精品解析：四川宜宾市2025-2026学年下学期期末学业质量监测高一年级数学试题

2026年春期___________中学校学业质量监测高一年级数学 （考试时间：120分钟；全卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据1，4，2，8，11的中位数是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数定义可得 【详解】先将所有样本数据从小到大排序，本题原数据排序后为： 数据个数为奇数时，中位数为排序后中间位置的数，本题共5个数据，中间位置是第3位， 对应数字为，因此中位数是 2. 在中，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】明确题目已知三角形的两边长度及两边的夹角，要求第三边长度，确定解题突破口为使用余弦定理 【详解】 根据余弦定理，在中：  代入已知条件， 由于边长为正，因此. 3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（ ） A. 互斥 B. 相互对立 C. 相互独立 D. 相等 【答案】C 【解析】 【分析】列举全部可能出现的结果，即可根据对立事件以及互斥事件以及相互独立事件的定义求解. 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）这4种情况， 事件A包括（正正）（正反），事件B包括（正反）（反反），故不相等，故D错误， 由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误； 因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，故事件A和事件B相互独立，故C正确. 故选：C. 4. 向量，，若可以构成一个基底，则不可能是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由于可以构成一个基底，故向量与不共线， 故，解得． 5. 已知一台体的体积为2，上底面面积为1，下底面面积为4，则该台体的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设台体的高为， 则由台体的体积公式可得， 解得，即台体的高为． 6. 若是夹角为的两个单位向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由， 所以在上的投影向量为． 7. 如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件能正常工作的概率为，则该电路是通路的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及相互独立事件的概率公式计算即可． 【详解】由电路图可得元件都不正常工作的概率为， 故元件至少有一个正常工作的概率为， 而电路是通路，则元件必须正常工作，且元件至少有一个正常工作， 所以这个电路是通路的概率为． 8. 在四边形中，，，若，，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件可得，，利用向量的线性运算表示，结合数量积的运算律可得结果． 【详解】因为，， 所以，， 故 ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的模和共轭复数的定义以及复数四则运算的法则逐一计算即可． 【详解】A选项，，故A正确； B选项，，故，故B错误； C选项，为纯虚数，故C正确； D选项，，故D正确． 10. 在正方体中，分别是的中点，则（ ） A. B. 与所成角的余弦值为 C. 平面 D. 到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用直角三角形特征判断A；利用定义法求出异面直线夹角余弦判断B；利用线面垂直的性质及判定推理判断C；求出点到平面距离判断D. 【详解】在正方体中，分别是的中点， 对于A，连接，由平面，平面，得， 由是的直角边的中点，得不垂直于，A错误； 对于B，，则是与所成的角或其补角，， ，，与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，取中点，连接，由， 得四边形是平行四边形，由， 得，则，即， 由平面，平面，得，而， 平面，因此平面，C正确； 对于D，由平面，平面，得平面平面， 平面平面，因此到平面的距离等于到的距离， 即斜边上的高，为，D正确. 11. 在某届世界杯足球赛上，四支足球队进入了最后的比赛．在第一轮的两场比赛中，对对，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名．比赛的一种最终可能结果记为（表示胜胜，然后胜，胜．假设每场比赛中两队获胜的概率均为，且各场比赛结果相互独立。记：样本空间“比赛所有最终可能结果”，事件“队获得冠军”，事件“队进入冠亚军决赛”，事件“队为第三名”．则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先分析比赛各阶段的胜负可能性，每一场比赛有种胜负结果，根据分步乘法计数原理计算样本空间的元素总数.计算事件包含的样本点个数，再用古典概型概率公式计算分析第一轮对的胜负情况，计算事件包含的样本点个数，再用古典概型概率公式计算.古典概型概率公式计算. 【详解】本题根据淘汰赛规则分步计算，每场比赛均分胜负，所有结果等概率： 第一轮两场比赛：a对有种结果，对有种结果； 第二轮：胜者争冠亚有种结果，负者争三四有种结果； 总结果数：，选项A正确. 获冠军需要先赢第一轮（胜），再赢决赛，两步胜率均为， 因此：，选项B错误 进冠亚军决赛仅需赢第一轮（对），胜率为，即：，选项C正确 若是冠军，则赢第一轮，是第一轮负者（）； 若是第三名，第三名是两个第一轮负者比赛的胜者， 因此必须是第一轮与比赛的负者（，即第一轮胜），且在三四名决赛中胜. 所有比赛结果固定，仅1种满足条件的结果，因此，选项D错误 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若与相互独立，则___________． 【答案】0.96 【解析】 【详解】由于，，且与相互独立， 故， 故． 13. 已知三棱柱的体积为1，则三棱锥的体积为___________． 【答案】 【解析】 【详解】设三棱柱的底面积为，高为，则， 因此， 故． 14. 已知是的三个内角，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理进行边角转化，再结合基本不等式和换元法即可得出最小值． 【详解】由正弦定理得， 故， 故， 又由余弦定理及基本不等式得， 故， 故 令，则 ， 当，即时等号成立， 故原式的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.9，乙的中靶概率为0.8，规定每人各射击两次． （1）求乙在两次射击中恰好中靶一次的概率； （2）求甲中靶的次数比乙中靶的次数多一次的概率． 【答案】（1）0.32 （2）0.2664 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率公式和分类加法计数原理即可计算； （2）将目标事件合理分类分为甲中2次、乙中1次，甲中1次、乙中0次两类，再利用独立事件概率公式和分类加法计数原理即可计算． 【小问1详解】 记事件表示甲第次击中，记事件表示乙第次击中， 于是，表示乙恰好击中一次， 所以． 【小问2详解】 甲两次射击中恰好击中一次的概率为 ， 所以甲中靶的次数比乙中靶的次数恰好多1次的概率为 ． 16. 在正三棱柱中，分别是的中点． （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角为，求 【答案】（1）证明：分别取，的中点，， 连接，，． 因为，， 所以， 所以四边形为平行四边形． 所以，因为平面平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】(1)根据线面平行的判定定理可得； (2)找到直线与平面所成的角，根据几何关系即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接， 所以，因为平面平面，平面平面， 所以平面， 过作交于，所以平面，连接． 所以直线与平面所成角为， 设，可得， 所以， 解得，所以． 17. 近年来，肥胖人群规模急速增长，肥胖人群存在较大的心血管患病风险．目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是：BMI．成人的BMI数值标准为：为体重过低；为体重正常；为超重；BMI为肥胖．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工的体检数据中，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取了90名男员工、50名女员工的身高和体重数据，得到如下的男员工BMI值的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）研究人员对公司员工的BMI数据统计后，得到下表： 中位数 平均数 极差 男员工 21.89 22.54 19.3 女员工 19.65 20.70 17.7 （i）男员工的BMI数据记为，女员工的BMI数据记为．研究人员为分析公司员工胖瘦程度的整体情况，将男、女员工的BMI数据放在一起，计算这140个数据的平均数和方差；（精确到0.01），参考数据：． （ii）试判断该公司的男员工还是女员工整体更瘦？说明理由． 【答案】（1） （2）（i）平均数21.88，方差14.76 （ii）整体上女员工更瘦．因为女员工BMI数据的平均数20.70以及中位数19.65均小于男员工BMI数据的平均数22.54以及中位数21.89，BMI数据越小越瘦． 【解析】 【分析】（1）由概率和为可得； （2）（i）根据平均数以及方差定义求解即可；（ii）根据BMI数据意义可得. 【小问1详解】 ，解得 【小问2详解】 （i）总数据的平均数 设男员工BMI数据的平均数为，方差为，女员工BMI数据的平均数为，方差为 因为, , 故总方差. （ii）整体上女员工更瘦．因为女员工BMI数据的平均数20.70小于男员工BMI数据的平均数22.54，说明女员工整体BMI更低，因此整体更瘦． 18. 在四棱锥中，底面是菱形，． （1）证明：平面平面； （2）设三棱锥的各个顶点都在球的球面上． （i）求球的表面积； （ii）求二面角的余弦值． 【答案】（1）连接，交于点，连接， 因为四边形为菱形，所以，为的中点， 又，所以， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，先证明，，可得平面，进而结合面面垂直的判定定理即可求证； （2）（i）取的中点，连接，分析可得球心为正的外心，进而结合球的表面积公式求解即可； （ii）取中点，连接，先得到，，可得二面角的平面角为，进而求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）在菱形中，由于，且， 则，， 而，，则，即， 取的中点，连接，则， 由（1）知，平面平面，平面平面， 而，平面，则平面， 在中，， 因为，所以， 在三棱锥中，由交线定心可知，球心为正的外心． 所以，于是球的表面积为． （ii）因为平面，平面，所以， 取中点，连接， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以二面角的平面角为， 在中，， 所以，所以． 19. 在中，角所对的边分别为． （1）若．求； （2）若． （i）证明：是直角三角形； （ii）若的周长为6，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）因为， 所以不可能为，于是证明或． 由可知，， 即① 当时，则，知， 于是与①矛盾，故不成立； 由可得， 即：， 于是得， 即， 于是，② 当时，，，不成立； 综上所述，可知． （ii） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式展开整理，得到仅含的三角方程，求解. （2）（i）结合正弦的二倍角公式或正弦函数的有界性，推导得到，即可证明三角形为直角三角形. （ii）的解题步骤：将用表示后代入勾股定理，得到的关系式.利用基本不等式求的最大值，再根据直角三角形面积公式，计算面积的最大值. 【小问1详解】 由题知，， 即， 整理得，所以． 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为． 即， 于是． 所以的面积， 设， 所以的面积在单调递增， 所以当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期___________中学校学业质量监测高一年级数学 （考试时间：120分钟；全卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据1，4，2，8，11的中位数是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 在中，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（ ） A. 互斥 B. 相互对立 C. 相互独立 D. 相等 4. 向量，，若可以构成一个基底，则不可能是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 已知一台体的体积为2，上底面面积为1，下底面面积为4，则该台体的高为（ ） A. B. C. D. 6. 若是夹角为的两个单位向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件能正常工作的概率为，则该电路是通路的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在四边形中，，，若，，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 10. 在正方体中，分别是的中点，则（ ） A. B. 与所成角的余弦值为 C. 平面 D. 到平面的距离为 11. 在某届世界杯足球赛上，四支足球队进入了最后的比赛．在第一轮的两场比赛中，对对，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名．比赛的一种最终可能结果记为（表示胜胜，然后胜，胜．假设每场比赛中两队获胜的概率均为，且各场比赛结果相互独立。记：样本空间“比赛所有最终可能结果”，事件“队获得冠军”，事件“队进入冠亚军决赛”，事件“队为第三名”．则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若与相互独立，则___________． 13. 已知三棱柱的体积为1，则三棱锥的体积为___________． 14. 已知是的三个内角，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.9，乙的中靶概率为0.8，规定每人各射击两次． （1）求乙在两次射击中恰好中靶一次的概率； （2）求甲中靶的次数比乙中靶的次数多一次的概率． 16. 在正三棱柱中，分别是的中点． （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角为，求 17. 近年来，肥胖人群规模急速增长，肥胖人群存在较大的心血管患病风险．目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是：BMI．成人的BMI数值标准为：为体重过低；为体重正常；为超重；BMI为肥胖．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工的体检数据中，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取了90名男员工、50名女员工的身高和体重数据，得到如下的男员工BMI值的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）研究人员对公司员工的BMI数据统计后，得到下表： 中位数 平均数 极差 男员工 21.89 22.54 19.3 女员工 19.65 20.70 17.7 （i）男员工的BMI数据记为，女员工的BMI数据记为．研究人员为分析公司员工胖瘦程度的整体情况，将男、女员工的BMI数据放在一起，计算这140个数据的平均数和方差；（精确到0.01），参考数据：． （ii）试判断该公司的男员工还是女员工整体更瘦？说明理由． 18. 在四棱锥中，底面是菱形，． （1）证明：平面平面； （2）设三棱锥的各个顶点都在球的球面上． （i）求球的表面积； （ii）求二面角的余弦值． 19. 在中，角所对的边分别为． （1）若．求； （2）若． （i）证明：是直角三角形； （ii）若的周长为6，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $