陕西渭南高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

HN202607 高一数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.命题p:Hx∈R,lx|≥0的否定为 A.xR,Ix1<0 B.3x∈R,Ixl<0 C.3x∈R,Ixl≤0 D.Hx∈R,lxl<0 2.样本数据9,12,17,11,15,16,10,8,18的上四分位数是 A.9 B.10 C.15 D.16 3.下列函数中，是奇函数且在区间(0，+∞)上单调递增的是 A.f(x)=x-2026 B.f()=x2026 C.f(x)=x20 D.f(x)=x2027 4.袋子里装有4支钢笔，其中2支黑笔，2支红笔，从中随机取出2支，下列事件中与事件“都 是黑笔”互斥但不对立的是 A.“恰有1支红笔” B.“至多有1支红笔” C.“至少有1支黑笔” D.“至少有1支红笔” 5.如图，一个冰祺淋玩具由一个圆锥和一个与圆锥有公共底面的半球组成，且两 部分体积相等，则圆锥的母线长与底面半径的比值是 A.√2 B.2 C.5 D.3 6.设全集U=Z,集合A={x|x=6k+1,k∈Z},B={xx=6k+3,k∈Z},C={xx=6k-1, k∈Z},则C(AUBUC)= A.xlx=2k,kEZ B.{xlx=6k+1,k∈Z} C.{xlx=6k+2,k∈Z} D.{xlx=6k-2,k∈Z} 数学第1页（共4页） 7.已知a,b是两个不共线的单位向量，向量c=Aa+b(入，eR),则“c·a>c·b”是“入>0 且4<0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知5个实数a1,a2,a,a4,a5是2,4,6,8中的一个（每个数至少出现一次），则a1,a2,a, a4,a5的方差的最大值为 学 B.104 25 c爱 D.136 5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设复数z=3+4i,则 A.z=3-41 B.Ial =7 C.z2=-7+24i D.21 2+2i∈R 10.如图，正方体ABCD-A1B,C,D1的棱长为2，Q为线段AD1上一动点，则 A.三棱锥Q-BDC1的体积为定值 D A B.直线QC与B,D的夹角的大小的取值范围是[平，引 C.QD+QC的最小值为2+√5 D.当AQ=2D1Q时，平面BQD截该正方体所得截面的面积为2√6 11.设对任意的平面向量m=（x,y)进行一次“R变换”后得到一个新向量R(m)=（-2y, 2x),对m连续进行n次“R变换”得到的向量记作R"(m).设a,b为平面内的非零向量， 则下列说法正确的是 A.对任意的a,b,R(a+b)=R(a)+R(b)恒成立 B.对任意的a,Rm*4(a)=16R"(a) C.若入，>0，则IR(Aa+b)I=入IR(a)I+lR(b)I D.若Ial=Ib1=1,则[a-R(a)]·[b-R(b)]的最小值为-5 数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.函数八)=am(受-罗)+1的图象的一个对称中心的坐标是 13.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2AD=6,且AB·AD=6,M是边CD上靠近点C的三等 分点，则MA·M成= 14.若关于x的不等式sinx≥cos(wx+p)(w∈Z,p∈(0,2T)恒成立，则p的所有可能取值 共有」 个 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 某校举行了一次数学竞赛活动，有100名学生参加，将他们的成绩（单位：分，满分为100 分)进行整理后，按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分为5组，得到如图 所示的频率分布直方图. (1)求图中a的值； 频率 组距 (2)估计这100名学生的成绩的中位数； 0.035 (3)从成绩在[80,100]内的学生中随机抽取5名学生进行座80 谈，求这次考了89分的小明被抽中的概率 0V5060708090100成绩份 16.（15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a-c=2 bcos C. (1)求B; (2)若a+c=7,D是BC的中点，求AD的最小值及此时△ACD的面积 17.(15分) 某校为培养学生的劳动意识，开展了“劳动小能手”实践活动.活动结束后，学校根据学生 的劳动时长及表现给予相应的劳动实践积分.现从该校随机抽取50名学生，调查其劳动 实践积分数据，整理如下表： 数学第3页（共4页） 劳动实践积分 人数 3 10 2 20 1 15 0 5 (1)从该校全体学生中随机抽取1名学生，估计这名学生的劳动实践积分不低于2分的 概率 (2)假设每名学生的劳动实践积分互不影响，从该校全体学生中随机抽取2名学生. (1)估计这2名学生的劳动实践积分之和为2分的概率； （ⅱ)估计这2名学生的劳动实践积分之差的绝对值不低于1分的概率. 18.(17分) 已知函数f(x)=Asin(o-p)(4>0,w>0,号<g<m)的部分图象如图所示。 (1)求f(x)的解析式； (2)若V名，e[石，m,恒有1f(名)-f()1≤a,求实数a的最 小值； (3)若Vxe[-平，引，恒有[()]2-)-4≤0，求实数n的取值 范围。 19.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,且底面ABCD是矩形，PA=AD=2AB=4,M 是棱PD的中点， (1)求证：AM⊥平面PCD; (2)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值； (3)若Q是四棱锥P-ABCD外接球上的一点，求点Q到平面AMC 的最大距离. 数学第4页（共4页） HN202607 高一数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案B 命题透析本题考查全称量词命题的否定 解析写一个全称量词命题或存在量词命题的否定，方法是变量词，否结论，所以命题p的否定是]x∈R,|xl<0 2.答案D 命题透析本题考查百分位数的计算. 解析因为上四分位数是75%分位数，9×75%=6.75，所以样本数据的上四分位数为从小到大排列后的数据 8,9,10,11,12,15,16,17,18中的第7个数，即16. 3.答案D 命题透析本题考查幂函数的奇偶性与单调性， 解析由题可知A,B中的函数是偶函数，C,D中的函数是奇函数，但C中的函数在(0，+∞)上单调递减，不符 合要求，故选D. 4.答案A 命题透析本题考查互斥事件与对立事件的概念， 解析“恰有1支红笔”与“都是黑笔”互斥但不对立，“至多有1支红笔”与“都是黑笔”可能同时发生，不互斥， “至少有1支黑笔”与“都是黑笔”可能同时发生，不互斥，“至少有】支红笔”与“都是黑笔”是对立事件。 5.答案C 命题透析本题考查圆锥与球的结构特征及体积的计算 解析 设圆锥的底面半径为R,高为么，母线长为1，则半球的半径也为R由M脑=4，可得}优h2 3； 则h=2R,所以l=√R+F=√R+(2R=5R,则六=5. 6.答案A 命题透析本题考查集合的运算， 解析由题可知A={xlx=2×3k+1,k∈Z},B={x|x=2(3k+1)+1,k∈Z},C={x|x=2(3k-1)+1,k∈ Z},其中3k,3k+1,3k-1组成所有的整数，则AUBUC={x|x=2m+1,m∈Z},即AUBUC为奇数集，所以 Cu(AUBUC)为偶数集 一1 7.答案B 命题透析本题考查充分条件与必要条件、平面向量数量积的计算， 解析设a,b的夹角为0,0e(0,T),则a·b=cos0∈（-1,1)，所以1-a·b>0.因为c·a>c·b,所以c· (a-b)=(Aa+b)·(a-b)=x1a2-(A-u)a·b-ulb2=(A-u)(1-a·b)>0,因为1-a·b>0,所 以入-4>0.由入-4>0，无法推出入>0且4<0，故充分性不成立；由入>0且4<0，可得入-4>0，所以c·a> c·b,必要性成立.所以c·a>c·b是入>0且u<0的必要不充分条件. 8.答案C 命题透析本题考查方差的计算 解析设a,山，a,4,分别对应2,4,6,8，(1是2,4,6,8中的一个)，则这5个数的平均数a=20+'=4+ 5 5,所以方老=[(2-a2+(4-a)2+(6-a)2+(8-a)2+(u-]=写[(-2-与)+(-与)+ (2-号)广+(4-宁)+（号-4]=务（㎡-10+25）+4，因为函数)=2-10x+25在[2,5]上单调递 减，在[5,8]上单调递增，且八2)=8)=9，所以当1=2或8时，方差相等且取得最大值，为=号×9+ 4=136 25 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案ACD 命题透析本题考查复数的基本概念与运算. 解析对于A,z=3-4i,故A正确； 对于B,Izl=√32+42=5，故B错误； 对于C,z2=(3+4i)2=32+24i+(4i)2=9-16+24i=-7+24i,故C正确； 对于D,分岩=号∈R放D正确 10.答案AD 命题透析本题考查空间线面位置关系、空间角、体积与截面面积的计算. 解析对于A,因为AB∥C,D,且AB=C,D,,所以四边形ABC,D1为平行四边形，所以AD,∥BC,则AD,∥平 面BDC,,所以当点Q在线段AD,上运动时，点Q到平面BDC,的距离为定值，又△BDC,的面积为定值，所以 三棱锥Q-BDC,的体积为定值，故A正确； 对于B,连接AC,CD1,易知AC⊥BD,BB,⊥AC,又BD∩BB,=B,所以AC⊥平面BB,D,又B,DC平面BB,D,所 以AC⊥B,D,同理B,D⊥CD1,又AC∩CD,=C,所以B,D⊥平面ACD1,因为Q为线段AD,上的动点，所以CQC 平面ACD1,因此B,D⊥CQ,直线QC与B,D的夹角始终为7，故B错误； 2 对于C,在△ACD1中，QC的最小值为△ACD,的高，即为V6,在△ADD1中，QD的最小值为△ADD,的底边AD, 上的高，即为√2，且两者取最小值时点Q为同一点，即线段AD,的中点，故QD+QC的最小值为√2+√6，故C 错误； 对于D,如图，设平面B,QD与BC,A,D,的交点分别为M,N,连接B,M,DM,B,N,QN,则B,M∥ND,NB,∥DM, 所以平面B,QD截该正方体所得的截面为口B,MDN,因为AQ=2D,Q,所以AD=2ND,所以ND,=NA,=1,所 以0-8=5，则s∠周0-BmBD:一与所以如∠BD=25,所以5a=0 NB,sin∠B,ND=2√6，故D正确. D B 11.答案ABD 命题透析本题考查新定义及向量的综合， 解析对于A,设a=(x1y1),b=(x32),则R(a)=(-21,2x,),R(b)=(-2y2,2x2),由a+b=(x1+x2, y1+y2),可得R(a+b)=(-2(y1+y2),2(x1+x2),则R(a)+R(b)=（-2y1,2x1)+(-2y2,2x2)= (-2(y1+y2),2(x1+x2))=R(a+b),故A正确； 对于B,设a=(x1y),则R(a)=（-21,2x,）=2(-y1,x),R(a)=4(-x1,-y1),R(a）=8(y,-), R(a)=16(x1,y,),所以R+4(a)=16R"(a),故B正确； 对于C,取a=(1,0),b=(0,1),入=u=1,则Aa+ub=(1,1),R(Aa+b)=（-2,2),R(a)=(0,2),R(b)= (-2,0),故1R(Aa+b)1=√(-2)2+(2)7=25，A1R(a)川+ulR(b)1=2+2=4,此时1R(Aa+b)I≠ AIR(a)I+lR(b)I,故C错误； 对于D,设a=(cosa,sin a),b=(cosB,sinB),则R(a)=(-2 sin a,2 cos),R(b)=（-2sinB,2cosB),故 a-R(a)=(cos a+2sin a,sin a-2cos a),b-R(b)=(cos B+2sin B,sin B-2cos B),[a-R(a)].[b- R(b)]=(cos a+2sin a).(cos B+2sin B)+(sin a-2cos a).(sin B-2cos B)=5cos acos B+5sin asin B= 5cos(a-B)≥-5，当ax-B=2km+T(k∈Z)时等号成立，故[a-R(a)]·[b-R(b)]的最小值为-5，故D 正确。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案（石，1（答案不唯一，符合(m+石，kZ)的点均对） 命题透析本题考查正切函数的图象与性质。 一3 整理得ac=a2+c2-b2,… (3分) 所以cosB=2+c2-?、1 2ac 2 又B∈(0，π)，所以B= ………… 31 (6分) (2)因为a+c=7,所以a=7-c. 因为D为BC的中点，所以由余弦定理可得AD=AB+BD-2AB·BDcs号=6+（受）-受=+ (72-02=子e-2+ 4 (10分) 当c=2时，AD取得最小值，且AD=2,此时a=5,一 (12分) 2 4 …(15分) 17.命题透析本题考查古典概型的概率计算、相互独立事件的概率乘法公式. 解析（1)由题表可知从样本中随机抽取1名学生， 其劳动实践积分不低于2分的频率为10+20=3。 50=5, 估计这名学生的劳动实践积分不低于2分的概率为子 (4分) (2)由题可知，劳动实践积分为0分、1分2分3分的概率分别为点=，点=3,20=2,0=上 50=10’50=10'50=550=5 …(6分） (1)这2名学生的劳动实践积分之和为2分的情况有2人都是1分或1人0分、1人2分，共2种 “估计这2名学生的劳动实践积分之和为2分的概率为品×品+×号+号×。-品 …（10分) (ⅱ)随机抽取2名学生，其积分之差的绝对值不低于1分的对立事件是积分之差的绝对值低于1分，即为 0分，所有的情况为{0分，0分}，{1分，1分}，{2分，2分}，3分，3分}， 概率为b×0+品×品+号×号+5×写-品 (13分) 估计这2名学生的劳动实践积分之差的绝对值不低于1分的概率为1一高0。 …（15分) 18.命题透析本题考查正弦型函数的图象与性质及不等式恒成立问题， 解析（1)由题意得A=2,所以f八x)=2sin(wx-p).… (1分) 因为)的图象经过点(0，-万)，代人可得9=2km+号或26m+,keZ, 又<9<m,所以-2 1 (3分) 再将（侣2代入）=2sn(x-),可得2sm(2登-）=2， 5- 解析令受-晋=受（eZ),可得=m+君（化e2),所以八)图象的对称中心的坐标为（如+后） 6 (k∈Z). 13.答案3 命题透析本题考查平面向量的数量积运算. 解析 因为M是边cD上靠近点C的三等分点，所以励=子动=-子应，心=兮d=}破，所以耐，M碗- 3 (励+（心+=(-子-列·（兮应---子迹+子店.本+亦-子×6+行× 6+32=3. 14.答案3 命题透析本题考查正弦函数和余弦函数的综合。 解析当w=0时，若sinx≥cosp恒成立，sinx∈[-1,1]，p∈(0,2π)，∴.p=T.当w≠0时，sinx≥ cas(ax+p),即sin≥sim(ar+g+受）恒成立，sine[-1,1】,sin(a+g+罗）e[-l,1小sin= sin(wx+g+受），则w=±l.当w=1时，sinx=sin(x+9+受），则p+受=2km,ke乙，解得g=-子+2km, ke乙：ee0,2r)9=受：当w=-1时如=m(-+p+受）=-(e-p-）=sn(x-p-受+小 -9-受+m=2km,ke乙，解得p=受-2km,k∈乙，pe(0,2m),p=受故p的所有可能取值共有 2 3个. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.命题透析本题考查频率分布直方图及样本的数字特征 解析(1)由题可得(a+0.020+0.025+0.035+a)×10=1, 即(0.080+2a)×10=1,解得a=0.010. (4分) (2)因为(0.010+0.020)×10=0.3<0.5，而(0.010+0.020+0.025)×10=0.55>0.5， 所以中位数m在[70,80)内. 由中位数的定义可得0.3+（m-70)×0.025=0.5,解得m=78. 所以估计这100名学生的成绩的中位数为78. (8分) (3)由[80,100]的频率为(0.035+0.010)×10=0.45， 可得[80,100]内的总人数为100×0.45=45， 所以这次考了89分的小明被抽中的概率为5=9 51 …（13分） 16.命题透析本题考查余弦定理的应用. 解析(1)由余弦定理可得2a-c=2 cosC=26×心+6-c-。2+2-c 2ab 一4 解得w=2+号，k∈Z(*)…呼 (4分) 设)的最小正周期为工，则T2>侣，得0<a< 7 结合(*)式可得@=2，所以)=2sin(2x-} (6分) (2)若xe[若]则2x-罗e[-号]m(x-）[-,小， 所以)=2sin(2x-29）e[-5,2].… (8分) 要使对任意的出∈[君，]，恒有x)-名1≤a,只需)m-)m≤a, 即a≥2-(-5)=2+5，故a的最小值为2+5. …(11分) (3)若xe[-平平]，则2x-罗∈[--]所以)e[-2,1. …(13分) 令1=x),则1e[-2,1],[/x)]2-(x)-4≤0，xe[-年，]恒成立，等价于g()=-m-4≤0,1e [-2,1]恒成立，… (14分) g(-2)=(-2)2-n×(-2)-4≤0， 所以 g(1)=12-n×1-4≤0， 解得-3≤n≤0，即实数n的取值范围为[-3,0].…（17分) 19.命题透析本题考查线面垂直的证明、线面角及棱锥的体积 解析(I):PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,∴.PA⊥CD, .四边形ABCD是矩形，∴.CD⊥DA, 又.DA∩PA=A,∴.CD⊥平面PAD. (2分) AMC平面PAD,∴.CD⊥AM, M是PD的中点，PA=AD,.AM⊥PD, 又.CD∩PD=D,∴.AM⊥平面PCD. (4分) (2)取AD的中点N,连接MN. M,N分别为PD,AD的中点MN∥P1,MN=之PA=2, :PA⊥平面ABCD,.MN⊥平面ABCD, 4=号xMNx7 xADxCD=子x2x7x4x2=号 (6分) 由(1)得AM⊥平面PCD,:MCC平面PCD,∴.AM⊥MC, PA=AD=4,.PD=4√2，AM=MD=2√5， 又CD=AB=2,.MC=25, 一6 。.SAANG三7 XAM X MC=2V6, (8分) 设点D到平面AMC的距离为h,直线CD与平面ACM所成的角为a. 由a-c=了××Sac=,-4em=号，解得A=看 4 ∴.sin0= h-6-6 D=2=3, ·直线CD与平面ACM所成角的正弦值为5， 3 (10分) M B (3)取PC的中点O,连接OA,OB,OD. ,△PAC,△PBC,△PDC均为直角三角形，O为斜边PC的中点， .O为四棱锥P-ABCD外接球的球心 由题可知AC=2√5，PC=6,.0A=0B=0C=0D=0P=3.…(12分) 设点D到平面PHC的距离为么，在三楼能P-ACD中，-a=e即号S。PA=A, 即时×分×4x2x4=子×分×4x25x,解得A=45, 5 设点M到平面A0C的距离为：，又点M到平面A0C的距离等于点D到平面A0C的距离的一半，，-25 5 …(14分)》 在三棱锥O-AMC中，设点O到底面AMC的距离为h2. 由o-Ae=-lac,可得宁5acA=子5wck, 即时×26x=号×了×4×25x宁2，解得名=号 3 点Q到平面AMC的最大距离为点0到平面AMC的距离加半径，即为3+ 3 ，…(17分)