标为－4.把y＝－4代入y＝－x2，得x＝±10，∴A(－10，－4)，B(10，－4)，∴AB＝20.即水面宽度AB为20 m。 （三）解答题 17．（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 解：（1）二次函数和的图象如图所示： （2）二次函数和的图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是轴，顶点坐标都是；二次函数和的图象的不同点是：图象开口向上，图象开口向下（答案不唯一，合理即可）； 18.根据条件，求下列各题中m的取值或取值范围． (1)二次函数y＝(m－1)x2有最小值； (2)y＝(m＋1)x2与y＝2x2的函数图象形状相同； (3)函数y＝mxm2＋m的图象是开口向下的抛物线． 解：(1)∵二次函数y＝(m－1)x2有最小值，∴m－1＞0，∴m＞1； (2)∵y＝(m＋1)x2与y＝2x2的函数图象形状相同，∴|m＋1|＝2，∴m＝1或－3； (3)∵函数y＝mxm2＋m的图象是开口向下的抛物线，∴m2＋m＝2且m＜0，∴m＝－2. 19．如图，A点是抛物线y=ax2上第一象限内的点，A点坐标为（3，6），AB⊥y轴与抛物线y=ax2的另一交点为B点． （1）求a的值和B点坐标； （2）在x轴上有一点C，C点坐标为（5，0），请求出△AOC的面积． 解：（1）把A点（3，6）代入抛物线y=ax2，解得a=，则B点坐标为（﹣3，6）； （2）S△AOC=OC•yA=×5×6=15． 20．已知二次函数y=ax2（a≠0）与一次函数y=kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积． 解：∵一次函数y=kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1=﹣k﹣2，解得k=﹣1，∴一次函数表达式为y=﹣x﹣2，∴令x=0，得y=﹣2，∴G（0，﹣2），∵y=ax2过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1=a×1，解得a=﹣1，∴二次函数表达式为y=﹣x2，由一次函数与二次函数联立可得，解得，，∴S△OAB=OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标=×2×1+×2×2=1+2=3． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025-2026观山湖区期末）下列关于y=-7x2的说法，正确的是（ ） A．开口向上 B．对称轴为直线x=7 C．顶点为(0,0) D．当x>0时，y随x增大而增大 【答案】：C 【解析】：a=-7<0，开口向下；对称轴x=0；顶点(0,0)；x>0时，y随x增大而减小，只有C正确。 2.（2026清镇市一模）抛物线y=ax2，|a|越小，则抛物线（ ） A．开口越窄 B．开口越宽 C．开口方向改变 D．顶点改变 【答案】：B 【解析】：|a|决定开口宽窄，|a|越小，开口越宽；a符号决定开口方向，顶点始终为原点。 3.（2026乌当区二模）若抛物线y=(2‑k)x2开口向下，则k的取值范围（ ） A.k<2 B.k>2 C.k≤2 D.k≥2 【答案】：B 【解析】：开口向下，2-k<0，解得k>2。 4.（2025-2026云岩区期末）当x≥0时，y随x增大而减小的抛物线是（ ） A.y=5x B.y=x2 C.y=-3x2 D.y=0.4x2 【答案】：C 【解析】：a=-3<0，在x≥0（对称轴右侧），y随x增大而减小。 5.（2026修文县三模）抛物线y=ax2经过(1,-5)，则该抛物线为（ ） A.y=5x2 B.y=-5x2 C.y=x2 D.y=-x2 【答案】：B 【解析】：代入(1,-5)，-5=a×12，a=-5，解析式y=-5x2。 6.（2024-2025南明区期末）已知抛物线y=2x2，当-3≤x≤1，则y的最小值是（ ） A．0 B．2 C．18 D．8 【答案】：A 【解析】：a>0，顶点(0,0)为最低点，x=0在-3≤x≤1范围内，最小值为0。 7.（2026贵州中考模拟）现有抛物线①y=0.3x^2；②y=2x^2；③y=-0.5x^2，开口从宽到窄排序正确的是（ ） A．①③② B．③①② C．①②③ D．②③① 【答案】：A 【解析】：|0.3|<|-0.5|<|2|；|a|越小开口越宽，顺序①③②。 8．点在函数的图象上，已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵二次函数的图象开口向上，，∴点比点离对称轴远，∴当点在对称轴左侧时，；当点在对称轴右侧时，，∴． 故选：C． 9．已知点均在抛物线上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴抛物线开口向下，∵抛物线的对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而增大，∵点均在抛物线上，且，∴． 故选：B 10．如图，坐标平面内，点是抛物线上异于点的任一点，与抛物线的交点记为，现请你考查这一比值，它是否会随着点的位置改变而发生改变？若改变，说明比值变化的规律；若不变，请说出该比值大小．下列对上述问题的回答正确的是（ ） A．改变；该比值会随x的增大而增大 B．改变；该比值会随的增大而减小 C．不变；比值大小为2 D．不变；比值大小为 【答案】C 【解析】设，直线的解析式为：，代入抛物线，， 或，，是的中点，，即比值不变，恒为故选：C （二）填空题 11.（2026观山湖区二模）抛物线y=-8x2，当x=_______时，y取得最大值0。 【答案】0 【解析】：a=-8<0，顶点(0,0)为最高点，x=0时，y最大=0。 12.（2024-2025清镇市期末·第15题）点(t,25)在抛物线y=x2上，则t=_____. 【答案】±5。 【解析】：25=t2，解得t=±5。 13.（2026开阳县一模）抛物线y=ax2，在x<0时，y随x增大而减小，则a_____. 【答案】>0。 【解析】：x<0（对称轴左侧）y随x增大而减小，抛物线开口向上，a>0。 14.（2026云岩区三模·第21题）若抛物线y=(a‑3)x^2，开口宽窄和y=4x^2相同，且开口向上，则a=_____. 【答案】7。 【解析】：开口宽窄相同，|a-3|=4；开口向上a-3>0，a-3=4，a=7。 15．若二次函数的图象开口向上，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵二次函数的图象开口向上，∴，故答案为：． 16．若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【解析】解抛物线与形状相同，开口方向相反则， ∴的解析式为故答案为： 17．如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 【答案】4 【解析】过点作轴于点，如图，设，∵四边形是正方形，且点在轴上，∴，∴,∴，∴， 解得：（舍去）或，∴，∴,∴， ∴．故答案为：4． 18．如图垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2(x≥0)和抛物线C2：y＝(x≥0)交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则 ＝________． 【答案】 【解析】设点A，B的横坐标为a，则点A的纵坐标为a2，点B的纵坐标为.∵BE∥x轴，∴点F的纵坐标为.∵F是抛物线y＝x2(x≥0)上的点，∴点F的横坐标为x＝＝a.∵CD∥x轴，∴点D的纵坐标为a2.∵D是抛物线y＝(x≥0)上的点，∴点D的横坐标为x＝＝2a，∴AD＝a，BF＝a，CE＝a2，OE＝a2，∴＝＝×＝. 19．如图，在平面直角坐标系中，有四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形ABCD.若抛物线y＝ax2与正方形ABCD有公共点，则该抛物线的二次项系数a的取值范围为______． 【答案】≤a≤2 【解析】由题意，得点A(1，2)，C(2，1)．把x＝1，y＝2代入y＝ax2，得a＝2；把x＝2，y＝1代入y＝ax2，得a＝，∴a的取值范围是≤a≤2. 20．如图，平行于x轴的直线AC分别交二次函数y1＝x2(x≥0)与y2＝(x≥0)的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则＝_________． 【答案】3－ 【解析】　设点A(0，m)(m>0)．由x2＝m，得x＝，∴点B(，m)．由＝m，得x＝，∴点C(，m)．∵CD∥y轴，∴点D的横坐标为，∴y1＝()2＝3m，∴点D(，3m)．∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3m，∴＝3m，∴x＝3，∴点E(3，3m)．∴DE＝3－.∵AB＝，∴＝＝3－. （三）解答题 21．已知一个正方形的周长为C cm，面积为S cm2. (1)求S与C之间的函数表达式； (2)画出所求函数的图象； (3)求当S＝4时该正方形的周长． 解：(1)S＝C2. （2）如图所示． (3)当S＝4时，由S＝C2，得4＝C2，解得C＝8或C＝－8(不合题意，舍去)，∴C＝8， ∴该正方形的周长为8 cm. 22．某涵洞是抛物线形，它的横断面如图所示．现测得水面宽AB＝1.6 m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m. (1)在图中直角坐标系内，求涵洞所在抛物线的函数表达式； (2)有一艘宽为1 m，高为1 m的小舟，问该小舟能否通过这个涵洞？请通过计算说明理由． 解：(1)∵抛物线的顶点为原点，∴可设抛物线的函数表达式为y＝ax2.∵水面宽AB＝1.6 m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m，∴A(－0.8，－2.4)，B(0.8，－2.4)．将点A或点B的坐标代入函数表达式，得－2.4＝0.82a，解得a＝－，∴抛物线的函数表达式为y＝－x2. (2)当x＝0.5时，y＝－.∵2.4－＝(m)＞1 m，∴该小舟能通过这个涵洞． 23．如图，在正方形中，已知：点A，点B在抛物线上，点C，点D在x轴上． (1)求点A的坐标； (2)连接交抛物线于点P，求点P的坐标． 解：（1）由题意可设，则，∵点A在抛物线上，∴， ∴或（舍去），∴； （2）设直线的解析式，∵，，∴，解得， ∴直线为，由解得或，∴P点的坐标为． 24.如图所示，已知直线 l 过 A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数 y＝ax2 的图象在第一象限内相交于点 P.若△AOP 的面积为，求 a 的值. 解：设点 P（m，n），直线 l 的函数表达式为 y＝kx＋b. 将 A（4，0），B（0，4）分别代入 y＝kx＋b，得，解得∴直线 l 的函数表达式为 y＝－x＋4.∵△AOP 的面积为×4×n，∴n＝把 P（m, ）代入 y＝－x＋4，得 m＝∴P(,)把P(,)代入 y＝ax 2，得a＝ 25.已知二次函数 y=ax2图象上有两点 A,B，它们的横坐标分别为-2,1.若△ABO 为直角三角形，求 a 的值. 解：∵二次函数 y=ax2图象上有两点 A,B，它们的横坐标分别为-2,1，∴点 A（-2，4a），B（1，a）.∵△ABO 为直角三角形，易知 AO>BO,∴Rt△ABO 的斜边可能为 AB 或 AO.①若 AB 是斜边，则 AB2=AO2+BO2，即（-2-1）2+（4a-a）2=(-2)2+（4a）2+12+a2，解得 a=±②若 AO 是斜边，则 AO2=AB2+BO2，即(-2)2+（4a）2=（-2-1）2+（4a-a）2+12+a2， 解得 a=±1.综上所述，a 的值为±或±1. 26.综合探究如图在平面直角坐标系中，A是抛物线y＝x2上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B的坐标为(0，2)，直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD.设线段AE的长为m，△BDE的面积为S. (1)当m＝时，求S的值． (2)求S关于m(m≠2)的函数表达式． (3)①若S＝时，求的值； ②当m＞2时，设＝k，猜想k与m的数量关系并证明． 解：(1)∵点A在抛物线y＝x2上，AE⊥y轴且AE＝m，∴A（m，m2）.当m＝时，A(，1)．又B(0，2)，∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋2，∴C(2，0)，∴OC＝2. ∵点D与点C关于y轴对称，∴OD＝OC＝2，∴S＝BE·OD＝. (2)(Ⅰ)当0<m<2时(如图①)，同(1)得过点A（m，m2），B(0，2)的直线的函数表达式为y＝x＋2，∴OC＝＝OD，∴S＝BE·OD＝（2-m2）·＝m；(Ⅱ)当m>2时(如图②)，同(Ⅰ)得S＝BE·OD＝（m2-2）·＝m.由(Ⅰ)(Ⅱ)得S＝m(m>0，m≠2)． (3)①连结AD，如图③.∵S＝＝m，∴A（，）. 设＝＝＝k，∴S△ADF＝kS△BDF，S△AEF＝kS△BEF，∴＝＝＝k， ∴＝k＝＝＝.②k与m之间的数量关系为k＝m2.证明：连结AD，如图④.∵＝＝＝k， ∴S△ADF＝kS△BDF，S△AEF＝kS△BEF，∴＝＝＝k， ∴k＝＝＝m2. 　　　 　　　 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册18 《第5章二次函数第2节二次函数的图像（一）y=ax²的图像和性质》预习讲义 一．学习目标 ( 1.会用描点法画出二次函数y=ax 2 的图象，认识抛物线；掌握y= ax 2 的图像形状、开口方向、对称轴、顶点坐标。 2.通过列表、描点、画图，经历图像绘制全过程，能观察图像总结函数增减性、最值；初步建立数形结合思想。 3.能对比表格数据和图像，理解自变量x和函数值y的变化规律，能利用性质解决简单判断问题。 ) 二．重点难点 ( 1. 重点：画出 ax 2 的抛物线图像；掌握y= ax 2 的图像性质（对称轴、顶点、增减性、最值）。 2. 难点：理解抛物线的对称性；区分在对称轴左右两侧，y随x的增减变化规律；数形结合思想的运用。 ) 三．知识梳理 （一）用描点法画二次函数y=ax2的图像 画出函数y＝x2的图像． （1）列表列（自变量要均匀和对称！） x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=x² ... 9 4 1 0 1 4 9 ... （2）描点 （3）连线 画出y＝－x2图像 （1）列表列（自变量要均匀和对称！） x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=x² ... -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ... （2）描点 （3）连线 二次函数的图像叫做抛物线。（配图文字说明：抛物线开口向上，曲线平滑，向两侧无限延伸） 【归纳】画二次函数y=ax2的图像的步骤 步骤1：列表（取值） 原则：（1）x以0为中心，左右取互为相反数的数值； （2）一般取：x=-3;-2;-1;0;1;2;3； （3）代入解析式，算出对应的y值。 步骤2：描点 在平面直角坐标系里，标出表格内每一组(x,y)的对应点。 步骤3：连线 用平滑的曲线，从左到右把点依次连接，两端要向外延伸，不要画成折线。 【快速记忆口诀】 取值对称列表格， 坐标描点别忘掉； 平滑曲线连各点，开口宽窄看系数。 （二）观察y=ax2的抛物线，归纳性质 观察函数y＝x2图像，说出图像特征． 观察函数y＝-x2图像，说出图像特征． 【归纳】y=ax²的图像和性质 的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质 向上 轴 当x<0时,随的增大而减少， 当时,随的增大而增大; 向下 轴 当x<0时，随的增大而增大， 当时,随的增大而减少. 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线来说，越大，抛物线的开口越小 四．经典例题 例1.（2025-2026贵阳市云岩区九年级期末）抛物线y=-3x2的开口方向为（ ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 例2.（2026年贵阳花溪区一模）在抛物线y=2x2上，顶点坐标是（ ） A．(2,0) B．(0,2) C．(0,0) D．(1,2) 例3.（2024-2025南明区期末）已知抛物线y=x2，当x>0时，y随x的增大变化规律是（ ） A．增大 B．减小 C．不变 D．先增大后减小 例4．已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 例5.（2025-2026清镇市期末·第11题）若点(-2,m)在抛物线y=-x2上，则m=_____. 例6.（2026年贵阳三模）对于抛物线y=-5x2，当x=_______时，y取得最大值。 例7.（2024-2025花溪区期末·第12题）已知抛物线y=ax2经过点(1,9)，则a=____。 例8．已知二次函数y＝x2的图象如图所示，线段AB∥x轴，交抛物线于A，B两点，且点A的横坐标为2，则△AOB的面积为________． 例9.（2025-2026观山湖区期末）已知抛物线y=ax2经过点A(-3,18)。 (1)求抛物线解析式； (2)判断点B(2,8)是否在这条抛物线上。 例10．已知一个正方形的周长为C cm，面积为S cm2. (1)求S与C之间的函数表达式； (2)画出所求函数的图象； (3)求当S＝4时该正方形的周长． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025-2026乌当区期末）下列抛物线中，开口向下的是（ ） A.y=4x2 B.y=x2 C.y=-2x2 D.y=0.2x2 2.（2026年修文县一模）抛物线y=5x2的最小值是（ ） A．5 B．1 C．0 D．不存在 3.（2024-2025开阳县期末·第7题）在抛物线y=-x2上，若x1<x2<0，则y1,y2大小关系为（ ） A．y1>y2 B．y1<y2 C．y1=y2 D．无法比较 4.（2026清镇市二模·第8题）抛物线y=ax2与抛物线y=7x2开口大小完全相同、开口方向相反，则a的值为（ ） A．7 B. C．-7 D．- 5．若点都在二次函数图象上，则（   ） A． B． C． D． 6．关于抛物线，下列说法正确的有（   ） ①与抛物线顶点相同，开口方向相反；②当时，随的增大而减小；③当时，；④若，是该抛物线上两点，则． A．个 B．个 C．个 D．个 7．已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 8．如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． （二）填空题 9.（2025-2026云岩区期末）抛物线y=-6x2的对称轴是直线______. 10.（2024-2025南明区期末）抛物线y=ax2经过(3,27)，则a=_____。 11.（2026观山湖区一模）若抛物线y=(m‑1)x2开口向上，则m取值范围______. 12.（2026修文县二模）点A(m,16)在抛物线y=4x2上，则m=______。 13．二次函数的图象经过原点，则的值为 ． 14．如图，正方形的顶点B在抛物线的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线的长为 ． 15．若抛物线y＝(2m－1)x2的开口向下，则m的取值范围是_______. 18．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数表达式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为_______. （三）解答题 17．（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 18.根据条件，求下列各题中m的取值或取值范围． (1)二次函数y＝(m－1)x2有最小值； (2)y＝(m＋1)x2与y＝2x2的函数图象形状相同； (3)函数y＝mxm2＋m的图象是开口向下的抛物线． 19．如图，A点是抛物线y=ax2上第一象限内的点，A点坐标为（3，6），AB⊥y轴与抛物线y=ax2的另一交点为B点． （1）求a的值和B点坐标； （2）在x轴上有一点C，C点坐标为（5，0），请求出△AOC的面积． 20．已知二次函数y=ax2（a≠0）与一次函数y=kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025-2026观山湖区期末）下列关于y=-7x2的说法，正确的是（ ） A．开口向上 B．对称轴为直线x=7 C．顶点为(0,0) D．当x>0时，y随x增大而增大 2.（2026清镇市一模）抛物线y=ax2，|a|越小，则抛物线（ ） A．开口越窄 B．开口越宽 C．开口方向改变 D．顶点改变 3.（2026乌当区二模）若抛物线y=(2‑k)x2开口向下，则k的取值范围（ ） A.k<2 B.k>2 C.k≤2 D.k≥2 4.（2025-2026云岩区期末）当x≥0时，y随x增大而减小的抛物线是（ ） A.y=5x B.y=x2 C.y=-3x2 D.y=0.4x2 5.（2026修文县三模）抛物线y=ax2经过(1,-5)，则该抛物线为（ ） A.y=5x2 B.y=-5x2 C.y=x2 D.y=-x2 6.（2024-2025南明区期末）已知抛物线y=2x2，当-3≤x≤1，则y的最小值是（ ） A．0 B．2 C．18 D．8 7.（2026贵州中考模拟）现有抛物线①y=0.3x^2；②y=2x^2；③y=-0.5x^2，开口从宽到窄排序正确的是（ ） A．①③② B．③①② C．①②③ D．②③① 8．点在函数的图象上，已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知点均在抛物线上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．如图，坐标平面内，点是抛物线上异于点的任一点，与抛物线的交点记为，现请你考查这一比值，它是否会随着点的位置改变而发生改变？若改变，说明比值变化的规律；若不变，请说出该比值大小．下列对上述问题的回答正确的是（ ） A．改变；该比值会随x的增大而增大 B．改变；该比值会随的增大而减小 C．不变；比值大小为2 D．不变；比值大小为 （二）填空题 11.（2026观山湖区二模）抛物线y=-8x2，当x=_______时，y取得最大值0。 12.（2024-2025清镇市期末·第15题）点(t,25)在抛物线y=x2上，则t=_____. 13.（2026开阳县一模）抛物线y=ax2，在x<0时，y随x增大而减小，则a_____. 14.（2026云岩区三模·第21题）若抛物线y=(a‑3)x^2，开口宽窄和y=4x^2相同，且开口向上，则a=_____. 15．若二次函数的图象开口向上，则a的取值范围是 ． 16．若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ． 17．如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 18．如图垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2(x≥0)和抛物线C2：y＝(x≥0)交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则 ＝________． 19．如图，在平面直角坐标系中，有四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形ABCD.若抛物线y＝ax2与正方形ABCD有公共点，则该抛物线的二次项系数a的取值范围为______． 20．如图，平行于x轴的直线AC分别交二次函数y1＝x2(x≥0)与y2＝(x≥0)的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则＝_________． （三）解答题 21．已知一个正方形的周长为C cm，面积为S cm2. (1)求S与C之间的函数表达式； (2)画出所求函数的图象； (3)求当S＝4时该正方形的周长． 22．某涵洞是抛物线形，它的横断面如图所示．现测得水面宽AB＝1.6 m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m. (1)在图中直角坐标系内，求涵洞所在抛物线的函数表达式； (2)有一艘宽为1 m，高为1 m的小舟，问该小舟能否通过这个涵洞？请通过计算说明理由． 23．如图，在正方形中，已知：点A，点B在抛物线上，点C，点D在x轴上． (1)求点A的坐标； (2)连接交抛物线于点P，求点P的坐标． 24.如图所示，已知直线 l 过 A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数 y＝ax2 的图象在第一象限内相交于点 P.若△AOP 的面积为，求 a 的值. 25.已知二次函数 y=ax2图象上有两点 A,B，它们的横坐标分别为-2,1.若△ABO 为直角三角形，求 a 的值. 26.综合探究如图在平面直角坐标系中，A是抛物线y＝x2上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B的坐标为(0，2)，直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD.设线段AE的长为m，△BDE的面积为S. (1)当m＝时，求S的值． (2)求S关于m(m≠2)的函数表达式． (3)①若S＝时，求的值； ②当m＞2时，设＝k，猜想k与m的数量关系并证明． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $