精品解析：陕西省商洛市2024-2025学年高一下学期期末教学质量抽样监测数学试题

商洛市2024～2025学年度高一第二学期末教学质量抽样监测 数学 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知复数满足，则复数对应的点在复平面上的第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 2. 已知向量，，若，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ）． A. B. C. D. 4. 已知正三棱台的上、下底面边长分别为2，4，高为2，则该三棱台的体积为（ ）． A. B. C. D. 5. 先将函数的图象上所有点的横坐标扩大为原来3倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的对称中心为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 圆锥中，轴截面为正三角形，，为底面圆的两条相互垂直的直径，点P为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）． A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，．则的面积为（ ）． A. 2 B. C. D. 8. 在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某学校调查学生对学校食堂意见情况，该学校分高一，高二，高三三个年级，统计可得这三个年级的人数比例为．现用分层随机抽样的方法从这些学生中抽取n名学生进行调研，若高一年级抽到80人，则（ ）． A. 高二年级抽到60人 B. 高三年级抽到90人 C. D. 抽取的高二与高三人数之和比高一多40人 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的平分线交于点D，则下列说法正确的是（ ）． A. 外接圆的面积为 B. 若与的面积比为，则 C. 若，则为直角三角形 D. 周长的最小值为 11. 如图，正方体的棱长为2，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 直线PQ与MN所成角的余弦值的最大值为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 D. 三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是______． 13. 已知梯形用斜二测画法得到的直观图为（如图所示），其中，，则梯形的面积为______． 14. 已知四面体中，，，点O为该四面体外接球的球心，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，满足，，． （1）求向量，夹角的大小； （2）求的值； （3）求向量与夹角的余弦值． 16. 已知函数，且函数为最小正周期为的周期函数． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的值域； （3）若，其中，求的值． 17. 某市举行了数学竞赛选拔考试，参加的学生众多，为了解本次考试的成绩分布情况，抽取出100名学生的成绩进行分析，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值； （2）估计这100名学生成绩的平均数和第85百分位数； （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取40人，若成绩在中的平均数和方差分别为62和40，成绩在中的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这两组成绩总体的方差． （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差 18. 如图，在平面凸四边形ABDC中，对角线AD与CB相交于点O．，，，． （1）求的值； （2）求CO； （3）求四边形ABDC的面积． 19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面，点在棱上． （1）求； （2）若平面，求三棱锥的体积； （3）若二面角的大小为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 商洛市2024～2025学年度高一第二学期末教学质量抽样监测 数学 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知复数满足，则复数对应的点在复平面上的第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等式求出复数，然后根据实部和虚部的符号判断象限. 【详解】由题意得，因为，计算可得， 故复数对应的点在复平面上的第四象限. 故选：D． 2. 已知向量，，若，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据坐标形式下向量共线得到关于的方程，由此求解出结果. 【详解】因为，所以，所以， 故选：A. 3. 已知函数，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式对所求式子进行化简求解即可. 【详解】由题意可得. 故选：B． 4. 已知正三棱台的上、下底面边长分别为2，4，高为2，则该三棱台的体积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式即可求得答案. 【详解】由题意可得上、下底面的面积分别为， 该三棱台的体积为． 故选：B 5. 先将函数的图象上所有点的横坐标扩大为原来3倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的对称中心为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像的平移和伸缩变换得，即可利用整体法，结合正切函数的性质求解. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标扩大为原来3倍，得到， 再将所得函数的图象向左平移个单位长度得到函数， 由，解得， 所以对称中心为，， 故选：A． 6. 圆锥中，轴截面为正三角形，，为底面圆的两条相互垂直的直径，点P为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，所以为异面直线与所成角或其补角，由线面垂直的判定定理及线面垂直的性质可得，设，在中，即可求解. 【详解】由题可得，如图，连接， 因为P，O分别为，的中点，所以， 所以为异面直线与所成角或其补角， 因为，，，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 设，所以在中，，， 所以. 故选：C. 7. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，．则的面积为（ ）． A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理可求解，即可由面积公式求解. 【详解】由余弦定理可得， 即，即，解得或（舍去）， ∵，∴， 所以， 故选:D． 8. 在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，以为坐标原点，为x轴，以为y轴建立平面直角坐标系，设点.根据点E在线段上，所以设，其中，结合平面向量的线性运算及数量积的坐标表示即可求解. 【详解】根据题意，以为坐标原点，为x轴，以为y轴建立平面直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以，，. 设点. 因为点E在线段上，所以设，其中， 所以，所以， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某学校调查学生对学校食堂意见情况，该学校分高一，高二，高三三个年级，统计可得这三个年级的人数比例为．现用分层随机抽样的方法从这些学生中抽取n名学生进行调研，若高一年级抽到80人，则（ ）． A. 高二年级抽到60人 B. 高三年级抽到90人 C. D. 抽取的高二与高三人数之和比高一多40人 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分层抽样的抽样比及人数进行求解即可. 【详解】根据题意，已知高一、高二、高三人数比例为， 设抽取的高一、高二、高三人数分别为、、． 因为高一抽到80人，即，解得． 所以高二抽到人数为人，故A正确； 高三抽到人数为人，故B错误； 所以，故C正确； 高二与高三人数之和为人，比高一多人，故D正确． 故选：ACD． 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的平分线交于点D，则下列说法正确的是（ ）． A. 外接圆的面积为 B. 若与的面积比为，则 C. 若，则为直角三角形 D. 周长的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】设外接圆的半径为R，则由正弦定理得求出，即可判断选项A；由与的面积比为知，结合三角形的面积公式即可判断选项B； 由可得，结合三角形面积公式可得，利用余弦定理求出和的值，结合勾股定理即可判断选项C；由余弦定理得，结合基本不等式，即可判断选项D. 【详解】设外接圆的半径为R，则由正弦定理得， 解得，外接圆面积为，故选项A错误； 由与的面积比为知， 所以，即，故选项B正确； 因为，所以， （因为，的边上的高与的边上的高相等，所以）. 又，所以， （也可以用角平分线定理直接得到），所以， 在中，由余弦定理得，即，解得，故， 所以，所以为直角三角形，故选项C正确； 在中，由余弦定理得， 即，即. 由基本不等式，得，从而， 化简得，当且仅当时等号成立， 所以周长的最大值为，故选项D错误. 故选：BC. 11. 如图，正方体的棱长为2，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 直线PQ与MN所成角的余弦值的最大值为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举反例即可判断；对于B，只需证明平面，即可判断；对于C，连接，证得和，得到，即可判断；对于D，分别取的中点，构造长方体，结合正方体的性质和球的表面积公式，即可判断. 【详解】对于A，如图所示，当点为的中点时， 因为M，N，P分别是，，的中点， 所以，所以， 所以直线PQ与MN所成角的余弦值的最大值为1，故A错误； 对于B，如图所示，因为，平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离为定值，且三角形的面积也为定值， 从而三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C中，如图所示，在正方体中，连接， 因为分别是的中点，所以, 又因为，所以，所以四点共面， 即当与点重合时，四点共面，所以C正确； 对于D中，分别取的中点，构造长方体， 则经过四点的球即为长方体的外接球， 设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径， 即， 所以经过四点的球的表面积为，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是______． 【答案】09 【解析】 【分析】结合随机数表法定义，按照题意依次读出前个数即可. 【详解】从随机数表第1行的第7列数字开始由左向右每次连续读取2个数字， 删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有37，14，05，11，09， 所以选出来的第5个个体的编号为09. 故答案为：09. 13. 已知梯形用斜二测画法得到的直观图为（如图所示），其中，，则梯形的面积为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据斜二测法的规则与原图和直观图的面积比值进行求解即可. 【详解】根据题意，， 则． 故答案为：3. 14. 已知四面体中，，，点O为该四面体外接球的球心，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量线性定理将表示出来，然后根据线角关系求出它们的数量积. 【详解】根据题意，， 因为点O为该四面体外接球的球心，所以取点M，N分别为，的中点， 则，， 所以，， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，满足，，． （1）求向量，夹角的大小； （2）求的值； （3）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由夹角公式计算可得结果； （2）利用数量积的运算律先求，即可得到的值； （3）由向平面向量的夹角公式即可求出. 【小问1详解】 平面向量，满足，，． 所以， 解得，又， 可得向量，夹角的大小为． 【小问2详解】 ， 所以． 【小问3详解】 ， 因为，由（2）可得， 设向量与的夹角为，所以． 16. 已知函数，且函数为最小正周期为的周期函数． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的值域； （3）若，其中，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式以及辅助角公式化简可得，由周期求出，即可求得答案； （2）利用整体代换并结合正弦函数性质，即可求得答案； （3）由，可得，继而求出，利用两角差的余弦公式，即可求得答案. 【小问1详解】 根据题意（1）化简可得 ， 又因为函数的最小正周期为，所以，可得， 所以． 【小问2详解】 设，所以， 所以的值域为． 【小问3详解】 因为，所以， 可得， 因为，可得，所以， 所以 ． 17. 某市举行了数学竞赛选拔考试，参加的学生众多，为了解本次考试的成绩分布情况，抽取出100名学生的成绩进行分析，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值； （2）估计这100名学生成绩的平均数和第85百分位数； （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取40人，若成绩在中的平均数和方差分别为62和40，成绩在中的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这两组成绩总体的方差． （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差 【答案】（1） （2）平均数为69.5，第85百分位数为80． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据各组频率之和为1即得； （2）根据平均数和中位数的计算公式即可求解； （3）根据分层抽样比，结合总体方差和平均数的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由图可得，解之可得． 【小问2详解】 根据题意知， ，， 设第85百分位数为x，所以， ，解之可得， 故这100名学生的成绩平均数为69.5，第85百分位数为80． 【小问3详解】 设，中成绩的平均数、方差分别为，，，， 且两组的频率之比为， 则，中成绩的平均数为， 所以，中成绩的方差为 ， 则，中成绩的方差为． 18. 如图，在平面凸四边形ABDC中，对角线AD与CB相交于点O．，，，． （1）求的值； （2）求CO； （3）求四边形ABDC的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因为，利用二倍角公式直接求解即可； （2）由（1）求出，再把分成两个三角形，即和，利用三角形的面积公式列出等式，即可求出； （3）取CD中点E，连接BE，求得， 则再利用三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 因为，且， 所以，所以CB为∠ACD的平分线， 则． 【小问2详解】 由（1）知，所以， 又因为， 所以， 所以，解得． 【小问3详解】 取CD中点E，连接BE，因为，所以， 所以， 所以 ． 19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面，点在棱上． （1）求； （2）若平面，求三棱锥的体积； （3）若二面角的大小为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据平面得平面平面，从而可得平面，故为直角三角形，从而可求； （2）可证为的中点，从而可利用等积转化求三棱锥的体积； （3）过点作的平行线交于点，可证为二面角的平面角，利用解直角三角形可求的值 . 【小问1详解】 ∵平面，平面，∴平面平面， 又∵，平面，平面平面，∴平面， 又∵平面，∴，∴为直角三角形， ∴，即． 【小问2详解】 连接与交于点，连接， ∵平面，平面，平面平面， ∴，可知为的中点，而平面平面，故， 在中，，，， ∴，，， ∴ ． 【小问3详解】 由题意知平面，过点作的平行线交于点， ∴平面，再作（为垂足）， 因为平面，故，而平面， 所以平面，而平面，故， ∴为二面角的平面角，， 由（2）可知，∴是等腰直角三角形， 同理也是等腰直角三角形，从而， 在中，，，∴， 不妨设，，则且， ∴，∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $