精品解析：陕西省商洛市2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

陕西省商洛市2025-2026学年第二学期期末考试 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】复数加减法运算的结果； 【详解】． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】． 3. 某农业类高校有本科、硕士、博士三类在读学生，人数依次为3000，900，150．按比例采用分层随机抽样的方法从中选取135人，则被选中的博士生人数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】由分层抽样的等比例性质列式求解即可. 【详解】被选中的博士生人数为． 4. 已知直线和平面，则“与内无数条直线垂直”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由线面垂直的定义可知必要性成立，举出反例可得充分性不成立，得到答案 【详解】“”，则“与内所有直线垂直”，故“与内无数条直线垂直”，必要性成立， 若“与内无数条直线垂直”，但这些直线均平行，则无法得到“”，充分性不成立， 故“与内无数条直线垂直”是“”的必要不充分条件. 5. 已知，是关于x的方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. D. 32 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知，方程的另外一个复数根为， 由韦达定理，，解得， 则． 6. 已知一组数据的平均数，方差，每个数据都乘3后，则新数据的平均数和方差分别为（ ） A. 15，20 B. 15，18 C. 45，6 D. 45，18 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数与方差的性质计算的结果. 【详解】新数据的平均数为，方差为． 7. 在中，内角所对的边分别为若，，，则解的个数为（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】应用正弦定理结合角的范围计算求解. 【详解】由正弦定理得，所以， 又因为是钝角，所以只能是锐角，即有唯一解，则解的个数为1． 8. 如图，四棱台的侧棱长均为，上、下底面均是矩形，且，，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱台的几何性质计算出棱台的高，进而可得棱台的体积. 【详解】如图，分别设上、下底面对角线的交点为，，连接，由棱台的侧棱长均相等，可得平面. 作于点，则平面且四边形为矩形，所以． 在矩形中，由， 得. 同理可得，所以. 因为，所以，即该棱台的高为， 则该棱台的体积为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某小组进行实验操作考核，11位评委的打分（满分10分）为，，，，，，，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 该组数据的众数为8 B. 该组数据的极差为13 C. 该组数据的第60百分位数为8 D. 若去掉一个最高分和一个最低分，则新数据的第60百分位数为8 【答案】ACD 【解析】 【详解】A选项，8出现的次数为3，次数最多，故众数为8，A正确； B选项，该组数据的极差为，B错误； C选项，，故从小到大，选择第7个数作为该组数据的第60百分位数，即8，C正确； D选项，若去掉一个最高分和一个最低分， 剩余9个数据为，，，，，，，，， ，故从小到大，选择第6个数作为新数据的第60百分位数，即8，D正确. 10. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. z在复平面内对应的点位于第二象限 D. 若是纯虚数，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，因则，故B正确； 对于C，在复平面内对应的点位于第一象限，故C错误； 对于D，由是纯虚数，可得，， 故，当时，取得最小值为，故D正确． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是侧面上的动点，是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为3 B. 存在唯一的点，使得平面 C. 若为的中点，则点到平面的距离为 D. 若平面，则点的运动轨迹长度为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，先证明平面，结合关系求的最大值，即可判断，对于选项B，证明平面，结合平面，可得，由此确定的位置，判断B，对于选项C，利用等体积法求点到平面的距离即可判断，对于选项D，取的中点，的中点，的中点，先证明平面平面，由此确定点的运动轨迹及其长度. 【详解】已知正方体棱长为，在侧面上，是中点， 平面，因此平面，， 对于选项A，由平面，对任意在平面， 由勾股定理得： ， 的最大值为正方形的对角线长度，， 因此 ，A正确； 对于选项B，因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理，，平面， 所以平面，因此若平面，则， 连接，因为为的中点，所以是的中点， 因此存在唯一的点满足条件，B正确， 对于选项C，是中点，，，， 中，，， 的面积， 设点到平面的距离为，则， 又，三棱锥的体积， 所以，故，C错误， 对于选项D，平面是正方体的对角面， 取的中点，的中点，的中点， 则，平面，平面， 所以平面，同理结合可得平面， 又，平面， 所以平面平面，结合平面可得平面， 又是侧面上的动点，所以点的轨迹为， 因此轨迹长度为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，是用斜二测画法绘制的水平放置的的直观图，，分别在，轴上，与重合，且，，则在中，________． 【答案】 【解析】 【分析】由直观图根据斜二测规则结合边长计算求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 则，． 13. 已知向量，满足，且，则________；在上的投影向量为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算性质计算可得. 【详解】因为，所以. 又，所以， 解得，在上的投影向量为. 因此，在上的投影向量为. 14. 高出海平面的观测点P在海平面上的正投影为O．海平面上有两处航标A，B，其中A在O的正北方向上，从P观测A的俯角为60°，B在O的东偏南30°方向上，从P观测B的俯角为30°，则A，B之间的距离为________m． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形边角关系，利用余弦定理列方程求出结果． 【详解】由题可知，， 则，．， 则，则． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行关系求得参数的值，再结合向量的加法坐标运算和向量的模的坐标公式计算得结果； （2）根据垂直关系得出参数的值，再结合数量积公式与夹角余弦值的公式计算得结果. 【小问1详解】 由，可得，解得，则， 故． 【小问2详解】 由，可得，解得，则． 设与的夹角为，则． 16. 在如图所示的圆柱中，是底面圆的两条直径，是圆柱的母线，分别是，的中点． （1）证明：． （2）证明：四点共面． 【答案】（1）连接．因为是底面圆的直径，在圆上，所以． 又是圆柱的母线，所以平面，因为平面，所以． 又，，，平面，所以平面． 因为平面，所以． （2）连接．因为，分别是，的中点，所以． 又，是底面圆的两条直径，所以， 所以，因此. 因为，，由平行公理得. 因此，，，四点共面． 【解析】 【分析】（1）直接用线面垂直证明线线的垂直可得； （2）根据中位线定理及圆的几何性质、平行公理可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 的周长为 【解析】 【小问1详解】 由，得，即． 因为，所以，故，解得． 【小问2详解】 由正弦定理及得， 在中，，所以，， 得，又，故，从而． 已知，由正弦定理得，则， , 周长. 18. 某古代冶金工艺研究院专注于研究商周青铜器块范铸造技术，并对外开展研习活动．在新一期研习活动中，研究院对名参训人员进行专业修习质量百分制打分，依据得分绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）．已知． （1）求、的值． （2）估计此次修习评分在内的参训人数． （3）将评分分及以上视为修习效果合格，若合格人数频率大于，则判定本期研习活动达标．试问本期活动是否达标？并阐述理由． 【答案】（1） （2）75 （3）达标，理由如下： 超过的人的修习评分在77分及以上，即为分位数大于或等于77． 因为修习评分在内的频率为，修习评分在内的频率为， 所以分位数在内， 由，可以估计分位数为， 所以有超过的人的修习评分在77分及以上，本期活动达标． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有长方形面积之和为1，结合条件计算得到结果； （2）由直方图确定的频率，再计算参训人数. （3）根据题意条件计算判断可得结果； 【小问1详解】 由题意知解得 【小问2详解】 此次修习评分在内的频率为， 所以估计此次修习评分在内的参训人数为． 【小问3详解】 略 19. 如图，，，，平面，，P是线段上的动点（含端点），设平面平面． （1）证明：平面． （2）设P是的中点． （Ⅰ）求二面角的余弦值； （Ⅱ）求平面截三棱锥外接球所得截面的面积． 【答案】（1）因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先结合，利用面面平行判定定理推导出平面，再用线面平行性质定理推导，最后再用线面平行判定定理即可推出平面； （2）（Ⅰ）过点向底面作垂线，借助三垂线定理作出二面角的平面角，再计算出的三边，借助余弦定理即可求得结果； （Ⅱ）先确定三棱锥的外接球球心与半径，再通过等体积法计算出球心到平面的距离，利用，即可得到截面面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （Ⅰ）因为平面，，所以平面， 取中点，连接，则平面. 作，连接，由三垂线定理知，， 又因为，所以， 所以即为二面角的平面角. 因为，所以为直角三角形， 所以，又，所以， 在中，因为，所以， 同理可得， 作交于点，所以， 所以，所以， 所以在中， 所以二面角的余弦值为. （Ⅱ）因为为直角三角形，所以球心位于过且垂直于平面的直线上， 又平面，所以球心位于的垂直平分面上， 又因为，所以到平面的距离为，所以. 由等体积法，而， 点到平面的距离为，所以， 即，所以， 所以，所以截面面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省商洛市2025-2026学年第二学期期末考试 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 某农业类高校有本科、硕士、博士三类在读学生，人数依次为3000，900，150．按比例采用分层随机抽样的方法从中选取135人，则被选中的博士生人数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4. 已知直线和平面，则“与内无数条直线垂直”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，是关于x的方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. D. 32 6. 已知一组数据的平均数，方差，每个数据都乘3后，则新数据的平均数和方差分别为（ ） A. 15，20 B. 15，18 C. 45，6 D. 45，18 7. 在中，内角所对的边分别为若，，，则解的个数为（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 8. 如图，四棱台的侧棱长均为，上、下底面均是矩形，且，，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某小组进行实验操作考核，11位评委的打分（满分10分）为，，，，，，，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 该组数据的众数为8 B. 该组数据的极差为13 C. 该组数据的第60百分位数为8 D. 若去掉一个最高分和一个最低分，则新数据的第60百分位数为8 10. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. z在复平面内对应的点位于第二象限 D. 若是纯虚数，则的最小值为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是侧面上的动点，是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为3 B. 存在唯一的点，使得平面 C. 若为的中点，则点到平面的距离为 D. 若平面，则点的运动轨迹长度为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，是用斜二测画法绘制的水平放置的的直观图，，分别在，轴上，与重合，且，，则在中，________． 13. 已知向量，满足，且，则________；在上的投影向量为________． 14. 高出海平面的观测点P在海平面上的正投影为O．海平面上有两处航标A，B，其中A在O的正北方向上，从P观测A的俯角为60°，B在O的东偏南30°方向上，从P观测B的俯角为30°，则A，B之间的距离为________m． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，求向量与夹角的余弦值． 16. 在如图所示的圆柱中，是底面圆的两条直径，是圆柱的母线，分别是，的中点． （1）证明：． （2）证明：四点共面． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，且，求的周长． 18. 某古代冶金工艺研究院专注于研究商周青铜器块范铸造技术，并对外开展研习活动．在新一期研习活动中，研究院对名参训人员进行专业修习质量百分制打分，依据得分绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）．已知． （1）求、的值． （2）估计此次修习评分在内的参训人数． （3）将评分分及以上视为修习效果合格，若合格人数频率大于，则判定本期研习活动达标．试问本期活动是否达标？并阐述理由． 19. 如图，，，，平面，，P是线段上的动点（含端点），设平面平面． （1）证明：平面． （2）设P是的中点． （Ⅰ）求二面角的余弦值； （Ⅱ）求平面截三棱锥外接球所得截面的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $